CC BY
116 ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №5
20. Borisov A.V., Mamaev I.S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Rus. J. Math. Phys. 2016. 23, N 4. 431-454.
21. Kibkalo V.A. Noncompactness property of fibers and singularities of non-Euclidean Kovalevskaya system on pencil of Lie algebras // Moscow Univ. Math. Bull. 2020. 75, N 6. 263-267.
22. Кибкало В.А. Первый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы Ковалевской // Чебышёвский сб. 2023. 24, № 1. 69-88.
23. Алтуев М.К., Кибкало В.А. Топологический анализ псевдоевклидова волчка Эйлера при особых значениях параметров // Матем. сб. 2023. 214, № 3. 54-70.
24. Bolsinov A. V., Guglielmi L., Kudryavtseva E.A. Symplectic invariants for parabolic orbits and cusp singularities of integrable systems with two degrees of freedom // Phil. Trans. Roy. Soc. A: Math., Phys. Eng. Sci. 2018. 376, N2131. 20170424.
25. Кибкало В.А. Параболичность вырожденных особенностей в осесимметричных системах Эйлера с гиростатом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 1. 25-32.
Поступила в редакцию 28.04.2023
УДК 517.925.5
СОВПАДЕНИЕ КЛАССОВ ЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ АСИМПТОТИЧЕСКУЮ И ЧАСТНУЮ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
А. А. Бондарев1
Доказывается совпадение классов линейных приближений, обеспечивающих свойства асимптотической и частной неустойчивостей (трех типов в отдельности: ляпуновского, перроновского и верхнепредельного) нулевого решения неодномерной дифференциальной системы.
Ключевые слова: дифференциальная система, нелинейная система, линейное приближение, устойчивость по первому приближению, устойчивость по Ляпунову, устойчивость по Перрону, верхнепредельная устойчивость.
A coincidence of classes to linear approximations that provide the properties of asymptotic and particular instabilities (of three types separately: Lyapunov, Perron, and upper-limit) of the zero solution to a non-one-dimensional differential system is proved.
Key words: differential system, nonlinear system, linear approximation, stability at the first approximation, Lyapunov stability, Perron stability, upper-limit stability.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-5-2
Введение. Одним из важнейших качественных свойств решений дифференциальных уравнений и систем является устойчивость по Ляпунову [1], исследованию которой по первому приближению посвящен первый метод Ляпунова [2, гл. 3].
Результаты исследования по первому приближению недавно введенных перроновской [3] и верхнепредельной [4] устойчивостей представлены в работах [5, 6], где введены классы линейных приближений, обеспечивающих (см. определение 3) те или иные свойства устойчивости или неустойчивости ляпуновского, перроновского или верхнепредельного типа, и изучены некоторые взаимосвязи между ними: включения, совпадения или несовпадения.
В настоящей работе найдены еще некоторые взаимосвязи между классами устойчивости и неустойчивости этих типов, а именно доказано, что если данное неодномерное линейное приближение допускает (см. определение 3) асимптотическую устойчивость, то оно же допускает и глобальную устойчивость того же типа (см. определения 1 и 2). Иными словами, если дифференциальная система с данным линейным приближением обладает асимптотической устойчивостью, то
1 Бондарев Алексей Андреевич — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Bondarev Aleksei Andreevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations.
© Бондарев А. А., 2024 © Bondarev A. A., 2024
(cc)
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №5
17
с помощью равномерно малого возмущения ее правой части можно построить систему с тем же линейным приближением, но обладающую уже глобальной устойчивостью. Отсюда выводится, что для каждого из трех вышеперечисленных типов (ляпуновского, перроновского и верхнепредельного) в отдельности класс обеспечения его асимптотической неустойчивости совпадает с классом обеспечения его частной неустойчивости.
1. Основные понятия. Для числа n € N и фазовой области G С Rn, содержащей точку нуль, рассмотрим систему
x = f(t,x), t € R+ = [0, x = (Х1,...,Хп)Т € G, (1)
с правой частью f : R+ x G ^ Rn, удовлетворяющей условиям
f,fX € C(R+ x G), f(t, 0) = 0, t € R+,
обеспечивающим существование и единственность решений задач Коши и наличие нулевого решения. Обозначим через S*(f) множество всех непродолжаемых ненулевых решений системы (1), а через Ss(f) С 5* (f) его подмножество, состоящее из тех решений x, которые удовлетворяют начальному условию |x(0)| < ö.
