Создание математической модели общепланетарного транспортного средства с оптимизацией положения и учётом влияния динамических факторов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Создание

математической модели общепланетарного транспортного средства с оптимизацией положения и учётом влияния динамических факторов

Юницкий А.Э.

Беларусь, г. Минск, доктор философии транспорта,

ООО «Астроинженерные технологии» и ЗАО «Струнные технологии»

Шаршов Р.А.

Беларусь, г. Минск,

конструкторское бюро «Расчёты строительных конструкций» ЗАО «Струнные технологии»

Беларусь, г. Минск,

группа расчёта транспортных эстакад

конструкторского бюро «Расчёты строительных конструкций»

ЗАО «Струнные технологии»

УДК 004.942

99

Представлен расчёт математической модели общепланетарного транспортного средства (ОТС) с введением дополнительных факторов, которые позволят более полно оценить полётные характеристики конструкции. На первом этапе добавляется двухфакторная оптимизация: учитывается фактическая неровность земной поверхности; оценивается плоскопараллельное смещение конструкции ОТС относительно экватора для выбора приемлемого положения и учёта появляющейся дополнительной горизонтальной силы. На втором этапе принимаются во внимание динамические факторы, возникающие в зависимости от положения ОТС и влияющие на поведение конструкции при взлёте. Приведено решение и сделаны выводы о целесообразности смещения ОТС и его оптимальном положении, а также о возможности взлёта ОТС под влиянием фактических неровностей земной поверхности.

Ключевые слова:

общепланетарное транспортное средство (ОТС), конструкция ОТС, динамика, оптимизация, расчётный случай.

(1+x+y+2aH3af3g+x)

Введение

Статья является логическим продолжением работы, представленной на II международной научно-технической конференции «Безракетная индустриализация космоса: проблемы, идеи, проекты» 2019 г. [1].

В вышеупомянутом материале были рассмотрены основные принципы, заложенные в математическую модель общепланетарного транспортного средства (ОТС) [2]. Приведены графики взлёта и вертикальных ускорений, оптимизированы массы и скорости элементов. Рассчитаны коэффициент полезного действия системы и суммарные энергии, необходимые на взлёт и функционирование геокосмического комплекса.

Конструктив ОТС принимается в соответствии с предыдущим этапом оптимизации. При решении данной задачи авторами использованы основные параметры системы.

450 ^

200 v 500 ,

кг - погонная масса элементов ОТС

(ротор 1, ротор 2, корпус (всегда последний));

V.0

12,55 ^

-0,1 0

км/с - относительная взлётная начальная

у

скорость роторов;

Vo = (Vo+öR ) =

13,015^1

0,365

0,465

км/с - абсолютная взлёт-

ная начальная скорость роторов.

В настоящей работе рассматривается дальнейшая оптимизация конструкции ОТС с учётом динамического влияния, создаваемого фактическими неровностями земной поверхности в процессе разгона роторов и взлёта.

Постоянные параметры:

в = 6,67408 х 10-11 м3с-2кг-1 - гравитационная постоянная; МЕага = 5,9723 х 1024 кг - масса Земли;

V = 465,1 м/с - линейная скорость вращения Земли на экваторе;

= 6378,137 км - экваториальный радиус Земли; = 6356,752 км - полярный радиус Земли; Те = 86 161,54933185 с - период обращения Земли вокруг своей оси;

р0 = 1,25 кг/м3 - плотность атмосферы на поверхности Земли;

G х MFa

V = —1ЕТ = 7660,045 м/с - первая космическая + 415

скорость для круговой орбиты высотой 415 км. Задаваемые параметры:

ГПа - модули упругости элементов ОТС;

4 =

/ 206 Л 206 137,3

0,057 0,026 0,064

м2 - площадь поперечного сечения

Оптимизация с учётом динамических факторов

Анализ целесообразности смещения ОТС относительно экватора

На пути прохождения эстакады ОТС по экватору встречаются два основных вертикальных препятствия:

1) горы Анды (рисунок 1);

2) горный участок в Кении (рисунок 2). Конструкция анализируется в соответствии с конечно-

элементной моделью.

1КПППП

4691,47

Рисунок 1 - Горы в Южной Америке (все размеры приведены в метрах)

элементов ОТС;

280000

3460,2

Cotc =— Z,(fe^sei)= 0,548 кн/м -

lotc

жёсткость сегмента ОТС;

линейная

Участок трассы для анализа

Рисунок 2 - Горы в Африке (все размеры приведены в метрах)

Смещение трассы ОТС параллельно плоскости экватора не позволяет в полной мере решить задачу оптимизации по нескольким факторам.

