CC BY
226. Krein М., Smulian V. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space // Ann. Math. 1940. 41. 556 583.
27. Банах С. Теория линейных операций. М.: Ижевск: РХТ, 2001.
28. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
29. ТаОжбахш И. Формы изгиба упругих колец // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Под ред. Дж.Б. Келлера и С. Антмана. М.: Мир, 1974. 46 62.
30. Рисс Ф., Сёкфальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
31. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Физматлит, 1965.
32. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973.
Поступила в редакцию 23.11.2023
УДК 517.925.5
ПРИМЕРЫ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНТРАСТНЫМИ СОЧЕТАНИЯМИ МЕР ЛЯПУНОВСКОЙ, ПЕРРОНОВСКОЙ И ВЕРХНЕПРЕДЕЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
И. Н. Сергеев1
Изучаются новые характеристики дифференциальных систем, содержательно развивающие понятия ляпуновской, иерроновской и верхиепредельиой устойчивости или неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы с позиции теории вероятностей. Предлагаются примеры автономных систем, для которых эти характеристики принимают в некотором смысле противоположные значения.
Ключевые слова: дифференциальная система, автономные системы, устойчивость по Ляпунову, устойчивость по Перрону, верхнепредельная устойчивость, мера устойчивости.
New characteristics of differential systems are studied, which meaningfully develop the concepts of Lyapnnov, Perron and upper limit stability or instability of the zero solution of a differential system from the standpoint of probability theory. Examples of autonomous systems are proposed for which these characteristics take opposite values in a certain sense.
Key words: differential system, autonomous systems, Lyapnnov stability, Perron stability, upper-limit stability, measure of stability.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-6
Введение. Элементы теории вероятностей, одним из основоположников которой но нраву считается А. Н. Колмох'оров [1|, вносятся в дифференциальные уравнения, как правило, в виде случайных величин или случайных процессов, фигурирующих в записи самих этих уравнений в их коэффициентах или в запаздываниях (см. [2 4|).
Рассматриваемые ниже дифференциальные системы являются вполне детерминированными, а стохастический смысл придается только их мерам устойчивости, или неустойчивости,, введенным в работах [5 7] и позволяющим оценивать снизу возможность или невозможность такохх) выбора (наугад) б.лизко1'о к нулю начальших) значения возмущенших) решения данной системы, чтобы ei'o график оказался в наперед заданной трубке нулевохх) решения в каком-либо из следующих смыслов:
а) сразу на всей временной полуоси (устойчивость по Ляпунову [8, 9]);
б) хотя бы эпизодически, но в сколь ух'одно поздние моменты времени (устойчивость по Перрону [10], восходящая к показателям Перрона [11, 12]);
в) хотя бы с какох'о-нибудь момента, но уже навсегда (верхнепредельная, устойчивость [13]).
Предвестниками описанных мер послужили недавние понятия почти устойчивости, и почти
•полной, неустойчивости, [14], обеспечивающие соответствующим свойствам решений полную меру.
1 Сергеев Игорь Николаевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. дифференциальных уравнений мох.-мат. ф-та МГУ. e-mail: ignisergOgmail.com.
Sergeev Igor Nikolaevich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Cliair of Differential Equations.
© Сергеев 1-1. H„ 2024 © Sergeev 1. N.. 2024
В настоящей работе изучается реализуемость на автономных системах наиболее контрастных сочетаний указанных мер ляпуновского, перроновского и верхнепредельного тина (см. теоремы 1 3). Подобные примеры приводятся также в работе [15], но их конструирование в автономном и особенно одномерном случае затруднено из-за наличия специфических взаимосвязей между свойствами устойчивости и неустойчивости разных типов (так, для автономных систем полные неустойчивости всех трех типов логически неразличимы [16]).
1. Основные понятия. Для заданных n € N и области G (содержащей точку x = 0) евклидова фазового пространства Rn рассмотрим на положительной временной полуоси дифференциальную систему
Х = / (t,x), / (t, 0) = 0, t € R+ = [0, +œ), x € G, /,/ € C(R+ x G). (1)
Положим
B& = {xo € Rn : 0 < |xo| < ô}, A = sup{ô : B& С G}€ (0,
и будем обозначать через x(-,xo) неиродолжаемое решение системы (1) с начальным значением x(0,xo) = xo (его существование и единственность гарантируются последним требованием в (1)).
