CC BY
26
УДК 623.746.2
DOI 10.21685/2072-3059-2020-3-5
В. Г. Полосин
ПРОСТРАНСТВО ЭНТРОПИЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ФОРМЫ НЕСИММЕТРИЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Аннотация.
Актуальность и цели. Задача большинства экспериментальных исследований состоит в установлении адекватной модели распределения на основе анализа выборочных данных объекта наблюдения. Несмотря на хорошую алгоритмизацию выбора параметров модели, задача выбора формы математической модели остается плохо формализуемой. Традиционно используемые графические методы установления формы зависимостей ограничены качественным соответствием модели и полученных результатов, так как существующие методы классификации моделей на основе только вероятностных признаков не позволяют выявить различие форм близких семейств распределений. В этой связи актуально построение пространства для классификации и приближенной идентификации форм распределений по сочетанию информационных и вероятностных признаков.
Материалы и методы. Работа содержит анализ недостатков распространенного метода приближенного определения формы несимметричных распределений по признакам асимметрии и эксцесса. В работе предложено использовать коэффициент энтропии в качестве признака для формализации информационных признаков несимметричных распределений. Совместное использование информационных и вероятностных признаков позволило разработать пространство признаков для энтропийно-параметрического анализа и контроля формы несимметричных распределений.
Результаты. Применение математической формализации энтропийно-параметрических признаков нессиметричных распределений к семейству обобщенного гамма-распределения позволила выделить множество различимых форм широко используемых на практике семейств распределения Вейбулла - Гнеден-ко, гамма-распределения, логарифмического нормального распределения, экспоненциальных распределений и распределений Пирсона. Оценены границы применения распределения Парето для построения упрощения модели.
Выводы. Приведен материал, иллюстрирующий перспективность применения пространства энтропийно-параметрических признаков для классификации и приближенной идентификации формы несимметричных распределений.
Ключевые слова: информационные и вероятностные признаки, коэффициент энтропии, контерэксцесс, асимметрия, форма несимметричного распределения.
V. G. Polosin
SPACE OF ENTROPY-PARAMETRIC CHARACTERISTICS FOR CONTROL OF THE NON-SYMMETRIC DISTRIBUTIONS FORM
© Полосин В. Г., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Abstract.
Background. The task of most experimental studies is to establish an adequate distribution model based on the analysis of sample data of the observed object. Despite the good algorithmization of the choice of model parameters, the problem of choosing the shape of a mathematical model remains poorly formalized. The traditionally used graphical methods for establishing the shape of dependencies are limited by the qualitative correspondence of the model and the obtained results, since existing methods for classifying models based on only probabilistic signs do not allow us to identify differences in the shapes of close distribution families. In this regard, the actual construction of a space for classification and approximate identification of distribution shapes by a combination of information and probability signs.
Materials and methods. The work contains an analysis of the shortcomings of the common method for approximate determination of the shape of nonsymmetric distributions based on the asymmetry and the kurtosis. The paper proposes to use the entropy coefficient as a feature for formalizing information signs of nonsymmet-ric distributions. The joint use of informational and probabilistic signs allowed us to develop a feature space for entropy - parametric analysis and control of the shape of nonsymmetric distributions.
Results. The application of the mathematical formalization of the entropy - parametric signs of nonsymmetric distributions to the family of generalized gamma distributions allowed us to distinguish many distinguishable shapes of the Weibull -Gnedenko distribution families, the gamma distribution, the logarithmic normal distribution, exponential distributions, and Pearson distributions. The boundaries of the application of the Pareto distribution for constructing a model simplification are estimated.
Conclusions. The paper contains material illustrating the promising use of the space of entropy-parametric signs for classification and the approximate shape of asymmetric distributions.
Keywords: informational and probabilistic signs, entropy coefficient, anti-kurtosis, asymmetry, shape of nonsymmetric distribution.
Введение
Применение вероятностных методов для отображения состояния сложных систем и процессов направлено на расширение способов установления контроля над сложной системой и частично заменяет аналитическое отображение динамической системы статистическими исследованиями [1, 2]. Такой подход позволил на основе выборочного исследования получать статистические закономерности и распространять их на поведение сложных систем в целом, не затрагивая внутренних детерминированных связей между ее компонентами. При такой постановке задача установления контроля над сложной системой состоит в построении эмпирического распределения для формализации состояния системы. Традиционные пути решения подобной задачи основываются на аппроксимации данных статистических исследований с помощью нелинейных функций или полиноминальной регрессии [2-4].