Первой причиной является необходимость в значительном смещении трассы ОТС, чтобы эффективно обойти вертикальные препятствия, которые создают дополнительную силу, действующую на конструкцию (рисунок 3).

Красным цветом на рисунке 3 показан экватор, голубым - кольцо ОТС при смещении. Сила //, которую не может самостоятельно погасить система, действует в плоскости ОТС.

Рисунок 3 - Схема действия вертикальной подъёмной силы // и дополнительной силы //, возникающих при смещении конструкции ОТС относительно экватора

При подъёме конструкция стремится занять положение равновесия, сместившись в экваториальную плоскость. Однако из-за накопления инерционной составляющей при достижении плоскости экватора конструкция пересекает её и перемещается на меньшее расстояние (при начальном смещении не более чем на 50 км относительно экватора) в противоположную сторону. При таком движении ОТС через несколько подобных «качков» займёт положение равновесия. Если же смещать на величину больше 50 км, то конструкция при взлёте попадает в одну из собственных глобальных частот, входит в резонанс и начинает раскачивать сама себя, что недопустимо в связи с риском обрушения.

Вторая причина вытекает из первой. Смещение на величину до 50 км не имеет радикально никакого смысла из-за незначительного снижения величины преодолеваемых препятствий.

Исходя из анализа выше, можно сделать вывод: смещение конструкции ОТС относительно экватора нецелесообразно. Таким образом, необходимо преодолевать препятствия, которые возникают при прокладке эстакады ОТС по экватору (рисунки 1, 2).

Анализ возможных вариантов

обхождения вертикального препятствия

В первую очередь рассмотрены и оптимизированы определяющие принципы, заложенные в разрабатываемую методику преодоления препятствий. Ниже (рисунок 4) показана идеализированная схема обхода условной горы. На её основе получены значения усилий, возникающих в конструкции при подобных радиусах кривизны траектории.

На графике, приведённом на рисунке 4, обе оси -расстояния. Единицы измерения: метры - для абсолютно траектории; миллиметры - для относительной. Красным цветом

о о

Траектория движения ротора

X 103 ■ X 103 ■

/ \

X 103 ■ / \

0 X 103 ■ 5X105 1 X106 1,5 x 106 2 X 106

Абсолютная, м Относительная, мм

Горизонтальные координаты, м

Рисунок 4 - Условное препятствие, описываемое траекторией по степенной функции

отмечены абсолютные значения прохождения препятствия, синей прерывистой линией - относительные перемещения линейного маховика внутри корпуса ОТС, увеличенные на четыре порядка для визуализации вертикального движения маховика. При такой схеме движения радиусы кривизны траектории выглядят, как показано на рисунке 5.

В рассматриваемом случае минимально допускаемый радиус кривизны составляет 2,778 х 103 км (минимальное условие радиусов). Данная величина радиуса не вызывает в системе отклика на резонансные частоты, которые находятся в крайне сжатом спектре. Спектр частот приведён на рисунках 6, 7.

1 х 106 1 х 105

1 х 104 1 х 103 100

10

5 х 105

1,5 х 106

1 х 106

Горизонтальная координата, м Рисунок 5 - График изменения радиусов кривизны траектории при прохождении условного препятствия

2 х 106

0

- ттгнтгнтГГТТГГТТГГТТН1

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 25 25 27 29 31 33 55 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 65 65 69 71 75 77 79 81 83 85 87 8 9 91 93 95 97 96 1 02 105 1(18 111 114 117 120 125 126 129 152 135 138 141 144 147 150 153 156 159 1(2 165 168 171 174 177 180 183 186 189 192 195 200

Номер частоты собственных колебаний Рисунок 6 - Плотность распределения первых 200 частот конструкции (маховик на максимальной стартовой скорости)

1 6 11 13 24 350 57 43 50 56 62 68 75 82 88 94

179 187 1® 204 215 221 230 238 247 255 354 272 281 230 298 J07 515 524 3532 5l9 593 äí5Б^35 5S2 4a( 4(9 48l425 Щ 445 Чäг 450 в:lB 477 «36 494 50J 511 520 5Э 537 546 5>4 563 571 580 588 597 fD5H4f_f1fJfU ш hjj7I К '25 755 71^790 759 767 775 7S4 795 882 810 819 82

Номер частоты собственных колебаний Рисунок 7 - Плотность распределения 1000 частот после 1 Гц (маховик на максимальной стартовой скорости)

Визуальное отображение формы колебаний приведено на рисунке 8.

