CC BY
2Из равенства (5), леммы 3 и определений 3 и 4 для любого c € М^ получаем цепочку
¿-(у1)=К(г1)^и1(г1)^иЦггс) = иЦугс) = и-(угс), г = ТД 7€{"Л+},
в которой все неравенства являются равенствами.
Следовательно, при каждом i € {1,2} спектры верхних сильных показателей колеблемости и верхних частот Сергеева знаков, нулей и корней уравнения аг совпадают со спектром верхней частоты Сергеева знаков уравнения аг, который в силу леммы 3 есть в точности множество X. Теоремы 1 и 2 доказаны.
Авторы приносят благодарность профессору И. Н. Сергееву за обсуждение результатов, а также доценту В. В. Быкову за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению настоящей работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения //Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 2006. 25. 249-294.
2. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № 11. 1577.
3. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия матем. 2012. 76, № 1. 149-172.
4. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. науки. 2013. 2 (119). 9-22.
5. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот // Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. науки. 2013. 3 (122). 9-17.
6. Войделевич А.С. Существование бесконечных всюду разрывных спектров верхних характеристических частот нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2015. № 3. 17-23.
7. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.
8. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 2016. 52, № 12. 1595-1609.
Поступила в редакцию 25.12.2022
УДК 517.984.5
СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА В НАКРЫТИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА
М. А. Никулин1
Изучается стационарное уравнение Шрёдингера в ограниченной двумя софокусны-ми эллипсами области и в ее накрытиях. Для собственных значений оператора Лапласа установлен порядок их зависимости от малых значений расстояния между фокусами. Вычислены и приведены коэффициенты разложения собственных значений по степеням половины фокального расстояния до второго порядка включительно.
Ключевые слова: функции Матьё, стационарное уравнение Шрёдингера, спектр оператора Лапласа, зависимость собственных значений от фокусного расстояния.
The stationary Schrodinger equation is studied in a domain bounded by two confocal ellipses and in its coverings. The order of dependence of the Laplace operator eigenvalues on
1 Никулин Михаил Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., e-mail: nikmihale@gmail.com.
Nikulin Mikhail Aleksandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
sufficiently small distance between the foci is obtained. Coefficients of the power series expansion of said eigenvalues are calculated up to and including the square of half the focal distance.
Key words: Mathieu funtions, stationary Schrodinger equation, Laplace operator spectrum, eigenvalue dependence on focal distance.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-4
1. Введение. Хорошо известно, что бильярд в ограниченной софокусными квадриками области интегрируем. Недавние работы А. Т. Фоменко и В. В. Ведюшкиной (см. [1-4], а также другие публикации этих авторов) вновь привлекли к этой теме внимание специалистов. В частности, в работе [1] изучались особенности бильярда в кольце, ограниченном софокусными эллипсами. В настоящей работе рассматривается соответствующая квантовая система, а именно мы изучаем спектр оператора Шрёдингера в этой области и в ее накрытиях. Мы получаем асимптотики собственных значений при стремящемся к нулю расстоянии между фокусами.
Заметим, что задача поиска собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа в круге с условием, что функция на границе круга равна нулю, является классической (см. [5, § 200, с. 262; 6]). Соответствующее уравнение расщепляется в полярных координатах, зависимость от угла описывается (ко)синусом, а зависимость от полярного радиуса — функцией Бесселя первого рода. В частности, собственные числа пропорциональны квадратам нулей функций Бесселя.
Аналогичная задача для эллипса расщепляется в эллиптических координатах и сводится к двум уравнениям Матьё — угловому и радиальному (необходимые сведения мы приведем в п. 3).
Такая же задача в круговом кольце, ограниченном концентрическими окружностями, расщепляется в полярных координатах и в определенном смысле аналогична задаче в диске. Отличие состоит в том, что в радиальном уравнении налагаются другие граничные условия. Поэтому в решении появится линейная комбинация функций Бесселя первого и второго рода (этот результат тоже классический, см. [5, § 207, с. 276]).
Задача в конечно-листном накрытии кругового кольца является несложным обобщением предыдущей и решается теми же методами; для полноты мы приводим вывод собственных функций и собственных значений. Для накрытия кратности р = 1 результаты совпадают с классическими (для кругового кольца).
Наш основной результат касается конечно-листного накрытия эллиптического кольца, т.е. области, ограниченной двумя эллипсами с одинаковыми фокусами (см. теоремы 2 и 3). А именно мы получаем асимптотики собственных значений в зависимости от расстояния между фокусами до второго порядка включительно (это равносильно разложению по степеням эксцентриситета внутреннего или внешнего эллипса). Для совпадающих фокусов (для нулевого эксцентриситета) результаты совпадают с формулами для накрытия кругового кольца (см. теорему 1).
