CC BY
5' I Я Н
' —,1
1 " ■
а,а
Пг [к
т
"г:
т
, • Ь' \ .. ;
й ■ 141 У
" : -
-Л 1 I
. я
"I л л
УДК 001.891.573
Создание
математической модели общепланетарного транспортного средства: разгон маховиков, прохождение атмосферы, выход на орбиту
ЮНИЦКИЙ А.Э. (г. Минск), ШАРШОВ Р.А., АБАКУМОВ А.А. (г. Новосибирск)
Рассмотрены основные способы расчёта модели общепланетарного транспортного средства (ОТС), которые можно применить на начальном этапе. В первую очередь приводятся общие аналитические методики, а также необходимые параметры ОТС (функция скорости; силы, действующие на ОТС при взлёте, и др.), затрагивается вопрос затрат полной механической энергии ОТС и необходимой мощности электродвигателей на разгон ротора на Земле. Как альтернатива аналитическим методам приводится конечно-элементная схема модели ОТС (с возможными параметрами, взятыми из аналитического расчёта), анализируется поведение модели при взлёте и выходе на заданную орбиту.
Ключевые слова:
конечно-элементный анализ, расчётная модель, общепланетарное транспортное средство (ОТС), маховик ОТС, управление сбросом балласта, КПД линейного двигателя.
11
I Хонечно-элементный анализ - современная передовая методика для расчёта всех возможных конструкций и процессов, протекающих в них. То, что раньше требовало многих часов работы для анализа какого-либо процесса, сейчас не вызывает особых сложностей у профессионалов, которые занимаются подобными расчётами. Суть конечно-элементного расчёта заключается в том, что модель или процесс дискретизируется по элементам или по времени соответственно. Либо проводится совместный расчёт дискретной модели по времени с учётом инерционной составляющей, как в данной статье. В целом конечно-элементный анализ даёт результаты, которые сходятся с реальными моделями с точностью до 5 % для статического расчёта и 10 % - для динамического. Точность полученных результатов напрямую зависит от детальности проработки расчётной модели.
В настоящей статье рассматривается модель общепланетарного транспортного средства (ОТС), вариант конструкции которого представлен на рисунке 1 [1]. Авторами смоделировано динамическое поведение при наборе скорости, «отпускание» конструкции и подъём на заданную орбиту с первой космической скоростью для этой орбиты. Кроме того, выполнен совместный расчёт в комплексе программного обеспечения ДЫБУБ (конечно-элементная модель) и Ма^сас! (дифференциальные уравнения поведения конструкции на различных этапах работы). В целом
модель представляет из себя три неразрывно связанные по вертикальной оси (в полярной системе координат) ленты с заданными свойствами: две ленты имитируют маховики и третья лента - корпус ротора.
Дискретизация модели представлена схематично на рисунке 2.
Конструкции маховиков и оболочки соединяются с помощью контактной пары типа No Separation (с нулевым трением, без возможности отрыва), что исключает взаимовлияние маховиков друг на друга, но при этом позволяет подниматься совместно под влиянием центробежной силы.
На систему действуют несколько сил, все они отображены на рисунке 3: Fv F2 - силы упругости, объединяющие схему в общую конструкцию, G - сила притяжения Земли, Q- сила сопротивления атмосферы, F - равнодействующая сил F] и F2, ф угловая скорость ротора, ср - угол поворота рассматриваемой системы относительно оси координат, сОр - угловая скорость Земли (начальная скорость вращения корпуса), б - центральный угол дуги, г - радиальная скорость ротора и оболочки, г - текущий радиус орбиты ротора, R- радиус Земли.
Основная задача, решаемая в приведённой работе -оптимизация масс маховиков и корпуса ротора из условия определения оптимального КПД и стабилизации на заданной орбите.
