Спектр матрицы смежностей почти полного орграфа Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.2

УДК 517.984.3 : 519.177 ББК 22.161

СПЕКТР МАТРИЦЫ СМЕЖНОСТЕЙ ПОЧТИ ПОЛНОГО ОРГРАФА

Сергей Викторович Козлуков

Студент,

Воронежский государственный университет [email protected]

ул. Университетская, 1, 394000 г. Воронеж, Российская Федерация

Аннотация. С помощью метода подобных операторов [1;2] изучаются спектральные свойства матриц смежностей графов, близких к ориентированным полным (графам). Приведены оценки собственных значений таких матриц.

Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр графа, локализация спектра, жорданова нормальная форма, нелинейные уравнения, сжимающие отображения.

1. Введение и основной результат

о

см

03

CJ

Рассмотрим матрицу Амы размера N х N, составленную из М нулей и Ы2 — М единиц. Как матрица смежности, Амм соответствует орграфу, полученному из полного графа с петлями на N вершинах удалением некоторых М из М2 ребер. Некоторые важные свойства графа связаны со спектром его матрицы смежностей. Так, например, в [4] описана дискретная модель распространения вируса в сети, в которой спектральный радиус матрицы смежностей графа сети оказывается пороговым значением 1/Т0 отношения 1/т = 5/у интенсивности Ь исцеления инфецированных узлов и интенсивности V заражения узлов, смежных инфецированным. Положение 1/т относительно порога 1/Т0 определяет (эндемический или эпидемический) характер заражения. Спектральная теория графов и ее приложения подробно рассмотрены в монографии [3].

Что можно сказать о собственных значениях матриц рассматриваемого вида?

Матрицу АМм можно представить в виде

ч

©

/1 ••• 1\

MN

Jn - в

MN

1

-в

MN,

1

где — матрица, составленная из N х N единиц, а имеет единицы в точности

на тех М местах, где в Амм стоят нули.

Спектр а ) матрицы легко считается: ^ = , то есть Л(Л — N) — аннулирующий и, что легко проверить, минимальный многочлен матрицы , а значит

а (^) = {0,М} .

При достаточно малых М спектры матриц и Амм будут «близки». Методом подобных операторов (см.: [1;2]), позволяющим для возмущений «идеального» объекта, спектральные свойства которого известны, найти элемент рассматриваемой алгебры, изоспектральный возмущенному, но имеющий более удобную для вычислений структуру, в статье доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть М < М2, тогда спектр матрицы Амм можно представить в виде объединения а (Амм) = а! и а2 непересекающихся одноэлементного множества а! = = {Л!} и множества а2, удовлетворяющих условиям:

ai С {ц е R; |ц - N| < 4VМ Ü2 С |ц е C; |ц| < 4у/М

2. Доказательство

Предварительные преобразования

Доказательство состоит в построении уравнения для матрицы, подобной Амм, но устроеной «проще». Решение возникающего нелинейного уравнения в банаховой алгебре С доставляется методом простых итераций (см., например, [1]). Подобие матриц Л!, Л2 понимается в смысле существования обратимой матрицы и такой, что ЛЩ = ЫЛ2. Подобные матрицы изоспектральны (их спектры совпадают). Проведем предварительные преобразования.

/1 ••• 1\

Лемма 1. Матрица единиц

V

, подобна матрице

V

А

(N 0 0 0

0 0

\0 0 ••• 0/

Точнее, существует ортогональная матрица и такая, что = ЫЛЫ-!.

Доказательство. Собственному значению 0 соответствует N — 1 независимый собственный вектор /! = (1, —1, 0,..., 0),..., -! = (0,..., 0,1, —1), а собственному значению N матрицы соответствует собственный вектор = (1,..., 1). Применив ортогонализацию Грамма — Шмидта, получим ортонормальную систему Н]_,..., :

hk

1

VHk + 1)

(1,

1, - k, 0,

0) е R

N

k = 1,

,N~ 1,

к раз

= (1, ..., 1) е , В качестве матрицы и выберем матрицу, имеющую столбцами векторы ,к1,

Л

,-1:

и

1 1 1

/И /2 /6

1 1 1

/И /2 /6

1 0 2

/И /6

1 /м 0 0

1

/м 1

/И 1

0 0 0

0 0 0

- -2)(М -1 1)

- -2)(М -1 1) ■1)М

- -2)(М -1 1) ■1)М

- -2)(М -1 1) у/(" -1 ■1)М

^(М -2 -2)(М --М 1) ■1)М

-1)

0

1-м у/Щ-Щ/

Таким образом, исходная матрица Лмм подобна матрице А—Б, где Б Далее ортогональность матрицы и будет играть важную роль.