Определение [5-7]. Для системы (1) при к = Л, соответственно назовем ляпуновской, перроновской или верхи,впределыюй,
а) мерой устойчивости число цк(/) € [0,1], для которого, с одной стороны, при каждом ц < цк(/) имеет место ц-устойчивость, а именно для любого е > 0 существует такое ô£ € (0, A), что при каждом ô € (0,ô£) относительная мера (Лебега) в шаре Вг его подмножества Мк(/, е, ô) всех значений xo € Вг, удовлетворяющих соответствующему требованию
sup \x(t, жо)| < е, Ит |ж(£,жо)| < Нт жо)| < (2)
i€K+ i^+oo i^+oo
не меньше ц, т.е.
mes Мк(/, е, ô)/mes Вг ^ ц,
а с другой стороны, при каждом ц > цк(/) эта ц-устойчивость не имеет места;
б) мерой неустойчивости число vк(/) € [0,1], для которого, с одной стороны, при каждом v < vк(/) имеет место v-неустойчивость, а именно для некоторого е > 0 существует такое ô£ € (0, A), что при каждом ô € (0,ô£) относительная мера в шаре Вг его подмножества Nк(/, е, ô) всех значений xo € В г, не удовлетворяющих соответствующему требованию (2), не меньше v, ас другой стороны, при каждом v > vK(/) эта v-неустойчивость не имеет места.
Согласно работе [5], приведенное определение корректно, а именно для любой системы (1)
1) при каждом е > 0 множества всех точек xo € G, удовлетворяющих какому-либо требованию (2), равно как и не удовлетворяющих ему, измеримы;
2) множество всех значений ц € [0,1] или v € [0,1], для которых имеет место ц-устойчивость или соответственно v-неустойчивость, заведомо содержит точку 0 и представляет собой на числовой оси промежуток (возможно, вырожденный в точку) с правым концом цк(/) или соответственно vK(/);
3) шестерка ляпуновских, перроновскнх и верхнепредельных мер устойчивости и неустойчивости однозначно определена и задается формулами
mes Мк (/, е, ô) mes NH (/^,ô)
uAj)= iim lim ---, vJt) = Iim hm ---, я = Х,тг,а.
mes Bs mes Bs
2. Формулировки утверждений. Известно [5], что меры устойчивости и неустойчивости связаны неравенствами
0 < цА(/) < ца (/) < цп (/) < 1, 0 < vn (/) < vCT (/) < vA (/) < 1,
0 ^ цк(/)+ vH(/) ^ 1, к = Л,п,а,
а для любой линейной однородной системы (1), т.е. с правой частью вида
/(t, x) = A(t)x, G = Rn, A : R+ ^ End Rn,
меры ляпуновской и верхнепредельной устойчивости совпадают и, более того, могут принимать только два крайних значения:
а) .либо 0, при этом наиболее контрастная для меры нерроновской устойчивости ситуация
М/) = ^(/) = 0 < 1 = ^(/), ы/) = (/) = 1 > о = ^(/) (3)
заведомо реализуема на некоторой линейной системе произвольной размерности п € N с ограниченной скалярной оператор-функцией А = а1, а : М+ ^ М, где I € Бпё Мп — тождественный оператор;
б) либо 1, тогда с ними совпадает и мера нерроновской устойчивости, а меры неустойчивости всех трех типов равны 0, т.е. имеют место полные совпадения:
Ы/) = ^ (/) = ^п (/), Ы/) = V, (/) = ип (/), (4)
поэтому на линейных системах нереализуема другая контрастная ситуация
Ы/) = 0 < 1 = (/) = ^п(/), ил(/) = 1 > 0 = V,(/) = ип(/), (5)
логически дополняющая ситуацию (3).
/
(но уже нелинейные) примеры [5], в которых мера верхнепредельной устойчивости равна:
а) либо 0, как и мера ляпуновской устойчивости, при этом выполнены все соотношения (3);
б) либо 1, как и мера нерроновской устойчивости (см. классические примеры [17, § 18; 9, п. 6.3], в которых и верхнепредельная, и тем более перроновская устойчивости сочетаются с ляпуновской неустойчивостью), однако при этом мера ляпуновской устойчивости, равная 1/2, все же положительна, а значит, наиболее контрастная ситуация (5) здесь полностью так и не реализована.
В двух нижеследующих теоремах оба последних примера распространяются на автономные системы произвольной размерности, превосходящей 1.
