Условия образования динамических сверхструктур наспиновых волнах в намагниченном ферромагнитном проводнике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 548.537.611

Н. И. Юрасов

УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВЕРХСТРУКТУР НА СПИНОВЫХ ВОЛНАХ В НАМАГНИЧЕННОМ ФЕРРОМАГНИТНОМ ПРОВОДНИКЕ

Для ферромагнитного проводника в геометрии Фарадея найдено условие образования спиновых волн или волн намагниченности с одинаковым пространственным затуханием, при дополнении которого условием кратности пространственных частот получены условия образования динамических сверхструктур. Задача решена для волн, имеющих одинаковую круговую поляризацию. Отдельно рассмотрены волны с резонансной и нерезонансной поляризациями и найдено, что искомое условие имеет различные формы. Приведены числовые оценки для ферромагнитных металлов железа, никеля и кобальта.

В стандартной электродинамической модели ферромагнитного проводника для волн намагниченности Ml, l = x, y, z, применяются уравнения Максвелла и линеаризованное уравнение Ландау-Лифшица (см. [1-3]). Для этой модели авторами работ [1-3] была найдена особенность дисперсионного уравнения D(u,kl) = 0, где ш/(2п) — частота и kl — комплексный волновой вектор, соответствующая пересечению ветвей колебаний намагниченности, т. е. равенству kil = k2l, и которая была названа кроссовером [1]. В работах [4, 5] для этой особенности спектра спиновых волн был использован термин "спектральный кроссовер" (СК), более точно соответствующий переводу английского слова crossover — пересечение. Спектральный кроссовер имеет аналог, связанный с расслоением пространства комплексных волновых векторов kl на подпространства вещественных kl и комплексных kf векторов, так как kl = kl + ikf, и возможностью совместного выполнения условий k'll = -k'2l и k![} = [4, 5]. В прозрачной среде этой особенности спектра соответствует зеркальное пересечение [6]. Поэтому она была названа в работе [4] зеркальным спектральным кроссовером (ЗСК). Общей основой существования СК и ЗСК являются волны или моды (волны, существующие только внутри конденсированной среды или внутри резонатора), имеющие равное пространственное затухание. Целью настоящей работы является получение условия образования таких волн в геометрии Фарадея для ферромагнитного проводника на плоскости Q, п.

Введем обозначения: п = H/(4nMs), H — напряженность внешнего статического магнитного поля, приложенного к ферромагнетику,

Ms — модуль намагниченности насыщения, Q = ш/ш0, ш0 = 4njMs, Y — резонансное значение магнитомеханического отношения.

Для геометрии Фарадея выполнено условие kl M0i = ±kM0, где Moi — статическая составляющая намагниченности. После выбора системы координат, такой, чтобы выполнялось условие ki = (0,0, h) комплексный волновой вектор становится комплексным волновым числом. В работах [2, 3] исследован случай, когда проводимость намагниченного металла при переменном токе о± (знаку "—" соответствует резонансная круговая поляризация, а знаку "+" — нерезонансная круговая поляризация) равна своему статическому значению в размагниченном состоянии о, т. е. является скалярной константой. Было показано, что СК соответствует частота колебаний намагниченности, определяемая в наших обозначениях формулой

п± = ïL = (1)

Шо s(l - (z/0/s))2'

где v0 = аош0/с2, а — постоянная неоднородного обменного взаимодействия из уравнения Ландау-Лифшица, с — скорость света в вакууме, s = 4пАLL/w0 , ALL — параметр релаксации Ландау-Лифшица. При этом напряженность статического магнитного поля определяется формулой

4nMs 1 - (V0/s)

Для достижения поставленных целей было необходимо выполнить анализ дисперсионного уравнения. Важнейшим элементом дисперсионного уравнения является высокочастотная магнитная проницаемость. В геометрии Фарадея она определяется формулой [2, 3]

1

¿t± = 1 +

П - 1 ± П - гвП + (ак2/(4п))' Тогда дисперсионное уравнение имеет вид [4]

= 2г^0"2ПЕ± ,

где 80 = о/(2паш0)1/2, £± = а±/а. Для высокочастотных компонент магнитной проницаемости и проводимости а± было использовано представление через продольные и поперечные компоненты соответствующих тензоров 9± = 9ХХ ^ гвху, где х, у — декартовы координаты на плоскости, перпендикулярной направлению намагничивания проводника. Предполагалось, что а± не является функцией от к; в ферромагнитном проводнике, т. е. вся пространственная дисперсия сосредоточена в высокочастотной магнитной проницаемости. Поэтому

для решения дисперсионного уравнения необходимо задать вид зависимости ст± = ст±(П, п, Мв). При моделировании этой зависимости была использована следующая функция:

± 1 ± гфн ~ гф' ^

где ф = шт, т — время релаксации импульса носителей тока, фн = = а(Я0Н + Я34пМ3), Д0, Л — константы нормального и аномального эффекта Холла.

