Оценка собственных значений матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2017. №6 (255). Выпуск 46

59

УДК 517-925-7

ОЦЕНКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ

THE ESTIMATE OF MATRIX EIGENVALUES

А.С. Чурсанова A.S. Chursanova

Воронежский государственный университет, Россия, 394018, г. Воронеж, Университетская пл. 1 Voronezh State Universuty, 1 Universitetskaya Square, Voronezh, 394018, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация. С помощью теоремы о расщеплении получена оценка собственных значений матрицы при условии, что собственное значение невозмущенной матрицы сильно отделено от остальных. В основе исследований лежит метод подобных операторов. При исследовании спектральных свойств матрицы матрица представляется в виде суммы хорошо изученной матрицы и возмущения. Получены условия малости возмущения, при котором данная матрица является блочно-диагональной.

Resume. The estimates of matrix eigenvalues in case if eigenvalue of unperturbed matrix is strongly separated from others are obtained using a theorem on splitting. The investigation is based on the similar operator method. While investigation of matrix spectral properties matrix is represented as sum of a well-studied matrix and perturbation. Smallness conditions of perturbation for which this matrix is block-diagonal are obtained.

Пусть имеется линейный оператор А £ ДСП), заданный матрицей внедиаго-

нальные элементы которой малы по сравнению с диагональными, и элемент а11 где ¿ =

2,..., п. Представим оператор А в виде разности А= А — В двух линейных операторов А, В £ L(Cn), заданных матрицами А и В соответственно:

Оператор А будем называть невозмущенным оператором, оператор В - возмущением оператора А, а исходный оператор А - возмущенным, линейным оператором.

Требуется получить оценку одного определенного собственного значения возмущенного оператора А.

Разложим пространство Сп в прямую сумму Х1®Х2, двух инвариантных относительно оператора А подпространств Х± и Х2, где Х-^ — С, Х2 — <СП 1. Будем искать оценку одного собственного значения, поэтому пусть Хг = £(е±), а Х2 = £(е2,...,еп).

В соответствии с заданным разложением пространства Сп рассмотрим трансформаторы Л: Д<СП) ^ Д<СП) и Г: Д<СП) ^ Д<СП) [1-2],такие что:

1. Для любого Х£ Д<СП) матрица оператора ОХ имеет вид:

Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр. Key words: the similar operator method, spectrum.

Введение

2. Оператор ГХ определяется как решение уравнения

АГХ - ГХА = Х-0Х,МХ£ ¿(<СП). Можно показать, что матрица оператора ГХ имеет вид:

60 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ | ,?. I Серия Математика. Физика. 2017 № 6(255). Выпуск 46

/ о 2 ■ • ■ п X

/ алл-а77 ац-а„„\

гх =

о - о

а22-ац

хП1 ^22-"11

/

Будем искать такой оператор Х0 Е1(<СП), для которого выполнено равенство

(а-в)(1 + гх0) = (1 + гх0)(а-гх0). (2)

Если ||ГХ0 ||< 1, то оператор / + ГХ0 обратим, и равенство (2) означает подобие операторов а - в и А — ОХ0. Таким образом, задача оценки первого собственного значения возмущенного оператора а — в сводится к задаче оценки первого собственного значения оператора а — ох0, которое равно аи _х11. Необходимо получить оценку элемента матрицы оператора х0.

Основные результаты Теорема 1. Пусть выполнено неравенство

Х11 В ||<±,

1 о

где у =-= {(¿,у): I = 1 и _/ = 2 ...п, или у = 1 и I = 2 ... п}. Тогда нелинейное уравнение

т'пп 1аи_а/71

Х = ВГХ-ГХЛ(ВГХ)-ГХЛВ + В = Ф(Х), (3)

рассматриваемое в алгебре ¿(Сп), имеет единственное решение Х0 в шаре с центром в нуле и радиусом 4|| в ||, на котором достигается равенство

(а- в)(1 + гх0) = (/ + ГХ0)(Л - гх0). Оператор Х0 можно найти методом простых итераций, если в качестве первого приближения взять х = 0.