Так как исследования нормальности экспериментальных данных, проведенных в Notre Dame University [5], показали, что в 94,5 % случаев асимметрия и эксцесс одномерных распределений выходят за пределы диапазона [- 0,25, 025], что нарушает исходное предположение о нормальности, то при проведении исследований необходимо регулярно сообщать об асимметрии и эксцессах вместе с другими сводными статистическими данными, так как
ошибки симуляционного исследования при принятии стандартных значений признаков превышают 30 % из-за несоответствия выбора признаков асимметрии и эксцесса. В исследовании были использованы выборочные данные из 1,5 тысяч независимых источников [5].
На современном этапе существует большое разнообразие теоретически проработанных методов определения параметров априорно известных математических моделей, базирующихся на анализе данных наблюдений. Тем не менее выбор форм математической модели по-прежнему остается плохо формализуемой задачей, что объясняется отсутствием систематизации распределений, позволяющей идентифицировать форму модели по признакам выборочных данных. Дело в том, что существующие методы установления формы несимметричных моделей базируются на анализе только статистических признаков выборочных данных. При таком подходе часто остаются неразличимы распределения, принадлежащие как близким семействам, так и разным типам. Значительно расширить методы систематизации распределений возможно за счет использования информационных признаков. По этой причине актуальна проработка теоретических вопросов систематизации и приближенной идентификации форм распределений по сочетанию информационных и вероятностных признаков.
Так как применение информационных свойств для систематизации статистических моделей ограничено отсутствием удобных для классификации методов формализации признаков распределений, в работе предложено использовать коэффициент энтропии для формирования пространства признаков классификации несимметричных моделей. Совместное использование информационных и вероятностных признаков позволило разработать пространство признаков для энтропийно-параметрического анализа несимметричных распределений.
Асимметрия и эксцесс
Существующие методы классификации несимметричных распределений, направленные на построение адекватной модели экспериментальных исследований, базируются на анализе вероятностных характеристик выборочных данных наблюдения. Классически для контроля параметров формы распределений рассчитывают безразмерные признаки распределения, такие как асимметрия и эксцесс [6-10].
В качестве недостатков применения признаков асимметрии и эксцесса для систематизации результатов исследований в работе [11] отмечается, что вероятностные признаки распределения часто имеют тенденцию кластеризоваться примерно на одну линию в большей степени, чем допустимо для реального обнаружения изменчивости выборочных наблюдений, принадлежащих различным типам распределений. По этой причине пространство признаков асимметрии и эксцесса используется только для приближенного указания семейства распределений и недостаточно для выбора формы модели [11]. Распределение Вейбулла - Гнеденко и гамма-распределение представляют характерный пример неразличимости форм подсемейств обобщенного гамма-распределения в пространстве признаков асимметрии и эксцесса. Гибкое семейство обобщенного гамма-распределения введено Stasy Е. W. [12, 13] для анализа данных при исследовании надежности. Распределение использу-
ется в исследованиях временных процессов и включает в себя подсемейства экспоненциального, гамма- и Вейбулла - Гнеденко распределения. Физичес-ские основы использования распределения в статистической механике рассмотрены Lienhard J. H. and Meyer P. L. [14]. Формула для расчета плотности обобщенного гамма-распределения fggd (x, т, X) в зависимости от случайной величины x при различных параметрах масштаба X и параметрах формы а,т имеет вид [13-16]:
fggd (тX) =
ат-1 -Iх
, Х 1 Д X
ХГ(а) IX
(1)
В зависимости от параметров формы плотность распределения (1) соответствует подсемейству обобщенного гамма-распределения: экспоненциальным распределениям при а = т = 1; распределению Вейбула - Гнеденко при а = 1; распределению гамма при т = 1; семейству ^-распределений Пирсона при т = 1, X = 2 и а = 0,5-к, где к = 1, 2, 3, ...; отраженному относительно центра нормальному распределению с параметрами а = 0,5, т = 1.
Для иллюстрации наложения распределений в пространстве вероятностных признаков на рис. 1 дана диаграмма положений асимметрии и эксцесса для семейств распределений с близкими формами, где кривые 1 и 2 соответствуют пространственным положениям множества форм подсемейства распределения Вейбулла - Гнеденко и гамма-распределения.