2. Модельная задача. Прежде чем переходить к основному результату, рассмотрим небольшое обобщение классической задачи. Пусть Q — область, p-листно накрывающая кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями радиусов 0 < То < Т\. Случай p = 1 относится к классической теории колебаний (см. [5]). Будем считать, что обе окружности имеют центр в начале координат. В области Q удобно рассматривать аналог полярных координат — расстояние т до начала координат и угол р, определенный mod 2пр. В Q рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера
H ф =
-h2 2 M
V2 + V (т) ф = Еф,
здесь потенциал V(г) внутри области О равен нулю, а вне ее обращается в бесконечность. Такая задача равносильна поиску собственных функций и собственных значений оператора Лапласа в области О для функций, обращающихся в нуль на границе О. Положим ж2 = . Далее и — функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Теорема 1 (для р = 1 см. [6, с. 165.]). В области О (р-листном накрытии кругового кольца) собственные функции 'к,т(г, р) и собственные значения Ек,т оператора Н имеют вид
фк,т(т, р) =
Yv ((Хк,у )J
(Хк,уГ
То
-Yv
(Хк,уГ
То
Jv (ak,v )
cos (vp + ро), Ek,m =
4,mh 2 M
?r)p и - m x — n -J1 —
гае v - —, л - —, m -
к,и
r'Â
,k,m € N, ak,v — k-й нуль функции f (x) = Yv(x)Jv(Xx) — Yv(Xx)Jv(x).
2
Доказательство. Запишем искомую функцию в виде ф(т,<р) = Я(т)Ф(ф), тогда уравнение (V2 + я2)ф = 0 приобретет вид Д(г)гТЫ + МгММ + ф(^)д"(г) + к2К{г)Ф(<р) = 0. Умножим обе
г2 Г Г
части уравнения на щг)ф{(р) ■
Ф "(у) гВ!(г) г2П"{г) 22 Ф(р) Я(г) Я(г)
Введем разделяющий параметр V и получим два уравнения (далее переменные явно не указываем, подразумевая, что Ф = Ф(<£>), К = К(т)):
Ф'' 2
— = —V, Ф
rB! г2П" ~R R
+ --:—К2г2 = V2.
Решением углового уравнения является функция Ф(ф) = cos (vf + ф) для некоторого вещественного значения (ро. Из условия периодичности Ф(0) = Ф(2ттр) следует, что v = у, где m — произвольное неотрицательное целое число.
Решение радиального уравнения ищется в виде линейной комбинации функций Бесселя первого и второго рода [7, § 9, с. 358]:
R(r) = AJv (кг) + ВУи (кг).
Из граничного условия R(ro) = 0 установим значения констант: A = Yv(кго),В = — Jv(кго) (либо пропорциональные им).
Теперь рассмотрим функцию /(ж) = Yv(x)Jv{Аж) — Yu(Xx)Ju(x), где А = Тогда граничное условие R(ri) = Yv(кг0)Jv(кг1) — Jv(Kr0)Yv(кг1) = 0 можно записать в виде f (кг0) = 0. Обозначим k-й положительный нуль этой функции через (см. также нижеследующую лемму 1). Тогда кго = (Xk,v для какого-то значения k, откуда следует, что к может принимать только значения m, приведенные в формулировке теоремы. □
Лемма 1 [7, § 9.5, с. 374; 8]. Асимптотически m-й положительный нуль am,v функции f (ж) = Yv(x)Jv(Аж) — Yv(Аж)Jv(ж) при m — оо ведет себя как
,2 ^ I о,,3
, X , и-Х , у-^хи + ^х ,
= о- Н---1--s--1--г--■■■■
а а3 а°
?г)р и - 47/2 п - ™ v - м - (м-1)(м-25)(Л3-1) _ (м- 1)(М2-114^+1073)(ЛБ-1) п
г0е V - 4г/ > а - \=1> А - 8Л 7 6(4А)3(А—1) 5(4Л)Б(Л—1) ' U
3. Предварительные сведения.
3.1. Разделение переменных в уравнении в эллипсе. Рассмотрим область, ограниченную эллипсом с большой и малой полуосями, соответственно равными w и h. Обозначим половину расстояния между фокусами эллипса через 5 = л/w2 — h2. Введем эллиптические координаты р, <р, р ^ 0, 0 < ф < 2п, где
(ж, y) = (5 cosh р cos ф, 5 sinh р sin ф).
Они регулярны вне отрезка, соединяющего фокусы (±5, 0). Рассматриваемая область задается неравенством 0 ^ р ^ arccosh(^). При фиксированном w = г о и 5 —> 0 область "стремится" к кругу радиуса r0.