и-1ВМм и.

Расщепление матрицы и результат

Матрицы из Ма^^С будем записывать в блочном виде X

где

Хц Х12

КХ21 Х22

х11 — число, Х12 — строка, Х21 — столбец, Х22 — квадратный блок размерности N — 1. Такие блочные матрицы сами образуют алгебру, изоморфную исходной, и их можно естественным образом умножать на элементы пространства С х См-1, изоморфного См:

( Х11 /жЛ

^21 Х22] \Х2)

/ ХцХ1 + Х12^2\ \X21X1 + Х22Х2)

X

&)

СС

М-1

В дальнейших выкладках изоморфные объекты понимаются взаимозаменяемыми.

Следуя общей схеме метода подобных операторов [2], будем искать более «простую» матрицу, подобную Л — Б, в виде Л — ЗХ с матрицей преобразования подобия Е + ГХ, где Е е С — единичная матрица, З, Г : С ^ С — линей-

ные операторы, действующие на алгебре Ма^^С, подбираемые в ходе решения, причем З — проектор (З2 = З), «упрощающий» возмущение ЗХ, а Г при всех X е С

удовлетворяет уравнению ЛГХ — (ГХ)Л = X — ЗХ. Лемма 2. Операторы З и Г следует задать формулами

ЗХ

ГХ = —

1

N

(хц 0 \ ^0 Х22) ,

( 0

V —^21 0 )

для X

/ Х11

\^21 Х22 у

€ Ма^С

Следствие 1. Спектр блочно-диагональной матрицы Л — JX = ^^ 0Хп х ) есть

'N — х11 0 ^22

объединение спектров ее диагональных блоков:

a(A — JX) = {N — хп] U a(X22).

/Г (X) Г (X)\

Доказательство. Пусть Г действует по формуле ГХ = ( г11(^) г12 (v) ), тогда

\Г21(^ ) Г 22 ))

ЛГХ — (ГХ )Л = (—N ЫХ)

0 ХГ^Х)4 0

и уравнение для ГХ сводится к

0 Г12(Х)

- — « = - (—ги%) 0 .

-Г21(Х )

Х\ 1 2

^21

нальных блоков Хц и Х22, поэтому положим

zvy _ I Х11 0

= 1 0 Х22

Значит, J может обнулить в X ~ ( ^З1 ^12 ) е MatrNC все, кроме двух диаго-

\^21 ^22/

(хц 0 \

V 0 Х22) ,

=1 ( 0

Г Л N V—^21 0 ) ■

Теперь выпишем уравнение подобия матриц Л —В и Л — JX:

(Л — В)(Е + ГХ) = (Е + ГХ)(Л — JX), X е MatrNC. (1)

Лемма 3. Уравнение (1) эквивалентно уравнению

X = ВГХ + В— (ГХ)(3(В(Е + ГХ))), X е MatrNC. (2)

Доказательство. Раскрывая скобки, уравнение (1) можно преобразовать к виду

X = ВГХ + В — (ГХ )JX. (3)

Пусть для X выполнено (3). Тогда, учитывая равенство J ((ГХ)JX) = 0, получим равенство

JX = ЛВ + J (ВГХ)= 3(В(Е + ГХ)). (4)

Подставляя это выражение обратно в (3), получим (2). Аналогично, применяя к обеим частям равенства (2) оператор J и учитывая, что J ((ГХ)3(В(Е + ГХ))) = 0, получим (3).

Выражение в правой части уравнения (2) обозначим как

Ф(Х) = ВГХ + В— (ГХ )(3(В(Е + ГХ))).

Теперь покажем, что при определенных условиях возникшее нелинейное отображение Ф : Иа^мС ^ Иа^мС имеет инвариантным множеством некоторый шар П С Иа^мС с центром в нуле (то есть Ф(П) С П), на котором оно является сжимающим.