1 m A 2
^ J
8 Wjf --M--9- 7 ------- ------- ------- ------- -------
ШГ "Til
М
О
10
15
20
25
Ех
Рис. 1. Диаграмма положений различных распределений в пространстве признаков асимметрии Бк и эксцесса Ех
На диаграмме также показаны положения форм семейства распределений Парето (кривая 3) и семейства логарифмического нормального распределения (кривая 4), которые в пространстве признаков асимметрии и эксцесса практически накладываются на кривую гамма-распределения. Из диаграммы
(рис. 1) следует, что кривые 1, 2, 3 и 4 различных семейств пересекаются в точке 5 положения экспоненциального распределения и проходят вблизи точек 6, 7, 8, 9, 10, соответствующих положению %2-распределений Пирсона при различных значениях параметров формы п, равных целым числам {1, 2, 3, 4, 5 ...} соответственно. Там же показано положение формы отраженного относительно центра нормального распределения (точка 11), для которого асимметрия и эксцесс равны 0,9953 и 0,8692 соответственно [6]. Асимметрия и эксцесс экспоненциального распределения равны 2 и 6 [6].
Формулы для расчета признаков асимметрии и эксцесса при различных параметрах формы а таких несимметричных распределений, как гамма-распределение, логарифмическое нормальное распределение и распределения Парето, даны в табл. 1 [17, 18].
Таблица 1
Признаки асимметрии и эксцесса для несимметричных распределений
Тип распределения Асимметрия Эксцесс
Гамма- 2 6
распределение л/а а
Логарифмическое нормальное распределение (еа2 + 2 У еа2 — 1 4а2 . о За2 . о 2а2 г e + 2e + 3e - 6
Распределение Парето (для а > 4) 2(1 + а) /а —2 (а — 3) V а 6(а3 +а2 - 6а- 2) а(а-3) (а-4)
2 X -распределение Пирсона 2л/2 л/й 12 n
Признаки асимметрии и эксцесса для распределений Вейбулла - Гне-денко рассчитаны по формулам [6, 15, 17]:
Г — 3Г Г + 2(Г )3
SkVG(т) = 3 , 21 1 }' , (2,а)
\2
^ Г2-(Г )2
^() = Г4 — 4Г1Г3 — 3(Г2)2 +12(Г1 )2Г2 — 6(Г1 )4 , (2,6)
(Г2 — (Г1 )2)
где Г, - гамма-функция, зависящая от параметра формы т > 0:
Г, = Г (, + Т
В качестве недостатков контроля на основе признаков моментов следует отметить близкое расположение друг к другу кривых экспоненциального семейства. Из кривых на рис. 1 видно, что в пространстве признаков эксцесса
и асимметрии из-за близкого положения кривых затруднен выбор формы несимметричных распределений, принадлежащих различным типам.
Информационная мера для интервала неопределенности распределения контролируемой величины
Информационные технологии находят широкое распространение в различных областях современной техники. Носителями информации являются наблюдения, исход которых нельзя предсказать заранее. Информация есть устранение неопределенности состояния объекта по результатам наблюдения. Изменение количества информации оценивается с помощью энтропии Шеннона. Так как расчет энтропии основан на вероятности распределения результатов наблюдения, то энтропия Шеннона является независимой количественной мерой неопределенности распределения наблюдаемой величины [19-22]. В современной литературе энтропия распределений дается как независимый признак статистических распределений [23]. Формула для расчета энтропии обобщенного гамма распределения имеет вид [14]:
И^ ((, а, т, Х) = 1п Г (а) + (^-а] У(а) + а . (3)
Формулы для расчета энтропий Ирн (X,а) и Ир^ (X,а), используемых ранее семейств распределения Парето [24] и логарифмического нормального распределения, имеют вид
( ~ \
а
---1, (4)
а
ИРг1 (X, а) = 1п
' х0
Иш (X,а,) = 1п(((Пе0'5х), (5)
где а - параметр формы; X - параметр масштаба; х0 - коэффициент сдвига.
Энтропия логарифмического нормального распределения получена с использованием замены у = 1п(х/т).
Записанные формулы для энтропий распределений (3), (4) и (5) характеризуют неопределенность случайных величин, распределения которых неразличимы в пространстве вероятностных признаков асимметрии и эксцесса. Так как параметр масштаба X задан в единицах наблюдаемой величины и различается для одинаковых по форме распределений, в экспериментальных исследованиях энтропий распределений не используется в качестве независимого признака модели.
