СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ И НАДЁЖНОСТЬЮ ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Vasin Sergey Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Gafarov Roman Rinatovich, postgraduate, [email protected], Russia, Samara, Samara State Technical University

УДК 658.5 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-294-302

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ И НАДЁЖНОСТЬЮ ПРОДУКЦИИ

ПРЕДПРИЯТИЯ

В.Б. Афанасьев, В.М. Медведев, С.Н. Остапенко, В.П. Рязанский

Рассмотрен вопрос применения технологии «Big Data» для проведения статистической обработки большого массива информации, получаемой в ходе параметрического контроля характеристик производимых изделий. Представлены результаты анализа используемых функций распределения случайных величин и выбор базового распределения, позволяющего повысить эффективность применяемой технологии. Приведена система уравнений для нахождения оценок параметров предложенного нового трехпараметрического распределения по методу максимального правдоподобия. Для данных, полученных при исследовании лазерных датчиков угловых скоростей, трехпа-раметрическое распределения показало лучшие результаты при оптимизации функционала в обобщенном методе наименьших квадратов.

Ключевые слова: надёжность, автоматизация, технология Big Data, параметрический контроль, статистика, гистограммы, теоретическая функция распределения.

На ранних стадиях (этапах) жизненного цикла (ЖЦ) изделий оборонной продукции (ОП) «разработка», «опытное производство» и «серийное производство» могут иметь место скрытые конструктивные и производственные дефекты, требующие для их выявления и устранения в том числе проведения предупреждающих мероприятий по техническому обслуживанию и ремонту изделий для обеспечения заданных эксплуатационных характеристик.

Как показывает практика разработки и производства сложных изделий ВВТ на передовых предприятиях ОПК результативным способом борьбы за их качество и надёжность становятся информационные методы технологии «Big Data», которые позволяют собирать и обрабатывать большие объёмы данных параметрического контроля (ПК) изделий при оценке их технического состояния на различных этапах ЖЦ [1].

Анализ публикаций в указанной предметной области [2] показал, что применение методов машинного обучения в рамках технологии «Big Data» для оценки технического состояния сложных многоэлементных изделий находит все больше применения в ведущих военно-промышленных компаниях (ВПК) США и Европы. Схема организации работы в системе технологии «Big Data» на предприятии представлена на рис. 1.

В рамках организации работы по представленной схеме на предприятии АО «ГосНИИП» информационная система сбора и обработки данных реализована за счет интеграции разрабатываемого на языке Python [3] программно-математического обеспечения и базы данных (БД) «Надежность» (Свидетельство о регистрации № 2018620285), управляемой с помощью нереляционной системы управления базами данных (СУБД) MongoDB, с учётом возможностей по масштабированию и разнесению информации по отдельным хранилищам данных [4]. Результатом организации процесса сбора и первичной обработки данных являются информационные массивы статистической информации в том числе данные ПК.

Параметрический контроль, проводимый на изделиях и их комплектующих в том числе в условиях воздействующих факторов, регламентируемых ТУ, в процессе производства и испытаний, включает не только контроль соответствия характеристик изделий техническим требованиям, но и анализ результатов с точки зрения выявления скрытых дефектов, в первую очередь конструктивных. Наличие систематических отклонений значений контролируемых параметров от номинальных может означать, проявление конструктивных дефектов, а также возможных ошибок при нормировании номинальных значений параметров в ТУ.

Система искусственного интеллекта, нейросети, машинное обучение

Рис. 1. Схема организации работы в системе технологии «Big Data»

на предприятии

Для решения задачи анализа систематических отклонений и уточнения номинальных значений контролируемых параметров достаточно эффективно использовать классические статистические методы обработки и анализа экспериментальных данных, представленные в действующих стандартах, например, ГОСТ Р 13053-1-2013 и ГОСТ Р 8.736-2011.

В процессе проведения опытных работ по разработке и постановке на производство изделий ОП в АО «ГосНИИП» для повышения показателей надёжности разрабатываемой и изготовляемой аппаратуры успешно апробированы такие стандартизованные методы как: гистограммы, контрольные карты Шухарта, анализ допусков с точки зрения подхода 6а, причинно-следственные диаграммы Исикавы. Диаграммы Иси-кавы эффективно использованы при выявлении причин зафиксированных отклонений

[5].