Пусть р1 и р2 - проекторы [3], ассоциированные с указанным разложением пространства Сп. Заметим, что для любого хе ¿(<СП) выполнены следующие равенства:

1. зх = р1хр1 + р2хр2;

2. р1(гх)р] =г{р1хр]), ¿,у = 1,2 и р1{гх)р] = 0,1 = 1,2. Через Х^ будем обозначать оператор = 1,2. Тогда

х=(р1+р2)х(р1 + р2) =х1± +х12 +х21 +х22,х Е 1(С"). Применим операторы Р± и Р2 к обеим частям уравнения (3).

1. Вначале осуществим умножение на проектор Рх слева и справа:

р1хр1 = Р1БГХР1 -р1гх0{вгх)р1 -р1гх0вр1 + р1вр1;

х1± = (в1± + в12)(гх1± + ГТ21) - (гх1± + гх12)3((в11 + в12)(гх11 + ГХ21))- (Г*ц + Г12)С7В11 +зв21)

+ в1±.

Учитывая, что зх12 =0х21 = 0 и гх11 = гх22 = 0, получим

х11 = (в11 +в12)гх21 ~гх123{{в11 + в12)гх21)~гх12зв11 + в11;

х11 =в 12гх21 +вц. (4)

2. Применим справа проектор Рх, а слева р2:

р2хр1 =р2вгхр1 -р2гхлвгх)р1 -р2гхзвр1 +р2вр1; х21 = (вц + в22)гх21 ~гх21лв12гх21) ~гх21в11 +в21;

х21 =в22гх21 - (гх21)в12гх21 — (гх21)в11 +в21. (5)

Из равенства (4) ясно, что искомую оценку элемента х°1 оператора х0, являющегося решением нелинейного уравнения (3), найдем, получив оценку цх^ ||, а для оценки цх^ || в свою очередь требуется оценка || Х21 || и разрешимость уравнения (5).

Теорема 2. Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда нелинейное уравнение (5) имеет единственное решение Х21. Это решение можно найти методом простых итераций, если в качестве первого приближения взять х21 = 0. Имеют место следующие оценки:

_ 1 — уь22 -ц _ 1 — уь22 -ц

цх011 ||<-' 22 \|| х°± ||< / 222 н,

2у 2у2Ь12

где ц = ((уь22 -1)2 -4у2Ь21Ь12)1/2 и цвц ||= = 1,2, и х^ определяется из равенства

Непосредственно из теоремы 2 следует

Теорема 3. Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда возмущенный оператор А, заданный матрицей Ц=(а^), имеет собственное значение Я°, представимое в виде

Я® = Яц -Х°и

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2017. №6 (255). Выпуск 46

61

где число удовлетворяет оценке

о

где

У =

min ala-n-ajjl'

1

1-уй22 -д 2Г '

-= {(i,j): i = 1 и у = 2 ...п, или j = 1 и i = 2 ...п}.

q = ССкЬ22 -1)2 -4Y2b21b12)1/2,bij = || Bij W,i,j = 1,2.

Список литературы References

1. Баскаков А.Г. Расщепление возмущенного дифференциального оператора с неограниченными

операторными коэффициентами. // Фундаментальная и прикладная математика, 2002. Т. 8, № 1. С. 1-16.

Baskakov A.G. Splitting of perturbed differential operator with unlimited operator coefficients. // Fundamental and Applied Mathematics, 2002. V. 8, №1. P. 1-16.

2. Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений. // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1986. Т. 50, № 3. С. 435-357.

Baskakov A. G. A theorem on splitting an operator, and some related questions in the analytic theory of perturbations. // Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1987. V. 28, № 3. P. 421-444. (in Russian)

3. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре. Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2013, 159 с.

Baskakov A.G. Lectcii po algebre. Voronezh: Izdatelsko-poligraphicheskii centre VSU, 2013. 159 p.

(in Russian)