В этой системе координат оператор Лапласа имеет вид
Я2 Я2 d2 + & S2 +
_ ® __9/э2 dip2 __dp2 dip2
дх2 ду2 ¿2(cosh2 р — cos2 ф) Щ- (cosh 2р - cos 2ф)' Стационарное уравнение Шрёдингера переписывается как
, 2 , 2 2ME
V ф + к ф = 0, где к = ——г—,
п2
с условием, что ф на границе области обращается в нуль. Разделяя переменные ф(р,ф) = R(р)Ф(ф), приведем уравнение к виду
д 2 д2 (К5)2
Ф—R + Етг^Ф + 4r^(cosh 2р - cos 2р)ЕФ = 0. др2 др2 2
В скобках добавим и вычтем разделяющий параметр -¡-Щ1, получим уравнения Матъё, в которых
{^■Ф + (а — 2gcos 2р)Ф = 0 (угловое уравнение Матъё), — (a — 2qcosh2p)R = 0 (радиальное уравнение Матьё).
3.2. Некоторые свойства функций Матъё. Рассмотрим угловое уравнение Матьё ^Ф(z) + (a — 2q cos2z)$(z) = 0. Поскольку коэффициенты углового уравнения Матьё периодичны по z, по теореме Флоке [7] существует решение в виде Fv (z) = eivz P (z), где v зависит от параметров a и q, а функция P(z) имеет тот же период п, что и коэффициенты уравнения. Постоянную v называют характеристической экспонентой. При v € Z функции Fv (z) и Fv (—z) являются независимыми решениями дифференциального уравнения. При v € Z функции Fv(z) и Fv (—z) являются пропорциональными и имеют период п или 2п (см. [7]).
Согласно теории Штурма при q = 0 возможно существование не более чем одного периодического решения с периодом п или 2п. В зависимости от четности и периода этого решения параметр2 a относится к одному из двух типов:
a=
av(q), v € {0}U N; b-v(q), -v € N,
более точно, для п € {0} и N (см. табл. 1).
Таблица 1
Периодические функции Матьё целого порядка
а Периодическое решение углового уравнения Матьё3 Период Четность функции
a.2n{q) ce2„(z,q) период 7г четная
a-2n+i(q) ce2n+i(z,q) 4 антипериод 7г четная
b2n+i(q) se2„+i(z,q) антипериод 7г нечетная
b2n+2 (q) se2„+2(z,q) период 7г нечетная
Выделяют также третий тип: а = Хи(д), V € 2, которому соответствуют функции Матьё нецелого порядка се^(я, (я, д). В общем случае при V € Q обе функции являются непериодическими, однако для 1/€<0>\2,1/=-, обе имеют период не более 2ир. Таблица 1 для V = - может быть продолжена (см. табл. 2).
Таблица 2 Периодические функции Матьё нецелого порядка V
а Периодическое решение углового уравнения Матьё Период Четность функции
K(q) cev(z,q) период 7гр четная
K(q) sev(z,q) антипериод 7гр нечетная
Смысл параметра V становится понятным при подстановке д = 0 в угловое уравнение Матьё (1). В этом случае угловая функция получается той же, что и в случае диска, следовательно, Хи(0) = V2, се^ (я, 0) = cos(vz), зе^ (я, 0) = 8т(^).
Ряды Фурье для угловых функций Матьё сходятся равномерно и абсолютно на всех компактных множествах в комплексной плоскости. В приведенных ниже формулах предполагается, что п € {0} и N V € М \ 2:
2Можно рассмотреть уравнение Матьё как задачу на собственные значения и собственные функции оператора
С2 у С2у
В (у) = ~г~ 2дсов(2 х)у (или оператора В(у) = —- — 2дсовЬ(2 х)у). Поэтому в литературе а часто называют соб-
сх2 их2
ственными значениями.
3В табл. 1 приведены только собственные функции периода п или 2п.
4Антипериод п: f (х + п) = — f (х).
ce2n(Z q) = Еm=0 COS ce2n+1 (Z 9) = Em=0 ^mít-1^ COS (2m + 1)z>
se2n+i(z, q) = E™=0 B2m+1(9) sin (2m + 1)z, se2„+2(z, q) = E™=o B^l(9) sin (2m + 2)z, cev(z,q) = Ec2m(q)cos(v + 2m)z, sev(z,q) = Ec2m(q)sin(v + 2m)z.
Коэффициенты Alk, Blk, ck удовлетворяют определенным рекуррентным соотношениям (см. [7]).
Теперь обратимся к радиальным функциям Матьё. Радиальные функции Матьё первого рода и целого порядка определяются как Cen(z,q) = cen(±iz, q), Sen(z,q) = ^¿sera(±iz,q) (см., например,
[9]). Для них и для радиальной функции нецелого порядка M(1) (z, q) имеют место разложения по функциям Бесселя первого рода (здесь равенство понимается с точностью до умножения на не зависящую от z постоянную, которая не представляет интереса для настоящей работы):
Ce2„(z,q) « E™=o(-1)mA2m(q)J2m(x), Ce2„+i(z,q) « Е„=о(-1)т+1 A2m+1i(q) J2m+i(x), Se2„(z,q) « tanhzE~=1(-1)m2mB22m(q)J2m(x),
(2)
Se2„+1(z,q) « tanhzE™=1(-1)m(2m + ^B^^) J2m+1 (x),
m!)1\z, q) oc Em=-oo(~1)m'c2m(q)^+2m(x), везде для краткости x = 2^/qcoshz.
