CC BY
29
УДК 621.391
05.00.00 Технические науки
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ С МИНИМАЛЬНЫМ (ЧАСТОТНЫМ) СДВИГОМ И СИНУСОИДАЛЬНЫМ СКРУГЛЕНИЕМ ИМПУЛЬСА
UDC 621.391 Technical sciences
SPECTRAL CHARACTERISTICS OF THE SINUSOIDAL MINIMUM (FREQUENCY) SHIFT-KEYING
Приходько Андрей Иванович
д.т.н., профессор кафедры оптоэлектроники
prikhodkoai@mail.ru
Тимбай Никита Аркадьевич
магистрант физико-технического факультета
b777bb1@mail.ru
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», 350040, ул. Ставропольская, 149, Краснодар, Россия
Рассмотрены сигналы с минимальным (частотным) сдвигом и синусоидальным скруглением импульса (СММС), форма которого зависит от параметра ц. Получено выражение для спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов с СММС при различных значениях параметра ц. Представлены результаты расчетов СПМ и эффективной ширины спектра сигналов по различным критериям
Prikhod'ko Andrey Ivanovich
Dr.Sci.Tech., professor of chair of optoelectronics
prikhodkoai@mail.ru
Timbay Nikita Arkadevich
Undergraduate student of Faculty of Physics and
Technology
b777bb1@mail.ru
Kuban State University
350040, 149 Stavropolskaya St., Krasnodar, Russia
Signals with the sinusoidal minimum (frequency) shift-keying (SMSK) which impulse form depends on parameter ^ are considered. Expression for power spectral density (PSD) of SMSK signals at various values of parameter ^ is obtained. Results of PSD calculations and effective bandwidth of signals by various criteria are presented
Ключевые слова: ЧАСТОТНАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ С НЕПРЕРЫВНОЙ ФАЗОЙ, МАНИПУЛЯЦИЯ МИНИМАЛЬНОГО СДВИГА, МАНИПУЛЯЦИЯ МИНИМАЛЬНОГО СДВИГА С СИНУСОИДАЛЬНЫМ СКРУГЛЕНИЕМ, КВАДРАТУРНАЯ ФАЗОВАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ СО СДВИГОМ, СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ, ЭФФЕКТИВНАЯ ШИРИНА СПЕКТРА
Рок 10.21515/1990-4665-132-045
Keywords: CONTINUOUS-PHASE FREQUENCY SHIFT-KEYING, MINIMUM SHIFT-KEYING, SINUSOIDAL MINIMUM SHIFT-KEYING, OFFSET QUADRATURE PHASE SHIFT-KEYING, POWER SPECTRAL DENSITY, EFFECTIVE BANDWIDTH
Частотно-манипулированные сигналы с непрерывной мгновенной начальной фазой (ЧМНФ) находят широкое применение в современных цифровых системах связи, обладающих высокой спектральной и энергетической эффективностью [1, 2, 5, 6]. Наибольший практический интерес среди этого класса сигналов представляют сигналы с ЧМНФ и индексом модуляции 0,5. Такой вид модуляции называется модуляцией минимального (частотного) сдвига (ММС). Важной модификацией сигналов с ММС
являются сигналы с ЧМНФ и синусоидальным скруглением импульса (СММС).
Выражение для спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов с ММС приведено, например, в [1, 2, 5, 6]. Формулы, определяющие СПМ сигналов с СММС, получены в [5].
Цель работы: рассмотреть сигналы с СММС общего вида, у которых форма манипулирующего импульса зависит от неотрицательного параметра ^ (при ^ = 0 они вырождаются в сигналы с ММС, а при ^ = 0,25 - в сигналы с СММС), получить выражения для СПМ этих сигналов, провести расчет СПМ при различных ^ и оценить эффективную ширину спектра сигналов по различным критериям.
Сигнал с ЧМНФ определяется выражением [5, 6]
s(t)
V
2 Е.
