CC BY
3легко уменьшено до M: как было отмечено, обнаружение ошибок эквивалентно проверке принадлежности набора коэффициентов C* Ж-мерному линейному подпространству C(H) (N+M)-мерного пространства He а N-мерное линейное подпространство (N + M)-мерного пространства описывается в точности M линейными уравнениями.
Авторы приносят благодарность проф. Т.П. Лукашенко и с.п.с. А. В. Галатенко за ценные обсуждения, замечания и комментарии.
Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ (договор № 14.W03.31.0031).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Peterson W.W., Weldon E.J. Jr. Error-correcting codes. 2nd ed. Cambridge, MA: The MIT Press, 1972.
2. Huffman V.C., Pless V. Fundamentals of error-correcting codes. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003.
3. Kl0ve T. Codes for error detection. Singapore: World Scientific Publishing Company, 2007.
4. Tomlinson M., Tjhai C.J., Ambroze M.A., Ahmed M., Jibril M. Error-correction coding and decoding. Cham: Springer International Publishing, 2017.
5. Marshall T. Coding of real-number sequences for error correction: a digital signal processing problem // IEEE J. Sel. Areas Communs. 1984. 2. 381-392.
6. Shiu J., Wu J.L. Class of majority decodable real-number codes // IEEE Trans. Communs. 1996. 44, N 3. 281-283.
7. He Z., Ogawa Т., Haseyama M., Zhao X., Zhang S. A compressed sensing-based low-density parity-check real-number code // Radioengineering. 2013. 22, N 3. 851-860.
8. Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, № 1. 3-16.
9. Галатенко В.В., Лившиц Е.Д. Обобщенные приближенные слабые жадные алгоритмы // Матем. заметки. 2005. 78, № 2. 186-201.
10. Finite frames: theory and applications / Ed. by PG. Casazza, G. Kutyniok. N.Y.: Springer-Birkhauser, 2013.
11. Finite frame theory: a complete introduction to overcompleteness / Ed. by K.A. Okoudjou. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2016.
12. Goyal V.K., Kovaeevie J., Kelner J.A. Quantized frame expansions with erasures // Appl. and Comput. Harmon. Anal. 2001. 10, N 3. 203-233.
13. Holmes R.B., Paulsen V.I. Optimal frames for erasures // Linear Algebra and Its Appl. 2004. 377. 31-51.
14. Han D., Sun W. Reconstruction of signals from frame coefficients with erasures at unknown locations // IEEE Trans. Inf. Theory. 2014. 60, N 7. 4013-4025.
15. Han D., Lv F., Sun W. Recovery of signals from unordered partial frame coefficients // Appl. and Comput. Harmon. Anal. 2018. 44, N 1. 38-58.
16. Kovaeevie J., Chebira A. An introduction to frames // Found. Trends Signal Process. 2008. 2, N I. 1-94.
Поступила в редакцию 15.06.2020
УДК 517.926.4
ПРИМЕР ПОЛНОЙ, НО НЕ ГЛОБАЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРРОНУ
А. А. Бондарев1
Исследуются различные свойства двумерной дифференциальной системы, связанные с устойчивостью по Перрону. Доказывается, что из полной неустойчивости по Перрону, вообще говоря, не следует глобальная неустойчивость по Перрону, как может показаться
1 Бондарев Алексей Андреевич — студ. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: albondarevl998Qyandex.ru.
Bondarev Alexey Andreevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations.
на первый взгляд. Как выяснилось, можно построить такой контрпример даже с бесконечно дифференцируемой правой частью и нулевой матрицей первого приближения в нуле. Рассматриваемая система является нелинейной.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, нелинейные системы, устойчивость по Перрону.
Various properties of the two-dimensional differential system related to Perron stability-are studied. It is proved that, generally speaking, the global Perron instability doesn't follow from the total Perron instability, while this may seem at first glance. It turns out that it is possible to construct a counter-example even with an infinitely differentiable right-hand side and a zero matrix of the first approximation at zero. The system considered here is nonlinear.
Key words: differential equations, nonlinear systems, Perron stability.
Настоящая работа посвящена недавно введенному [1] понятию качественной теории дифференциальных уравнений, а именно устойчивости по Перрону. Ее результат сформулирован ранее в докладе [2], но лишь частично и к тому же без доказательства. Предлагаемая в настоящей работе теорема снабжена полным доказательством, причем она усиливает результат доклада [2], а главное исправляет недостаток, указанный в замечании 4 к доказательству теоремы 1 [3].
Для числа n € N и области G евклидова пространства Rn, содержащей точку 0, рассмотрим систему
x = f (t,x), t € R+ = [0, то), x € G, (1)
с правой частью f : R+ х G ^ Rn, удовлетворяющей условиям
f,f € C(R+ х G), f(t, 0) = 0, t € R+,
а значит, допускающей нулевое решение. Обозначим через Ss(f) множество всех непродолжаемых ненулевых решений x системы (1), удовлетворяющих начальном,у условию |x(0)| < 5 (здесь | ■ | — евклидова норма в Rn).
