О ЗАДАЧАХ ЭКСТРЕМУМА И ОЦЕНКАХ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Ветвящиеся процессы с решетчатой пространственной динамикой и конечным числом центров генерации частиц // Докл. РАН. 2012. 446. № 3. 259 262.

7. ВиИпякауа Е. VI. Spread of a catalytic branching random walk on a multidimensional lattice // Stoch. Process, and Appl. 2018. 128, N 7. 2325 2340.

8. Carmona Ph., Ни Y. The spread of a catalytic branching random walk // Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 2014. 50. N 2. 327 351.

9. Платонова M.B., Рядовкин К. С. Ветвящиеся случайные блуждания на Zd с периодически расположенными источниками ветвления // Теор. вероятн. и ее примен. 2019. 64. № 2. 283 307.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: URSS, 2021.

11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. Т. 2. М.: Мир. 1984.

12. Biggins J.D. The asymptotic shape of the branching random walk // Adv. Appl. Probab. 1978. 10. N 1. 62 84.

13. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. N.Y.: Springer. 2001.

Поступила в редакцию 02Ж2023

УДК 517.977.56, 517.977.57, 517.956.4

О ЗАДАЧАХ ЭКСТРЕМУМА И ОЦЕНКАХ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

И. В. Асташова1, Д. А. Лашин2, А. В. Филиновский3

Рассматривается экстремальная задача, связанная с математической моделью управления температурой, основанная на одномерном несамосопряженном параболическом уравнении общего вида. Определяя оптимальное управление как минимизирующую функцию весового квадратичного функционала, мы доказываем существование решения задачи о повторном минимуме по управляющим и весовым функциям. Получены также оценки сверху нормы управляющей функции через значение функционала качества, используемые для доказательства существования минимизирующей функции на неограниченных множествах управлений.

Ключевые слова: параболическое уравнение, экстремальная задача, весовой квадратичный функционал, минимизирующая функция, повторный минимум, оценки сверху, неограниченное множество управлений.

We consider an extremnm problem associated with a mathematical model of the temperature control. It is based on a one-dimensional non-self-adjoint parabolic equation of general form. Determining the optimal control as a function minimizing the weighted quadratic functional, we prove the existence of a solution to the problem of the double minimum by control and weight functions. We also obtained upper estimates for the norm of the control function in terms of the value of the functional. These estimates are used to prove the existence of the minimizing function for unbounded sets of control functions.

1 Асташова Ирина Викторовна доктор физ.-мат. паук. проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ: проф. каф. высшей математики Рос. эконом, ун-та им. Г.В. Плеханова, e-mail: ast.diffiet.yOgmail.com.

Astashova Irina Victuruvna Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations: Professor, Pleklianov Russian Economical University, Chair of Higher Mathematics.

2 Лаитн Дмитрий Александрович канд. физ.-мат. паук, вед. пауч. сотр. НПФ "ФИТО", e-mail: dalashinOgmail.com.

Lashin Dmitriy Alexantlrovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Lead Research Scientist., Scientific and Production Company "FITO".

4 Филиновский Алексей Владиславович доктор физ.-мат. паук, проф. каф. высшей математики Моск. гос. техп. уп-та им. Н.Э. Баумана: проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ttnvOyandex.ru.

Filinovskiy Alexey Vladislavovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Bauman Moscow State Technical University, Chair of Higher Mathematics: Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations.

© Асташова И. В., Лапши Д. Л., Филишшский Л. В., '2024 © Astashova 1. V'., Lashin D.A., Filinovskiy Л. V'., 2024

С-)]

Key words: parabolic equation, extremnni problem, weight quadratic functional, minimizing function, double minimum, upper estimates, unbounded set of control functions.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-5

1. Введение. Мы будем рассматривать экстремальную задачу с весовым интегральным функционалом качества, определяемым на решениях следующей параболической смешанной задачи:

ut = (a(x,t)ux)x + b(x,t)ux + h(x,t)u, (x,t) € QT = (0,1) x (0,T), T> 0; (1)

u(0,t) = p(t), ux(1,t) = фф, 0 < t < T; (2)

u(x, 0) = {(x), 0 < x < 1. (3)

Коэффициенты уравнения a, b и h будем предполагать вещественнозначными, гладкими в области QT, 0 < ao ^ a(x,t) ^ ai < то. Относительно граничных и начальных функций будем предполагать, что € W2(0,T), ф € W21(0,T), { € L2(0,1). Здесь W21(0,T) — пространство Соболева функций y € L2(0,T), обладающих обобщенной производной y' € L2(0,T) с нормой

T - \ 1/2

llyNw-1 (o,T) = ( 0 (y'2 + y2)dt)