Рисунок 1 - Конструкция ОТС: ленточные маховики 1.1 и 1.2; системы привода 2.1 и 2.1, находящиеся внутри корпуса 3; внешние отсеки (капсулы) 4: пассажирские 4.1 и грузовые 4.2 (визуализация)
Рисунок 2 - Количество точек на поверхности сектора с внутренним углом 30°. Общая дискретизация модели -1000 точек на каждую ленту
Рисунок 3 - Схема действия сил на сегмент ОТС
Параметры, используемые в решаемой задаче
Постоянные параметры:
в = 6,67408 х 10~11м3с"2кг1 - гравитационная постоянная; МЕаПЬ = 5,9723 х 1024 кг - масса Земли;
У1е = 465,1 м/с - линейная скорость вращения Земли на экваторе;
Ие = 6378,137 км - экваториальный радиус Земли; Я = 6356,752 км - полярный радиус Земли;
Те = 86161,54933185 с - период обращения Земли вокруг своей оси;
р0 = 1,25 кг/м3 - плотность атмосферы на поверхности Земли;
Ц = у к^уь = 7660>045 - первая космическая скорость для круговой орбиты высотой 415 км. Задаваемые параметры:
Ее! =
ГПа - модули упругости элементов ОТС;
S„ =
площадь поперечного сечения эле-
206 ^ 206 137,3
0,057^ 0,026 0,064 ментов ОТС.
Модуль упругости элементов для маховиков принимается эквивалентным стали. Модуль упругости корпуса принимается в соответствии с ГОСТ 10994-74 «Сплавы прецизионные. Марки», сплав Н36 «Инвар». Инварный сплав в данном случае имеет меньший модуль упругости, большое относительное удлинение перед разрывом и почти не подвержен температурному расширению, в отличие от обычной стали. Данные параметры делают этот материал более подходящим для корпуса ротора. Согласно этим параметрам итоговая линейная жёсткость сегмента ОТС:
Согс = , 1 £(Ee,,xSe)() = 0,548 кН/м
LOTC ;
- линеиная жест-
кость сегмента ОТС.
Расчётные параметры изначально принимаются, исходя из оптимального соотношения масс корпуса и маховиков с учётом начального КПД линейных электродвигателей - 95 %.
450^ 200
v500y
кг - погонная масса элементов (ротор 1, ротор 2, корпус).
СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕПЛАНЕТАРНОГО ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА: РАЗГОН МАХОВИКОВ, ПРОХОЖДЕНИЕ АТМОСФЕРЫ, ВЫХОД НА ОРБИТУ
Относительная взлётная начальная скорость роторов:
4.0 =
-0,1
V 0 ,
км/с.
Абсолютная взлётная начальная скорость роторов:
'13,015^
4, = (4, + ®Д>) =
0,365 ч 0,465 J
км/с.
В расчётную модель также вводится функция управления сбросом массы (балласта) и управление фрикционным расширением на основе модели Максвелла с регулируемым сопротивлением расширению (рисунок 4).
О-
ЛИШ^—О
Рисунок 4 - Модель Максвелла для вязкоупругого демпфера. Вязкий демпфер последовательно соединён супругой пружиной
На элемент 0ТС при взлёте действуют несколько сил, вычисленных следующим образом:
центробежная сила ротора:
/
сила притяжения:
6,(й) = /п,
2 1
(«о + Л)
отс (К0 + Л)2'
продольное усилие в кольце:
рсдл,лд = с0ТС( 2ял-лд;
радиальная сила упругости в кольце:
*-птп
- аэродинамическое сопротивление атмосферы:
- тяга линеиного двигателя:
^ (4 и) =
мо,
ГП1П
И/
Л,
г 11
40 4(0
14,(0.1
Исходя из вышеприведённых параметров и первой итерации расчёта, получена следующая система уравнений.
Уравнение радиального движения:
- 6, (л(0)-р„ [40.^(0]-
-О™[л'(0-Л(0] - М(0Л"(0 = о-
Уравнения изменения кинетического момента:
- для роторов:
^[ед-МО.'фо + ЧО]-
Fle[V2{t)-Vsh(t),t^][R0+h{t)]-
- для оболочки:
+
Уравнение фрикционного расширения:
Вертикальные перемещения сегмента ОТС
dt
ALd(t)\-kd(t)FCT[h(t),ALd{t)] = 0.
Начальные граничные условия задачи: Ц0) = 0; /?'(0) = 0; Ц(о) = \4,0; Ц(о) = ^.о,; ^,(0) = ^;
АЦ(0) = 0.