Здесь коэффициенты Alk, B[, ck те же, что и в разложении функций ce1(z,q),se1 (z,q),cev(z,q) в ряды Фурье (см. [9, гл. VIII, с. 158—169]). Заменой функций Бесселя первого рода Jm(x) на функции Бесселя второго рода Ym(x) в вышеизложенных формулах можно получить независимые решения соответствующих уравнений. Так, для радиальных функций первого рода целого порядка Cen(z,q) имеем второе решение Feyn(z,q), а для функций Sen(z,q) такое второе решение обозначают как
Geyn(z, q) (см. [9, гл. VIII, § 8.11-13, с. 158-162]). Из тех же соображений применительно к M^1"1 (z, q)
(2)
появляется независимое решение Mv (z,q) для случая нецелого порядка.
4. Основной результат. Рассмотрим область ("эллиптическое кольцо"), ограниченную двумя эллипсами с длинными полуосями 0 < го < Г1 и с общими фокусами в точках (±5, 0). В эллиптических координатах {р,ф) эта область задается неравенствами ро = arccosh(^) ^ р ^ arccosh(^-) = Р1, 0 ^ ф ^ 2п. Для p-листного накрытия эллиптического кольца неравенство на угловую координату другое: 0 ^ <р ^ 2ттр. Для удобства введем ж2 = Щг*-.
Мы хотим получить решения стационарного уравнения Шредингера в p-листном накрытии , а также асимптотику соответствующих уровней энергии при фокусном расстоянии 25, стремящемся к нулю.
Теорема 2. В области (p-листном накрытии эллиптического кольца) собственные функции фк,т(р, ф) и собственные значения Ekm оператора H имеют вид
Фк,т(р, ф) =
Cev(ро, q)Feyv(р, q) - Cev(р, q)Feyv(ро, q)
cev (ф,q)
Ek,m —
к2 h2 fc ,m
2 M '
v € {0} и N;
Se-v(ро, q)Gey-v(р, q) - Se-v(р, q)Gey-v(ро, q)
se-v(ф,q)
<1=вк„
Ek,m —
к2 h2
fc ,m
2M '
-v € N;
M(1) (ро, q)M<2) (р, q) - M(1) (р, q)Mv2) (ро, q)
(A1cev (ф, q) + A2sev (ф, q))
к2 h2
771 _ fc ,m
-C'fc.m, — 2 M
q=ek,v иначе,
где v = m = m € N, (5k,v ~ к-й нуль функции
/ (д) =
Се^(ро, (ръ д) - Се^(р1, (ро, д), V е {0} и М;
(ро, д)Сеу_^(р1, д) - (ръ д)Сеу_^(ро, д), -V е М; (3)
М(1) (ро, д)М^2)(р1, д) - М(1)(р1, д)М^2) (ро, д)
иначе.
Доказательство. Будем искать решение уравнения = Еф в виде ф(р,р) = Е(р)Ф(р),
где р и р — эллиптические координаты. Тогда Я и Ф являются решениями уравнений Матьё
д%Ф + (а - 2д сое 2р)Ф = 0,
д2 т, /- «_____о (4)
д^2
■щрЯ - (а - 2дсо8Ь2р)Е = 0,
где q = и а — разделяющая переменная. Для начала рассмотрим угловое уравнение Матьё и определим, при каких а условие Ф(0) = Ф(2пр) выполнено.
По теореме Флоке для некоторого V существует решение Ф^ (р) уравнения Матьё, такое, что Ф^(р + 2пр) = е2гпр^Ф^(р). В случае р-листного накрытия необходимо наложить условие периодичности ФгУ(0) = Фи(2ттр). Следовательно, е2шри = 1. Откуда ри = тп € Ъ и, таким образом, V = где т е 2. Положим Ф(р) = Ф^(р).
Обозначим через Я1(р, д), Я2 (р, д) два независимых решения радиального уравнения Матьё (4), которые зависят от параметра д. Решением (4) является и их линейная комбинация Я(р, д) = АЯ1(р, д) + ВЯ2(р, д). Из условия Я(ро,д) = 0 установим значения констант: А = Я2(ро,д),В = -Я1(ро,д) (либо значения, пропорциональные им). Теперь рассмотрим функцию /(д) = Я2(ро,д)х Я1(р1, д) - Я1 (ро, д)Я2(р1,д), в зависимости от значения V это одна из функций (3). Тогда условие Я(р1, д) = 0 можно записать как /(д) = 0. Обозначим к-й положительный нуль этой функции через /Зк,1У] тогда д = для какого-то значения к, откуда следует, что я2 = может принимать только значения т, приведенные в формулировке теоремы.
