CC BY
114Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/
2005, 9
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
ЦНИИ им. акад. А .Н. Крылова
Россия, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44, e-mail: eeaa@online.ru
Сопоставление метода конечных элементов и статистического энергетического метода для расчета вибрации в периодических конструкциях
Представлены примеры расчета вибрационной энергии балочной конструкции двумя методами: методом конечных элементов (МКЭ) и статистическим энергетическим методом (ЭМ). Расчеты выполнены для периодической конструкции, состоящей как из балок одинаковой длины, так и из балок, длины которых генерируются случайным образом в предположении, что они подчиняются нормальному закону распределения с заданными одинаковым средним значением и некоторой дисперсией. Тем самым моделируется реальная ситуация, когда размеры элементов конструкции неизвестны точно, а задаются в виде средней величины и погрешности. Показано, что энергии балок в конструкции из одинаковых элементов, рассчитанные МКЭ, существенно отличаются от энергий усредненных по результатам расчетов для конструкций из балок, длина которых является случайной величиной с одинаковым средним значением. Т. е. расчет МКЭ, использующий в качестве исходных данных только средние значения характеристик конструкции, может давать некорректные результаты для реальных периодических конструкций. Усредненные результаты расчета МКЭ и ЭМ отличаются незначительно. Сделан вывод о перспективности использования в инженерных расчетах ЭМ, который в сравнении с МКЭ является намного более экономичным.
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее распространенными в современной практике методами расчетов в области колебаний сложных инженерных конструкций являются метод конечных элементов (МКЭ) и энергетический метод (ЭМ). Энергетический метод часто называют статистическим энергетическим методом (СЭМ), имея в виду особенности допущений при его применении. Эти методы реализованы в виде коммерческих программ: АКБУБ,
МКЭ является более точным и универсальным методом, поскольку в его основе лежат фундаментальные уравнения теории упругости, но при его использовании возникают проблемы вычислительного характера, когда количество элементов, необходимых для правильного описания конструкции, становится очень большим
Получена 15.03.2005, опубликована 31.03.2005
NASTRAN, ABACUS (МКЭ), AutoSEA, SEAM, SEADS (ЭМ) и др.
(особенно для достаточно сложных конструкций с повышением частоты). Поэтому МКЭ применяется обычно на инфразвуковых и низких звуковых частотах, а ЭМ — на средних и высоких.
Фундаментальным свойством любой реальной конструкции и составляющих ее элементов является неопределенность характеристик. Например, геометрические размеры задаются с некоторой погрешностью. Никогда неизвестны точно характеристики материалов (плотность, модули упругости, коэффициенты потерь и т. д.), величины воздействующих сил, точки (области) их приложения, площади воздействия и т. д. Однако инженерные расчеты выполняются обычно с использованием средних величин в качестве исходных данных. В данной работе представлен пример расчета МКЭ энергии колебаний периодической балочной конструкции, причем в качестве исходных данных используются как детерминированные, так и случайные величины. Показано, что использование только детерминированных (средних) величин может приводить к ошибочным результатам расчета. Выполняется также сопоставление результатов расчета МКЭ и ЭМ.
1. КОНСТРУКЦИЯ ДЛЯ ПРИМЕРА РАСЧЕТА
Для расчетов использована конструкция, состоящая из четырех последовательно соединенных под прямым углом балок, представленная на рис. 1. Жесткие соединения балок свободно оперты; в такой конструкции под действием поперечной силы возникают только поперечные колебания, что упрощает расчеты и анализ результатов, но не ограничивает выводы. Поперечное сечение балок 5x1 см (балки соединены между собой вдоль длинной стороны сечения), материал — сталь, коэффициент внутренних потерь — 0.01. Гармоническая сила приложена к свободному концу балки 1, F = 1 Н. МКЭ и ЭМ рассчитывается энергия поперечных колебаний балок.
4
/
Рис. 1. Конструкция из последовательно соединенных балок, используемая для расчета
3
2
/
Расчеты выполняются для периодической конструкции, состоящей из одинаковых балок. Периодические конструкции весьма распространены. Примерами таких конструкций являются, типовые панельные здания или их отдельные фрагменты, конструкции, подкрепленные ребрами жесткости, например, корпус судна. Причем установлено [1], что снижение уровней вибрации при распространении по периодическим конструкциям, меньше, чем по непериодическим. Поэтому случай периодической конструкции представляет большой интерес для практики.