По данным, полученным из решения системы уравнений и из модели, построены графики, представленные на рисунке 5.
По графику на рисунке 5 видно, что ОТС поднимается на заданную высоту (415 км над уровнем мирового океана) и стабильно находится на ней. Максимальное вертикальное ускорение корпуса в процессе взлёта равно 0,33 м/с2, среднее горизонтальное (окружное вокруг Земли) - 2,04 м/с2 (время выхода на орбиту - 6,8 * 103 с (рисунок 7)).
Для стабильного полёта и фиксации на заданной орбите применялись различные методики и варианты. Наиболее оптимальным с точки зрения исполнимости стал вариант с последовательной переброской энергии с одного маховика на другой. Относительные скорости роторов в процессе взлёта (относительно корпуса ОТС) и абсолютные скорости элементов ОТС в процессе взлёта приведены на рисунках 6 и 7.
При достижении заданной орбиты скорости всех элементов ОТС (корпуса и двух маховиков) должны быть равны первой космической скорости для заданной высоты (7660 м/с) - в сторону вращения Земли или в противоположном направлении. При этом в процессе переброски кинетической энергии с одного маховика на другой в линейных электродвигателях возникает потеря энергии, которая приводит к дестабилизации ОТС (рисунок 8).
Суммарная величина потерь в процессе переброски составляет 1,148 ГДж на каждый метр длины. Для стабилизации кольца ОТС необходима компенсация этой энергии. На данном этапе для стабилизации схемы и добора энергии предполагается использовать водород. Удельная теплота сгорания водорода составляет примерно 140 МДж/кг. Если принимать КПД водородного топливного элемента порядка 50 %, то на каждый метр длины кольца потребуется 16,4 кг водорода, он может входить в состав балласта, который предполагается загружать в грузовые отсеки ОТС.
400 200
ft(f), км h'{t), м/с
0
■2ÜÜ-
И-
JJ \
2 х 103 4х 103 6 х 103 8 х
Время, с
— Высота, км
— Вертикальная скорость, м/с Вертикальное ускорение, м/сг
Рисунок 5 - График набора высоты, вертикальной скорости и вертикального ускорения от времени
Относительные скорости роторов, км/с
10
-10
0 2х 103Ч 4х 103 6х 103 8х 103 1 х
104
Время, с
- Ротор 1 -Ротор 2
Рисунок 6 - Скорости роторов в процессе взлёта (относительно корпуса ОТС)
10
0 2х CD £ 103 6 х 103 8х 103 1 х
104
-10
Время, с
— Ротор 1
— Ротор 2 Корпус
Рисунок 7 - Абсолютные скорости элементов ОТС в процессе взлёта
СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕПЛАНЕТАРНОГО ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА: РАЗГОН МАХОВИКОВ, ПРОХОЖДЕНИЕ АТМОСФЕРЫ, ВЫХОД НА ОРБИТУ
3,8 x10ю
ш 3,7 x10ю
=п
CD
3,6 x10ю
\/ Г- -
/ / -
4ПП
¿UU СО СО
200 О О о
100 СО ^
0 о ж
0 2x103 4х103 6x103 8х103 1х104 Время, с
—Энергия, Дж ---Высота, км
Рисунок 8 - График полной механической энергии ОТС во времени
1хЮ7 5х106 0
-1x1 о6
-1хЮ7
■
U I_ I
0 2 х Ю3 4х103 6х103 8х103 1х104 Время, с
— Ротор 1 --- Ротор 2
Рисунок 9 - График потребляемой мощности во время взлёта
На этапе дальнейшей проработки возможно оптимизировать данный процесс и применять в качестве дополнительного источника энергии выброс реактивной струи из балластной криогенной жидкости, нагревающейся и тем самым отводящей из системы избыток тепла. Для этого допустимо использовать, например, азот или кислород, охлаждённые до температур порядка -200 °С, которые при выбросе в атмосферу в виде реактивной струи не будут загрязнять её, но даже смогут частично восстанавливать озоновый слой (в варианте с кислородом).