В завершение доказательства остается только привести явный вид функций Ф(р), Я(р). В зависимости от значения V = у разделяющий параметр а в системе дифференциальных уравнений (4) относится к одному из трех типов:
а^(д), V е {0}и М; Ь_и(д), -V е М; (д) иначе.
Периодическими угловыми решениями в первых двух случаях являются функции, описанные в табл. 1, они и будут функциями Ф(р) в зависимости от значения V.
Радиальные функции получаются в виде линейных комбинаций радиальных функций Матьё целого порядка. В качестве Я1(р, д) возьмем радиальные функции Матьё первого рода (2): Се^(р, д) при V е {0} и N и (р, д) при -V е N. Независимыми решениями Я2(р, д) для этих двух случаев являются ^еу^ (р, д) и Сеу^ (р, д) соответственно.
В случае V = ^ € <0> \ Z обе угловые функции сеДр, д), зеи(ср, д) являются периодическими и имеют период не более 2пт2 (см. [7]), поэтому в качестве Ф(р) подходит в том числе их линейная комбинация. Решение радиального уравнения Матьё представляется в виде линейной комбинации функций Се^(р, д) и (р, д). Однако в следующей теореме будет удобнее использовать линейную комбинацию функций М!(1)(р, д), М^2)(р, д) (см. [10, § 28.23; 11, гл. 2, § 2.4, с. 165]), также образующих фундаментальную систему. □
Введем функцию
№а,ь(и) = Уа(и)Зъ(\и) - Уа(\и).1ь(и), А = —. (5)
го
Обозначим у = тей.
Теорема 3. Значение К2 т(5),к е М, зависит от половины фокусного расстояния 5 с точностью до о(52) следующим образом:
Kfc,m(S) =
а?,, „ а3
Г
о + <> 8UVq ^^
Уу,у {и)
ди
-v € N \ {1, 2};
ак,2 _ х2 (W4,2W+W2,4W)
,2 0 1 о™4 0 —si—
u=akv
r0 „2
3
16r4 £¡^0
2
3
u=ak 2
u=ak)1
ak,0 _ (W2,oW+Wo,2(tt))
,2 0 4„4 affpoM
0 Si
2
3
u=ak0
ak, 1 _ r2 "fc,! (W3,iW+^i,3W) r2 0 ifir4 9ffl,lW '0 iD'0 -tl-
-v = 2;
-v = 1;
v = 0;
v = 1;
(6)
а
2
k,v
^2 4(^-1)
3
u=akii
2r04
ди
u=akv
v € N \ {1},
v € z.
Замечание. Это разложение равносильно разложению по эксцентриситету внутреннего или внешнего эллипса с большой полуосью 8 = 0,1, которое получается из подстановки 5 =
Замечание. Случай 5 = 0 соответствует накрытию кругового кольца. Легко видеть, что в этом случае результат теоремы 3 (т.е. нулевые члены разложений) после умножения на т^ соответствует результату теоремы 1.
Замечание. Производная допускает выражение через функции Бесселя первого и вто-
рого рода. Имеем тождества (см. [10]): 2= У^фи) — 1^+1 (и), = .^^(и) — ,]и+1(ь).
Непосредственным дифференцированием (и) получаем
dWVtV(u) du
= \(YV(u)Jv-i(Au) + Yv+i(Au)Jv(u)) - (Yv(Au)Jv-i(u) + Yv+i(u)J(Au)).
Доказательство. По предыдущей теореме собственные значения оператора Н, а следовательно, числа = к2 т(5) связаны с нулями функции /(д). Здесь функция /(д) имеет один из трех возможных видов (см. (3)).
Приведем две леммы, с помощью которых докажем (6).
Пусть v = т ^ 0, а = Xv(q), Q =
и пусть cev(ф, q) — четное решение углового уравнения
p I ■•- - - ; - ■ -f \~L/1 ~L 4
Матьё с указанными параметрами a, q. Напомним, что для малых q справедливо разложение (см. [11, § 2.2, с. 122-124]):
се^(ф, q) = Cv cos v^> + qCv+2 cos (v + 2)ф + qCv-2 cos (v - 2)ф + o(q).
Возможные значения к2 определяются из условия обращения в нуль радиальной функции Матьё на граничных эллипсах. А именно положим R(p) решением радиального уравнения Матьё с этими же параметрами и граничным условием R(po) = R(pi) = 0, ро < pi.