Пусть в Иа^мС выбрана какая-нибудь субмультипликативная норма || ■ || (то есть норма, удовлетворяющая неравенству ||^Л2| < ||Д1||||Д2|| при всех А\, Л2 € € Matr мС). Нам нужно найти такой радиус г > 0, что при ||Х||, ||У || < г выполнялись бы неравенства ||Ф(Х)|| < г и ||Ф(Х) — Ф(У)|| < дЦХ — У||, д € (0,1). Обозначим в = ||В||, у = 8ПР||Х || = ! ||ГХ ||. Лемма 4. Пусть ув < 4, тогда шар

П = {X € Иа^мС; ||Х|| < Го} ,

1 — 2ув —

0 <Г° =-^-< 4в,

удовлетворяет условию Ф(П) С П. Доказательство. Очевидно неравенство

||Ф(Х)||< вУ2|Х||2 + 2ву|Х|| + в. Значит, если г удовлетворяет неравенству

ву2г2 + (2ву — 1)г + в < 0, (5)

то ||Ф(Х)|| < г при всех ||Х|| < г. Если ув < то дискриминант А = 1 — 4ув соответствующего уравнения положителен и его корни вещественны. Из знаков коэффициентов возникшего многочлена видно, что оба корня положительны. Следовательно, наименьший положительный г, удовлетворяющий неравенству (5), есть наименьший корень соответствующего уравнения:

1 — 2ув — V! — 4ув

г° =-

2у2в

Учитывая ув < 4, имеем г° < 4в.

Аналогичным образом устанавливается следующая лемма. Лемма 5. Пусть ув < тогда Ф — сжимающее отображение:

||Ф(Х) — Ф(У)||< дЦХ — У||, Х,У € П,

3

д = (1 + 2уг°)ув < (1 + 8ув)ув < 4.

Доказательство.

||Ф(Х) — Ф(У)|| = ||БГ(Х — У) + (ГХ)(ВГХ + Б) — (ГУ)(БГУ + Б)\\ <

< ву\\Х — У|| + ву2||Х —У||||Х + У|| < < ву|Х — У|| + 2гсву2||Х — У||.

Здесь использовано равенство

(ГХ )З(БГХ) — (ГУ )З(БГУ) = 1 [Г(Х — У )З(БГ(Х + У)) + Г(Х + У )З(БГ(Х — У))]

Отсюда и из теоремы Банаха о неподвижной точке следует лемма. Лемма 6. В шаре

П = (X е Ма^С; ||Х|| < Гд}

существует и притом единственное решение Х° уравнения (2), являющееся пределом последовательности (Фк (0); к е М}, где Фк = Ф о Фк-1 — композиция. Следствие 2. Матрица Л — Б подобна блочно-диагональной матрице Л — ЗХ

a-B~n0

) ■

V 0 —Х2°2

при этом выполняются условия:

а (Л —Б) = (X — ж?1}и а (—Х2°2),

х°п е М, |ж?1| < Го < 4в, а (—^2°2) С (ц е С; |ж| < го < 4р}.

Доказательство. Матрица Л — Б подобна блочно-диагональной Л — ЗХ°, поэтому их спектры совпадают. Спектр матрицы Л — ЗХ° есть объединение спектров ее диагональных блоков. Ввиду субмультипликативности нормы имеют место неравенства

зрг(Х°) = тах |А| < ||Х°|| < гд.

А еа(Х °)

Кроме того, собственное значение х^ является вещественным, как предел сходящейся вещественной последовательности.

Вернемся, наконец, к непосредственному доказательству основной теоремы.

Доказательство теоремы 1. Для доказательства осталось лишь выбрать подходящую субмультипликативную норму. Заметим, что матрица Ы, приводящая к диагональному виду, является ортогональной, поэтому умножение на ТА или Ы-1 есть изометрия. Следовательно, ||Б|| = ЦВ мы||. Рассмотрим в пространстве С норму Фробениуса

||-||^, определенную формулой ||Х= ^^^х^^, X = (х^) е Ма^^уС. Она субмультипликативна. При этом Вмы состоит из М единиц, поэтому

ß = \\в \\F = \\Bmn \\f =

Заметим также очевидное равенство

У

1

N SUP

Я \\X\\F= 1

( 0 Xi2\ V-^21 0 )

F

1

~N'

Если у/М < , то выполняются условия леммы, причем г° < 4\/~М. Это значит,

что а(Амм) = а! и а2, где а! = {Л!} С М, |ЛХ — N| < 4v/M, а2 С {ц € С; |ц| < 4v/M}, а! П а2 = 0. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баскаков, А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Воронеж : Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 1987. — 165 с.