Размеры элементов реальной конструкции, как правило, задаются в виде среднего значения и погрешности. В качестве исходных данных при инженерных расчетах обычно используются только средние значения. В данной работе рассчитывается энергия колебаний балочной конструкции, состоящей как из одинаковых балок (1 м) — строго периодической конструкции, так и из балок, длины которых являются случайными выборками из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м.
При такой величине дисперсии различие между случайным образом генерируемыми длинами балок может составлять до 10 см и более. Столь большое различие формально одинаковых элементов не характерно для большинства инженерных конструкций. Однако на распространение энергии в конструкции влияет не соотношение длин непосредственно, а соотношение между резонансными частотами соседних балок, зависящее как от размеров, так и от множества других факторов: начальной кривизны, остаточных и статических напряжений и т. д. В конечном итоге действие совокупности этих факторов приводит к тому, что вероятность совпадения резонансных частот формально одинаковых элементов снижается. Этот факт приближенно учитывается повышенным значением дисперсии длины балок.
Расчеты были выполнены для десяти вариантов конструкции, отличающихся длиной составляющих ее балок, представленных в таблице 1.
Таблица 1. Длина балок (м), составляющих конструкцию (случайные выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м)
Вариант конструкции балка 1 балка 2 балка 3 балка 4
1 0.9892 1.0071 1.0235 1.0501
2 1.0493 1.0350 0.9771 1.0060
3 1.0505 1.0574 0.9558 1.0926
4 0.9786 1.0182 0.9459 1.0120
5 1.0587 0.9244 1.0271 1.0177
6 1.0285 0.9319 0.9700 0.9944
7 0.9656 1.0308 0.9913 1.0109
8 0.9420 1.0415 0.9268 1.0102
9 0.9697 0.8558 1.0357 1.0653
10 1.0476 0.9948 0.9756 0.9647
2. РАСЧЕТ МКЭ
При моделировании МКЭ балки разбивались на стандартные балочные элементы длиной около 1 см. Энергия колебаний балки (Еъ) рассчитывались из комплексных
смещений в узлах сетки элементов, полученных в результате решения МКЭ, по формуле
1 N
Еъ = 2 м„Й, (1)
2 П=1
где %п — амплитуда смещения в узле, Мп — масса балки, приходящаяся на узел, N —
число узлов сетки элементов.
Расчеты энергии колебаний выполнялись на резонансных частотах конструкции, результаты суммировались в октавных полосах частот.
Результаты расчета энергии колебаний балок (отдельные результаты по 10-ти вариантам конструкции и их средние значения) представлены на рис. 2. Отдельные результаты характеризуются, в первую очередь, большим разбросом. Из рис. 3 видно, что разброс энергий в целом уменьшается с ростом частоты и увеличивается при удалении от источника возбуждения (балки 1).
На рис. 2 представлены также энергии колебаний балок конструкции при равной длине балок (1 м). В этом случае снижение уровней энергии при удалении от источника заметно меньше, чем в среднем по 10 случайным вариантам (рис. 4). Так, для конструкции из одинаковых балок разница энергий колебаний балок 1 и 4 составляет на высоких частотах менее 5 дБ, тогда как в среднем по 10 случайным вариантам эта разница около 10 дБ. Причина в том, что совпадение резонансных частот для одинаковых балок увеличивает обмен энергией между ними.
Отметим, что энергии колебаний одинаковых балок 2, 3 и 4 оказываются практически одинаковыми (рис. 4б). Этот результат согласуется с данными, представленными, например, в [1], согласно которым перепад вибрации в конструкции с периодически расположенными препятствиями наблюдается лишь на одном-двух первых препятствиях, а далее ослабления вибрации практически не происходит. Однако там же [1] приведены результаты натурных измерений, показывающие, что снижение уровней вибрации по настилу палубы судна и вдоль корпуса судна — конструкциям с препятствиями в виде элементов подкрепляющего набора, которые считаются периодическими — не зависит от удаления от места возбуждения вибрации. Т. е. реальные конструкции, видимо, не обладают свойствами периодических.
