СПЕКТР ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПСЕВДО–ВОЛЬТЕРРЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация: в статье рассматривается интегральное уравнение Псевдо-Вольтерры единственного числа единственного числа второго рода. Показаны свойства ядра интегрального уравнения Вольтерры второго рода. Составлены характеристические уравнения с оценкой ядра интегрального оператора. Рассмотрены вопросы о решении непереходного интегрального уравнения в соответствии с интегральным уравнением, определен класс одиночества решения.

Ключевые слова: характеристическое уравнение, ядро, интегральный оператор, классы существенных функций.

Будем искать решение интегрального уравнения Псевдо-Вольтерры следующим образом:

УДК 51

Сабитбеккызы А.

магистрант

Карагандинский университет им. академика Е.А. Букетова (г. Караганда, Казахстан)

СПЕКТР ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПСЕВДО-ВОЛЬТЕРРЫ

(1)

о

где ядро Кш (Ь т)

4

и

2_ 1 ( (^ + Тш )2

Кш = - 2Ж ехр I-

3_ 1 1+ ( (^ + тш )2|

К(3 = {1-т)\ • expI- 4а2а-т)],

4_ 1 1 + ( (^ + тш )2|

К(4 = exp I- 4а2а-т) ].

Такое интегральное уравнение

щ(х, О - а2ихх(0 = 0, {(х, ¿)| 0 < х < , t > 0} их (0, О = 0, щ + их ^¡а = 0 известно, что при решении граничной задачи возникает[1]. Здесь

1

и = и(Ьш, ¿), ы > —.

и

—ы

рассмотрим решение (1) интегрального уравнения в классе функций t2 q>(t)eLm(0,от), то есть q>(t)eLm (0,от,

Отсюда (1) уравнение можно записать как

t з_ш

+ f (~)2 К0У(t, T)y(r)dT = 0 (2)

0

рассмотрим свойства ядра Кш (t, т) интегральных уравнений Псевдо Вольтерры, представленных в виде.

10. если 0 < т < t < от то Кш(t, т) функциясы Yзiлiссiз, 20. когда t0>E >0 то lim Кш(t, r)dr = 0,

30. lim Скш(t, r)dr = 1.

Особенностью рассматриваемого уравнения является 30 свойство ядра

Кш (t, т). [1-3]. Составим характеристическое уравнение интегрального

уравнения, заданное в виде (1)

t з_ш

+ f О? ки(t,т)уШт = g(t), (3)

0

где Кн (г, т) = ЪиК (г, т)

т) =

1 (2^ - 1)2(т2ы-1 • еш-2 + ¿4ы-3)

2а[й

• ехр

(¡-2ш-1 - т2ш-1 )2

(2ш - 1)

4а2(г2*-1 - т2ш-1)/'

2 1 (2ш-1)2 •12ш-2 ( (2ш- 1)(12ш-1 + т2ш-1)2 КН(Р,т) = - —--г ехр (--Аа2{12.-1-Т2.-1)

(2ш- 1)(12ш-1 + т2ш-1)2

К3(Ь г) =

КЦ(Ь Г) =

2а[й (х2ш- 1 -1 - т2ш-1)2

2 (2ш- - 1)2 • г2ш-2

2а[й (12ш- 1 -1 - т2Ш-1)2

2 (2ш- -1)2 • г2ш-2

ехр

а[й

г ехр

(^2ш-1 - т2ш-1)2

4а2(г2ш-1 -т2ш-1)

(2ш- 1)(12ш-1 + т2ш-1)2 4а2(12ш-1 - т2ш-1)

Для исходного уравнения (1) давайте покажем, что равенство (3) На самом деле является описательным уравнением. Сначала отметим,что ядро (¿, т) имеет свойство, аналогичное 30 свойству ядра Кш (¿, т) [2,4]

Нш

^0

I

I Къ(Ь т)йт

= 1.