сов[2/ + ф(^ а) + Ф0 ], кТь £ t £ (к + 1)ТЬ (1)
т и
ь
где Еь и Ть - энергия и длительность элемента сигнала; /с и ф0 - частота и начальная фаза несущего колебания; {ак} = { ...,а_1,а0,а1,...} - последовательность статистически независимых одинаково распределенных двоичных символов, каждый элемент которой с одинаковой вероятностью принимает значения +1 и -1. Передаваемая информация заключена в фазе
¥ t
ф^, а) = 2р ^ ак | (т- кТь ут, (2)
к=_¥ -¥
где И = А/Ть - индекс модуляции А/ - разнос частот; g(t) - частотный импульс, отражающий форму изменения частоты сигнала.
В случае, когда в (2) И = 0,5 и частотный импульс имеет прямоугольную форму
1
g ^) =
при 0 £ t £ ть,
2Ть (3)
0 при t < 0, t > Ть,
сигнал (1) представляет собой сигнал с ММС. В случае, когда в (2) И = 0,5 и частотный импульс имеет форму «приподнятого косинуса»
1
g ($) =
2Т
1 _ СОБ
V Ть )
при 0 £ t £ Ть
(4)
0 при t < 0,t > Ть,
сигнал (1) представляет собой сигнал с СММС.
Изменение фазы сигнала можно определить формой фазового импульса q(t), который связан с частотным импульсом g ^) очевидным соотношением
) = | gШт.
—¥
В этом случае последовательность фаз (2) принимает вид
¥
ф^, а) = 2р £ а^ - кТь),
(5)
(6)
к=_¥
где согласно (3)-(5) фазовые импульсы для сигналов с ММС и СММС соответственно составляют
g (t) =
0 при t < 0, t
при 0 £ t £ Ть
2Т
(7)
2
при t > Ть
и
0
2Ть
1 2
Бт (2Р / Ть)
2р / Т
при t < 0, при 0 £ t £ Ть,
при t > Ть.
1
1
г
В работах [5, 6] показано, что сигналы с ММС и СММС можно представить в виде сигналов с квадратурной фазовой манипуляцией со сдвигом (офсетной квадратурной фазовой манипуляцией):
^) =
2 Би
[I(г)с(г)соБ2р/сг + 0(г))ът2р/сг],
(9)
где
I(г) = £ (г - 2кТь);
к=-¥
б(г) = £ «2к+1 8Я (г - 2кТъ)
(10)
(11)
к=-¥
- манипулирующие последовательности в синфазном и квадратурном канале соответственно;
1 при |г| £ Тъ, 0 при 1г| > Тъ;
[1 при 0 £ г £ 2Тъ,
£с (г)
(12)
^^ (г) =
(13)
0 при г < 0, г > 2Тъ
- прямоугольные импульсы единичной амплитуды и длительности 2Тъ; а2к и а2к+1 - символы двоичной полярной фазокодирующей последовательности {ак} с четными и нечетными номерами, связанные с символами последовательности {ак} в (6) соотношением а к =-а2ка2 к+1, а скругляющие функции с(г) и s(г) определяются выражениями [5]
рг
с(г) = соб
и
Б(г) = Бт
2Т
рг
Ж
(14)
(15)
- для сигнала с ММС;
c(t) = cos
и
s(t) = sin
r pt 1 . ptA ---Sin—
V 2Tb 4 Tb J
r pt 1 . ptA ---Sin —
V 2Tb 4 Tb J
(17)
- для сигнала с СММС.
Рассмотрим наиболее общий случай сигналов с СММС, представляя функции е(1;) и ) в виде
c(t) = cos
pt pt --m sin—
V 2Tb Tb J
(18)
и
s(t) = sin
с + Л pt pt --m sin—
V 2Tb Tb J
(19)
где ^ - неотрицательный параметр. При ^ = 0 сигналы (18), (19) вырождаются в сигналы (14), (15) для ММС, при ^ = 0,25 - в функции (16), (17) для СММС. При т> 0,25 скругленные импульсы (18), (19) внутри интервалов длительности 2ТЬ могут принимать отрицательные значения, что нарушает условие непрерывности мгновенной фазы сигнала в квадратурных каналах.