Нас будет интересовать задача управления с точечным наблюдением. Суть ее заключается в том, чтобы, управляя температурой ^ на левом конце отрезка (функции ф и £ считаем фиксированными), сделать температуру и(хо, ■) в некоторой точке Хо € (0,1) близкой к заданной функции сразу на всем временном интервале (0,Т). Эта проблема возникла в задачах моделирования процессов управления микроклиматом в промышленных тепличных комплексах [1 3]. Говоря об истории вопроса, необходимо отметить, что задачи управления для параболических уравнений рассматривались неоднократно (см., например, [4 15]), но, как правило, это были задачи с финальным или распределенным наблюдением. Результаты и методы работ авторов [1 3] также значительно отличаются от предшествующих. Основной целью наших исследований является изучение "качественных свойств" параболической экстремальной задачи и особенно свойств минимизирующей управляющей функции. Настоящая работа развивает и обобщает результаты работ авторов [3; 16 23]. Изучаются уравнения общего вида с переменными коэффициентом диффузии а, конвективным коэффициентом Ь и потенциалом Н (называемым также обедняющим потенциалом).

Мы рассматриваем задачу поиска повторного минимума по управляющей функции и затем по весовой функции. Для этого мы доказываем существование минимизирующей пары функций. При этом мы доказываем обобщение классического принципа максимума для параболических уравнений. Отметим, что в различных задачах для параболических уравнений использовались разные формулировки принципа максимума [24]. Работа [24] положила начало целой серии исследований по нелинейным параболическим уравнениям и их приложениям. Кроме того, мы рассматриваем задачу минимизации на неограниченных множествах управляющих функций и для этого случая доказываем существование решения задачи однократной минимизации. Это удалось сделать благодаря впервые установленным нами оценкам сверху управляющей функции через значение функционала качества.

2. Обозначения и определения. Следуя обозначениям монографии [25, с. 15], будем рассматривать пространство ' (Ят) С (Ят)• Здесь (Ят) _ это гильбертово пространство функций и(х,Ь) € £2(Ят) обладающих обобщенной производной их € £2(Ят) с нормой

\ 1/2

|U||Wi ,0(Qt) = [f (ux2 + u2)dxdtj

Определим в V^'^Qt) конечную норму

IMk1-0 (QT) = SUP ||u(-,t) 11L 2 (0'1) + llux || L 2 (Qt )

2 y T 0<t<T

и потребуем, чтобы отображение Ь ^ и(-,Ь), действующее из [0,Т] в £2(0,1)5 было непрерывным. В этих предположениях ^^(Ят) будет банаховым пространством. Будем обозначать через ^^(Ят) пространство всех функций п € ^^(Ят), удовлетворяющих условиям п(',Т) = 0 п(0, ■) = 0.

Определение 1. Функция u € V^'^Qt ), удовлетворяющая условию u(0,t) = у(£) и равенству

/ (a(x,t)ux— b(x,t)uxn — h(x,t)un — unt) dxdt = £(x)n(x, 0) dx + / a(l,i)^(i) n(1,t) dt (4) jqt jo jo

для всех n € W2(Qt) называется слабым решением задачи (1)-(3).

Определение 2 [26]. Пусть X — банахово пространство. Множество Y С X* называется регулярно выпуклым, если для любого y € Y существует элемент xo € X, такой, что

sup f (xo) < y(xo). / eY

Определение 3. Множество Ф С W2(0,T) назовем конечномерно аппроксимируемым, если для некоторой системы функций у , ...,^n € Ф и копстапты M любая функция у € Ф при некоторых Yi,...,Yn € R удовлетворяет неравенству

N

у — УЛ Yjу ^ M. (5)

7=1 7 w (0'T) v 7

Теорема 1 [19, 21]. Задача (1)-(3) имеет, единственное слабое решение u € V^'^Qt); и для

3. Основные результаты. Теорема 1 [19, 21].

него справедлива оценка

||u||v21l0(QT) ^ Ci(IMIw-1 (0'T) + М^1 (0'T) + УСIIl2(0,1)) (6)

при некоторой постоянной C1; не зависящей от, у, ф и £. Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Функция u (решение задачи (1)-(3)) непрерывно отображает (С, у, ф) ^ u тройку L(0,1) х W21(0,T) х (0,T) в пространство V^Qt)•

Будем рассматривать множество Ф С W^^T) управляющих функций у и множество Z С L2(0,T) целевых фун кций z. В дальнейшем будем считать множеств о управлений Ф непустым, замкнутым и выпуклым. Введем в рассмотрение интегральный весовой функционал качества

г T

J[z, р, у] = (uip(xo,t) — z(t))2 p(t)dt, xo € (0,1), у € Ф, z € Z, Jo

где up € V^Qt) — решение задачи (l)-(3) при данной управляющей функции у. Функция р €

L^(0,T) — вещественнозначная весовая функция, удовлетворяющая условию ess inf p(t) = pi > 0.