Лемма 2. Пусть r0 = Scoshp0,ri = Scoshpi,A к2 при малых S имеет вид
— г 1
ak, v ~ k-й нуль функции Wv,v(u). Тогда
23
2 ak,v . г-2 ak,v Cv+2 (Wv+2,v(u) + Wv,v+2(u)) + Cv-2 (Wv-2,v(u) + Wv,v-2(u))
К = —7,--h О
Г,
2cv r0
dWv,v(u) du
+ o(S2).
u=akv
Доказательство. При а = Хи(д),и = ^ 0 коэффициенты разложения Фурье четной
угловой функции Матьё ееи (ф, д) связаны [7] с точностью до постоянного множителя с разложени-
Сви(р,д), V € {0}и М;
ем радиальной функции Матьё Ri(p, q) = Бесселя следующим образом:
MVi)(p,q),v / Z,
в бесконечную сумму функций
Ri(p,q) = cvJv(2^/qcoshp) - qCv-2^-2(2y/qcoshp) - qCv+2^+2(2yqcoshp) + o(g).
2
r
0
22
s
н
Второе решение Я2(р, д) радиального уравнения Матьё можно получить из Я1(р, д) заменой функций Бесселя первого рода Л(ж) на функции Бесселя второго рода Уи(ж). В частности, это
(2)
будут функции ^еу^(р, д) при V е {0} и М и М^ (р, д) при V е Q \ 2, V ^ 0.
Напомним граничное условие Я2(ро)Я1(р1) - Я2(р1)Я1(ро) = 0. Заметим, что аргументы имеют
вид 2у/дсо8Ьр3 = 2\/= яг3, в = 0,1. Рассмотрим первое слагаемое в граничном условии:
Я2(ро)Я1 (р1) = ((VУи(кго) - дс^_2У,_2(кГо) - дс^+2У,+2(кГо) + о(д))х
х ((VЛ(кГ1) - дс^_2Л_2(кГ1) - д^+2Л+2(кГ1) + о(д)) = = (VУУ(кГо)ЛV(кГ1) - дс^(-У_2(кго)Л(кп) + У,(кго)Л_2(кГ1)) +
+ ^+2(У/+2(кго) Л (кп) + У, (кго) Л+2 (кп)) ) + о(д)
(7)
Разделив обе части последнего выражения на с2, для удобства определим и = яго, А = ^, кг\ = Ли. Запишем полное выражение Я2(ро)Я1(р1) - Я2(р1 )Я1 (ро) = 0: поскольку слагаемые отличаются друг от друга только перестановкой аргументов и и Ли, использование формулы (7) приведет к появлению функций (5). Таким образом,
0 = Я2(ро)Я1(р1) - Я2(р1 )Я1 (ро) =
= и) - д(— + ^;,_2(и)) + ^ (^+2;,(и) + ^;,+2(и)) ) + о(д). (8)
V ^ ^ /
Пусть а^ — к-й нуль функции WV)V(и). Тогда в достаточно малой его окрестности справедливо
(и) = (и - )
(и)
ди
+
(и - а^)2 д2^^(и)
п=ак1,
ди2
+ о((и - а^)2).
п=ак1,
Положим и = а^ + и15 + и252 + о(52) и подставим д =
2й2 _ и2й2
4
Х2 , (и)
(щд + и2д + 0(6))
ди
+
и252 + о(52) д2^(и)
«=afc>v
ди2
в выражение (8):
аЬ 52 + °(52)
и=а^
4г2
— (^_2;,(и) + И^-зСи)) + ^ + ^;,+2(и))
+ о(5)
п=ак1,
+ о(52) = 0.
Поскольку равенство должно выполняться при каждой степени 5, получаем в первую очередь и1 = 0, затем, приравняв коэффициенты при 52, заключаем, что
и2 =
Су-2
4г2
д\У„,„(и) ди
и=а^
Таким образом,
и = ак,и + . 2
(^_2;,(и) + И^-аСи)) + ^ (^+2;,(и) + ^;,+2(и)) )
а? \ су х >
2 к,и
д\Уу,у(и) ди
+ о(52).
и=аку
Поскольку и = кго, получаем 2 3
2 ак,и , ¡-2 ак,и ^+2 (^+2^(и) + +2(и)) + (и) + М^_2(и))
к=
+ 52
2с„ Г
V о
ди
+ о(52).
и=аку
Лемма доказана.
2
к
X
2
X
2
г
о
2
Пусть а = A-V(q),v € N, q = 2Lj~1 и пусть sev(tp,q) — нечетное решение углового уравнения Матьё с указанными параметрами a, q. Напомним, что для малых q справедливо разложение (см. [11, § 2.2, с. 122-124]):
sev(р, q) = Cv sin vp + qCv+2 sin (v + 2)p + qcv-2 sin (v - 2)p + o(q).