Применяя методику [5], получаем, что в соответствии с (18) и (19) СПМ комплексной огибающей сигнала (9) в общем случае определяется выражением
G (f) = 2 Eb
J o(m) A(f) + 2£ j2 n (m) b2 n (f) + 2^ j2n-1(m) b2 nM)
(20)
n=1 n=1
где Jk (x) - функция Бесселя k-го порядка аргумента x, а соответствующие функции составляют
sin 2pfTb
A( f) = 2-
2pfTb
(21)
2
А( / У
2
А
/ +
47
+ А
ъ
/ ■
47
ъ
4 соб2р/тъ
ъ
А2П (/) = 2
А
/+
2п
л
г
А2п-1(/)
2
А
/ +
4Тъ у 2п -1
+ А
V
Л /
/
р 1 - (4/7)
2п
2
47
47
+ А
ъ
/
ъ У
2п -1
В2п (/) = 2
А
2п
/+
47
+ А
2п
ъ У
/
47 1
ъ У
Л
47
ъУ
В2п-1(/):
2
А2п-1
/ +
47
+ А2 п-1
ъУ
/
47
ъУ
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
При ^ = 0, когда J0(0) = 1 и Jk(0) = 0 для к > 0, согласно (21) и (22) формула (20) сводится к известному выражению для СПМ комплексной огибающей сигнала с ММС:
2
. (27)
о{/) =32 Еъ
р
соб2р/Тъ
1 - (4/Тъ )2
Точность расчета СПМ по формулам (20)-(26) зависит от числа N учитываемых членов рядов в (20):
N N
GN (/) = 2 Еъ
J0 (т)А(/) + 2£J2п (т)в2п (/) + 2£J2п-1 (т)в2п-1 (/) . (28)
п=1 п=1 _
Для оценки погрешности расчета воспользуемся представлением функции Бесселя в виде [4]
Jk (т)
= ч 2 у
' тЛк+2
\2у
г т лк+4
\2у
г т лк+6
\2у
+ К ,
0!к! 1! (к +1)! 2!(к + 2)! 3!(к + 3)! где к! = 1 • 2 • к • к; 0! = 1. Из представления (29) вытекает неравенство
(29)
К (т)|
£
т
Лк
к!
1
1
1
1
1
1
1
1
согласно которому
\к
± к (т) £ х(т/2 >
к=М к =М
к!
причем из разложения экспоненты в степенной ряд следует, что
#/2
(т / 2)к (т /2)М
к=М к! М! ' 7
В соответствии с (21)-(26) величины \Л0( Г )| \В2п (Г)| и |В2п-1( Г)| не могут
быть больше единицы. Поэтому из формул (20), (28) и (30) следует, что верхняя граница ошибки расчета при ^-членном приближении ограничена неравенством
( /2 )2 N+1
е„ = \в(1) - GN (Г)| £ 2 (|2^+1)Г^ (31)
В силу того, что односторонняя СПМ О + (Г) вещественного радиосигнала (9) связана с СПМ G( Г) его комплексной огибающей простым соотношением [5, 6]
о + (Г)=2 О(Г - Гс), (32)
их эффективная ширина спектра одинакова. Поэтому эффективную ширину спектра сигнала Р можно оценивать по комплексной огибающей с использованием следующих критериев [3]:
- ширина полосы по половинному уровню - интервал Р, на котором основной лепесток СПМ комплексной огибающей сигнала уменьшается вдвое (на 3 дБ) относительно максимального значения:
(33)
тах
- ширина полосы прямоугольного эквивалента (шумовая полоса) -ширина полосы Р комплексной огибающей воображаемого сигнала, име-
ющего прямоугольную СПМ с уровнем Gmax и такую же среднюю мощность P = FGmax, что и комплексная огибающая рассматриваемого сигнала:
P 1 ¥
F = — = — J G(f )df; (34)
max max -¥
- ширина полосы по первому нулю - ширина полосы F основного лепестка СПМ, в пределах которого сосредоточена основная доля средней мощности комплексной огибающей сигнала;
- ширина полосы F, в пределах которой сосредоточена заданная часть g (обычно 99%) средней мощности комплексной огибающей сигнала:
P(F) 1 F/2
J G(f)df = g; (35)
PP
- F/2
- ширина полосы по уровню g дБ - ширина полосы F, за пределами которой боковые лепестки СПМ комплексной огибающей Обок (f) не превышают заданный уровень (обычно -35 дБ или -50 дБ) относительно максимального значения Gmax :
max
10ig F / 2) = g, дБ; (36)
max
- ширина полосы, вычисляемая с помощью метода моментов и представляющая собой величину среднего квадратического отклонения относительно начальной частоты f = 0 :
F
P J f 2G(f )df . (37)
Рассчитанные по формулам (20)-(28) графики СПМ комплексных огибающих сигналов с СММС (в децибелах) при N = 10 и различных значениях ^ представлены на рисунке для f > 0 .