Теорема 1. При каждом, целом п > 1 для некоторой автономной системы (1) выполнены (3)
Описанную выше контрастную ситуацию (5) в автономном случае уже до конца реализует Теорема 2. При каждом, целом п > 1 для некоторой автономной системы (1) выполнены (5)
В одномерном случае [5] к общим соотношениям для мер устойчивости и неустойчивости системы (1) добавляются дополнительные ограничения:
М/)= (/), V,(/) = ил(/), (/)+ ик(/) = 1, (/),ик(/) €{0,1/2,1}, к = Л,п,а,
причем каждая пара значений мер устойчивости и неустойчивости, удовлетворяющая этим ограничениям, реализуется на некоторой автономной системе (1) при полном совпадении (4) мер разного типа.
Принципиальную же нереализуемость каждой из контрастных ситуаций (3) и (5) на одномерных автономных системах устанавливает
Теорема 3. При п = 1 для любой автономной системы (1) выполнены равенства (4). 3. Доказательства сформулированных утверждений. Многие из перечисленных выше фактов, свойств и соотношений доказаны в работе [5].
Доказательство теорем 1 и 2. При п > 1 точки фазового пространства С = Мп в некотором фиксированном ортонормированием базисе в1,...,вга записываем в виде х = (ж!,ж2,...,жга). Обозначив
X = (0,х2,...,хп), ех = х/|х| (при X = 0), Х1 = |х|,
зададим правую часть системы равенством
г( ) = Га(х1,х^)е1 + в(х1 ,х!)ех,х^ > 0;
; (х) "I 0, х! =0,
где скалярные непрерывно дифференцируемые функции а, в определены на полуплоскости Р " М х М+ и удовлетворяют требованию
а(и,-и),в(и, V) = о(г>), V ^ +0
(равномерному на компактах по и € М и обеспечивающему нужную гладкость системы также в точках, где х! = 0), откуд а а(и, 0) = в (и, 0) = 0.
Для рассматриваемой автономной системы (1) прямую I, натянутую на вектор ei, сплошь заполняют неподвижные точки, включая точку O = (0, 0). Для каждого единичного вектора e ± ei полуплоскость Pe С С, соответствующая всем точкам ж, определяемым равенством ex = e, является инвариантной для данной системы. Поэтому в координатах u = xi, v = xi такой полуплоскости
e
U = a(u, v), V= в(и, v), (u, v) € P ~ (Pe U 1).
Пусть теперь функции a, в подобраны так, что точка E = (0,1) € P — неустойчивая особая точка этой системы, относящаяся к одному из следующих двух типов:
E
O
итоге всю полуплоскость Pe, а вся прямая 1 служит для каждой из них w-предельным множеством;
2) дикритический узел, одна из траекторий которого представляет собой полуокружность C с центром H = (0,1/2) € P, которая асимптотически выходит из точки E и входит в точку O, касаясь в ней одного из лучей 1' прямой 1 и образуя с ним криволинейный сектор Ve С Pe с началом в точке O при ограничении v < 1, тогда как абсолютно все остальные траектории этого узла, сделав не более одного оборота вокруг точки E в едином для них всех направлении, в итоге попадают в сектор Ve и также асимптотически входят в точку O, касаясь луча 1' и придавая в ней этому сектору узловой характер, а дополнительному к нему сектору с противоположным лучом ¿"прямо й 1 и сепаратрисой C — седловой характер. Пусть V — объединение множеств Ve по всем единичным векторам e ± ei. Тогда при 5 ^ +0 относительная мера в шаре С Rra его подмножества Vn B стремится к нулю, а значит, относительная мера дополнения
D& = Б& \ (1 U V)
стремится, наоборот, к единице.
В обоих случаях для построенной системы мера перроновской устойчивости оказывается равной
O
множества ее неподвижных точек (имеющего меру нуль в Rra), является w-предельной. Более того, во втором случае все указанные траектории попросту сходятся к точке O при t ^ делая меру верхнепредельной устойчивости этой системы также равной единице (а неустойчивости нулю).
При каждом е < 1 в первом случае все траектории, начинающиеся не на прямой 1, а во втором случае все траектории, начинающиеся в дополнении D$ при пропзвольном 5 > 0, хотя бы однажды покидают шар Бе, поэтому мера ляпуновской неустойчивости этой системы равна единице (а устойчивости — нулю). Более того, в первом случае все эти траектории покидают шар Бе еще и сколь угодно поздно, делая меру верхнепредельной неустойчивости также равной единице (а устойчивости нулю).