Наиболее эффективным инструментом в процессе исследования и статистического анализа показал себя метод гистограмм, позволяющий определить вид и параметры функции распределения исследуемой случайной величины. Важнейшим из этапов статистической обработки данных об отказах изделий - выдвижение и проверка гипотезы о теоретическом распределении генеральной совокупности. При этом в процессе исследования в области качества и надёжности наиболее часто используются следующие гипотезы [6]: для показателя наработка до отказа невосстанавливаемых изделий в случае отсутствия старения используют экспоненциальное распределение; для показателя наработки до отказа изделий с монотонно изменяющейся интенсивностью, учитывающей фактор старения, применяется распределение Вейбулла; для показателя наработка до отказа невосстанавливаемых изделий используется гамма-распределение.

Процедура исследования предполагает последовательное использование функций распределения согласно выдвинутых гипотез с последующими проверками рассматриваемых априорных распределений с распределением генеральной совокупности случайных величин и с проведением сравнительных оценок априорных распределений,

используемых при статистическом анализе, между собой по различным критериям. На основе полученной, таким образом, теоретической функции распределения (ТФР) исследуемой случайной величины проводится расчёт показателей надёжности, оценка и прогнозирование выполнений требований ТУ и ТЗ на выпускаемую продукцию. Точность получаемых оценок напрямую связана с результатами математического моделирования ТФР исследуемой случайной величины, что предполагает возможность дополнения аналитических зависимостей стандартных функций распределения, используемых в процессе исследований. Однако, представленная процедура исследований характеризуется значительной трудоёмкостью и требует привлечение математиков с высокой квалификацией при определении критериев подбора ТФР. Кроме этого, имеющиеся практические решения в этой области связаны с подбором специальной ТФР для статистического материала, полученного на определённых видах продукции, например, изделиях железнодорожного транспорта, которые могут рассматриваться только как частные случаи [7].

Дополнительные возможности, предоставляемые современными программными средствами в том числе Маткад и Матлаб [8], а также специализированными пакетами программ Python [3], используемые при разработке аналитического модуля информационной системы предприятия, позволяют автоматизировать и ускорить процесс исследования статистических материалов.

В этой связи при проектировании аналитического модуля информационной системы представляется целесообразным в целях автоматизации процесса исследования, унификации математических инструментов и соответственно расширения области применения программного продукта рассмотреть вопрос формирования нового семейства распределений, способных обеспечить более точные совпадения с эмпирическими зависимостями исследуемого статистического материала по сравнению со стандартными функциями распределения. Требование, предъявляемое к новому распределению, -предоставить дополнительные возможности исследователям при статистической обработке данных, а также обеспечить унификацию математических инструментов для автоматизированного использования в аналитическом модуле информационной системы. По результатам проведённых исследований было предложено обеспечить указанные требования за счёт использования в новом распределении трёх параметров, обеспечивающих значительную «гибкость» модели функции распределения при описании генеральной совокупности статистических данных.

Для решения поставленной задачи и построения нового семейства функции распределения воспользуемся одним свойством гамма-распределения, а именно: пусть случайные величины У12,..,УГ2 нормально распределены с нулевым математическим ожиданием, дисперсией а2 и взаимно независимы. Тогда случайная величина У]2 + ■■■ + Fr2 имеет гамма-распределение с параметрами ^,1/2а2 [9].

Теперь рассмотрим такую случайную величину X = ( У]2 + —hFr2)n , где Yi ~ N(0,g2) - взаимно независимые случайные величины и n - произвольное положительное число. Найдем функцию распределения случайной величины Х:

F(x) =Р(Х< х) =Р(( Гх2 + ■■• + Y?)n <х)=Р (y? + ■■• + Гг2 <xn) = Fr(xn).

Здесь Fr(x) = у(г/2, х/2а2)/Г(г/2) функция гамма-распределения, у(0- неполная нижняя гамма-функция, Г(-) - гамма-функция. Обозначим r/2 через k, и 2а2 через 0. Вычислим с учетом обозначений плотность распределения случайной величины X:

Обозначим 6П через а, тогда плотность /(х) перепишется в следующем виде:

J у J паГ(к)

296

Рассмотрим случайную величину Х с плотностью f(x) и параметрами k, n, а, принимающими положительные действительные значения. Обозначим для краткости это как X ~ n(k, n, а). Носитель случайной величины Х есть интервал от 0 до бесконечности. Функция распределения случайной величины Х

F{x) = F(x,k,n,a) = y(fc,(|)£)/r(fc).