te(o,T)

( T 2 \ 1/2

Весовая функция задает норму в L2(0,T): ||L 2 р(0 T) = I J0 ^2(i)p(i) dij

Фиксируя функции z и p, рассмотрим задачу нахождения управляющей функции, минимизирующей данный функционал:

m[z, р, Ф] = inf J[z,p, у]. (7)

реФ

Теорема 2 [21-23]. Если множество Ф ограничено, то для любой функции z € L2(0,T) существует единственная функция у0 € Ф, такая, что

m[z,p, Ф] = J[z, р, уо]. (8)

Беря две постоянные р > р > 0, мы рассмотрим множество P С L^(0,T) = (Li(0,T))* всех весовых функций р, удовлетворяющих двустороннему неравенству ess inf р(£) ^ р, ess sup р(£) ^

te(0,T) te(0'T)

р. Теперь для некоторого подмножества P С P мы можем сформулировать задачу о повторном минимуме:

ju[z, P, Ф] = inf m[z, р, Ф].

реР

Теорема 3. Если множество Ф ограничено, а множест,во P регулярно выпукло в Lж (0,T); то для любого z € L2(0,T) существуют функции p0 € P и € Ф; т,акие, что

Ф,Р, Ф] = J[z, Ро

Так как в задаче (1), (2) мы используем краевые уловия различных типов на .левом и нравом концах отрезка, для доказательства теоремы 3 и для других целей нам понадобилось установить следующее обобщение классического принципа максимума (формулировку классического принципа максимума можно найти, например, в [25, гл. 3, § 7]).

Теорема 4. Если u € v21'0(Qt) — решение задачи (10)-(12); то неравенство

ess sup |u(x,t)| ^ C2 sup |y(t)| (9)

(x,t)&QT te[o,T ]

справедливо с некоторой постоянной C2 > 0, зависящей только от коэффициентов уравнения (10) и не зависящей от, ¡р.

Также для доказательства теоремы 3 мы будем использовать следующие утверждения.

Теорема 5 [26, теорема 10]. Пусть X — сепарабельное банахово пространство. Тогда, множество Y С X* является регулярно выпуклым тогда и только тогда, когда оно выпукло и *-слабо замкнуто.

Теорема 6 [27, гл. 8, § 7]. Если (pk)kgN — ограниченная последовательность в L^(0,T), то существуют такая подпоследовательность (pj)jgN и такая функция p0 € L^(0,T), что для любой функции ( € L\(0,T) справедливо равенство

lim [ pkj (t)Z(t) dt = f po(t)Z(t) dt.

ж

оо

Перейдем теперь к результатам, касающимся оценок минимизирующих функций через значение функционала качества. Вначале остановимся на оценках снизу, которые являются важной характеристикой "накоилсннох'о тепла" в системе за время управления.

Теорема 7 [20, 23]. Если а(х,£) ^ 0 и Ьх(ж,£) ^ h(ж,í) при (х,£) € , ^ 0 при (х,£) €

[0,хо] х [0,Т] (хо € (0,1]) и 6(1,^) ^ 0 щи £ € [0,Т], то имеет место неравенство

Ыь1{о,т) ^ 1И1ь1(о,т) " (Т^,рМ/р)1/2 ~ ^ЫШьф.т) + Шыол))-

Отдельный интерес для нас будет представлять задача (1)-(3) при ф = 0 =

щ = (а(х,£)их)х + Ъ(х,1)их + Н(х,£)и, (х,£) € <^т; (10)

и(0,г) = <р(г), их(1,£) = 0, 0 < х < 1, г> 0; (11)

и(х, 0)=0, 0 < х < 1. (12)

Следствие 2. В условиях теоремы 7 для задачи (10)-(12) имеет место неравенство

Ы\ьг(о,т) ^ \N\li (о,т) - (Т3[г,р,р]/р)1/2 .

В настоящей работе впервые получена оценка управляющей функции сверху через значение функционала качества.

Теорема 8. Если ф = 0 = р = + где 7 € М и \\d\wi (о,т) = 1, то имеет место неравенство

(J[z,p, ip})1/'2 + ||Ц2(Ж0,^)||£3[Р(0,Г) + ||г(Ж0,*)||£3[„(0,Г) \\ui{xo,t)\\L2p{o,T)

. \~L-ir,riy ■ II llL2,p (0,T ) ■ II-- /II L2,p (0,T ) . II || /10\

W№T) ^--+ (13)

где через щ обозначено решение задачи (1), (2) щи р = рi.

Оценка (13) позволила нам доказать существование минимизирующей функции в задаче (7) в случае неограниченного Ф.

Ф

е,м,о, то для любой функции z € L2(0,T) существует единственная функция у0 € Ф, для которой

(8)

4. Доказательства. Доказательство теоремы 4. Обозначим Л = sup h(x,t) и w = ue-At.