0

вводим новые переменные в (3) равенство

£ = кг-7 • ^

2ш-1

2ш-1

Ф

( 1 \2V-1

\2oj--1 • Ч

= <Рг((д, 9

2ш-1

= 91(ч),

интегральное уравнение преобразуется

-1

ср^) + I 0

— •К1 &1, Ч )йт1 = д^)

К1^1, Т1) ядро , т!) = Т,4=1К1 (г, т) где

К} =

к? =

I t + т £_Т)§

exp

г-т

(t-т)l

exp

к? =

(t-т)l

• exp

А + т)2

4а2 (1 - т)

- (t-т)2 4а2 ^ -т)

4а2 (t - т)

ЛТ}4 =

1 г (с - Т)2

- • exp

4а2 &-т)\'

(5)

(t - т)2

Решение равенства (4), ядра которого равны (5) равенству [3]:

с

<р(1) = д(1) + |

N

- • т) • д(т)йт + С^0(0, т

где т) = (¿, т) + т) состоит из

1

^(Ь т) =

^й(г-т)2

а

^(-1)ПВп

п=0

П

п • exp

а2 (т-г)

+ 3(п + 1)

(п + 1)2) + ( (п + 2)2

• exp <--^--^ + + 3(п + 2) • exp

• exp

В2&, т) =

а2(т - )

(п + 3)2 а2(т - 1})

3

а2(т - Ь)

+ 3(п + 3)

+

1(-1)П

В

2а^пт^т-г(2т-€) 2а2пг

п=1

• К "О + гп+1 Т) - Тп+2(г, т) - Тп+3(1, Т)],

(2п + 3)2

ЫО = 2ТВ • 1(-1)П (2П + 3)Вп • exp | -

* п=1 ^

4а2

П.

Оцениваем резольвенту следующим образом

т)| <С3

■exp

^ - Т)2

гт

л

+

Л •Л

а2

(£ - т)) Vt_т(2t - т)

exp

t - Г|

Возвращаемся к исходным переменным т1 = (2ш - 1) • т2ш 1, 2ш - 1) • г2ш-1\ = ф(г), = (2ш - 1) • г2ш-1, дх [(2ш - 1) • г2ш-1\ = д(г), из этого

решение описательного (3) уравнения

г з-ш

Ф) = в(*) + I {^)2 •йн(Ь*)• вШт + С • <ро((2ы - 1)• I2"-1), 0

Кн т) резольвенту оценивается следующим образом

т2ы-2

\Ян(г,Т)\ < С4(ш)—1-.

1Ш+2 • [¡-Г

Теорема 1. Общее решение характеристического интегрального уравнения

С 3-Ш

<Р(*) = д(*) + I {^)2 • Ян(Ьг) • дШт + С • <ро((2ш - 1) • I2"-1). 0

Примечание 2 [5]. Решение (действительного) интегрального уравнения

X

у(х) + I К(х, 1)у(1)сИ = Нх)

а

дано формулой

х

у(х)= Г(х) + I Я(х, 1)Г(1)(И

а

тогда решение интегрального уравнения (с модифицированным ядром)

х

у(х) + I К(х, V у(№ = Г(х)

а

то есть

х

у(х) = I Я(х, О ^у(№ + Г(х).

а

То же самое касается решения соответствующих однородных уравнений. Используя примечание 2, мы рассмотрим (1) уравнение которое мы представим следующим образом

(р(1) + I Кп(I, т) • Ц)(т)Ат = I [Кп(I, т) - Кш(I, т)] • ф)с1т. (6) 00 Предполагая, что правая часть (6) уравнения известна временно, давайте

запишем ее решение:

г

(р(т) = I [Кп (г, т) - Кш (г, т)] • <Кт)^т

+ I (£,^ • ■ 1[КН(т, Т}) - Кш(т,Т})] • (р(т1 )йт1

йт + С0

•<Ро{(2ы- 1) •е2"-1). В повторяющемся интеграле мы изменяем порядок интегрирования и меняем

роли по переменным т и т1

г

Ф(€) + I К(I, т) • = С • у0((2ш - 1) • 12ш-1), (7)

К(1, т) ядро это К(1, т) = К(1, т) + К(1, т), где К(1, т) = Кп (I, т) - Кш & т), т)