Таким образом, использование в качестве исходных данных одинаковых длин балок дает завышенную энергию для удаленных балок. В действительности вероятность совпадения геометрических размеров (и резонансных частот) для реальных конструкций относительно мала. Формально периодическая реальная конструкция фактически не является таковой. Для получения корректных, соответствующих реальности результатов расчета, правильнее считать длину случайной величиной. В этом случае наиболее вероятный (усредненный) результат оказывается ниже
полученного при одинаковых длинах балок. Такой результат точнее отражает процессы распространения вибрации по реальным конструкциям. Однако для его получения расчет МКЭ следует выполнить многократно, используя в качестве исходных данных выборки из совокупностей случайных величин, характеризующих геометрические размеры, а в общем случае, также свойства материалов, приложенные силы и т. д. При этом требования к производительности средств вычислительной техники, и так достаточно высокие при расчетах МКЭ, еще более возрастают, а трудоемкость увеличивается.
Е + 101%ю , дБ
Е +101% ю , дБ
1)
3)
2)
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Е + 101%ю , дБ
4)
100
31 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Е +101% ю , дБ
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Рис. 2. Энергия колебаний балок 1.. .4 конструкции, расчет МКЭ
+ + + + отдельные результаты по 10-ти вариантам конструкции (табл. 1), средние значения по 10-ти вариантам конструкции, балки равной длины (1 м)
Етах Етіш ДБ
а)
Рис. 3. Разница между максимальными и минимальными значениями энергии колебаний балок 1.4, рассчитанными МКЭ для 10 вариантов конструкции
балка 1
Н-----балка 2
-О----балка 3
□-----балка 4
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Е + 101%ю , дБ
Е + 101%ю , дБ
130
125
120
115
110
105
100
• • • ' ' • ' ' • 130 , , . . . . . . ,
125 \ ^
120
115
110
105
. . . 1 1 . 1 1 . 100 і , . . . . . . ,
31 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
31 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Рис. 4. Энергия колебаний балок 1.4 конструкции, расчет МКЭ. а) средние значения по 10-ти вариантам конструкции, б) балки равной длины (1 м)
балка 1,
+
балка 2,
балка 3,
балка 4
3. РАСЧЕТ ЭМ
Система уравнений энергетического баланса (СУЭБ) для конструкции, представленной на рис. 1, имеет вид
Ґ
ю
П +П12 П21 0
П12 П +П21 +П23 П32
0 П23 П +П32 +П34
0
П43
^( Е1 ^
Е2 Е3
0
0
П34
0
0
(2)
где п1 . — коэффициенты внутренних потерь в балках; п12 • • • П43 — коэффициенты
энергетической связи балок; Щ — мощность, вводимая балку 1 силой Г ; Е1 . Е4 — неизвестные энергии колебаний, ю — круговая частота.
Коэффициенты энергетической связи балок рассчитывались по формуле
0
Т -С ■
Щ =^, (3)
аЦ
где тт — коэффициент прохождения (по энергии) изгибных волн из балки г в балку у; с^ — групповая скорость изгибных волн в балке г, Ц — длина балки г.
Для соединения балок под прямым углом коэффициент прохождения энергии через соединение (т) получен аналитически [2] и составляет 0.5 для балок одинакового поперечного сечения (при этом виброизоляция соединения — 3 дБ).
Расчеты показали, что влияние длин балок в небольших пределах, соответствующих данным табл. 1, практически не влияет на результаты расчета ЭМ. Поэтому ниже
представлены результаты, полученные ЭМ для Ц = 1 м. Колебательная мощность (Ж ),
вводимая в конструкцию поперечной силой, определялась как МКЭ, так и
приближенно.
Вводимая в конструкцию мощность с использованием результатов моделирования МКЭ определялась по формуле
Ж = ), (4)
где Г — воздействующая на балку сила задается при моделировании МКЭ (1 Н), V* — комплексно-сопряженная колебательная скорость в месте приложения силы. Скорость связана со смещением (£), получаемым в результате решения МКЭ, соотношением V = /©£. Поэтому Ж = -а( • 1ш^)/2. Расчеты, как и ранее, выполнялись на резонансных частотах, а результаты суммировались в октавных полосах.
Вводимая мощность была определена МКЭ для следующих конструкций:
- конструкция из четырех балок (рис. 1),
- конструкция из двух балок (рис. 5а),
- одна балка (рис. 5 б).
а)
б)
&
Рис. 5. Конструкции, используемые для расчета вводимой мощности МКЭ
Во всех случаях вводимая мощность рассчитывалась для десяти вариантов конструкции, отличающихся длиной балок. Длины балок, как и при расчете энергии колебаний конструкции из четырех балок, представляли собой случайные выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м. Длины балок, используемые в расчетах, представлены в таблицах 1, 2 и 3.
