Спектральные кроссоверы в ферромагнетиках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535

Н. И. Юрасов

СПЕКТРАЛЬНЫЕ КРОССОВЕРЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ

Рассмотрена нетривиальная возможность селективного отражения, которая связана с пересечением дисперсионных кривых элементарных возбуждений различной физической природы. Определены типы пересечений и выполнена классификация спектральных кроссоверов. Для металлов, полупроводников и диэлектриков выведены формулы для условий наблюдения спектрального кроссовера в намагниченном ферромагнетике.

E-mail: nikyurasov@yandex.ru

Ключевые слова: элементарное возбуждение, квазичастица, дисперсионная кривая, пространство волновых векторов, брэгговское отражение, диэлектрическая функция, магнитная восприимчивость, пространственная дисперсия, эквизатухающие когерентные волны.

При исследовании взаимодействия микрочастиц предоставляется уникальная возможность изучения их свойств и структуры [1]. Из взаимодействия квазичастиц или элементарных возбуждений в веществе также можно получить ценные данные о строении вещества, структуре квазичастиц и процессах их превращений [2]. Обычно для квазичастиц рассматривают процессы релаксации элементарных возбуждений, связанные с определением времени жизни или времени релаксации [2, 3]. Выделяют процессы релаксации, так как при их протекании наступает исчезновение квазичастицы или прекращение распространения элементарного возбуждения [2]. В связи с этим возникает вопрос, существуют ли процессы, отличные от процессов релаксации, которые затрудняют распространение элементарных возбуждений, и как они связаны с процессами релаксации.

Ответ на этот вопрос следует искать при анализе столкновений потоков квазичастиц. В силу волновой природы микрочастиц их потоки образуют в веществе волны, которые могут быть потоками фо-нонов, поляритонов, плазмонов, магнонов, орбитонов и других квазичастиц [3]. Упомянутые квазичастицы образуют акустические волны, волны электрической и магнитной поляризации. К волнам электрической поляризации относятся волны плотности электрического диполь-ного момента, плазменные волны [2]; к волнам магнитной поляризации — волны плотности дипольного магнитного момента, которые могут быть спиновыми, орбитальными.

Указанные выше возбуждения обычно преобладают в металлах, полупроводниках и диэлектриках [2, 3]. Потоки других квазичастиц

также образуют волны в конденсированном состоянии вещества [3]. Поэтому ответ на поставленный вопрос логично искать в теории волн.

Затруднение в распространении волн наступает при наличии в среде периодической структуры, которая может быть как статической — брэгговское отражение, так и динамической. В последнем случае периодическую структуру образует волна другой физической природы. В терминах теории волн такому наложению волн соответствует пересечение дисперсионных кривых. Поставим вопрос: какой характер может иметь это пересечение?

Для ответа на него применим качественный анализ. Поток квазичастиц принято рассматривать в виде плоской волны [2, 3]. Зафиксируем направление волнового вектора. Тогда волновой вектор можно заменить волновым числом. Процессы релаксации учитывать не будем. Пересечение дисперсионных кривых следует искать на плоскости с координатами (волновое число, круговая частота). При решении задачи с применением квантовой механики результатом обычно является расталкивание дисперсионных кривых в области ожидаемого пересечения. После включения релаксационных процессов возможны изменения в области пересечения. В связи с этим существуют два пути проведения анализа этой области.

В первом варианте принимают утверждение о вещественности волнового числа. Тогда круговая частота имеет мнимую часть. В этом случае изучают процесс релаксации элементарных возбуждений и определяют декремент затухания.

Во втором варианте изучают процесс стационарного распространения элементарных возбуждений или стационарный поток квазичастиц. Согласно теории волн, рассматривают распространение возмущений в среде с диссипацией. При фиксированном направлении распространения волны волновой вектор становится комплексным волновым числом, а круговая частота задается вещественным числом. При этом условие расталкивания больше не является единственным в области сближения дисперсионных кривых, и они могут пересекаться.

Для дальнейшего исследования случаев пересечения дисперсионных кривых рационально ввести общее определение пересечения спектральных кривых. Спектральным кроссовером (СК) ^-типа (или кратко ^-БРСЯ) назовем локальное (точечное) пересечение N дисперсионных кривых, соответствующих волнам различной физической природы. Если дисперсионные кривые рассматривать как различные состояния физической системы, то их пересечение является случаем вырождения и параметр N определяет кратность вырождения.

В среде с диссипацией возможна еще одна разновидность СК, которая связана с расслоением пространства волновых векторов на два

подпространства, а именно: подпространство вещественных частей волновых векторов и подпространство мнимых частей волновых векторов. При равенстве мнимых частей волновых векторов возможно равенство по модулю вещественных частей волновых векторов, т. е. имеет место обычное пересечение в подпространстве мнимых частей волновых чисел и зеркальное пересечение в подпространстве вещественных частей волновых чисел. Такое пересечение назовем СК N/2 типа (кратко ^2-8РСЯ) или зеркальным СК (ЗСК). Обозначение N/2 фиксирует факт половинного пересечения в пространстве комплексных волновых чисел.