Автор работы использует в качестве независимой координаты информационный признак интервальной оценки распределений, полученный на основе меры Шеннона. Для несимметричных распределений вводится коэффициент отношения энтропийного интервала неопределенности несимметричного распределения ДИ ко второму начальному моменту т2 распределения. Формула для расчета коэффициента энтропии имеет вид
% = >. (6)
ут2
Для расчета энтропийного интервала неопределенности АН положена модель соответствия энтропии непрерывного несимметричного распределения Нр (X) = Н (X,а,т,X) и энтропии случайной величины X, равномерно
распределенной на интервале от 0 до А. Формула для расчета энтропии несимметрично расположенного относительно начала координат равномерного распределения имеет вид
А 1 1
Нп (X) = - А 1п ^х = 1п (А). (7)
0
Тогда формула для расчета энтропийного интервала неопределенности несимметричного распределения АНп при известной энтропии (7) примет вид
А Нп = ехР (Нп (X)). (8)
Выражения (6) и (8) позволяют дополнительно задать независимую безразмерную нормированную координату для идентификации сглаживающих несимметричных распределений: коэффициент энтропии для несимметричного равномерного распределения.
Такой подход определен свойством несимметричного распределения, энтропия которого пропорциональна энтропии симметричного распределения, полученного посредством отражения несимметричного распределения относительно начала координат. Если fn(X,а,T,X) - функция плотности несимметричного распределения, то функция плотности соответствующего симметричного распределения примет вид
0,5 fn ((*,а,т,X) при х > 0,
/ * \ (9)
0,5fn (-X ,а,т,X) при х < 0.
fs (х,а,т,X) =
Тогда справедлива линейная пропорциональность для энтропий симметричного и несимметричного распределений вида
Н (X* )= 1п2 + Нп (X). (10)
Справедлива пропорциональность второго начального момента несимметричного распределения и квадрата стандартного отклонения случайной
величины симметрированного распределения: т2 (X) = о2 (X ).
Введенный коэффициент энтропии (6) является независимым информационным признаком несимметричного распределения. Коэффициенты энтропии, выведенные из выражения (6) для рассмотренных выше семейств несимметричных распределений: семейства обобщенного гамма-распределения кН семейства распределения Парето кН Рн и логарифмического нормального распределения кН ш , - имеют вид
3 с с с Л Л Л
(г (а))2
kH ggd (т,X)=-
exp11 --а Iу(а ) + а
^Г (а + 2/ т)
т
kHPrt К X)=(a-^exp (-1 --Ц, kHLN (a, X) = 4,131-. (U)
2 x0 l а J exp (a2)
Полученные выражения (11) позволяют отобразить несимметричные распределения в пространстве энтропийно-параметрических признаков асимметрии, контрэксцесса и коэффициента энтропии. Коэффициенты энтропии были использованы при разработке системы стохастического мониторинга электрофизиологических характеристик сердца [24-26].
Пространство энтропийно-параметрических признаков несимметричных распределений
Для практического использования эффективна систематизация и классификация аналитических моделей несимметричных законов распределений посредством их отображения в пространстве энтропийно-параметрических признаков. Так как числовые оценки формы распределения в виде признаков асимметрии, эксцесса, контрэксцесса и коэффициента энтропии определяются с погрешностью менее 5...10 % даже при малом объеме выборки (n < 40) [27], то отображение моделей в пространстве признаков показывает их близость или удаленность как относительно результатов наблюдений, так и между собой. При этом совместное отображение кривых в пространстве признаков делает возможным получить дополнительную информацию о форме огибающих распределения и увидеть, какие из распределений могут быть использованы для аппроксимации данных или для замены сложных форм кривых более простыми моделями.
На рис. 2 показана диаграмма несимметричных моделей распределений в энтропийно-параметрическом пространстве признаков асимметрии, кон-терэксцесса и коэффициента энтропии, где использованы следующие обозначения. Цифрами 1 и 2 обозначены кривые возможных форм семейств распределения Вейбулла - Гнеденко и гамма-распределения соответственно. Кривая 3 иллюстрирует возможные положения обобщенного гамма-распределения при коэффициенте формы т = 0,6 и различных коэффициентах формы а. Кривая 4 соответствует положениям форм логарифмического нормального распределения. Точка 5 иллюстрирует положение экспоненциальных распределений. Точки 6, 7, 8, 9, 10 соответствуют семейству распределений % (распределений Пирсона) для различных значений параметра формы n, равных целым числам 1, 2, 3, 4, 5, ... соответственно; точка 11 соответствует отраженному относительно центра нормальному распределению; точки 12 и 13 иллюстрируют симметричные логистическоеи нормальное распределения; кривые 14, 15, 16, 17 соответствуют семейству распределений Парето при различных смещениях х0.