Нетрудно найти математическое ожидание Х

EX = L f(x)dx = --- = a

\2 -

Г(к+п)

? r(fc)'

' ■ (Г(к)Г(к + 2ri) — Г(к+ n)2).

Вычислим дисперсию БХ = ЕХ2 — (ЕХ) Теперь можем найти коэффициент асимметрии:

_ Цз _ Г(к)2Г(к+Зп)-ЗГ(к)Г(к+п)Г(к+2п)+2Г(к+п)3 ^ ~ ^ - (Г(к)Г(к+2п)-Г(к+п)2)3/2 '

Здесь Ц3-третий центральный момент: =Е[(Х — ЕХ)3], а = л1ВХ - стандартное отклонение Х.

Мода Хравна а(к — п)п при к>п, при к < п плотность Хне ограничена сверху. На рис. 2 представлены плотности распределения при различных значениях к, п и а соответственно и функции распределения Вейбулла (зеленая линия), гамма-распределения (синяя линия), п -распределения (красная линия).

Oil О Л « ft 7 ft« LI 1.3 1Л U LI 1,1 u u 1? и J.I 3.J » IT l,t 4,1 M " <,7 ft«

Плотности распределения при различных значениях k, n и а

аз35353353а5353"'333з.:>533333553!>3353я333£э

Плотности распределения при различных значениях k, n и а

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,10,71,31,92,53,13,74,34,95,56,16,77,37,98,59,19,7

s ® s й S 8 S ¥ g S S 3 Я S S i ;

Плотности распределения Функции распределения Вейбулла (зеленая

при различных значениях к, п и а линия), гамма-распределения (синяя линия),

ц-распределения (красная линия)

Рис. 2. Плотности распределения и функции распределения при различных

значениях к, п, а

Отметим одно свойство п-распределения. Пусть и с > 0 действи-

тельное число. Тогда для функции распределения случайной величины сХ:

Рсх(х) = Р(сХ < х) = Р ( X < | ) = Рх следовательно, п,са).

Для исследования выборок с отрицательными значениями признаков случайной величины построим еще одно распределение. Для этого рассмотрим случай к = п^1. Ллотность распределения примет вид:

( I

Пусть случайная величина Т принимает произвольные действительные значения. Кроме того, добавим параметр сдвига т. Тогда с учетом нормировки получаем еще одно трехпараметрическое симметричное семейство распределений с параметрами к, т, а:

I* I 1

ехр(-(М)*) а(0 ^ ^ .

2аГ(&+1)

Найдем функцию распределения случайной величины Т, учитывая симметрию, использованную при её построении:

V

Г(Ю

т;

С^) = &,т, а) = ^(1 — — ш|)) при t < ш. Нормальное распределение является частным случаем при к = 1/2. В самом деле, с учетом предыдущих обозначений, что а = 6п , 6 = 2а2 , тогда а2 = 2 а2 плотность примет вид

= =

} 2стТ2Г(^+1) '

Ясно, что математическое ожидание Травно моде, то есть ЯГ = то^Г = ш. Дисперсия не зависит от параметра сдвига, и может быть вычислена при ЯГ = 0, отсюда

£Г = ЯГ2 = + 2/с) -ГО + к)2) =

а2Г(3&)

В качестве примера посчитаем дисперсию при к = 1/2 , то есть в случае, когда распределение совпадает с нормальным:

пт _ а2Г(3&) _ а2Г(3/2) _ 2а2^п _ 2 ~ Г(к) _ Г(1/2) _ ~ а ,

что в точности совпадает с дисперсией нормального распределения.

Следствием того факта, что при к = п = 1/2, нормальное распределение есть частный случай п-распределения, функция Лапласа

ФМ^ЛХ-^л

выражается через функцию распределения ^-распределения с параметрами к = 1/2, п = 1/2, а = 2:

Ф(х) =п = = 2).

В случае к = п=1 распределение Лапласа есть частный случай ц-распределения:

¿ар/асе(ш, а) = п(1,^а). Графики плотности распределения при различных значениях а, т, к представлены на рис. 3.

Еще один важный случай п-распределения получаем при ^ = пи малых значениях В пределе при имеем распределение с плотностью:

и(х) = — при 1x1 <а; и(х) =-при 1x1 = а; ; и(х) = 0 иначе.

2а 2ае

Графики плотности ^-распределения при различных значениях параметра

к и т = 0 приведены на рис. 4. Из рисунка видно, что все графики при х = а=1 расположены вблизи точки 1/(2ае) « 0,1839. Уже при к = 0,01 график практически совпадает с графиком равномерного распределения.

