Определение коэффициентов энергетической связи двух балок с использованием МКЭ: вероятностный подход Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2006, 10

И. В. Грушецкий, А. В. Смольников

ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова

Россия, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44, e-mail: [email protected]

Определение коэффициентов энергетической связи двух балок с использованием МКЭ: вероятностный подход

Получена 15.03.2006, опубликована 02.05.2006

Представлены способ и пример определения коэффициентов энергетической связи (КЭС), используемых в энергетическом методе расчета, с учетом неопределенности характеристик подсистем. При расчете КЭС используется метод конечных элементов (МКЭ) Случайными величинами являются длины балок, подчиняющиеся нормальному закону распределения с одинаковым средним значением. Для проверки полученных КЭС выполнен пример расчета вибрационной энергии конструкции, состоящей из четырех последовательно соединенных балок с неопределенными характеристиками, двумя методами: МКЭ и энергетическим методом (ЭМ). Показано, что энергии колебаний балок в конструкции, рассчитанные МКЭ и ЭМ, хорошо совпадают как в части средних значений энергий, так и в части вероятного разброса результатов.

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее распространенными в современной практике методами расчетов вибрации и звука сложных инженерных конструкций являются метод конечных элементов (МКЭ) и энергетический метод (ЭМ). Эти методы реализованы в виде коммерческих программ: ANSYS, NASTRAN, ABACUS (МКЭ), AutoSEA, SEAM, SEADS (ЭМ) и др.

МКЭ является более точным и универсальным, но дорогостоящим методом расчета, поскольку требует построения весьма подробной модели конструкции,

высокопроизводительных средств вычислительной техники и чрезвычайно

продолжительных вычислений особенно при решении динамических задач в области высоких звуковых частот. Поэтому МКЭ применяется обычно на инфразвуковых и низких звуковых частотах. ЭМ приближенный, но более экономичный. Экономичность определяют упрощенное моделирование конструкции, меньший объем исходных данных, сравнительно невысокие требования к вычислительной технике.

При расчете ЭМ надо знать коэффициенты энергетической связи (КЭС) элементов, составляющих конструкцию — подсистем. КЭС подсистем могут быть определены аналитически, экспериментально или численно. Аналитически КЭС определяются из коэффициентов прохождения энергии через соединение подсистем. Однако такие коэффициенты прохождения известны из аналитических решений лишь для некоторых

элементарных типов соединений (Г-, Т-, крестообразные соединения полубесконечных балок или пластин и некоторые другие [1, 2, 3]). Для практических расчетов такой информации зачастую недостаточно. Экспериментальный способ определения КЭС, не отличаясь, по сути, от численного способа, рассматриваемого ниже, требует организации сложного физического эксперимента.

Численный способ определения КЭС, в основе которого лежит численное моделирование подсистем, входящих в соединение, наиболее универсален. Он может быть применен для любых соединений. Численно, например МКЭ, рассчитываются энергии колебаний подсистем при введении энергии в каждую из подсистем по отдельности, а КЭС находятся решением системы линейных уравнений, коэффициентами которой являются энергии колебаний подсистем. При этом не используется никаких дополнительных допущений. Пример определения КЭС с использованием МКЭ для соединения двух балок представлен в работе [4]. Было показано, что при использовании КЭС, полученных численно, расчет ЭМ конструкции из четырех последовательно соединенных балок дает лучшие результаты, чем при использовании аналитических КЭС.

Такой результат был получен при использовании детерминированных исходных данных. Однако для любой реальной конструкции и составляющих ее элементов геометрические размеры, характеристики материалов (плотность, модули упругости, коэффициенты потерь и т. д.), величины воздействующих сил, точки (области) их приложения, площади воздействия и т. д. никогда неизвестны точно. Кроме того, на механические свойства конструкции влияет множество технологических факторов, которые практически невозможно контролировать: начальная кривизна, остаточные и статические напряжения, особенности сварки элементов и т. д. Технологические погрешности при производстве любых изделий приводят к тому, что механические свойства формально идентичных конструкций заметно различаются [5, 6].