Таким образом, построенная система (1) в первом или втором случае удовлетворяет всем соотношениям (3) или (5) соответственно. Теоремы 1 и 2 доказаны.
Доказательство теоремы 3. При С С R1 для автономной системы (1) отдельно на луче ж > 0 (и аналогично на луче ж < 0) возможны в точности две логически противоположные ситуации:
а) существует убывающая последовательность положительных неподвижных точек Ж1,Ж2,... € С, сходящаяся к точке 0 € С, тогда для любого е > 0 среди них найдется точка € (0,е), причем любое решение ж € £*(/) с начальным значением ж(0) € (0,ж&) удовлетворяет условию
0 < sup ж(^ ^ жк < е, teR+
т.е. в этом случае на данном луче система имеет полную меру устойчивости всех типов сразу;
б) па некотором интервале (0,жо) С С правая часть / € C 1(С) нигде не обнуляется и потому имеет постоянный знак, причем в случае ее отрицательности или положительности любое непро-должаемое решение ж с начальным значением ж(0) € (0,жо) приближается к точке 0 € С или соответственно удаляется от нее, удовлетворяя условиям
0 = lim ж(^ < sup ж^) = ж(0) < ж0 или sup ж^) = lim ж(^ ^ ж0, ieR+ ieR+
т.е. отдельно на данном луче система имеет полную меру устойчивости или соответственно неустойчивости, но также всех типов сразу.
Таким образом, во всех рассмотренных случаях равенства (4) выполняются. Теорема 3 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Л.: OHTIL 1936.
2. Ито К., Маккии Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1965.
3. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.
4. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.
5. Сергеев И.Н. Определение и свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Матем. заметки. 2023. 113, № 6. 895 904.
6. Сергеев И.Н. Определение мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2023. 59, № 6. 851 852.
7. Сергеев И.Н. Свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы /'/' Дифференц. уравнения. 2023. 59, № 11. 1577 1579.
8. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Л.: ГИТТЛ, 1950.
9. Вылов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Неммцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.
10. Сергеев И.Н. Определение и некоторые свойства устойчивости по Перрону // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 5. 636 646.
11. Perron О. Die Ordnungszahlen linearer Difícrcritialglcicliurigssystcme /'/' Math. Z. 1930. 31, N 1. 748 766.
12. Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006.
13. Сергеев И.Н. Определение верхнепредельной устойчивости и ее связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. 56, № 11. 1556 1557.
14. Сергеев И.Н. Массивные и почти массивные свойства устойчивости и неустойчивости дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2021. 57, № 11. 1576 1578.
15. Бондарев A.A., Сергеев И.Н. Примеры дифференциальных систем с контрастными сочетаниями ляпу-новских, перроиовских и верхнепредельных свойств // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. 506. 25 29.
16. Сергеев И.Н. Ляиуновские, перроновские и верхнепредельные свойства устойчивости автономных дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт, гос. ун-та. 2020. 56, № 2. 63 78.
17. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.
Поступила в редакцию 04.08.2023
УДК 519.21
УКРУПНЕНИЕ СОСТОЯНИЙ ВЕТВЯЩЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ПО МНОГОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ
Г. А. Попов1, Е. Б. Яровая2
Рассматривается случайное блуждание по многомерной решетке с непрерывным временем, которое лежит в основе ветвящегося случайного блуждания с бесконечным числом фазовых состояний. Случайное блуждание со счетным числом состояний, по которым происходит блуждание, за счет их объединения может быть сведено к системе с конечным числом состояний. Изучается асимптотическое поведение времени пребывания преобразованной системы в каждом из конечных состояний в зависимости от размерности решетки
1 Попов Григорий Александрович асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ: Матем. ип-т РАН. e-mail: grishaupOyaudex .ru.
Popov Grigorii Aleksandrovich Postgraduate. Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory: St.eklov Mathematical Institute of RAS.
2Яровая Елена Борисовна доктор физ.-мат. паук, проф. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ: Матем. ип-т РАН, e-mail: yarovayaOmech.math.msu.su.
Yarovaya Elena Borisovna Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory: St.eklov Mathematical Institute of RAS.
© Попов Г. Л., Яровая Е.В., "2024 © Popov G. Л., Yarovaya E.B., 2024
С-)]