Qt

Функция w является решением смешанной задачи

wt = (a(x, t)wx)x + b(x, t)wx + (h(x, t) — Л)w, (x, t) € Qt; w(0,t) = ^(t)e-At, wx(1,t) = 0, t € (0,T); w(x, 0)=0, x € (0,1).

Положим

p = max{ sup ^(t)e-At, 0} (14)

te[0,T ]

w-p = max{w — p, 0}. (15)

Используя рассуждения, сходные с [19, теорема 10] и [25, гл. 3, § 7 теорема 7.1], для любого разбиения 0 = t0 < ... < tj < tj+1 < ... < tn = T отрезкa [0,T] мы получим равенства

2 , ftj+1 i w x2 ftj+1

,,2 4- i О I I „ ™ „„ \2,

[ -ш-р^,^!+ 2 / / )Х+ 2 / / (Л — ¿))-ш-ш_р =

./Ap(tj+1) Ар (4) Ар (4)

= / -—^(ж,^-)2^ж + 2 [ ( ^(ж,^-—^^ж^, (16)

./Ap(tj) Jtj -/ар(4)

где Ар(£) = (ж € (0,1),ш(ж,£) > р}. В силу (15) мы имеем

(Л — Ь(ж,*))ш(ж,*)ш_р(ж,£) ^ 0, ж € Ар(*), 0 <£<Т. (17)

Соотношения (16) и (17) обеспечивают неравенства

I ш2р(ж, ^+!)^ж + 2 I I а(ж, ¿Хш^Х^ж^ ^

Л Ар (tj+l) JAp(t)

^ I -—^(ж,^-)2^ж + 2 1 I ^(ж,^-—^(18)

Ар (tj) j ^ Ар (t)

Из (18) вытекают оценки

rj+i

w2p(x,tj+1)dx + 2a0 / / (w-p)Xdxdt ^

, -p , ,

' Ap(tj+i) Jtj JAV (t)

Г b2 f^j+i f r-j+i с

^ / W-P(x,tj)2dx H—- / / w2_v(x, t)dxdt + ao / / (W-P)2dxdt. JAp(tj) a0 Jj JAp(t) Jtj JAp(t)

Таким образом,

f w2_p(x, tj+\)dx + ao f f (w-p)2dxdt ^ f W-P(x,tj)2dx + — f f w2_p(x,t)dxdt

JAp(tj+1) Aj ./Ap(t) JAp(tj) a0 Jtj' JAp(t)

И 2 t-

/ w2_p(x, tj+\)dx ^ / W-p(x,tj)2dx H—- / / w2_p(x,t)dxdt. (19)

./Ap(tj+1) ./Ap(tj) a0 Jtj JAp(t)

Будем обозначать Y(tj,tj+1) = sup ||w-p(x,t)|^2(Ap(t))- Применяя (19), мы получим

j ^j+i

^Л'+iK [ »• ,(.r./?n/.r • °jV2(/?./?.|j. (20)

J Ap(tj) a0

Пусть 1 —tj = Тогда, используя (14), (15) и (20), при j = 1 имеем

Г 11

F2(0,iiK / и>-р(х,0)2(1,х + -¥2(0,Ь) = -Y2(0,h). (21)

jap (о) 2 2

Теперь из (21) следует, что

Y (0,ti ) = 0. (22)

Далее, для j = 2, 3 ...,n — 1 мы выводим из (20) неравенства

Y\tj,tj+1) < V2i/? ,./?) +

из которых вытекает, что

Y(tj,tj+1) < yftYitj-utj), j 2.....,/ 1. (23)

Но в силу (22) и (23) получаем Y(tj,tj+1) = 0 при всех j = 1,...,n — 1. Это означает, что \\w-v(x,t)\\L2(Ap(t)) = 0 для всех t € [0,T]. Таким образом,

ess sup w(x,t) ^ p = max{ sup <p(t)e-Xt, 0}. (24)

(x,t)gQT te[o,T]

—w

ess inf w(x, t) ^ min{ inf ip(t)e-Xt, 0}. (25)

(x,t)gQT te[o,T ]

Объединяя неравенства (24) и (25), выводим требуемую оценку (9). Теорема 4 доказана.

Доказательство теоремы 3. Обозначим d = p[z,P, Ф]. Тогда существует последовательность весовых функций pi,p2,... € P, такая, что

m[z,pk, Ф] ^ d, k (26)

Таким образом, в силу (26) и теоремы 2 найдется последовательность управляющих функций у1, у2,... € Ф, для которых выполнены равенства

J[z,pk,ук] = m[z,pk, Ф] ^ d, k ^ж.