Суммарно затраты энергии на начальную раскрутку маховиков до стартовой скорости составляют 1,42 х Ю18 Дж. В случае если разогнать ротор весом 450 кг/м.п. до скорости 12,55 км/с в течение 20 дней, то требуемая мощность составит 21,6 кВт/м.п. При увеличении времени разгона требуемая мощность уменьшается.
Во время взлёта графики потребляемой и вырабатываемой (за счёт рекуперации) мощности приведены на рисунке 9, а функция управления включением/выключением мощности на приводах роторов во время взлёта -на рисунке 10.
0 2х103 4x103 6х103 8х103 1хЮ4 Время, с
— Ротор 1
— Ротор 2
Рисунок 10 - Функция управления включением/выключением мощности на роторах во время взлёта
В качестве выводов следует привести ещё один график - график изменения общей энергии в системе при взлёте (в котором видны потери общей энергии системы), исходя из которого можно сделать выводы о её КПД (рисунок 11).
Потери энергии при взлёте ОТС не превышают 2,8 %, а с учётом потерь при начальном разгоне ротора (при КПД линейных электродвигателей 95 %) общая сумма потерь составит не более 7,6 %.
Таблица - Сравнение вариантов различных компоновок ОТС
Номер варианта Масса ОТС, ротор 1/ротор 2/ корпус, кг/м.п. кпд линейных двигателей, % Начальная скорость ротора 1, км/с кпд вывода ОТС на орбиту, % Потребность в дополнительной энергии при выводе ОТС на орбиту, ГДж/м.п.
1 250/225/500 90 15,65 СО ГО 2,43
2 95 96,3 1,16
3 450/200/500 90 12,55 94,4 2,27
4 95 97,3 1,16
Кроме того, следует привести сравнение вариантов различных компоновок - разные соотношения масс маховиков и КПД линейных двигателей (таблица). Основываясь на этих данных, можно оценить разницу в начальной скорости, суммарном фактическом КПД вывода на орбиту и потребности в дополнительной энергии при стабилизации во время взлёта.
3,85x10ю]-----
* 3,8 x10ю ч
скГ " .
о. ш
т 3,75x10ю
^7х1П||]-1-----
' 0 2 х Ю3 4х103 6х 103 8х103
Время, с
Рисунок 11 - График изменения общей энергии системы при взлёте
Литература
1. Юницкий, А.Э. Струнные транспортные системы: на Земле и в Космосе: науч. издание/А.Э. Юницкий. - Силакрогс: ПНБ принт, 2019. - 576 е.: ил.
2. Иванов, Д. С., Трофимов, С. П., Широбоков, М.Г. Численное моделирование орбитального и углового движения космических аппаратов / Д. С. Иванов, С.П. Трофимов, М.Г. Широбоков; под общ. ред. ММ. Овчинникова. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016. - 118 с.
3. Яблонский, A.A., Никифорова, В.М. Курс теоретической механики: 3-е изд., исправл. и доп. / A.A. Яблонский, В.М. Никифорова. - Ч. 2: Динамика. - Минск Высшая школа, 1966.-411 с.
4. ГОСТ 10994-74 Сплавы прецизионные. Марки (с изменениями № 1-5] - М.: Государственный комитет СССР по управлению качеством продукции и стандартам, 1975.-29 с.
Таким образом, наиболее оптимальным является рассмотренный в данной статье вариант № 4: и с точки зрения стартовой скорости маховиков (она ниже, чем в варианте с более лёгкими маховиками), и с точки зрения КПД вывода ОТС на низкую околоземную орбиту. Вместе с тем он требует меньшего количества энергии для стабилизации, чем остальные варианты. Особо хотелось бы подчеркнуть уровень КПД системы, которым обладает данное транспортное средство - 97,3 %, такое значение выгодно отличает рассматриваемый проект от любого имеющегося
сегодня на вооружении у человечества вида геокосмиче- ©шТшовм'гшэ
СКОГО транспорта. © Абакумов кА, 2019
СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕПЛАНЕТАРНОГО ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА: РАЗГОН МАХОВИКОВ, ПРОХОЖДЕНИЕ АТМОСФЕРЫ, ВЫХОД НА ОРБИТУ