Таблица 2. Длина двух балок (м), (рис. 5а), составляющих конструкцию из двух балок (случайные выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и
дисперсией 0,05 м)
ва риант конструкции
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
балка 1 1.067 0.995 1.018 0.919 1.076 1.021 1.010 1.100 0.959 1.008
балка 2 0.986 1.094 0.944 1.043 0.949 0.989 1.037 1.027 1.074 0.992
Таблица 3. Длина балки (м), рис. 5б (случайные выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м)
вариант конструкции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
длина 0.966 0.949 0.938 1.014 0.979 1.003 0.982 0.977 1.019 1.036
Результаты расчета показывают, что разброс значений вводимой мощности относительно незначителен и составляет на средних и высоких частотах около 2 дБ для всех вариантов (рис. 6). Примерно в таких же пределах может меняться энергия колебаний конструкции. Для примера на рис. 7 представлены энергии колебаний балки 4, рассчитанные ЭМ при десяти вводимых мощностях, полученных при действии силы на одну балку (рис. 5б). В дальнейших расчетах используются средние для каждой из трех конструкций значения вводимой мощности, рассчитанные МКЭ.
щ - щ . , дБ
уу тах уу тіп 5
Е + 10\%ю , дБ
130
100
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
31 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Рис. 6. Разница между максимальными и минимальными значениями вводимой мощности по 10 выборкам % четыре балки две балки одна балка
Рис. 7. Энергия колебаний балки 4 при расчете ЭМ с использованием вводимой мощности, рассчитанной при воздействии силы только на одну балку, рис. 5б (10 вариантов длинны балки, табл. 3)
Приближенно вводимая мощность в октавных полосах частот рассчитывалась по формуле
Ж =
N (А/ ),
(5)
где 2Р — импеданс балки по отношению к действующей силе, N (А/) — количество резонансных частот в октавной полосе шириной А/. Импеданс определялся на резонансных частотах, т. е. использовалось минимальное значение импеданса балки, возбуждаемой на конце [3]:
сотЬц
2
(6)
где т — погонная масса балки, п — коэффициент внутренних потерь; N (у )= 1А/ 4
т
Ба‘
(7)
где В — изгибная жесткость балки.
Результаты расчета вводимой мощности МКЭ (усредненные) и приближенно (форм. 5-7) представлены на рис. 8, из которого видно, что вводимые мощности, рассчитанные разными способами (точно и приближенно) и с использованием моделей разной степени сложности (МКЭ) хорошо совпадают. Результаты расчета энергии колебаний ЭМ в сопоставлении с МКЭ представлены в следующем разделе.
Ж + \0\grn , дБ
Рис. 8. Вводимая мощность, рассчитанная МКЭ и приближенно
----1--- четыре балки, рис. 1 (МКЭ)
О две балки, рис. 5а (МКЭ)
одна балка, рис. 5б (МКЭ) одна балка, рис. 5б (приближенно, форм. 5-7)
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
2
4
4. СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ЭМ И МКЭ
На рис. 9 представлены результаты расчета ЭМ и МКЭ энергии колебаний балок 1.4 конструкции, изображенной на рис. 1. Из рис. 9 видно, что
1. Результаты расчета ЭМ и МКЭ (усредненные по 10-ти вариантам конструкции) хорошо совпадают. Их разница для наиболее удаленной балки (4) составляет не более 2 дБ на средних и высоких частотах. При этом ЭМ дает немного более высокие уровни энергии колебаний. В октавных полосах 31.5 и 63 Гц результаты расчета ЭМ оказываются завышенными по сравнению с МКЭ на 2-3 дБ, но только при использовании вводимой мощности, определенной моделированием МКЭ только одной балки (см. рис. 8).
2. Результаты расчета ЭМ попадают, как правило, в диапазон значений, ограниченный максимальными и минимальными энергиями, полученными МКЭ.
3. ЭМ дает практически одинаковые результаты при разных способах определения вводимой мощности. Такой результат является ожидаемым, поскольку хорошо совпадают вводимые мощности, определенные разными способами.