Согласно изложенным выше доводам, СК должен проявляться в изменении отражения волн, порождающих в веществе эквизатухаю-щие когерентные волны. В связи с этим возникает специальная задача исследования изменения коэффициента отражения в окрестности точек ^БРСЯ или Ж2-БРСЯ как новая задача для среды с диссипацией. Следовательно, можно утверждать, что диссипация в системе связанных волн может приводить к принципиально отличным волновым эффектам. Поэтому необходимо определить способы введения диссипации в уравнения системы связанных волн.

Диссипативный фактор для волн в среде может быть введен через уравнение движения для какой-либо векторной величины, которую условно назовем вектором смещения. В качестве одного из примеров может служить уравнение движения плотности дипольного магнитного момента в форме Ландау — Лифшица с релаксационным слагаемым. Другим примером введения диссипации является включение интеграла столкновений в кинетическое уравнение для неравновесной части функции распределения электронов проводимости.

Системное изучение N-БРСЯ и ^2-БРСЯ до исследований автора данной работы не проводилось. Для полноты картины приведем анализ всех работ, в которых затрагивались отдельные вопросы, связанные с N-БРСЯ и Ж2-БРСЯ [4, 6—13]. Раздельно проанализируем результаты работ по ^ЭРСЯ и М2-8РСЯ.

Во всех известных автору работах по N-БРСЯ [4, 6—9,12] параметр N не превосходил двух. В этих трудах диэлектрическая функция не имела вещественной части, исследования были посвящены металлическим ферромагнетикам. В работе [8] диэлектрическая проницаемость рассматривалась как малое возмущение; в [12] было учтено влияние частотной дисперсии проводимости на СК.

Менее изучен случай ^2-БРСЯ [10, 11, 13]. Во всех известных автору работах параметр N не превосходил двух. В них рассматривался случай только нормального скин-эффекта. В области ЗСК [13] исследован случай магнитного полупроводника и найдены условия наблюдения отрицательного показателя преломления.

В связи с изложенным целью данной работы является изучение N -БРСЯ в ферромагнетике с комплексной диэлектрической функцией, т.е. исследование ^БРСЯ не только в металлических ферромагнетиках, но и в магнитных полупроводниках и магнитных диэлектриках. Рассмотрим систему уравнений Максвелла

_ __ 4п . 1дБ1

еьруУрНи = — ]1 +---—;

с с дЬ

Т7 V 1 дВ1

е1/[У,у.рЕи = - - —; (1)

V; А = 0;

V; В; = 0,

где Ни — напряженность магнитного поля; V; — вектор-оператор Гамильтона; е;ри — единичный антисимметричный тензор; 3 — вектор плотности тока; с — скорость света в вакууме; — вектор электрического смещения; Е; — напряженность электрического поля; В; — индукция магнитного поля. (При записи уравнений Максвелла использована тензорная алгебра.)

Специализируем систему (1) для решения поставленной задачи. Считаем, что все полевые векторы имеют следующую зависимость от координат и времени:

гс ехр(1(к;х; — шЬ)), I = (х, у, г),

где к — волновой вектор; ш — круговая частота.

Предположим, что скин-эффект является нормальным, тогда плотность тока локальна и имеем первое материальное уравнение

31 = аI pEp, (2)

где а;р — тензор проводимости. Предположим также, что связь векторов В и Н является линейной, и имеем второе материальное уравнение

В1 = Щ UHU, (3)

где щи — тензор комплексной магнитной проницаемости. Объединяя слагаемые, стоящие справа в первой строке системы (1), и используя равенство (2), получаем тензор комплексной диэлектрической проницаемости

€ р = е\р + ге"р, (4)

где е'1р и е'{р — вещественная и мнимая компоненты тензора. Полагаем, что имеет место следующее представление мнимой компоненты тензора диэлектрической проницаемости:

е'1р = ^. (5)

1 ш

Используем тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, обладающие цилиндрической симметрией. Совместим ось г, которая выбрана как ось симметрии, с направлением намагничивания. При решении поставленной задачи используем циркулярные компоненты тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости

. 4па±

е± = е± + г-,

ш (6)

= + .

Для конкретных расчетов выбрана гиротропная среда с изотропией проводимости и диэлектрической проницаемости в плоскости, перпендикулярной оси г. В этом случае дисперсионное уравнение имеет вид

£(к,ш) = к2 - = 0, (7)

7 Ш

где к0 = —, знаками ± помечены волны различных круговых поляри-

с

заций. Если выполнено условие е'± = 0, то полученное дисперсионное уравнение принимает известную форму [8, 9]. Для величины использована известная формула [11, 12]

= 1 + п - 1 ± П - гаоП + (а/4п)к2, (8)

Но в и

где п =--1--; Н0 — напряженность статического магнитного

4пМв 4п

поля, приложенного к ферромагнетику; М8 — намагниченность насыщения; в — безразмерная постоянная одноосной магнитной анизотро-