Определение 1. Скажем, что для системы (1) (точнее, для ее нулевого решения, о чем мы для краткости не будем далее упоминать) имеет место перроновская или верхнепредельная:
1) асимптотическая устойчивость, если для некоторого ö > 0 любое решение x € Ss (f) удовлетворяет соответственно требованию
lim \x(t)\=0 или Tim |a:(i)|=0; (2)
i^+oo t-^+oo
2) асимптотическая неустойчивость, если асимптотическая устойчивость не имеет места, т.е. для каждого ö > 0 хотя бы одно решение x € Ss(f) не удовлетворяет соответствующему требованию (2);
3) глобальная устойчивость, если любое решение x € S* (f) удовлетворяет соответствующему требованию (2);
4) частная неустойчивость, если глобальная устойчивость не имеет места, т.е. хотя бы одно решение x € S* (f) не удовлетворяет соответствующему требованию (2).
Определение 2. Также будем говорить, что для системы (1) имеет место ляпуновская:
1) устойчивость, если для любого е > 0 существует такое ö > 0, что любое решение x € Ss(f) удовлетворяет требованию
sup |x(t)| < е; (3)
teR+
2) неустойчивость, если ляпуновская устойчивость не имеет места, т.е. для некоторого е > 0 и каждого ö > 0 хотя бы одно решение x € Ss(f) не удовлетворяет требованию (3);
3) асимптотическая устойчивость, если система обладает ляпуновской устойчивостью и верхнепредельной асимптотической устойчивостью;
4) асимптотическая неустойчивость, если ляпуновская асимптотическая устойчивость не имеет места, т.е. система обладает ляпуновской неустойчивостью или верхнепредельной асимптотической неустойчивостью;
5) глобальная устойчивость, если система обладает ляпуновской устойчивостью и верхнепредельной глобальной устойчивостью;
6) частная неустойчивость, если ляпуновская глобальная устойчивость не имеет места, т.е. система обладает ляпуновской неустойчивостью или верхнепредельной частной неустойчивостью.
Замечание 1. Подчеркнем, что в этих определениях требования (2) и (3) (в отличие от противоположных к ним) считаются невыполненными, в частности если решение определено не на всей полуоси R+, т.е. его фазовая кривая за конечное время доходит до границы области G (см. теорему о продолжаемости решений, например, в [7, теорема 23]).
Некоторые результаты автора, посвященные реализуемости на конкретных дифференциальных системах сочетаний контрастирующих друг с другом свойств из определений 1 и 2, представлены в работах [8-13].
Далее сформулируем следующее
Определение 3. Система (1) имеет линейное приближение
x = A(t)x, t € R+, x € Rn, A € C (R+, End Rn), (4)
если выполнено требование равномерной малости возмущения
sup |f(t,x) - A(t)x| = o(x), G э x ^ 0 ^ A(-) = fx(■, 0). (5)
teR+
Также будем говорить, что линейное приближение (4)
обеспечивает данное свойство из определений 1 и 2, если им обладает всякая система (1) с этим линейным приближением;
допускает данное свойство из определений 1 и 2, если им обладает хотя бы одна система (1) с этим линейным приближением.
Множество всех линейных приближений, обеспечивающих конкретное свойство из определений 1 и 2, будем называть классом обеспечения этого свойства.
2. Полученные результаты. Для введенных в определении 3 классов обеспечения ляпунов-ских, перроновских и верхнепредельных свойств справедлива
Теорема. При n > 1 совпадают классы обеспечения следующих свойств: ляпуновской асимптотической и ляпуновской частной неустойчивостей; перроновской асимптотической и перроновской частной неустойчивостей; верхнепредельной асимптотической и верхнепредельной частной неустойчивостей. Замечание 2. Описанные в теореме классы линейных приближений в случае, когда фазовое пространство одномерно, полностью изучены в работе [5], а именно при G С R совпадают:
классы обеспечения ляпуновской и верхнепредельной асимптотической и частной неустойчивостей (все четыре сразу);
классы обеспечения перроновской асимптотической и перроновской частной неустойчивостей, но не совпадают с предыдущими четырьмя.
Доказательству теоремы предпошлем следующую техническую лемму (доказательство которой схоже с доказательствами аналогичных лемм, представленных в работе [10]). Лемма. Функция в : R+ х R+ ^ R+, заданная условиями
р, если 0 ^ р ^ ¿/3;
р р / s \
e(t, р) = { р + а1(t) I х(т) dT - a2(t) П / Х(т) dтjds, если 5/3 < р < 5/2; (б)
г/з г/з \г/з
где
ЪЩ&Р+Ъ (l-2A(|=7) , если 2,
!0, если т ^ 5/3 или т ^ ¿/2;
1 (7)
е(т-«/з)(т-«/2) s если 6/3 <т < 5/2,
г/2 s г/2
г/з г/з г/з
(8)
а А : R+ ^ [5, — произвольная монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая условиям
А € С~ , А(0) = 5, (9)
обладает следующими свойствами:
1) при каждом фиксированном значении момента £ € R+ функция в(£, ■) является биекцией, действующей из полупрямой R+ в себя, и удовлетворяет неравенству
дв
—(¿,р)>0,
2) является бесконечно дифференцируемой функцией по совокупности переменных. 3. Доказательства теоремы и леммы.