Рисунок 8 - Визуальное отображение частоты собственных колебаний маховика. Деформации (амплитуда неровностей) увеличены в 10 000 раз

При накоплении модальной массы собственные частоты маховика суммируют количество волн, по форме которых происходят колебания. В пределах 10 000 частот не найдено ни одной формы, значительно отличающейся от приведённой выше.

Первые 20 частот отражены в таблице.

Таблица - Первые частоты собственных колебаний конструкции

Мода Частота, Гц

1 3,22 х 10-8

2 8,49 х 10-8

3 1,47 х 10-7

4 1,61 х 10-7

5 1,85 х 10-7

6 2,05 х 10-7

7 2,12 х 10-7

8 2,28 х 10-7

9 2,37 х 10-7

10 2,41 х 10-7

11 2,54 х 10-7

12 2,68 х 10-7

13 2,76 х 10-7

14 3,01 х 10-7

15 3,09 х 10-7

16 3,42 х 10-7

17 3,54 х 10-7

18 4 х 10-7

19 4,12 х 10-7

20 4,66 х 10-7

К моменту захода маховика на траекторию движения по препятствию эти частоты ещё значительнее уплотняются, что негативно влияет на прохождение радиусных участков. Если радиусы прохождения траектории будут недостаточны, то график относительных колебаний ротора станет таким, как представлено на рисунке 9; график усилий -на рисунке 10.

Как можно видеть на рисунках 9, 10, минимальное отклонение радиусов или жёсткий переход на каком-либо

из участков траектории повлекут удар и попадание в одну из собственных частот. Величина сил, создаваемых при таком отклонении, достигает 1,8 МН/м, что неизбежно приведёт к разрушению корпуса и конструкции ОТС. Следовательно, точность расчёта и подбора траектории движения (вращения вокруг планеты) маховиков внутри корпуса ОТС играет первостепенную роль. При выполнении требований по радиусам график поперечных сил принимает вид, отображённый на рисунке 11.

1 х

Траектория движения ротора

шшшда----

|1 1 |! |I l'. I1 I1 il il I1 Г ...... Ii I 11 Ii I II

Горизонтальная координата, м

Рисунок 9 - График колебаний маховика в магнитном поле систем подвеса ОТС при невыполнении условий радиусов на переходной кривой

2 х 106 1 х 106 -

0

-1 х 106 -2 х 106

0

2

4

6

8

Время, с

Рисунок 10 - График создаваемых усилий маховиком, если не выполнено условие радиусов на переходной кривой

10

20 10 0 -10 -20 -30

50

100

Время, с

Рисунок 11 - График сил при оптимальном прохождении неровностей

150

- X

0

¿-ОДРrlr.j''. i ■ *

■•Ц- 44*;='>;.*■-."A . - . »

а ~ к»! ■

( „.- «■] с/ < -

f = «(.1 + cos(t)) V: ' >- •

» J «I 1 у -

■ >

■P! ii-i , ) I

ггтв^ж^ -а + ь

Значения сил в случае оптимальной траектории не превышают 25,9 кН/м, что считается приемлемым показателем для конструкции. Вертикальные силы на данных участках будут пропорционально снижаться при увеличении радиусов кривых траектории движения маховика.

Наиболее соответствующее уравнение, описывающее траекторию движения маховика в конструкции ОТС:

Д2

4p(x) = li

(1)

где Н - высота препятствия;

Ц - полная длина неровности в плане.

Если вертикальные кривые конструкции ОТС при прохождении траектории будут удовлетворять закону, приведённому в формуле (1), то в системе не возникнут избыточные поперечные усилия и колебания маховика внутри магнитного поля.

После формирования профиля трассы появляется вопрос, связанный с процессом взлёта конструкции ОТС. На рисунках 6, 7 видно, что плотный спектр частот

наблюдается как в глобальном масштабе конструкции, так и в локальном. Пока ОТС находится на эстакаде, для общей конструкции кольца плотный спектр частот не играет важного значения при выполнении требований по радиусам. После взлёта конструкция имеет только фактическую изгибную жёсткость кольца и набранную динамическую жёсткость за счёт высокой скорости вращения маховика вокруг планеты. Фактические жёсткости были получены численными методами при помощи конечно-элементного моделирования. Жёсткость кольца при приведении её в общий вид составляет 2500 кН/м. Это чрезвычайно высокая изгибная жёсткость, учитывая малые поперечные размеры маховиков относительно размеров планеты - менее 1/10 000 000.

В момент начала подъёма структура стремится занять максимально выгодную для себя позицию - чистую круговую траекторию. Когда происходит распрямление, в системе присутствуют силы, направленные не от геометрического центра системы, а от геометрических центров кривых, вписанных в траекторию движения обхода препятствий (рисунок 12).