Для анализа форм моделей несимметричных распределений на диаграмме положения различных семейств распределений отображены в виде проекций на плоскость признаков асимметрии и коэффициента энтропии (рис. 2,а) и на плоскость признаков контрэксцесса и коэффициента энтропии (рис. 2,6).
Для расчета контерэксцессов к несимметричных распределений использовано выражение вида
K = 1/VEx. (12)
1Л
м
С э те
тз
-ч
о
о
те
П>
о. <о
<5" о
-ч П> <3 о'
3
1,5
0,5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ч ¿¿Суг ш /Г А .. » / /$ / г\ 9 4 / /ю\ 7 / ► А * / / У\ / V / рш АЛ/ 1/Г \ \
/ ! / * Ж 1 Л \ \\ ж * 1 \ 1 \ / А М \ \! / 5 \ \\ V V \ \ N. V \ X \
4 / / ; \ \ \ \ 75 \\ ¡^ Ч/б X
1 Ч. ^^
4 Ж
б)
Рис. 2. Диаграмма моделей несимметричных распределений в пространстве энтропийно-параметрических признаков асимметрии, контерэксцесса и коэффициента энтропии: а - проекция пространства на плоскость признаков асимметрии и коэффициента энтропии; б - проекция пространства на плоскость признаков контерэксцесса и коэффициента энтропии
5
го те
о
3 §
го а о
Е §
■с
те £
О"
><
(и
0 ГО
те о, те
1 с Сс
О
го §
N
о *
с Сс 43 те
со С
0
1
Из рассмотрения проекций топографической диаграммы можно видеть, что неразличимые в пространстве асимметрии и эксцесс распределения хорошо различимы при их отображении в энтропийно-параметрическом пространстве, построенном с одновременным использованием вероятностных и информационных признаков распределений. В точке 5 положения экспоненциального распределения происходит пересечение кривых форм подсемейств распределений Вейбулла - Гнеденко и гамма-распределения.
Действительно, так как множество форм распределений Вейбулла -Гнеденко (а = 1, т) и форм гамма-распределений (а, т = 1) были получены искажением экспоненциального распределения и принадлежат семейству обобщенного гамма-распределения, то в своем составе эти семейства имеют общую форму экспоненциального распределения (а = 1, т = 1) с коэффициентом энтропии равным 1,922.
Распределению Пирсона %2 с тремя степенями свободы соответствует точка 7 с коэффициентом энтропии равным 2,014, рассчитанным по формуле (GGD). Так как гамма-распределение с параметрами формы а = 1,5 и т = 1 совпадает с распределением Пирсана с тремя степенями свободы (п = 3), то асимметрии и эксцессы этих распределений равны 1,633 и 0,5 соответственно. Распределение Вейбулла - Гнеденко с параметрами формы а = 1 и т = 1,139 имеет такой же коэффициент энтропии (kнggd (1; 1,139) = 2,014) и
близкие значения признаков асимметрии и эксцесса равные 1,642 и 0,508. Очевидно, что близкие формы распределения Вейбулла - Гнеденко будут хорошо аппроксимировать распределение Пирсона с числом степеней свободы п равным 3 или гамма-распределениями с параметрами формы а = 1,5. Относительная разница асимметрии и эксцесса при использовании аппроксимации распределений не превысит 0,15 и 0,4 % соответственно. На участке между точками 5 и 7 диаграммы на рис. 2 распределения Вейбулла - Гнеденко и гамма-распределение могут быть использованы для аппроксимации одних и тех же данных, что часто используется в различных областях техники, к примеру, при построении моделей надежности. Многообразие форм семейства %2-распределений Пирсона расположены на кривой 2 множества форм гамма распределения. Значение энтропии для ^-распределений Пирсана свободы можно оценить по кривой 2 при известных асимметрии и эксцессе, рассчитанных по формулам табл. 1 для различных целых чисел степеней свободы.
На диаграмме моделей несимметричных распределений в пространстве энтропийно-параметрических признаков (рис. 2) показано положение двух симметричных распределений: логистического распределения 12 и нормального распределения 13. Коэффициенты энтропии симметричных логистического и равномерного распределений равные 2,037 и 2,066 соответственно были рассчитаны как половина отношения интервалов энтропийных неопределенностей к стандартным отклонениям. Оценка контрэксцесса симметричных распределений получена по аналогии с работой Новицкого П. В. [27] как отношение квадрата стандартного отклонения к корню квадратному четвертого момента. Контрэксцессы логистического и нормального распределений равны 0,488 и 0,577 соответственно. Несмотря на то, что на проекции признаков контерэксцесса и коэффициента энтропии распределения 12 и 13 накладываются на кривую 1 многообразий форм подсемейства распределения Вей-
булла - Гнеденко, эти распределения хорошо различимы на проекции признаков асимметрии и коэффициента энтропии.