Для учета эффекта магнитосопротивления необходимо использовать зависимость, более сложную, чем формула (3). Эта зависимость получается с помощью аналога гидродинамического приближения, использованного в работе [7] для описания взаимодействия спиновых волн с электронами проводимости. Эта формула имеет вид

а± = ^Т±гО~Н7

3

где

а — е П'>Т'> () — _ ]_ _|_

3 ш3- (1 — гштз- )' 3 ш3- с(1 — гштз- )' 3 Н'

е — модуль заряда электрона, п3, т3 и т3 — соответственно концентрация, время релаксации импульса и эффективная масса носителей тока ]-го типа, Т3 = (—1, +1) = (электрон, дырка), в3 — параметр, учитывающий спин-орбитальное взаимодействие.

Однако, предполагая, что все т3 равны т при ] = 1, 2 и все п3 равны п, а также что Т1 = —1, Т2 = +1, можно получить формулу, аналогичную (3). Последние предположения соответствуют компенсированным металлам, к которым относятся железо и никель. Поэтому формула (3) может служить первым приближением для качественного анализа рассматриваемого эффекта.

После подстановки формул, определяющих и а±, в дисперсионное уравнение и использования обозначения Ш = к80 было получено уравнение

(1 + гф±)БоШ4 + ((1 + гф±)(п — 1 ± П — г^) —

— 2гБ0 2 — 2г(п + — = 0, (4)

где ф± = ±фн — ф, Б0 = (а/(4п^2)) = и0/2. Условию СК соответствует равенство нулю дискриминанта этого уравнения.

Уравнение (4) является биквадратным относительно к или Ж, т. е. имеет решения вида ±к±1, ±к±2, поэтому достаточно получить искомые условия для решений вида к±1, к±2. Чтобы упростить анализ уравнения (4), оно было представлено в канонической форме

Ж4 + 0,1 Ж2 + ао = 0, (5)

где

а\ = — [7] — 1 ± \1 — is\l — г\ -—

vo \ V1 +

а0 =

4П sH + ± П)

^о 1 + г^±

Искалось условие, связывающее коэффициенты а1, а0, при котором возможно представление комплексного волнового числа в следующей форме:

Ж = ш'3 + гЖо, ; = 1, 2. (6)

Подставляя равенство (6) в уравнение (5), после ряда алгебраических преобразований получим искомый результат:

«)2 ~ a'Mf -\(а>1Г = 0.

(7)

В процессе вывода формулы (7) была получена формула, опреде-

ляющая W0:

и^-f,

(8)

где

G =

1п' п" — п"

2aiai ao,

1

F = Q + ( Q2 + -G2

1/2

Формула (7) выведена при условии выполнения неравенства Ж02 > 0, которое означает, что при распространении волны в поглощающей среде ее амплитуда уменьшается. Множитель ^ всегда положителен, поэтому важны знаки величин а'/ и С. В обычной электродинамической модели ферромагнитного проводника параметр ф± равен нулю и а" < 0, т. е. знак Ж02 определяется знаком величины С. Использование формул для коэффициентов уравнения (5) приводит в этом случае к неравенству

П ± П < 1 +

2 vq/S 1 - vo/s'

(9)

которое задает достаточно большую область для волн, имеющих резонансную поляризацию, так как для и 8 имеем оценки и 10-4 [5] и и 2 ■ 10-3 ...3 ■ 10-2 [7].

Условие (9) в сочетании с условием устойчивого намагничивания П > 1 выделяет на плоскости П, п область, заключенную между прямыми

^ 2^0 /в

Т] = П + 1 + --И 7] = 1

1 — ^0/8

и расположенную в первом квадранте, которая является физической областью. Для волн, имеющих нерезонансную поляризацию, физическая область мала и расположена внутри равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными Ь = 2(^0/в)/(1 — /в). Вершина прямого угла этого треугольника расположена на плоскости П, п в точке с координатами (0, 1). Две другие вершины имеют координаты (0, 1 + Ь) и (Ь, 1).

Теперь перейдем к определению особых линий, задаваемых уравнением (7) на плоскости П, п. При продолжении анализа стандартной модели были найдены уравнения, соответствующие резонансной поляризации:

Прямые, заданные уравнениями (10), образуют две ветви. Поскольку обычно выполнено условие 8 > , то формулы (10) удобно представить в более компактном виде:

ч=(1±^)п. (1.)