ш

пии в уравнении Ландау — Лифшица; П = -—; а0 — параметр

4п7Мв

релаксации Гильберта; а — параметр неоднородного обмена в уравнении Ландау — Лифшица. Величина а± взята равной ее статическому значению а, а величина е'± выбрана в качестве числового параметра, который может зависеть от частоты ш, но не зависит от волнового числа, т.е. пространственная дисперсия у этого параметра отсутствует. После подстановки формулы (8) для величины в уравнение (7) получено искомое дисперсионное уравнение, которое представлено в обобщенной форме

Дш,к) = (9)

£о(ш, к)

причем предполагалось, что знаменатель в области ^-спектрального кроссовера не имеет нулей. Для выполнения анализа уравнения (9) выполнен переход к нормированному волновому числу с помощью

преобразования к2 ^ — К2. Поэтому формула для числителя уравне-

а

p = ±,A = - = * = 4,

' V c ' yMs ' ±

ния (9) имела следующий вид [5, 8, 9] :

Б"(П,К ) = К4 + аК + а2 = 0, (10)

а" = С — 1 — Ае, а" = — (а0 + АвП), а'2 = —Л(Се + а0вП2), а'2 = —А(Св — аое)П, С = п + РП, ( 4ъ1Ы3

4п

а!^ = Яе(а^),а'- = 1ш(а^),] = 1, 2.

Условия наблюдения 2-спектрального кроссовера (2-СК) определяет система уравнений

(а")2 — К)2 — 4а2 = 0,

V " \ " 2 (11)

а[а" — 2а2 = 0. ^ ;

Используя формулы (10) для коэффициентов уравнения, получаем выражение для частоты 2-СК

А2(8 — (а0— Ая)е)'+

\ 1 /2

+ А(ао — Ав)(ао + А(в — е)) . (12)

При выполнении условия (12) безразмерный параметр С зафиксирован:

С = ао + А(в,— е), (13)

а0 — Ав

поэтому формула для нормированной напряженности статического магнитного поля, приложенного к ферромагнетику, имеет вид

= ао + А(вл — е) — в — Р^. (14)

4жШ3 ао — Ав 4п ® V 7

Следовательно, для волн различных круговых поляризаций 2-СК будет наблюдаться при разных значениях напряженности статического магнитного поля, приложенного к ферромагнетику. При обращении в нуль вещественной части диэлектрической функции, т.е. при е = 0, формулы (12) и (14) переходят в формулы, полученные в работах [8, 9].

Формулы (12)—(14) получены при допущении, что ферромагнетик однородно намагничен до насыщения, т. е. выполнено условие

> 1, (15)

которое соответствует результатам наблюдения рассеяния медленных нейтронов в ферромагнетиках [14].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц. - М.: Наука, 1988. - 272 с.

2. П а й н с Д. Элементарные возбуждения в твердых телах. - М.: Мир, 1965. -382 с.

3. БрандтН. Б., КульбачинскийВ. А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 632 с.

4. A m e n t W. S., R a d o G. T. Electromagnetic effects of spin wave resonance in ferromagnetic metals // Phys. Rev. - 1955. - Vol. 97, no. 4. - P. 1558-1569.

5. S o o h o o R. F. General spin-wave dispersion relations // Phys. Rev. - 1960. -Vol. 120, no. 4. - P. 1978-1992.

6. P a 11 o n C. E. Classical theory of spin-wave dispersion for ferromagnetic metals // Czech. J. Phys. - 1976. - B26 - P. 925-935.

7. FraitovaD. An analytical theory of FMR in bulk metals (parallel configuration) I. Dispersion relations // Phys. Stat. Sol. (b). - 1983. - Vol. 120. - P. 341-348.

8. Юрасов Н. И. К теории экстремумов прозрачности проводящих ферромагнетиков в области // ФМР. - 1983. - 18 с. (Деп. ВИНИТИ. № 4667-83).

9. F r a i t o v a D. On the analytical FMR theory in the normal configuration // Phys. Stat. Sol. (b). - 1995. - Vol. 187. - P. 217-224.

10. К а г а н о в М. И., Я н к е л е в и ч Р. П. Особенности распространения электромагнитных волн в гиро-анизотропных средах // ФТТ. - 1968. - Т. 10, № 9. -С. 2771-2777.

11. Юрасов Н. И. Зеркальный спектральный кроссовер в намагниченном проводнике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2004. -№4 (15). - С. 124-126.

12. Ю р а с о в Н. И. Влияние частотной дисперсии проводимости на зеркальный спектральный кроссовер в намагниченном проводнике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2005. - № 1 (16). - С. 67-72.

13. Юрасов Н. И. Отрицательный показатель преломления в магнитных полупроводниках // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. -2011. - № 2 (41). - С. 121-124.

14. И с с л е д о в а н и е субмикроскопических магнитных неоднородностей ферромагнетиков помощью холодных нейтронов / С.П. Кузнецов, И.В. Мешков, А.Д. Перекрестенко, А.В. Шелагин // КСФ. - 1989. - № 8. - С. 3-5.

Статья поступила в редакцию 05.07.2012