I Я(Т1, т) • (т, Т1) - Кш (т, Т1)№1 (8)

Сначала мы оцениваем функцию К(1, т), которая является первым членом. Для этого вводим следующие признаки

к® = Я(0 е-< Т) = Р® £ = 1,2,3,4,

где

1 (2^- ВДт2"-1 • ¿2ы-2 + ¿4Ы-3) Рн(Лт) =7 ]= 3 ,

({-2Ш-1 - т2ш-1 )2

(1)(

п I— • 3,

(¿-т)2

_ (2^- 1)(^-1 + т2ы-1)2 ' Т) = exp 1 4а2(^й>-1-Т2а>-1)

еН1^, т) = exp

m | + )2

i

Лeммa 5: Если ш > тогда

L

lim I KCt, т)

t^oj

и

lim I K(t, т) dr = 0, 0 < t < t < ™

o

t^-1 1 \K(t,т)\ < Ci(v)^=e-Q^ + C2(cd)-

^t — T л/t — T

Оценивания правильно. Здесь Q (t, т) = min |Qh (t, r), lQb> (t, t)| . Лемма 6: Есть взаимосвязи:

tШ-1 ( О1 (t т))

\P1 (t,T) — Pt(t,т)\ < C3(v)-j= exp h^Y-^l (9)

1

Лемма 6: Если ш > тогда следующее оценивание правильно

\K(t,т)\ <С

tv-2 + tv-1 + • exp

1 Г 12ш-1 • т

Vt-T I t-T

гш-1 ( г2ш-1-т\

+ exp

Vt-т [ t-т 1

Теорема 2: Если ш > - , то решение (7) уравнения

\K(t,т)\ < С\1Ш-2 + t"-1 -+

3

—ш

Vt—r Vt — Т\

ценится в виде и любой t2-w • f(t)eLm(0, ю) имеет уникальное ненулевое

3_

решение для: t2 ш • y(t)eLm(0, ю).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Amangaliyeva M.M. About Dirichlet boundary value problem for the heat equation in the

infinite angular domain / M.M. Amangaliyeva, M.T. Jenaliyev, M.T. Kosmakova, M.I. Ramazanov // Boundary Value Problems. — 2014. 213. — P. 1-21. doi: 10.1186/s13661-014-0213-4;

2. Amangaliyeva M.M. On one homogeneous problem for the heat equation in an infinite angular domain/ M.M. Amangaliyeva, M.T. Jenaliyev, M.T. Kosmakova, M.I. Ramazanov // Siberian Mathematical Journal. — 2015. — Vol. 56. — No. 6. — P. 982-995;

3. Amangaliyeva M.M. On a Volterra equation of the second kind with incompressible' kernel / M.M. Amangaliyeva, M.T. Jenaliyev, M.T. Kosmakova, M.I. Ramazanov // Advances in Difference Equations. — 2015.— 71. — P. 1-14. doi: 10.1186/s13662-015-0418-6;

4. Hardy G.G. Inequalities / G.G. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya. —M.: Inostr. lit.,1948. — 456 p;

5. Бекжан Т.Н. К решению сингулярного неоднородного интегрального уравнения Вольтерра / Т.Н. Бекжан, М.Т. Дженалиев, С.А. Искаков, М.И. Рамазанов // Вестн. Караганд. ун-та. Сер. математика. — 2017. — № 2(86). — С. 20-31;

6. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. — М.:Физматлит, 2003. — 608 с.

Sabitbekkyzy A.

Karaganda State University named after academician E.A. Buketov

(Karaganda, Kazakhstan)

SPECTRUM OF ONE CLASS OF PSEUDO-VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS

Abstract: the article considers the Pseudo-Volterra integral equation of the singular singular of the second kind. The properties of the core of the Volterra integral equation of the second kind are shown. The characteristic equations with the evaluation of the kernel of the integral operator are compiled. The questions of solving an intransitive integral equation in accordance with the integral equation are considered, the solitude class of the solution is determined.

Keywords: characteristic equation, kernel, integral operator, classes of essential functions.