Доказательство леммы. Прежде всего покажем, что функция в(£, ■) является бесконечно дифференцируемой функцией своего аргумента при каждом фиксированном значении момента £ € R+. Действительно, она является линейной (а значит, и бесконечно дифференцируемой) функцией всюду на промежутках [0,5/3) и (5/2, +гс>) . В интервале (5/3,5/2) гладкость по построению
тоже имеется, поэтому остается ее проверить лишь в двух точках ¿/3 и ¿/2. Непрерывная диффе-ренцируемость вытекает из равенств
¿/3+0 5/3+0 «
£(¿,¿/3 + 0) = ¿/3 + У х(т) ^т - J У х(т) dт^ds = ¿/3 = £(¿,¿/3 - 0),
5/3 5/3 5/3
5/2 5/2
£(¿,¿/2 - 0)= ¿/2 + (¿) У х(т) dт - У ( У Х(т) dт^ds =
5/3 5/3 5/3
5/2 8 5/2
= 5/2+ (72(4) (У I Х(т)с1т-?1 =5/2 = 6(1,5/2 + 0)
5/3 5/3 5/3
5/3+0
д£ С д£
М/3 + 0) = 1+ <71 (*)* (5/3 + 0)-<72(*) J х(т)£*г = 1 = —М/3-0),
др
5/3
5/2
— (*, ¿/2 — 0) = 1 + <71 (г)* (¿/2 - о) - (72(4) ] х(т) <1т =
5/3
5/2 5/3
В силу бесконечной дифференцируемости функции х, а также выполнения равенств
х(т) (¿/3) = х(т) (¿/2) =0, т = 0,1, 2, 3,... ,
функция £(4, ■) является бесконечно дифференцируемой функцией своего аргумента для каждого фиксированного момента Ь € К+. Отсюда, из равенств (6)—(8) и условия (9) следует существование непрерывных по совокупности переменных (¿, р) производных функции £ всех порядков по Ь и р всюду на декартовом произведении М+ х М+, поэтому свойство 2 настоящей леммы выполнено.
Покажем также, что £(Ь, ■) является строго монотонной (возрастающей) и биективной функцией, действующей из полупрямой М+ в себя. Действительно, в силу неотрицательности и непрерывности функций х, и Л (что следует непосредственно из равенств (7), (8) и определения функции Л)
и справедливости при Ь € М+ оценки
р р
о < <*(() / Х(т) ¿г = I ( / \(т) лг) (1 - щ^) < 1 - < 1, «/3 < , < «/2,
5/3 5/3
для производной
' 1, если 0 ^ р ^ ¿/3;
— (*, Р) = (1 " ^ / Х(т) йт) + аг(Шр), если 5/3 < р < 5/2; др V 5/3 /
если р^й/2,
имеет место неравенство
д£
—(¿,р)> о, ¿ем+, рем+,
откуда следует монотонность и инъективность функции £(Ь, ■).
При фиксированном значении момента t € R+ выполняются соотношения
lim 9(t, р) = 0 и lim 9(t, р) =
р^+0 р^+те
в силу которых и непрерывности функции 9(t, ■) € C(R+) получаем, что 9(t, ■) принимает все промежуточные значения от 0 до т.е. является сюръективным отображением, действующим из луча R+ в себя. Отсюда следует свойство 1 настоящей леммы.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Класс обеспечения асимптотической неустойчивости (ляпунов-ской, перроновской или верхнепредельной) содержится в классе частной неустойчивости соответствующего типа [5, теорема 2].
Предположим теперь, что данное линейное приближение (4) не обеспечивает асимптотической неустойчивости — ляпуновской, перроновской или соответственно верхнепредельной. Тогда некоторая система (1) с этим линейным приближением обладает асимптотической устойчивостью (или, что эквивалентно, данное линейное приближение допускает асимптотическую устойчивость) соответствующего типа, т.е. существует такое ö > 0, что все решения x € Ss(f) удовлетворяют:
второму из требований (2) в случае ляпуновской или верхнепредельной асимптотической устойчивости;
первому из требований (2) в случае перроновской асимптотической устойчивости, а также у системы (1) имеется и ляпуновская устойчивость в случае ляпуновской асимптотической устойчивости.
Покажем, что тогда данное линейное приближение не обеспечивает и соответственно ляпу-новскую, перроновскую или верхнепредельную частную неустойчивость (или, что эквивалентно, допускает глобальную устойчивость соответствующего типа).