Функции ук € Ф, поэтому в силу ограниченности Ф последовательность их норм \\ук\\wx(ot) также ограничена. Следовательно, найдется подпоследовательность (у к, )jeNj которая слабо сходится в W2 (0,T) к некоторой фупкции yo € Ф — здесь используется свойство слабой замкнутости выпуклого и замкнутого множества Ф [28, гл. 3, теорема 3.12]. Поэтому в силу компактности вложения W21(0,T) в C([0,T]) [29, с. 53, теорема С] последовательность (ук-)jgN сходится к yo в норме пространства C ([0,T]>:

\\Ук, — yo\c([o,T]) ^ 0, j (27)

(в дальнейшем мы будем обозначать элементы последовательности через у к вмест о у к,)•

Следующим этапом будет изучение последовательности решений ик = и^к, k = 1, 2,... , задачи (1)-(3) в пространстве W^'o(Qt)• Функции ик являются решениями следующих смешанных задач:

и,ы = (a(x, t)^x)x + b(x, t)u^x + h(x, t)uk, (x, t) € Qt; ик(0,t) = ук(t), икx(1,t)= Ш, 0 <t<T; ик(x, 0) = £(x), 0 < x < 1.

При этом функции и<рк удовлетворяют уел овиям и<рк (0,t) = у к (t), а в силу (4) — равенствам

/ (a(x, t)^kxnx — b(x, t)^kxn — h(x, n — и^кnt) dxdt =

QT x x

= / 0) dx + [ a(1,t)^(t) n(1,t) dt (28)

JO .70

для любой функции n € W21(Qt)• Из неравенства (6) вытекает оценка

IKfc llw1'0(QT) ^ IIv21'0(qt) ^ ll^fc llw^O/T) + У^Уж^Т) + IICIIl2(0,1)) ^ C5

с постоянной C5, не зависящей от k. Поэтому существует подпоследовательность (будем обозначать ее через uj), слабо сходящаяся в W21,0(Qt) к некоторой функции u0 € W21,0(Qt)- Из (28) и слабой сходимости последовательности uj в W2 (Qt) следует, что слабый предел (функция од)

удовлетворяет равенству (4) при всех n € W2 (Qt)• Теперь мы докажем, что U0 |x=0 = ^0- Используя теорему Банаха Сакса [30, гл. 2, ч. 38], мы можем утверждать, что найдется подпоследовательность (обозначим ее также Uj), такая, что

llUfc - u0 H W2 (QT) ^ 0' k (29)

где ûk = I Ylj=iuj- Таким образом,

llûfc(0,t) - U0(0,î)HL2(0,t) < Calûfc - U0llw2i(QT) ^ 0, k ^œ. (30)

Но из (29) и (30) следует, что в пространстве L2(0,T) мы имеем сходимости

г/,о(0, •) = s - lim 7 VW') = w - lim 7 ¿W') = w - lim tpk(-) = tp0(-).

k^œ k i—' k^œ k ^—' k^œ

j=i j=i

Это происходит в силу того, что если последовательность ^k сходится к слабо в W^21(0,T), то она сходится слабо к^рв L2(0,T). Следовательно, предельная функция u удовлетворяет условию U0|x=0 = ^0- Это означает, что и является решением задачи (1)-(3) с граничной (управляющей) функцией у = ^>0- Положим Vk = u^fc — u^0. Функции Vk являются решениями следующих смешанных задач:

Vkt = (a(x, t)vkx)x + b(x, t)vkx + h(x, t)vk, (x, t) € Qt; Vk (0,t) = ^k (t) - У0 (t), Vkx(1,t) =0, 0 <t<T ; vk(x, 0) =0, 0 < x < 1.

Используя неравенство (9) и соотношение (27), получаем

N(zo,î)||l2(o,t) ^ y/T\\vk(xo,i)||c([o,T]) 0, к ->■ оо.

Поэтому последовательность функций {(uk(x0, ■) - z(-))2}^=i сходится по норме в пространстве Li(0,T) к функции (u0(x0, ■) - z(-))2. В силу теорем 8 и 9 мы можем выделить из минимизирующей последовательности весовых функций pk (t) подпоследовательность (будем обозначать ее также pk(t)), которая *-слабо сходится в Lœ(0,T) к некоторой функции p0 € P В итоге получаем следующее равенство :

~ Г t Г t

^[z, pP, Ф] = lim / (upfc(x0,t) - z(t))2pk(t)dt = / (u^(x0,t) - z(t))2p0(t)dt = J[z,p0,^0j.

k^œ

00

Теорема 3 доказана.

Следующее доказательство относится к теореме 8 о свойствах задачи (10) (12), поэтому значения функционала 7[я, р, у] также рассматриваются для ф = 0 и £ = 0.