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

' ГО" (N~ О" О" (N~ ГО

0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

(N vH (Э СЭ СЭ vH vH IN

а = 1, а =1,4, а = 2 т=—2,т = 0,т = 2 к = 0,2, к = 0,5

Рис. 3. Графики плотность ц—распределения для различных значений

параметров а, т, к

Рис. 4. Плотность ц—распределения при m=0,k=0,5 (фиолетовая линия), k=0,2 (зелёная линяя), k=0,01 (оранжевая линяя)

Связь с другими распределениями. Экспоненциальное распределение есть частный случай ^-распределения

EXP^aT1) = n(1,1,a). Здесь EXP^a'1) - экспоненциальное распределение с параметром a"1.

Рассмотрим функцию распределения Вейбулла в следующем виде:

F(x) = 1 — ехр ^ ,

тогда оно будет частным случаем п-распределения

Ш(а,Ъ)=п(1,\,а) Ь

Распределение хи-квадрат с 2к степенями свободы, является частным случаем ^-распределения

Х2(2к)=ц(к, 1,1). Гамма-распределение является частным случаем п-распределения

Т(к, а) = г\(к, 1, а).

Для выборки, содержащей независимые измерения случайной величины х1;^,хм, приведем систему уравнений для оценок параметров п, а, входящих в щ-распределение по методу максимального правдоподобия:

nNфk = + кфк) = kN =

Здесь - дигамма-функция, определяемая как логарифмическая производная гамма-функции. Выражения для параметров п, а в явном виде получить не удаётся. Решение системы уравнений может быть найдено численными методами.

Пример. Имеются четыре выборки результатов параметрических исследований лазерных датчиков угловых скоростей (ДУС), содержащие информацию с числовыми значениями признаков случайных величин: «захват на моде», «напряжение», «потери», «селективность». В качестве гипотез о теоретическом распределении генеральной совокупности приняты следующие пять распределений: нормальное, симметричное п-распределение, распределение Вейбулла, гамма-распределение, п-распределение. Параметры теоретических распределений определялись с помощью обобщенного метода наименьших квадратов. В качестве оптимизируемого функционала использовалась сумма абсолютных отклонений теоретической функции распределения от эмпирической функции распределения:

На рис. 5 представлены эмпирическое распределение признака «селективность» и рассматриваемые теоретические распределения с параметрами, полученными в результате оптимизации функционала.

Рис. 5. Эмпирическая функция распределения, функция распределения Вейбулла (оранжевая линия), функция гамма-распределения (красная линия), функция П-распределения (зеленая линия) признака «селективность»

В таблице представлены результаты оптимизации функционала численными методами для пяти теоретических распределений по выборке, содержащей данные со значениями параметров ДУС.

Результаты оптимизации функционала

№ Теоретическое распределение Оптимальные значения функционала R, полученные на выборках, содержащих данные со значениями измеренных параметров:

«Захват на моде» «Напряжение» «Потери» «Селективность»

1. Нормальное 1,8396 1,2059 1,9437 4,0972

2. Симметричное п-распределение 1,3240 1,1885 1,9379 4,0820

3. Распределение Вейбулла 2,1064 1,4737 2,9364 4,2052

4. Гамма-распределение 1,1613 0,5370 1,7384 3,0768

5. п-распределение 1,15802 0,5356 1,7361 2,9542

Сравним результат оптимизации для нормального (строка 1 таблицы) и симметричного п-распределения (строка 2 таблицы). Значение минимума оптимизируемого функционала R для нормального распределения уступает минимуму R для п-распределения для всех выборок. Для распределений с положительным носителем (строки 3, 4, 5 таблицы), а именно, распределение Вейбулла, гамма-распределения и п-распределение, лучший результат в смысле наименьшего значения функционала R, имеет также п-распределение.

Выводы. Разнообразие форм кривых плотности двух предложенных распределений предоставляет исследователям широкие возможности их применения. Предложенные распределения охватывают большинство непрерывных распределений как частные случаи, а именно: экспоненциальное, распределение Вейбулла, гамма-распределение. Нормальное распределение является частным случаем симметричного трехпараметрического семейства распределений с параметрами k, m, а при k=1/2; ц-распределение асимптотически равномерно при k = п и к^0. При k = n=l распределение Лапласа есть частный случай ^-распределения.