Возможные значения к2 определяются из условия обращения в нуль радиальной функции Матьё на граничных эллипсах. А именно положим Я(р) решением радиального уравнения Матьё с этими же параметрами и граничным условием R(p0) = R(Pi) =0, ро < ръ
Лемма 3. Пусть ro = ó cosh po,ri = ó cosh pi,A
к2 зависит от ó как
— и
го :
®k,v — k-й нуль функции Wv,v(u), тогда
а2 а?
r,
2vcv r^
(v - 2)Cv-2 (Wv—2,v(u) + Wv,v-2(u)) + (v + 2)Cv+2 (Wv+2,v(u) + Wv,v+2(u))
dWv,v(u) du
+ o(ó2).
u=akv
Доказательство. При a = A-v(q),v € N, коэффициенты разложения Фурье нечетной угловой функции Матьё sev(p,q) связаны [7] с точностью до постоянного множителя с разложением радиальной функции Матьё Sev(р, q) в бесконечную сумму функций Бесселя следующим образом:
Sev(p,q) = иcvJv(2уД cosh р) - q(v - 2)c^_2 J^^y^cosh p) - q(v + 2)c^+2 J^+2 (2 y'q cosh p) + o(q).
Второе решение радиального уравнения Матьё R2(p) = Geyv (р, q) можно получить из решения Ri(p) = Sev (р, q) заменой функций Бесселя первого рода Jv (ж) на функции Бесселя второго рода Yv{x).
В граничном условии i?2(po)-Ri(pi) — R2{pi)Ri{po) = 0 аргументы имеют вид 2у^со8Ьр5 = 2 J^j-^f = xrs, s = 0,1. Рассмотрим первое слагаемое:
R2(po)Ri(pi) = (vcvYv(кго) - q(v - 2)cv—2Yv—2(Kro) - q(v + 2)cv+2У|,+2(кго) + o(q)) x
x (vcv Jv(Kri) - q(v - 2)cv—2 Jv—2(kti) - q(v + 2)cv+2 Jv+2(Kri) + o(q)) = = v2c2Yv(Kro)Jv(Kri) - qvcv((v - 2)cv—2 (Yv—2(Kro)Jv(Kri) + Yv(Kro)Jv—2(Kri)) + + (v + 2)cv+2 (Yv+2(Kro)Jv(Kri) + Y/(kto)Jv+2(kti)) ) + o(q).
Разделим обе части выражения на г/2с2 и для удобства определим и = кго, А = ^кг1 = А и. Запишем полное выражение Л2(ро)^(р1) — (Р1 )^1(ро) = 0 тем же способом, что и в лемме 2:
0 = Я2ЫЯ1 (Р1) — Д2(Р1)Й1(Р0) = (и) —
Я
vcv
(v - 2)cv—2 (Wv—2,v(u) + Wv,v—2(u)) + (v + 2)Cv+2 (Wv+2,v(u) + Wv,v+2(u)) + o(q). (9)
Пусть — Л-й нуль функции (и). Тогда в достаточно малой его окрестности справедливо
Wv,v (u) = (u - ak,v)
dWv,v (u)
du
+
(u - ak,v)2 d2Wv,v(u)
u=akv
du2
+ o((u - ak,v)2)-
u=akv
Положим u = ak,v + uió + u2ó2 + o(ó) и подставим q =
K2¿2 _ u2¿2
4 4r2
в выражение (9):
, , , .2 , /,2чч dWv,v(u) («ló + 0(Ó ))
du
+
ufó2 + o(ó2) d2Wv,v(u)
u=ak)V
du2
u=ak)V
X
2
2
< 52 + о(52)
4г0
(V - 2)с^-2
VCv
(№-2,и (и) + Ж^-2(и)) +
+ (г/ + 2)СгУ+2 (И^+гДи) + И^+2(и))
VCv
+ о(5)
п=ак1,
+ о(52) = 0.
Приравнивая коэффициенты при каждой степени, получаем
и = + 5
2 ак,^ 1 / (V - 2)^-2
4г2 ЭТУ^^(м) У ис
ди
(№и-2,и (и) + Ж^-2(и)) +
Vcv
откуда из определения и = кг0 следует равенство
а2 а?
+ о(52),
и=ак^
Г
2vcv г4
(V - 2)^-2 (№-2,^(и) + Ж^-2(и)) + (V + 2)с^+2 (№+2,^(и) + №^+2^))
ди
+ о(52).
и=ак„
Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы 3.
Случай 1: а = Хи(д),и = у,т ^ 0. Тогда для малых д справедливо (см. [7]) представление четного решения углового уравнения Матьё еви(ф,д) в виде
се^ (ф,д) =
совг/ф + фггту сое (г/ - 2)ф - сое (г/ + 2)ф + о(д), г/ € N \ {1} или
сое Ф — | сое Зф + о(д),
I'
1 9.