На диаграмме моделей несиметричных распределений однозначно различимы по значению коэффициента энтропии отраженного относительно центра нормального распределения, расположенного в точке 11, и многообразий форм подсемейства распределения Вейбулла - Гнеденко (кривая 1). Для отраженного относительно центра нормального распределения с параметрами формы обобщенного гамма-распределения а = 0,5 и т = 1 коэффициент энтропии, рассчитанный по формуле (10), равен 2,066. Асимметрия и контрэксцесс распределения равны 0,995 и 1,073 соответственно.
Из рассмотрения диаграммы можно видеть, что использование дополнительного признака коэффициента энтропии несимметричных распределений обеспечивает хорошую различимость кривой 4 семейства форм логарифмического нормального распределения, которое на проекции асимметрии и эксцесса накладывается на многообразие форм гамма-распределения (кривая 2). Применение коэффициента энтропии несимметричных распределений позволило получить разделение для распределения Парето при различных значениях параметра положения х0 левой границы возможных значений х0 = { 0.9, 1.1, 1.3, 1.5 }, которым соответствуют кривые 14, 15, 16 и 17. Кривые Парето не различимы на проекции параметрических признаков асимметрии и эксцесса (контрэксцесса) и находятся вблизи форм обобщенного гамма-распределения. Из топографической диаграммы можно видеть, что кривые Парето следует использовать для аппроксимации данных при значениях коэффициентах энтропии несимметричных распределений менее 1, асимметрии более 2,7 и контрэксцессе менее 0,25. В этой области предпочтительно использование простых форм распределения Парето, так как использование форм обобщенного гамма-распределения менее эффективно из-за сложности модели.
Таким образом, применение коэффициента энтропии несимметричных распределений в качестве дополнительного информационного признака неопределенности распределения совместно с вероятностными признаками асимметрии и контерэксцесса позволяет сформировать пространство энтропийно-параметрических признаков для классификации и контроля несимметричных распределений по изменению их формы.
Библиографический список
1. Волкова, В. Н. Теория систем и системный анализ / В. Н. Волкова, А. А. Денисов - Москва : Издательство Юрайт : ИД Юрайт, 2012. - 679 с.
2. Белоконов, И. В. Статистический анализ динамических систем (Анализ движения летательных аппаратов в условиях статистической неопределенности) / И. В. Белоконов. - Самара : Самарский госуд. аэрокосм. ун-т, 2001. - 64 с.
3. Брандт, З. Анализ данных. Статистические и вычислительные методы для научных работников и инженеров / З. Брандт. - Москва : Мир, 2003. - 686 с.
4. Ткачев, С. В. Планирование эксперимента для испытания датчиковой аппаратуры на метрологическую надежность / С. В. Ткачев, В. Д. Михотин. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1996. - 184 с.
5. Cain, M. K. Univariate and multivariate skewness and kurtosis for measuring nonnormality: Prevalence, influence and estimation / M. K. Cain, Z. Zhang, K. H.Yuan // Behav. Res. - 2017. - Vol. 49. - Р. 1716-1735. - DOI 10.3758/s13428-016-0814-1
6. Вадзинский, Р. Н. Справочник по вероятностным распределениям / Р. Н. Вадзинский. - Санкт-Петербург : Наука, 2001. - 298 с.
7. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. - URL: http://www.itl.nist. gov/div898/handbook/, date.(Links to specific pages can also be referenced this way, if suitable.)
8. Wong, W. K. Skewness and kurtosis ratio tests: With applications to multiperiod tail risk analysis / Woon K. Wong. - Cardiff Economics Working Papers, No. E2016/8. -Cardiff University, Cardiff Business School, Cardiff, 2016. - URL: http://hdl.handle. net/10419/174121.
9. Komsta, L. Moments, cumulants, skewness, kurtosis and related tests. R package version 0.14 / L. Komsta, F. Novomestky, 2015. - URL: http://CRAN.R-project.org/ package=moments, accessed 04 - 2016.
10. Monte Carlo Simulations of Proficiency Testing for Geometric Distributed Test Results / World Multidisciplinary Earth Sciences Symposium (WMESS 2016) / M. Dane, S. Burian, T. Csaszar, L. Lupu, L. Moldovan, C. Colda, A. Andris // IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science. - 2016. - Vol. 44. - Р. 042041. - D0I10.1088/1755-1315/44/4/042041
11. Rose, C. Mathematical Statistics with Mathematica / C. Rose and, M. D. Smith. -New York : Springer-Verlag, 2002. - 481 p.