В результате проведённых исследований обеспечивается эффективная информационная поддержка выпускаемой продукции за счёт статистического анализа параметрической информации, полученной на различных этапах жизненного цикла изделий, на основе инновационного метода построения трёхпараметрической модели ТФР исследуемой случайной величины.

Современное программное обеспечение позволяет решать численными методами задачи по оптимизации функционала трёхпараметрических ТФР случайной величины, что обеспечивает проведение автоматизации и снижает трудоёмкость процессов управления качеством и надёжностью продукции.

Список литературы

1. Боев С.Ф., Линкевичиус А.П., Матвеева С.С., Тимошенко А.В., Шевцов В.А. Оптимизация системы технического обслуживания РЛС дальнего обнаружения на основе распознавания отказов по данным встроенного контроля // Электросвязь. 2017. №10. С. 37-41.

2. Медведев В.М. и др. Современное состояние и направления совершенствования систем технического обслуживания комплексов специального назначения ведущих мировых военно-промышленных компаний // Вестник воздушно-космической обороны. 2018. №4 (24). С. 105 - 113.

3. Mc Kinney, Wes. Python for data analysis: Data wrangling with Pandas, NumPy, and IPython. // " O'Reilly Media, Inc.", 2012 [Электронный ресурс]. URL: http://www. Aa-ronyeo.org/books/Data Science/Python/Wes%20McKinney%20-%20Python%20for%20 Da-ta%20 Analysis.%20Data%20Wrangling%20with%20Pandas, %20NumPy,%20 and%20 IPy-thon-0'Reilly%20(2017).pdf (дата обращения: 15.06.2021).

4. Афанасьев В.Б. Особенности проектирования системы информационной поддержки качества продукции оборонного предприятия // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2020. Вып. 5. С. 255 - 269.

5. Калинин Е.И. др. Разработка системы выявления скрытых дефектов на основе непрерывного контроля основных параметров качества изделий. Отчет АО «ГосНИ-ИП», 2020. 62с.

6. Северцев Н.А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке. М.: Высшая школа, 1989. 432с.

7. Володарский В.А. Влияние законов распределения на показатели надёжности резервированных систем // Методы менеджмента качества. 2021. №1. С. 44-48.

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984. 738 с.

9. Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента: учебное пособие. Сер. Прикладная математика в инженерном деле. М.: МАКС Пресс, 2010. 308 с.

Афанасьев Виктор Борисович, начальник отдела надёжности, [email protected], Россия, Москва, АО «ГосНИИП»»,

Медведев Владимир Михайлович, д-р техн. наук, профессор, генеральный директор, [email protected], Россия, Москва, АО «ГосНИИП»,

Остапенко Сергей Николаевич, д-р техн. наук, профессор, помощник генерального директора по качеству, antey@,almaz-antey. ru, Россия, Москва, ВКО «Алмаз-Антей»,

Рязанский Валерий Павлович, ведущий инженер-математик отдела надёжности, [email protected], Россия, Москва, АО «ГосНИИП»

IMPROVEMENT OF STATISTICAL RESEARCH METHODS IN THE QUALITY AND

RELIABILITY MANAGEMENT SYSTEM OF THE COMPANY'S PRODUCTS

V.B. Afanasyev, V.M. Medvedev, S.N. Ostapenko, V.P. Ryazan

The article discusses the issue of using the Big Data technology for statistical processing of a large array of information obtained in the course of parametric control of the characteristics of manufactured products. The article presents the results of the analysis of the used distribution functions of random variables and the choice of the base distribution, which makes it possible to increase the efficiency of the applied technology. A system of equations for finding estimates of the parameters of the proposed new three-parameter distribution using the maximum likelihood method is presented. For the data obtained in the study of laser sensors of angular velocities, the three-parameter distribution showed the best results when optimizing the functional in the generalized least squares method.

Key words: reliability, automation, Big Data technology, parametric control, statistics, histograms, theoretical distribution function.

Afanasyev Viktor Borisovich, head of the reliability department, vicbor54@,bk.ru, Russia, Moscow, JSC «GosNIIP»,

Medvedev Vladimir Mikhailovich, doctor of technical sciences, professor, general director, [email protected], Russia, Moscow, JSC «GosNIIP»,

Ostapenko Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, assistant general director for quality, [email protected], Russia, Moscow, «Almaz-Antey»,

Ryazansky Valery Pavlovich, leading engineer-mathematician of the reliability department, [email protected], Russia, Moscow, JSC «GosNIIP»