Доказательство теоремы 8. Из линейности смешанной задачи (10) (12) следует, что

1Кр1 (0,Т) = 1КР1+Р2 О^ •) - %>2 •) - *(0 + (0,Т) <

< Уи7Р1 +Р2■) - (0,т) + ||%2•)Уь2,р(0,т) + ||г(01к2,р(0,т) =

= (J[z,P,H)1/2 + \\%2(x0, -)IIl2,P(0,T) + |Iz(-)NL2,P(0,T). (31)

В свою очередь из (31) выводим неравенство

IYI\KI (Х0, •)|L2,P (0,T) = \К^1 (x0, •)|L2,P (0,T) < (J [z,P,^])1/2 + \\uV2 (x0j -)\\ь2,р (0,T) + \\z(0\\L2,, (0,T). (32)

Из полученного неравенства (32) следует оценка

М < ((J[z,p,<p})1/2 + \\uV2(x0j •)|L2,p(0,T) + ||z(-)Nl2,p(0,T))/\\uVi(X0, •)\\b2,p(0,T)j

используя которую, получаем

(0,T) ^ |7|N^1 \\ W*2 (0,T) + N^2 \\ W21(0,T) = Ы + \\P2 \\ W21(0,T) ^ (J[z,p,y})1/2 + \\u2(x0, •)\\b2p(0,T) + \\z(x0, •)\\b2p(0,T) .....

^ IMxO,-)IIL2,,(O,T) + ll^ll^1^)-

Теорема 8 доказана.

Доказательство теоремы 9. В определении конечномерно аппроксимируемого множества Ф С W21(0,T) функции j = 1,...,N, можно считать линейно независимыми — в противном случае те функции <ßj, которые являются линейными комбинациями остальных, можно просто исключить из данного множества. Это означает, что все функции pj ненулевые.

Пусть теперь p(k) С Ф — минимизирующая последовательность управляющих функций, для которой

lim J[z, p, p(k)} = m[z, p, Ф]. (33)

Существование m[z,p, Ф] следует го того, что Ф = 0 и J[z,p,<p] ^ 0. Если \\p(k) ||w2i(0,T) ^ C7, то

Ф

теми же рассуждениями, что и в доказанной ранее теореме 2. Поэтому основную трудность представляет случай неограниченной последовательности p(k). Если

\\P(k)\\w2i(0,T) ^^ k

(34)

то в силу (5)

p(k) = p(k) + p(k),

W21 (0,T) < Mj k = 1j 2,...j

N

4>

(k) =

j=1

при этом

\\p(k) NW21(0,T) ^ k

\\P(k) \\ W1(0,T) <

(k)

1(0,T) + M, k = 1,2,....

\W21(0,T)

(35)

Рассмотрим теперь последовательность у(к) = у(к)/||у(к) ||^'21(отр ^ = 1, 2,.... Функции у(к) € Ь^,

где ЬN — Nмерное линейное подпространство пространства являющееся линейной обо-

лочкой функций у^-, ] = 1,...,Ж. В этом случае ^21(0,Т) = ЬN ф Ь^, где Ьс^ = ^21(0,Т) 0 ЬN -ортогональное дополнение Ь^ ^ ^^^страпстве ^21(0,Т). В силу критерия компактности в пространстве с базисом [31, гл. 5, § 3, теорема 3] последовательность у(к) предкомпактна в ^21(0,Т). Следовательно, существует функция уо € ^21(0,Т), для которой

\\P(k) -

p0 \\w11(0,T)

->■ 0, k

,

причем

w2(0,t) = 1- Тогда имеем

p(k) = \\P(k) Nw21(0,T)P0 + \\y(k) Nw21(0,T) (P(k) - P0) + p(k), k = 1,2,

Представим теперь решение «„ад задачи (1)-(3) в виде суммы «„ад = «1 + «2, где функция «1

решение задачи

uit = (a(x, t)u1 x )x + b(x, t)u1 x + h(x, t)u1;

«i(0,t) = y(k)(t), U1x(1,t)=0, 0 <t<T;

u1(x, 0) =0, 0 < x < 1,

типа (10)—(12), a «2 — решение задачи

Поэтому

«21 = (a(x, t)«2x)x + b(x, t)«2x + h(x, t)«2; «2(0,t)=0, «2x(1,t)= ^(i), 0 < t < T; «2(x, 0) = £(x), 0 < x < 1.

||«1 (x0, ■) - z(')yL2,p(0,T) = (x0, ■) - z(0 - «2(x0, (0,T) <

»1/2 I

< (J[z,p,y(k)])1/2 + |«2(x0, -)|l2p(0,T) < (J[z,P,^(fc)])1/2 + (ess sup p(t))1/2||«2(x0, OH^(0,T), (37)

te(0,T)