й = 0(£лг<0)
ц = 0.1 (едг < 1.9623е-47) " ц = 0.25 (е <4.8093е-39)
Рисунок - Графики СПМ комплексных огибающих сигналов с СММС
В таблице представлены результаты расчетов эффективной ширины спектра сигналов с СММС по формулам (33)-(37).
Таблица - Результаты расчетов эффективной ширины спектра
Критерий оценки эффективной РТь рть
ширины спектра 7 при ^ = 0 при ^ = 0,25
1. По половинному уровню 0,59 0,70
2. Прямоугольного эквивалента 0,62 0,73
3. По первому нулю 1,50 1,72
4. По 99% мощности 1,18 2,20
5. По уровню -35 дБ 3,24 3,20
6. По уровню -50 дБ 8,18 4,71
7. По методу моментов 0,50 0,61
Расчеты показали, что при ^ = 0 сигнал с СММС в области центральной частоты /с (в основной полосе частот) имеет наиболее ком-
пактный спектр, а при увеличении отстройки Df = |f - fc\ скорость спада
внеполосных излучений пропорциональна 1 / А/4 (составляет 40 дБ на декаду или 12 дБ на октаву). По мере роста параметра ^ основной лепесток спектра расширяется, но при этом скорость спада внеполосных излучений
увеличивается и в предельном случае при ^ = 0,25 пропорциональна 1 / А/6 (составляет 60 дБ на декаду или 24 дБ на октаву).
Литература
1. Варгаузин В. А., Цикин И. А. Методы повышения энергетической и спектральной эффективности цифровой радиосвязи. - СПб.: БХВ-Петербург, 2013. - 352 с.
2. Голдсмит А. Беспроводные коммуникации. - М.: Техносфера, 2011. - 904 с.
3. Приходько А.И. Детерминированные сигналы. - М.: Горячая линия-Телеком, 2013. - 326 с.
4. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. - М.: Наука, 1977. - 344 с.
5. Simon M.K. Bandwidth-Efficient Digital Modulation with Application to Deep-Space Communications. - Pasadena: California Institute of Technology, JPL Publication, 2001. - 229 p.
6. Xiong F. Digital Modulation Techniques. - Boston - London: Artech House, 2006.
- 1017 p.
References
1. Vargauzin V.A., Cikin I.A. Metody povyshenija jenergeticheskoj i spektral'noj jef-fektivnosti cifrovoj radiosvjazi. - SPb.: BHV-Peterburg, 2013. - 352 s.
2. Goldsmit A. Besprovodnye kommunikacii. - M.: Tehnosfera, 2011. - 904 s.
3. Prikhod'ko A.I. Determinirovannye signaly. - M.: Gorjachaja linija-Telekom, 2013.
- 326 s.
4. Janke E., Jemde F., Ljosh F. Special'nye funkcii. Formuly, grafiki, tablicy. - M.: Nauka, 1977. - 344 s.
5. Simon M.K. Bandwidth-Efficient Digital Modulation with Application to Deep-Space Communications. - Pasadena: California Institute of Technology, JPL Publication, 2001. - 229 p.
6. Xiong F. Digital Modulation Techniques. - Boston - London: Artech House, 2006.
- 1017 p.