V = 1;
V = 0.
Пусть V € N \ {1} или V € <0> \ Ъ. Тогда су = 1, си+а = ^щ, с^-а = 4(^-1) • Применим лемму 2:
а
к
+ 5
(И^_2>1/(и) + И^-гСи)) - ^рц (И^+2>1,(и) + И^>1/+2(и))
2г04
ди
+ о(52).
и=ак1,
Пусть г/ = 1. Тогда с^ = 1, с^+а = -¿р, с^-а = 0 п из леммы 2 получаем
2 3
2 акм г-2 акм (№+2,и (и) + ^+2(и))
УС = -о--о
г,
1бг4
ди
+ о(52).
и=ак1,
Пусть г/ = 0. Тогда с^ = с^+а = Сгу-2 = 0 и по лемме 2 имеем
2 г-2 ак,и (№и+2,и (и) + №^+2(и))
к=
5
4г0
д\У„,„(и) ди
+ о(52).
u=afc>v
Случай 2: а = (д)^ € N. В этом случае для малых д справедливо (см. [7]) представление нечетного решения зеи(ф,д) углового уравнения Матьё в виде
ве„ (ф,д) =
+ 31^ту 8т (г/ - 2)ф - ^^ 8т (г/ + 2)<р + о(д), г/ € N \ {1, 2}; эт 2(р — эт + о(д),
вт ф — | эт Зф + о(д),
V = 2;
V = 1.
X
2
2
Г
о
2
Г
о
Пусть V € N \ {1, 2}. Тогда cv = 1, cv-2 = , cv+2 = 4(v+1) и из леммы 3 получим
к2 =
62 «L П (W^-vCУ) + И^_2(и)) - £±f (^+2>I/(u) + И^+2(и))
r
8vr4
du
+ o(£2).
u=akv
Пусть v = 2. Тогда cv = 1, cv-2 = 0, cv+2 23
-1
согласно лемме 3
к
2
a
12
k,v г2 afc
(v + 2) (Wv+2,v (u) + Wv ,v+2 (u))
r
24vr4
du
+ o(£2).
u=akv
Пусть v = 1. Тогда c^ = 1, c^_2 = 0, iv+2 = из леммы 3 получаем
к2 =
a
k,v [-2 ak,v (v + 2) (Wv+2,v (u) + Wv ,v+2 (u))
16vr4
du
+ o(£2).
u=akv
Доказательство теоремы 3 закончено.
5. Заключительные замечания. Рассмотрим другую постановку задачи. Пусть дано круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами г\ > Го >
2
Рассмотрим отображение Рс(г) = г + (аналог функции Жуковского). Оно переводит наше
круговое кольцо в эллиптическое кольцо, ограниченное эллипсами с фокусами в точках (±|,0) и
22 длинными полуосями ^с(го) = Го + ^-0,Рс{п) = г 1 + ^1-
С помощью функции оператор Лапласа V2 в эллиптическом кольце переносится в круго-
вое кольцо. Полученный оператор V2 можно рассматривать как возмущение исходного оператора Лапласа V2 = VI).
Асимптотика собственных чисел V2 будет иметь дополнительные поправки по сравнению с нашей исходной задачей, поскольку под действием ^(я) полуоси меняются. Обсуждению асимптотики собственных чисел V2 будет посвящен раздел в другой публикации.
Автор приносит благодарность академику РАН А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе.
Автор признателен рецензенту за тщательное прочтение рукописи и ценные замечания, позволившие улучшить изложение.
Работа выполнена в МГУ им. М.В. Ломоносова при поддержке РНФ, проект № 22-71-10106.
2
r
о
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 18-27.
2. Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
3. Ведюшкина (Фокичева) В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. 83, № 6. 63-103.
4. Clebsch R.F.A. Theorie der Elasticität fester Körper. Leipzig: B.G. Teubner, 1862.
5. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1955. Т. 1.
6. Kuttler J. R., Sigillito V.G. Eigenvalues of the Laplacian in two dimensions // SIAM Review. 1984. 26, N 2. 163-193.
7. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables (10th print. 1972 with corrections) // U.S. Dept. of Commerce National Bureau of Standards. 1972. 20. 721-750.
8. McMahon J. On the roots of the Bessel and certain related functions // Ann. Math. 1894. 9, N 1/6. 230-30 (https://doi.org/10.2307/1967501).
9. McLachlan N.W. Theory and Application of Mathieu Functions. Oxford: Oxford University Press, 1951.
10. NIST Digital Library of Mathematical Functions / Ed. by F.W.J. Olver, A.B. Olde Daalhuis, D.W. Lozier et.al (https://dlmf.nist.gov/28).
11. Meixner J., Schäfke F. W. Mathieusche Funktionen und Spharoidfunktionen. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1954.
Поступила в редакцию 18.01.2023