ГДС J [z,P,y(fc) ] — значение функционала на решении задачи (1)-(3) су = y(fe). Воспользуемся теперь оценкой следа функции на прямой x = x0 через норму в прострапстве V2 ' (Qt) [19; 32, гл. 1, § 6, ф-ла (6.15)1:

!К О^ ■)|L2 (0,T) < C8 У«,- (x0, •)|V21,0 (q^ j = 1, 2. (38)

Используя оценки (37), (38), имеем неравенство

||«1 (x0, ■) - z(')yL2„ (0,T) < (J [z,P,y(k) ])1/2 + C8(eSS sup p(t)) 1/2 ||«2 (x0, ')уу 1,0 (qt ) <

te(0,T) 2 ;

< (J[z,p,y(k)])1/2 + C^eSS sup P(t))1/2(|M|W21(0,T) + ||£||L2(0,1)).

te(0,T) 2

(39)

Применим теперь к (39) неравенство (13), полагая ( = (0, (2 = ||((к)||ж1 (0,т)(((к) — (0) + ((к)>

7 = ||((к) |^21(0,т)- ^ результате получим с учетом (38) следующую оценку:

!Mfc)||W2i(0,T) < (|«1„(к) (x0, ■) - z(')|L2(0,T) +

«1

l„(k) HW1(0,T) („(k)-„o) +„(k)

(x0, ■)

L2,p(0,T)

+

+ ||z(x0, ■)|L2,p (0,T )J / |«1<(5o (x0, ■)|L2,p (0,T) +

< ((J[z,p,^(fc)Л1/2 + C^ess sup p(t)) v v y te(0,T)

+C1C8(ess sup p(t))1/2 ||^(fc)||w2i(0,T)(^(k) - <¿0)+ ^(fc) te(0,T) 2

||0(fc)||w2i(0,T)(^(fc) - ^0) +

|L/,M 21 (0,T) + ||£ ^2 (0,1)) + +

W1(0,T)

<

W1

W(0,T)

W1(0,T)

+ ||z(') ||L2,p (0,T))/||«1 „o (x0, •)|l2,p (0,T) + |||^fc) ||w21(0,T) - У0) +

Учитывая соотношения (33), (35) и (36), из неравенств (40) выводим

||^(fc) ||w21(0,T) < (J [z,p,y(k) ]) 1/2 + Cg( |^(fc) - <¿0 ||w2(0,t) ||У(к) ||w21(0,T) < (J[z,p,y(k)])1/2 + C9(||^(fc) - ^0|w21(0

Следовательно, ||у(к) ||^21(о,т) = ||у(к) ||ж1(о,т))> к ^ Последнее соотношение противоречит

(34). Таким образом, последовательность {у(к)} обязательно ограничена в пространстве ^21(0,Т) и доказательство существования минимизирующей функции проводится таким же методом, как и в случае ограниченного множества Ф (см. [18, 19]). Теорема 9 доказана. Исследование частично поддержано РНФ, проект № 20 11 20272.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Astashova I. V. , Filinovskiy А. V., Lashin D.A. On maintaining optimal temperatures in greenhouses // WSEAS Trans, on Circuits and Systems. 2016. 15. 198 204 .

2. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On a model of maintaining the optimal temperature in greenhouse // Fnnct. Diff. Equat. 2016. 23, N 3 4. 97 108.

3. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On optimal temperature control in hothouses // Proc. 14th Int. Conf. Nunior. Anal, and Appl. Math. (ICNAAM 2016) (19 25 September 2016. Rhodes. Greece) / Ed. by Th. Simos. Ch. Tsitonras. AIP Conf. Proc. Vol. 1863. Melville, 2017. 4 8.

4. Бутковский А.Г. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1961. 22, № 1. 17 26.

5. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1963. 3, № 5. 887 904.

6. Friedman A. Optimal control for parabolic equations // J. Math. Anal. Appl. 1967. 18, N 3. 479 491.

7. Butkovsky A. G., Egorov A.I., Lurie K.A. Optimal control of distributed systems (a survey of soviet publications) // SIAm'.J. Control. 1968. 6, n 3. 437 476.

8. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

9. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

10. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Физматлит, 1987.

11. Troltzsch F. Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Methods and Applications. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 112. Providence, AMS, 2010.

12. Dhamo V., Troltzsch F. Some aspects of reachability for parabolic boundary control problems with control constraints // Coniput. Optim. Appl. 2011. 50. 75 110.

13. Lurie K.A. Applied Optimal Control Theory of Distributed Systems. Berlin: Springer, 2013.

14. Fa,rag M.H., Talaat T.A., Kamal E.M. Existence and uniqueness solution of a class of qnasilinear parabolic boundary control problem // Cubo. 2013. 15, N 2. Ill 119.

15. §ener §.S., Suba§i M. On a Ncnmarm boundary control in a parabolic system // Bound. Valne Probl. 2015. 2015:166.