2. Баскаков, А. Г. Расщепление возмущенного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков // Фундаментальная и прикладная математика. — 2002. — Т. 8, № 1. — C. 1-16.

3. Cvetkovic, D. M. Spectra of Graphs: Theory and Applications (3rd revision) / D. M. Cvetkovic, M. Doob, H. Sachs. — N. Y. : Wiley, 1998. — 368 p.

4. Epidemic spreading in real networks: an eigenvalue viewpoint / Y. Wang, D. Chakrabarti, C. Wang, C. Faloutsos // 22nd International Symposium on Reliable Distributed Systems, Oct. 2003. Proceedings. — 2003. — P. 25-34.

REFERENCES

1. Baskakov A.G. Garmonicheskiy analiz lineynykh operatorov [Harmonic Analysis of Linear Operators]. Voronezh, Voronezh State University Publ., 1987. 165 p.

2. Baskakov A.G. Rasshcheplenie vozmushchennogo differentsialnogo operatora s neogranichennymi operatornymi koeffitsientami [Analysis of Linear Differential Equations by Methods of the Spectral Theory of Difference Operators and Linear Relations]. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika [Russian Mathematical Surveys], 2002, vol. 8, no. 1, pp. 1-16.

3. Cvetkovic D.M., Doob M., Sachs H. Spectra of Graphs: Theory and Applications (3rd revision). N. Y., Wiley, 1998. 368 p.

4. Wang Y., Chakrabarti D., Wang C., Faloutsos C. Epidemic Spreading in Real Networks: an Eigenvalue Viewpoint. 22nd International Symposium on Reliable Distributed Systems, Oct. 2003. Proceedings, 2003, pp. 25-34.

ON SPECTRUM OF AN ADJACENCIES MATRIX OF ALMOST-COMPLETE GRAPH

Sergey Viktorovich Kozlukov

Student,

Voronezh State University [email protected]

Universitetskaya St., 1, 394000 Voronezh, Russian Federation

Abstract. Let AMn be a N x N matrix composed of N2 — M unities and M zeroes. Considered as an adjacencies matrix, AMn corresponds to a complete digraph with loops on N vertices with some M out of N2 edges removed. Some

important properties of a graph are determined by its spectrum. For example Wang et al. [4] proposed a discrete-time model of viral propagation in a network. In that model a virus will die out or linger on depending on whether the ratio of curing and infection rates is below or above the treshold value. As Wang et al. have shown that treshold value is the spectral radius of the adjacencies matrix of the network graph, i.e. the maximal absolute value of its eigenvalues. More comprehensive description of spectral graph theory and its application is given by Cvetkovic et al. [3].

This article analyzes spectral properties of such matrices. The matrix AMN can be represented in the form AMn = Jn — BMN, where Jn is a N x N matrix whose all entries are ones and BMN has unities exactly at these M places where AMN has zeroes. The spectrum of JN can be easily computed: JN = NJ, so Л(Л — N) is the minimal annihilating polynomial of JN and hence the spectrum of Jn is a(JN) = {0,N}.

For small enough M the eigenvalues of AMN will be "close" to those of JN. Then The Method of Similar Operators [1;2] is used, which allows in the case of perturbation of some ideal object (whose properties are known) to find an element of the algebra under consideration similar to the disturbed one yet having "simpler" structure. Via this method the following theorem is proven:

Theorem. Let M < N2, then the spectrum of AMN can be represented as a disjoint union a (AMN) = a1 U a2 of a singletone a1 = {Л1} and the set a2, satisfying the following conditions:

CTi С {ц e R; |ц - N| < iVM a2 С |ц e C; |ц| < А^М}.

Key words: the method of similar operators, graph spectra, eigenvalues localization, Jordan normal form, nonlinear equations, contraction theory.