Равнодействующие дополнительных распределённых сил, возникающих от кривизны траектории

т>

Рисунок 12 - Оптимизированная схема обхода Анд

На рисунке 12 чёрной пунктирной линией показана кривая прохождения ОТС через Анды в плоскости экватора (вариант). Как видно, равнодействующие распределённых усилий перед подъёмом ОТС разрознены и направлены каждая в свой центр. При взлёте подобное распределение создаёт локальные множественные угловые отклонения сил относительно линий действия гравитации, ориентированных к центру Земли. Описанные угловые отклонения ведут к появлению изгибающих моментов и, соответственно, к возбуждению сразу нескольких собственных частот. При космической скорости движения маховика внутри магнитного поля частоты начинают генерироваться одна за другой и накладываться друг на друга. Пример такого наложения представлен на рисунке 13.

по длине ОТС ещё до старта. Гашение появившихся эффектов при стабилизации достигается, например, реактивной струёй из расчёта величины тяги в 0,87 кН/м с увеличением значения до 2,61 кН/м к краям кривых. В данном случае график взлёта принимает вид, отражённый на рисунке 14, полученный на основе общей теории, которая приведена в [3] и [4]. Однако опасная деформация конструкции может быть скомпенсирована и изначально увеличением радиусов кривизны ОТС на участках прохождения через горы путём выполнения глубокой выемки скальных пород в высокогорной части, а также строительства высоких опор в предгорьях. Между тем предложенные решения требуют отдельной оптимизации, выходящей за рамки настоящей работы.

000***

Рисунок 13 - Варианты возможного наложения частот

Решение задачи взлёта заключается в недопущении возникновения перегиба конструкции ОТС из-за момент-ной нагрузки во время отрыва ОТС от эстакады. Кривизна, которая образуется в процессе подъёма, в частности, может быть уравновешена локальным сбросом балласта или соответствующей неравномерной загрузкой балласта

Вертикальные перемещения сегмента ОТС

400 200

М, км Щ м/с

0

-200

/

/ \

~2Х 103 4 х 103 6 х 103 8 х

3

2 1

103

Ш м/с2

Время, с

— Высота, км

— Вертикальная скорость, м/с

— Вертикальное ускорение, м/с2

Рисунок 14 - График набора высоты, вертикальной скорости и вертикального ускорения от времени [1]

Выводы

и дальнейшие направления исследования

Исходя из вышеописанного, можно сделать выводы.

1. Горы и возможные другие места, в которых необходимо делать перегибы трассы, являются преодолеваемыми препятствиями и не создают проблем при наборе космических скоростей движения маховиков. При соблюдении всех условий траектории движения маховиков и при поперечном воздействии компенсирующей силы, например посредством реактивных (турбореактивных) двигателей, обеспечивается плавный и стабильный взлёт всей конструкции ОТС на горных участках взлётно-посадочной эстакады.

2. Плоскопараллельное смещение взлётно-посадочной эстакады ОТС относительно плоскости экватора не даёт ощутимых результатов при оптимизации прохождения горных участков, но вызывает большое количество конструктивных сложностей для боковой стабилизации.

В дальнейшем планируется моделирование взлёта конструкции на основе уже известных препятствий с учётом динамических факторов, рассмотренных в данной работе, и фактического магнитного поля Земли, а также отработка стабилизации и стыковки ОТС с орбитальной кольцевой станцией, охватывающей планету в плоскости экватора.

Литература

1. Юницкий, А.Э. Создание математической модели общепланетарного транспортного средства: разгон маховиков, прохождение атмосферы, выход на орбиту / А.Э. Юницкий, РА Шаршов, А.А. Абакумов //Безракетная индустриализация космоса: проблемы, идеи, проекты: материалы II междунар. науч.-техн. конф., Марьина Горка, 21 июня 2019 г. /Астроинженерные технологии; под общ. ред. А.Э. Юницкого. - Минск: Парадокс, 2019. -С. 77-83.

2. Юницкий, АЭ. Струнные транспортные системы: на Земле и в Космосе: научное издание / АЭ. Юницкий. - Силакрогс: ПНБ принт, 2019. - 576 с.: ил.

3. Иванов, Д. С. Численное моделирование орбитального и углового движения космических аппаратов / Д. С. Иванов, С.П. Трофимов, М.Г. Широбоков; под общ. ред. М.Ю. Овчинникова. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016. -118 с.

4. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - Часть 2: Динамика. -3-е изд., испр. и доп. - М.: Высшая школа, 1966. - 411 с.