12. Stacy, E. W. A Generalization of the Gamma Distribution / E. W. Stacy // Annals of Mathematical Statistics. - 1962. - Iss. 33, № 3. - P. 1187-1192. - JSTOR 2237889.
13. Stacy, E. W. Parameter estimation for a generalized gamma distribution / E. W. Stacy, G. A. Mihram // Technometrics. - 1965. - Vol. 7, № 3 - P. 349-358.
14. Lienhard, J. H. A Physical Basis for the Generalized Gamma Distribution / J. H. Lienhard and P. L. Meyer // Qurterly of Applied Mathematics. - 1967. -Vol. XXV, № 3.
15. Rinne, H. The Weibull Distribution: a handbook / Horst Rinne. - London ; New York : Chapman and Hall / CRC Press, 2009. - 784 p.
16. Khodabin, M. Some properties of generalized gamma distribution / M. Khodabin, A. Ahmadabadi // Mathematical Sciences. - 2010. - Vol. 4, № 1. - Р. 9-28.
17. Хастингс, Н. Справочник по статистическим распределениям / Н. Хастингс, Дж. Пикок ; пер. с англ. А. К. Звонкина. - Москва : Статистика, 1980. - 95 с.
18. Кобзарь, А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников / А. И. Кобзарь. - 2-е изд. - Москва : Физматлит, 2012. -816 с.
19. Horst, R. The Weibull distribution: a handbook / R. Horst. - Justus-Liebig-University Giessen, Germany, 2009. - 761 p.
20. Краус, М. Измерительные информационные системы / М. Краус, Э. Вошни. -Москва : Мир, 1975. - 312 с.
21. Венцель, В. С. Теория вероятностей / В. С. Венцель. - Москва : Высш. шк., 1998. - 576 с.
22. Яглом, А. М. Вероятность и информация / А. М. Яглом, И. М. Яглом. -Москва : Наука, 1973. - 512 с.
23. Lin, J. Divergence Measures Based on the Shannon Entropy / J. Lin // IEEE Transactions on information theory. - 1991. - Vol. 37, № I. - P. 145-151.
24. Tahmasebi, S. Shannon Entropy for the Feller-Pareto (FP) Family and Order Statistics of FP Subfamilies / S. Tahmasebi and J. Behboodian // Applied Mathematical Sciences. - 2010. - Vol. 4, № 10. - P. 495-504.
25. Полосин, В. Г. Система стохастического мониторинга электрофизио-логичес-ких характеристик сердца / В. Г. Полосин // Вестник новых медицинских технологий. - 2017. - № 3. - URL: http://www.medtsu.tula.ru/ VNMT/Bulletin/E2017-3/ 1-7.pdf (дата обращения: 19.09.2017). - DOI: 10.12737/article_59c4b47cf1b9697.
26. Полосин, В. Г. Энтропийно-параметрический критерий для оценки состояния сердечно-сосудистой системы / В. Г. Полосин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2019. - № 3. - С. 31-44.
27. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. - Ленинград : Энергоатомиздат, 1985. - 284 с.
References
1. Volkova V. N., Denisov A. A. Teoriya sistem i sistemnyy analiz [Systems theory and systems analysis]. Moscow: Izdatel'stvo Yurayt: ID Yurayt, 2012, 679 p. [In Russian]
2. Belokonov I. V. Statisticheskiy analiz dinamicheskikh sistem (Analiz dvizheniya le-tatel'nykh apparatov v usloviyakh statisticheskoy neopredelennosti) [Statistical analysis of dynamic systems (Analysis of the movement of aircraft under conditions of statistical uncertainty)]. Samara: Samarskiy gosud. aerokosm. un-t, 2001, 64 p. [In Russian]
3. Brandt Z. Analiz dannykh. Statisticheskie i vychislitel'nye metody dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Data analysis. Statistical and computational methods for scientists and engineers]. Moscow: Mir, 2003, 686 p. [In Russian]
4. Tkachev S. V., Mikhotin V. D. Planirovanie eksperimenta dlya ispytaniya datchikovoy apparatury na metrologicheskuyu nadezhnost' [Planning an experiment for testing sensor equipment for metrological reliability]. Penza: Izd-vo Penz. gos. tekhn. un-ta, 1996, 184 p. [In Russian]
5. Cain M. K., Zhang Z., Yuan K. H. Behav. Res. 2017, vol. 49, pp. 1716-1735. DOI 10.3758/s13428-016-0814-1
6. Vadzinskiy R. N. Spravochnik po veroyatnostnym raspredeleniyam [Probability distributions handbook]. Saint-Petersburg: Nauka, 2001, 298 p. [In Russian]
7. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Available at: http://www.itl. nist.gov/div898/handbook/, date. (Links to specific pages can also be referenced this way, if suitable.)