1. Определение и формулировка теоремы.
Определение 1 [3]. Скажем, что нулевое решение системы (1) обладает следующими перро-новскими свойствами:
1) устойчиво по Перрону, если для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что любое решение x € Ss (f) удовлетворяет требованию
lim |ж(£)| < е; (2)
t—у^о
2) неустойчиво по Перрону, если оно не является устойчивым по Перрону, а именно если существует такое е > 0, что для любого 5 > 0 некоторое решение x € Ss(f) не удовлетворяет требованию (2);
3) вполне неустойчиво по Перрону, если для некоторых е, 5 > 0 ни одно реш ение x € Ss (f) не удовлетворяет требованию (2);
4) асимптотически устойчиво по Перрону, если для некоторого 5 > 0 любое решение x € Ss(f) удовлетворяет требованию
lim |ж(£)| = 0. (3)
t—ro
Подчеркнем, что в определении перроновских свойств требования (2) и (3) считаются невыпол-
x
R+, что имеет место тогда и только тогда, когда соответствующая ему фазовая кривая за конечное
G
например, теорему 23 [4]).
В теореме 3 из работы [5] доказано, что каждое перроновское свойство из определения 1 обладает следующими двумя свойствами:
а) является локальным, по начальному значению, т.е. для его установления достаточно при произвольном фиксированном значении r > 0 рассматривать те и только те решения x, которые удовлетворяют условию |x(0)| < r;
б) является локальным, по фазовой переменной, т.е. для его установления достаточно при про-
r > 0 x
моменты t € R+, для которых оно удовлетворяет условию |x(t)| < r.
С учетом этого на первый взгляд может показаться, что в случае полной неустойчивости по Перрону свойство удаления решений от нулевого решения автоматически переносится с ненулевых решений, начинающихся вблизи нуля, на все ненулевые решения вообще, т.е. полная неустойчивость по Перрону носит, так сказать, глобальный характер.
Однако это предположение оказывается неверным, причем уже в двумерном случае, что утверждает теорема 1 из работы [3]. К сожалению, построенный в доказательстве этой теоремы контрпример обладает одним существенным недостатком (см. замечание 4 там же), а именно в нем соответствующая система (1) имеет неограниченную на временной полуоси систему первого приближения (вдоль нулевого решения).
Как оказалось, этот дефект можно устранить, предъявив аналогичную систему, но не просто с ограниченной (как утверждалось в докладе [2]), а даже с нулевой системой первого приближения, о чем и свидетельствует
Теорема. При n = 2 для облас mu G = M2 существует eue m,ем,а, (1), удовлетворяющая следующим трем условиям:
1) (1)
f (t, 0) = 0, f (t, 0) = 0, t € R+;
2) некоторое peuiение x0 системы (1) обладает, свойствами
|xo(0)| = 1, lim |x0(t)| =0;
t—y^o
3) нулевое решение системы (1) вполне неустойчиво по Перрону. 2. Доказательство теоремы. Рассмотрим следующую систему:
(4)
(5)
t 2
гр -, - -гу^
Jü 1 — С- JU 1 ^
D6t
x2 = e6t(1 - etxi)^2 + x(x2, t)x2,
x =
€ R2, t € R+,
(6)
где
x(z, t) = 0(et(|z|- e-t)) =
a функция в : R ^ [0,1] задается условиями
|z| ^ e t; |z| ^ 2e-t,
(7)
0, ^ £^0; 0(0 = \ Со • jt e^ dr, 0 < С < 1;
i, e ^ i,
Co =
1
6t(T-1) ¿T
-1
Убедимся в том, что для этой системы выполнены все три условия из формулировки настоящей теоремы.
Условие 1. Прежде всего заметим, что правая часть системы (6) бесконечно дифференцируема, поскольку при любом г > 0 справедливы асимптотики
е^=о(тг), т —>■ +0, е^1) =о((1-т)г), г ->■ 1 - 0.
Далее, непосредственная проверка (подстановка ж^-) = ж2(-) = 0) показывает, что система (6) удовлетворяет первому из равенств (4), т.е. допускает нулевое решение. Кроме того, для каждого Ь € R+ в открытой полосе
и = {ж € R2 | Ж1 € R, |ж2| < е-4} С R2 (8)
ее правая часть удовлетворяет равенству
;(Ь'Ж)= (^(Г-Й^ж2) ' Ж € ^
1
которое обеспечивает второе из равенств (4).
Условие 2. Одним из решений системы (6) служит функция Жо(£) =
-г
, поскольку
|(в-г)• = —вг ■ в-24,
|0 = в6г(1 - в* ■ в-4)в-2г + Х(Х2,*) ■ о,
Эта функция обладает всеми свойствами (5), так как
* €
|хо(0)| =
= 1,
Иш |х0(*)| = Нш
о
= Иш в 4 = 0.
Условие 3. Для каждого из значений параметра к = 5 и к = 6 рассмотрим систему
и 1
—в и
и ,2 1,
и 2 = вкг(1 — вги1)и2,
и
€
* €
(9)
с бесконечно дифференцируемой правой частью. Эта система при к = 6 для каждого * € ] полосе иг (8) в соответствующих обозначениях (и = х) совпадает с системой (6).