Для железа, кобальта и никеля были получены следующие оценки параметра (в2 — V2)/(2^): 0,048... 0,050, 0,042... 0,044 и 3,2... 3,6 соответственно. Поэтому на плоскости П, п в физической области линия имеет две ветви для железа и кобальта и одну ветвь для никеля. Начальные точки этих ветвей соответствуют условию п =1 и их координаты на оси П равны

2 ,,2 \ -1

S — V

"'■'П^-гйгМ " (12)

Верхняя ветвь имеет верхнюю границу, определяемую пересечением с прямой п = П + 1 + 2(^/в)/(1 — ^/в), причем граница задана

условием (9). Точке пересечения соответствует координата Пт, определяемая формулой

П =___(13)

Эта частота совпадает с частотой СК (см. формулу (1)).

Исследованной линии на плоскости П, п соответствуют спиновые волны с равным пространственным затуханием. Если для них выполняется дополнительное условие

N2^ = N1 к2, или N2 Ш1 = N1Ш2, (14)

где N, N — целые числа, то при сложении таких спиновых волн образуется периодическая динамическая структура, так как происходит суммирование волн с кратными пространственными частотами. При задании чисел N, N получается точка, принадлежащая линии, исследованной выше, так как между величинами Ш3- и Ш0 имеется связь:

= Я/М1/2М щ = _^+(1/2К (15)

откуда следует дополнительное условие

iVi _ 2F1'2 - а'[ ~N2 ~ ~2Fl/2 + a

//'

(16)

которое определяет вместе с уравнением (10) точку на плоскости П, п. Если целые числа N и N принимают допустимые значения из физической области, то получим волновые числа всех пар спиновых волн или спектр пар спиновых мод в намагниченном ферромагнитном проводнике. Первое упоминание о таких спиновых модах, названных эквизатухаюшими интерферирующими модами, имеется в работе [8].

Используя уравнение (4) без ограничений, связанных со стандартной электродинамической моделью, можно учесть влияние частотной дисперсии проводимости, а также эффекта Холла, как это сделано в работе [5]. Такая задача будет рассмотрена отдельно.

Выводы. 1. Найдены условия образования динамических сверхструктур в намагниченном ферромагнитном проводнике.

2. Проведен анализ полученных условий для стандартной электродинамической модели ферромагнитного проводника.

3. Выполнен численный анализ условий равного затухания спиновых мод для ферромагнитных металлов группы железа, и выделены две группы: железо-кобальт и никель.

4. Указаны возможности исследования динамических сверхструктур на спиновых волнах за пределами стандартной модели.

5. Выведены уравнения, определяющие спектр спиновых мод, образующих динамические сверхструктуры.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. P a 11 o n С. Е. Classical theory of spin-wave dispersion for ferromagnetic metals // Czech. J. Phys. - 1976. - V. B26. - P. 925-935.

2. Ю р а с о в Н. И. К теории экстремумов прозрачности проводящих ферромагнетиков в области ФМР / Деп. в ВИНИТИ 28 авг. 1983, № 4667-83. -18 с.

3. F r a i 1 o v a D. On the analytical FMR theory in the normal configuration // Phys. Stat. Sol. (b). - 1995. - V. 187. - P. 217-224.

4. Ю р а с о в Н. И. Зеркальный спектральный кроссовер в намагниченном проводнике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". -2004.-№ 4.-С. 124-126.

5. Ю р а с о в Н. И. Влияние частотной дисперсии проводимости на зеркальный спектральный кроссовер в намагниченном проводнике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2005. - № 1. -С. 67-72.

6. Каганов М. И., Янкелевич Р. И. Особенности распространения электромагнитных волн в гиро-анизотропных средах // ФТТ. - 1968. - Т. 10, № 9. - C. 2771-2777.

7. Г у р е в и ч А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. - М.: Наука, 1994. - 464 с.

8. Ю р а с о в Н. И. Квазирезонансное возбуждение эквизатухающих интерферирующих мод и прозрачность ферромагнитного металла при нормальном и аномальном скин-эффектах: Дис. ...канд. физ.-мат. наук. - М.: МГУ, 1985. - 125 с.

Статья поступила в редакцию 22.04.2005

Николай Ильич Юрасов родился в 1943 г., окончил в 1966 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана и в 1974 г. МИФИ. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 70 научных работ в области физики конденсированного состояния: магнитных и кинетических явлений, интерференционных эффектов, квантовой гравитации и устойчивости тяжелых ядер.

N.I. Yurasov (b. 1943) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1966. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of over 70 publications in the field of physics of condensed state: magnetic and kinetic phenomena, interferometry effects, quantum gravitation and heavy nuclei stability.