8. Wong W. K. Skewness and kurtosis ratio tests: With applications to multiperiod tail risk analysis. Cardiff Economics Working Papers, No. E2016/8. -Cardiff University, Cardiff Business School, Cardiff, 2016. Available at: http://hdl.handle.net/ 10419/174121.
9. Komsta L., Novomestky F. Moments, cumulants, skewness, kurtosis and related tests. R package version 0.14. 2015. Available at: http://CRAN.R-project.org/package= moments, accessed 04 - 2016.
10. Dane M., Burian S., Csaszar T., Lupu L., Moldovan L., Colda C., Andris A. IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science. 2016, vol. 44, pp. 042041. DOI 10.1088/1755-1315/44/4/042041
11. Rose C., Smith M. D. Mathematical Statistics with Mathematica. New York: SpringerVerlag, 2002, 481 p.
12. Stacy E. W. Annals of Mathematical Statistics. 1962, iss. 33, no. 3, pp. 1187-1192. JSTOR 2237889.
13. Stacy E. W., Mihram G. A. Technometrics. 1965, vol. 7, no. 3, pp. 349-358.
14. Lienhard J. H., Meyer P. L. Qurterly of Applied Mathematics. 1967, vol. XXV, no. 3.
15. Rinne H. The Weibull Distribution: a handbook. London; New York: Chapman and Hall / CRC Press, 2009, 784 p.
16. Khodabin M., Ahmadabadi A. Mathematical Sciences. 2010, vol. 4, no. 1, pp. 9-28.
17. Khastings N., Pikok Dzh. Spravochnik po statisticheskim raspredeleniyam [Handbook of Statistical Distributions]; transl. from Engl. by A. K. Zvonkin. Moscow: Statistika, 1980, 95 p. [In Russian]
18. Kobzar' A. I. Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhenerov i nauchnykh rabotnikov [Applied mathematical statistics. For engineers and scientists]. 2nd ed. Moscow: Fizmatlit, 2012, 816 p. [In Russian]
19. Horst R. The Weibull distribution: a handbook. Justus-Liebig-University Giessen, Germany, 2009. 761 p.
20. Kraus M., Voshni E. Izmeritel'nye informatsionnye sistemy. [Measuring information systems] Moscow: Mir, 1975, 312 p. [In Russian]
21. Ventsel' V. S. Teoriya veroyatnostey [Probability theory]. Moscow: Vyssh. shk., 1998, 576 p. [In Russian]
22. Yaglom A. M., Yaglom I. M. Veroyatnost' i informatsiya [Probability and information]. Moscow: Nauka, 1973, 512 p. [In Russian]
23. Lin J. IEEE Transactions on information theory. 1991, vol. 37, no. I, pp. 145-151.
24. Tahmasebi S., Behboodian J. Applied Mathematical Sciences. 2010, vol. 4, no. 10, pp. 495-504.
25. Polosin V. G. Vestnik novykh meditsinskikh tekhnologiy [Herald of new medical technologies]. 2017, no. 3. Available at: http://www.medtsu.tula.ru/ VNMT/Bulletin/E2017-3/1-7.pdf (accessed Sept. 19, 2017). DOI: 10.12737/article_59c4b47cf1b9697. [In Russian]
26. Polosin V. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhniches-kie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2019, no. 3, pp. 31-44. [In Russian]
27. Novitskiy P. V., Zograf I. A. Otsenka pogreshnostey rezul'tatov izmereniy [Estimation of measurement errors]. Leningrad: Energoatomizdat, 1985, 284 p. [In Russian]
Полосин Виталий Германович
доктор технических наук, профессор, кафедра медицинской кибернетики и информатики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Polosin Vitaliy Germanovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department medical cybernetics and informatics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Образец цитирования:
Полосин, В. Г. Пространство энтропийно-параметрических признаков для контроля формы несимметричных распределений / В. Г. Полосин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2020. - № 3 (55). - С. 44-57. - DOI 10.21685/2072-3059-2020-3-5.