Сделаем в этой системе (1) преобразование координат, заданное равенствами
9(t Ы)
ß = e(t,p), te R+, p = |ж| € R+, yi= uXi, i = l,...,n,
1) функция 9 определяется условиями (6)—(8), в которых в качестве А : R+ ^ [ö, +гс>) взята произвольная функция, такая, что
А(£) > А1 (£) = тах тах |х(в,хо)| + £> 0, А(-) € (R+) А(0) = Ах(0) = 5;
2) компакт В; — замкнутый в пространстве Rn шар радиуса 5 > 0 с центром в нуле, т.е.
Д; = {х € Rra||x| < 5} , где В; = {х € Rn| |х| <5} ;
3) вектор-функция х(-,х0) : R+ ^ С — решение задачи Коши
{хх = / (£, х), _ ^
' £ € R+, х € С.
х(0) = х0,
В результате получим систему
у = д(£,у), £ € R+, у = (уь...,у„)Т € С, в = |у|- (10)
Отметим, что такая функция А(-) существует в силу непрерывности А1 € С , которая в свою очередь вытекает из компактности шара В; С Rn (см. [7, следствие 125]) и теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных (см. [7, теорема 119]).
Из леммы следует, что при каждом фиксированном значении момента £ € R+ к функции в(£, ■) существует обратная, которая, если ее рассматривать уже как функцию от двух аргументов £ и в, является непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных всюду на прямом произведении R+ х R+. Отсюда получаем, что правая часть системы (10) удовлетворяет условию д,дУ € С х С, Rn), а в силу равенства
в(£, р) = р, £ € R+, 0 < р < 5/3, (11)
еще и условию (5) с механической заменой в нем символов / и х на д и у соответственно.
Далее, из справедливости для р-координаты каждого решения х € (/) системы (1) при каждом Ь > 0 оценки
< (щЫ ю +1 (1 - Щ^б) < (щЫ ГД, Иг'а,(|)|+
^ 2Л(Ь) - ^ 2Л(Ь) - г 2 \ 2Л(Ь) - 5/
следует, что все решения у € (д) системы (10) ни в какой момент Ь € М+ не покидают открытую окрестность нуля.
Но тогда та же система (10), суженная на подобласть Б^, обладает уже глобальной устойчивостью (соответственно ляпуновской, перроновской или верхнепредельной), поскольку
1) каждое ее решение
определено на всей полуоси М+;
не покидает окрестность Б^ ни в какой момент Ь € К+;
удовлетворяет соответствующему требованию (2) (первому для перроновской, второму для ляпуновской и верхнепредельной) в силу равенства (11) и стремления (в соответствующем смысле при Ь ^ +гс>) к нулю решений х € S¿(/) системы (1);
2) качественное поведение решений системы (10) в шаровой г/3-окрестности нуля в точности такое же, как и системы (1), в силу справедливости равенства (11).
Итак, данное линейное приближение допускает и глобальную устойчивость соответствующего типа. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность профессору И. Н. Сергееву за ценные замечания, способствовавшие значительному улучшению текста работы.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС" (проект № 22-8-10-3-1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
3. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и ее связь с устойчивостью по Ляпунову // Диффе-ренц. уравнения. 2018. 54, № 6. 855-856.
4. Сергеев И.Н. Определение верхнепредельной устойчивости и ее связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. 56, № 11. 1556-1557.
5. Сергеев И.Н. Классы линейных приближений, обеспечивающих различные виды устойчивости или неустойчивости дифференциальных систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 4. 8-15.
6. Сергеев И.Н. О перроновских, ляпуновских и верхнепредельных свойствах устойчивости дифференциальных систем // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 2023. 33. 353-423.
7. Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям. М., 2019.
8. Бондарев А.А. Пример полной, но не глобальной неустойчивости по Перрону // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2021. № 2. 43-47.
9. Бондарев А.А. Пример дифференциальной системы с перроновской и верхнепредельной полной неустойчивостью, но массивной частной устойчивостью // Дифференц. уравнения. 2022. 58, № 2. 147-152.
10. Бондарев А.А. О существовании дифференциальной системы с ляпуновской глобальной неустойчивостью, все решения которой стремятся к нулю при неограниченном росте времени // Дифференц. уравнения. 2022. 58, № 8. 1011-1019.
11. Bondarev A.A. An example of contrasting combination to stability and instability properties in even-dimensional spaces // Mem. Diff. Equations and Math. Phys. 2022. 87. 25-36.
12. Бондарев А.А., Сергеев И.Н. Примеры дифференциальных систем с контрастными сочетаниями ляпу-новских, перроновских и верхнепредельных свойств // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. 506. 25-29.
13. Бондарев А.А. Два контрастных примера многомерных дифференциальных систем с ляпуновской крайней неустойчивостью // Матем. заметки. 2024. 115, № 1. 24-42.
Поступила в редакцию 29.11.2023