16. Astashova I. V., Filinovskiy A. V. On the dense controllability for the parabolic problem with time-distributed functional // Tatra Mount. Math. Pnbl. 2018. 71. 9 25.

17. Асташова И.В., Филиновский А.В. Об управляемости в параболической задаче с распределенным по времени функционалом // Дифференц. уравнения. 2018. 53, № 6. 851 853.

18. Astashova I. V., Filinovskiy А. V. On properties of minimizers of a control problem with time-distributed functional related to parabolic equations // Opnscnla Math. 2019. 39. 595 609.

19. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об управлении с точечным наблюдением для параболической задачи с конвекцией // Тр. Моск. матем. о-ва. 2019. 80, № 2. 258 274.

20. Astashova I. V., Filinovskiy А. V., Lashin D.A. On the estimates in various spaces to the control function of the extremnm problem for parabolic equation // WSEAS Trans, on Appl. Theor. Mech. 2021. 16. 187 192.

21. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. Controllability and exact controllability in a problem of heat transfer with convection and time distributed functional /'/' J- Math. Sci. 2020. 244. 148 157.

22. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. О задаче управления с точечным наблюдением для параболического уравнения при наличии конвекции и обедняющего потенциала /'/' Дифференц. уравнения. 2020. 56, № 6. 828 829.

23. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об экстремальной задаче управления с точечным наблюдением для параболического уравнения // Докл. РАН. 2022. 504, № 1. 158 161.

24. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Математика и механика. 1937. 1, № 6. 1 26.

25. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

26. Krein М., Smulian V. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space // Ann. Math. 1940. 41. 556 583.

27. Банах С. Теория линейных операций. М.: Ижевск: РХТ, 2001.

28. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

29. ТаОжбахш И. Формы изгиба упругих колец // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Под ред. Дж.Б. Келлера и С. Антмана. М.: Мир, 1974. 46 62.

30. Рисс Ф., Сёкфальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

31. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Физматлит, 1965.

32. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973.

Поступила в редакцию 23.11.2023

УДК 517.925.5

ПРИМЕРЫ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНТРАСТНЫМИ СОЧЕТАНИЯМИ МЕР ЛЯПУНОВСКОЙ, ПЕРРОНОВСКОЙ И ВЕРХНЕПРЕДЕЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

И. Н. Сергеев1

Изучаются новые характеристики дифференциальных систем, содержательно развивающие понятия ляпуновской, иерроновской и верхнепределыгой устойчивости или неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы с позиции теории вероятностей. Предлагаются примеры автономных систем, для которых эти характеристики принимают в некотором смысле противоположные значения.

Ключевые слова: дифференциальная система, автономные системы, устойчивость по Ляпунову, устойчивость по Перрону, верхнепредельная устойчивость, мера устойчивости.

New characteristics of differential systems are studied, which meaningfully develop the concepts of Lyapnnov, Perron and upper limit stability or instability of the zero solution of a differential system from the standpoint of probability theory. Examples of autonomous systems are proposed for which these characteristics take opposite values in a certain sense.

Key words: differential system, autonomous systems, Lyapnnov stability, Perron stability, upper-limit stability, measure of stability.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-6

Введение. Элементы теории вероятностей, одним из основоположников которой но нраву считается А. Н. Колмогоров [1|, вносятся в дифференциальные уравнения, как правило, в виде случайных величин или случайных процессов, фигурирующих в записи самих этих уравнений в их коэффициентах или в запаздываниях (см. [2 4|).

Рассматриваемые ниже дифференциальные системы являются вполне детерминированными, а стохастический смысл придается только их мерам устойчивости, или :неустойчивости, введенным в работах [5 7] и позволяющим оценивать снизу возможность или невозможность такого выбора (наугад) близкого к нулю начального значения возмущенного решения данной системы, чтобы его график оказался в наперед заданной трубке нулевого решения в каком-либо из следующих смыслов:

а) сразу на всей временной полуоси (устойчивость по Ляпунову [8, 9]);

б) хотя бы эпизодически, но в сколь ух'одно поздние моменты времени (устойчивость по Перрону [10], восходящая к показателям, Перрона [11, 12]);

в) хотя бы с какох'о-нибудь момента, но уже навсегда (верхнепредельная, устойчивость [13]).

Предвестниками описанных мер послужили недавние понятия почти устойчивости и почти

•полной неустойчивости [14], обеспечивающие соответствующим свойствам решений полную меру.

1 Сергеев Игорь Николаевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. дифференциальных уравнений мох.-мат. ф-та МГУ. e-mail: ignisergOgmail.com.

Sergeev Igor Nikolaevich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Cliair of Differential Equations.

© Сергеев 1-1. H. ,2024 © Sergeev I.N., 2024