4. Результаты расчета ЭМ и МКЭ (усредненные) совпадают во всем исследованном диапазоне частот, включая октавные полосы, содержащие не более одной резонансной частоты колебаний отдельных балок (31,5, 63 Гц и 125 Гц). При этом в полосы 31,5 и 63 Гц попадает по две резонансные частоты колебаний всей системы из четырех балок, в полосу 125 Гц — три. Считается, что энергетический метод дает приемлемые результаты при более высокой плотности резонансных частот. Полученные же данные позволяют надеяться на расширение частотного диапазона применения ЭМ, но в этом направлении необходимы дополнительные исследования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Пример расчета вибрации формально периодической балочной конструкции, выполненный МКЭ с учетом неопределенности длины балок составляющих конструкцию, показал, что при исходных данных, представленных в виде среднего значения величины с некоторой погрешностью, результаты расчета МКЭ характеризуются значительным разбросом. Величина разброса, естественно, зависит от дисперсии исходных данных. Усредненные результаты расчета заметно отличаются от результатов, полученных при использовании средних (одинаковых) длин балок в качестве исходных данных.
В инженерной практике именно средние значения величин, характеризующих геометрические размеры, свойства материалов и т. д., используются в качестве исходных данных. Однако, как показывают представленные исследования, это может приводить к ошибочным результатам расчета для периодических конструкций, поскольку строгая идентичность характеристик элементов, позволяющая считать конструкцию периодической, является маловероятной для реальных конструкций.
Для получения результата, более адекватно описывающего поведение реальной конструкции, требуется выполнить комплекс расчетов МКЭ с использованием наборов данных, учитывающих возможные отклонения характеристик конструкции от средних значений. Объем расчетов и, соответственно, стоимость при этом, разумеется, увеличиваются по сравнению со случаем использования только средних величин в качестве исходных данных. Однако расчеты на примере балочной конструкции показали, что средние результаты, полученные МКЭ, хорошо совпадают с результатами расчета ЭМ, который является намного более экономичным. Экономичность определяют упрощенное моделирование конструкции, меньший объем исходных данных, невысокие требования к вычислительной технике.
Одним из «узких мест» ЭМ является колебательная мощность, вводимая в конструкцию, которую не всегда удается рассчитать для реальных конструкций и воздействующих сил достаточно точно с использованием приближенных зависимостей. Для расчета вводимой мощности можно использовать МКЭ. При этом не требуется, видимо, моделировать конструкцию полностью. В рассмотренном примере расчета для определения вводимой мощности с приемлемой точностью оказалось достаточным включить в модель только элемент конструкции, на который действует сила.
Процессы распространения колебательной энергии в конструкциях, состоящих из балок, пластин, оболочек, объемов, заполненных средой, и их комбинаций имеют сходную природу. Поэтому представленный пример расчета качественно описывает распространение энергии, не только в балочных, но и в других конструкциях, а методология расчета и выводы имеют, видимо, достаточно широкое применение.
Выполненные исследования подтвердили, что ЭМ является рациональной основой для инженерного расчета вибрации и шума в сложном сооружении (сооружении, состоящем из множества элементов). В рамках применения ЭМ МКЭ целесообразно использовать, например, для определения мощностей, вводимых в конструкции динамическими силами, или для определения коэффициентов энергетической связи элементов конструкции в соединении, для которых отсутствуют аналитические зависимости для коэффициента прохождения. Для выполнения таких расчетов можно моделировать отдельные фрагменты конструкции (например, фундаменты, соединения элементов), а не конструкцию в целом. Поэтому затраты на их выполнение относительно невелики.
E + 10lg® , дБ
E + 10lg® , дБ
1)
3)
2)
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
E + 10lg® , дБ
4)
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
E + 10lg® , дБ
среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Рис. 9. Энергия колебаний балок 1.. .4 конструкции на рис. 1
расчет ЭМ, вводимая мощность рассчитана МКЭ для четырех балок (конструкции на рис. 1 в целом)
расчет ЭМ, вводимая мощность рассчитана МКЭ для одной балки (рис. 5б) расчет ЭМ, вводимая мощность рассчитана по формулам 5-7 расчет МКЭ, средние значения по 10-ти вариантам конструкции, расчет МКЭ, максимальные и минимальные значения по 10-ти вариантам
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов В. Т., Никифоров А. С. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л. «Судостроение», 1975.
2. L. Cremer, M. Heckl, E. E. Ungar. Structure-Borne Sound, 2nd edition, Springer, Berlin, 1988.
3. Никифоров А. С. Акустическое проектирование судовых конструкций.
Л., Судостроение, 1990.