к)
и1(£) = 0 или и1(£) =
1
вг + су
С €
(10)
Для исследования устойчивости по Перрону (ввиду локальности этого свойства) достаточно знать поведение при * ^ то лишь тех решений, которые удовлетворяют условию |и1 (0) | < 1. Поэтому в семействе (10) можно ограничиться только значениями С1 € (—то, —2) и (0, то):
а) если С1 < —2, то уже первая координата соответствующего решения системы (9) определена не на всей полуоси М+ а лишь на полуинтервале [0,1п |С1|) и соответствующая этому решению фазовая кривая за конечное время независимо от второй его координаты уходит по норме в бесконечность (что согласуется с определением неустойчивости по Перрону);
б) при каждом С1 > 0 ненулевая функция из семейства (10) положительна и непрерывна на всей полуоси М+ и монотонно стремится к нулю при * ^ то, однако для таких значений константы с1
1
вт + С1
[г С-|в(к-1)т
(1т + С2= / -о (1е7 + С2,
Л (вт + С1)3
удовлетворяющие условию
{г С-|в(к-4)т
с1
в(к-4)т йвт + С2 ^то, *
/о (1 + С1в-т)3"~ ' ^ ^ (1 + С1)3 ,)о Кроме того, решениями системы (9) являются еще и функции вида
0
.
и(*) =
с
* €
с
(11)
порождаемые нулевой первой координатой из семейства (10).
Б. Если при к = 5 в системе (9) сделать подстановку и = "1, и2 = в-г"2, то в результате получится система
V!
—вг^2,
"¿2 = в64 (1 — ^1вг) V2 + "2,
V =
€ М2
* €
Ч>
(12)
также с бесконечно дифференцируемой правой частью. Система (12) имеет нулевое решение и является вполне неустойчивой по Перрону, что следует из равенств
"(*)=! д:;))) ■ * €
"(0) = и(0)
и свойств решений системы (9), описанных в п. А. Кроме того, для каждого * € М+ вне полосы
V = {х € М2 | Х1 € М, |ж2| < 2в-г} С М2, (13)
т.е. при х € М2 \ V*, система (6) в соответствующих обозначениях (х = V) совпадает с системой (12) (имеющей ненулевую систему первого приближения в нуле и потому негодящейся в качестве требуемой для доказательства настоящей теоремы). Таким образом, если какое-либо решение системы (6) при каком-то * € М+ дойдет до границы полосы V, то далее оно будет подчинено системе (12), а значит, уйдет по норме в бесконечность при * — то.
х=и
ниях * € М+ вид (11) при |С| < 1. Вторая координата Х2(-) любого такого решения удовлетворяет уравнению
х2(*)= Х(Х2(*),*) ■ Х2(*), Х(Х2(*),*) ^ 0, * € М+.
Если С > 0, то в полуплоскости Х2 > 0 для такого решения выполнено неравенство Х2(*) ^ 0, следовательно, его координата Х2(*) нестрого возрастает, тогда как положительная верхняя граница 2в-г второй координаты полосы V* (13) стремится к нулю при * — то. Поэтому в некоторый момент
* > 0 такое решение обязательно дойдет до границы полосы V и для его второй координаты будем иметь
х2(*) — то, * — то. (14)
Если же С < 0, то аналогично получаем
х2(*) < 0, х2(*) ^ 0, х2(*) — —то, * — то.
Г. Теперь рассмотрим решения х = и системы (6), непредставимые при малых значениях * € М+ в виде (11). Их первые координаты удовлетворяют равенствам (10) при С1 € [—2,0]. Покажем, что для всякого такого решения х(-) найдется некоторый момент * > 0, в который оно дойдет до границы полосы V (13) (в результате чего вторая его координата в итоге будет удовлетворять условию (14)). Действительно, пусть это не так. Тогда в силу ограниченности функции % (7) для некоторой константы К > 0, возможно, зависящей от решения х, будет выполнена оценка
|х(х2(*),*) ■ х2(*)| < К, * € М+. (15)
х1 = и1
(10) во второе уравнение системы (6), получим асимптотику
х 2 (*) = 0(в3*), * — то,
из которой следует неограниченный рост модуля второй координаты |х2 (*)| такого решения при
* — то, что противоречит оценке (15).
Теорема доказана.
Автор приносит благодарность И. Н. Сергееву за ценные замечания, способствовавшие значительному улучшению текста работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и ее связь с устойчивостью по Ляпунову // Диффе-ренц. уравнения. 2018. 54, № 6. 855-856.
2. Бондарев А.А. Один пример неустойчивой системы // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 6. 899.
3. Сергеев И.Н. Определение и некоторые свойства устойчивости по Перрону // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 5. 636-646.
4. Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во МГУ, 2019.
5. Сергеев И.Н. Зависимость и независимость свойств перроновской и ляпуновской устойчивости от фазовой области системы // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 10. 1338-1346.
Поступила в редакцию 03.06.2020