В работе [7] представлен пример расчета МКЭ вибрации конструкции с неопределенными свойствами. Рассматривалась периодическая конструкция из четырех формально одинаковых балок, длина которых задавалась в виде случайной величины с одинаковым средним значением (1 м) с некоторой дисперсией (0,05 м). Таким образом моделировалась конструкция с неопределенными характеристиками. Было обнаружено, что расчет МКЭ по десяти наборам исходных данных (случайных выборок из нормальной совокупности с указанными средним значением и дисперсией), дает весьма широкий «рукав» значений энергии колебаний. Энергии колебаний балок в конструкции из одинаковых элементов, рассчитанные МКЭ, значительно отличаются от энергий, усредненных по результатам расчетов для конструкции из балок, длина которых является случайной величиной с одинаковым средним значением. Был сделан вывод о том, при расчетах целесообразно применять вероятностный подход, а конечный результат представлять в виде среднего значения и вероятного отклонения, которое зависит от дисперсии исходных данных. Такое представление конечного результата расчета более адекватно описывает ожидаемые виброакустические характеристики сложной конструкции, когда ее свойства неизвестны точно.

При использовании ЭМ исходными данными являются КЭС, коэффициенты внутренних потерь (КВП) и колебательные энергии, вводимые в подсистемы. Эти исходные данные в действительности являются случайными величинами, характеристики которых могут быть определены экспериментально или численно. Пример определения КЭС с использованием МКЭ для соединений строительных панелей, размеры которых задавались в виде случайных величин, представлен в работе [8]. В работе [9] неопределенность характеристик пластин моделировалась точечными массами, случайным образом распределенными по пластинам. В данной работе рассматривается вероятностный подход к определению КЭС двух балок в соединении с применением МКЭ. Представлен пример расчета конструкции из четырех балок, в котором использованы найденные таким образом КЭС.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ МКЭ

Для определения КЭС системы уравнений энергетического баланса (СУЭБ) составляются для случаев введения энергии в систему через каждую из подсистем по отдельности. Например, для системы из двух подсистем получается система из четырех уравнений для определения четырех неизвестных: двух КЭС (п2, П21) и двух КВП (п1,

П2). При известных и одинаковых КВП (п) в подсистемах аналитическое решение системы уравнений имеет вид [4]:

п — П'2\ (22 + Е12 ) .

12 Е11Е22 - Е12Б21 ’

„ — ПЕіІЕііЕі) ^ )

E E - E E ’

М1^22 М^21

где £п , Б12 Е21, Б22 — энергии в подсистемах, определяемые МКЭ. Первый цифра в индексе соответствует подсистеме, в которой рассчитывается энергия, вторая — подсистеме, в которую вводится энергия.

Таким методом были получены КЭС двух одинаковых балок, подстановка которых в СУЭБ давала решение ЭМ хорошо совпадающее с решением МКЭ для конструкции из четырех одинаковых балок [4].

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЭС ДВУХ БАЛОК СО СЛУЧАЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЭС

Найдем, для примера, КЭС соединения двух балок, рассмотренного в [4], рис. 1, при условии неопределенности размеров балок. Жесткое соединение балок свободно оперто; в такой конструкции под действием поперечной силы возникают только поперечные колебания, что упрощает расчеты и анализ результатов, но не ограничивает выводы. Поперечное сечение балок — 5x1 см (балки соединены между собой вдоль длинной стороны сечения), материал — сталь, коэффициент внутренних потерь — 0.01. Гармоническая сила поочередно приложена к свободным концам, F = 1 Н.

Рис. 1.

Конструкция, используемая для расчета КЭС МКЭ

Для получения статистических характеристик КЭС подсистем следует выполнить несколько расчетов энергии колебаний МКЭ, при которых в качестве исходных данных используются их случайные наборы. Затем по формулам (1) рассчитываются КЭС. Таким образом формируется некоторая выборочная совокупность КЭС, по которой приближенно определяются статистические характеристики генеральной совокупности КЭС подсистем, входящих в соединение.

При моделировании МКЭ балки разбивались на стандартные балочные элементы длиной около 1 см. Энергии колебаний балок рассчитывались из комплексных смещений в узлах сетки элементов, полученных в результате решения МКЭ. Расчеты выполнялись на резонансных частотах конструкции, результаты суммировались в октавных полосах частот.

Было выполнено девять расчетов, в которых длины балок являлись случайными выборками из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м. При такой величине дисперсии различие между случайным образом генерируемыми длинами балок может составлять 10 см и более. Столь большое различие формально одинаковых элементов не характерно для большинства инженерных конструкций. Однако на распространение энергии в конструкции (на КЭС) влияет не соотношение размеров непосредственно, а соотношение между частотами свободных колебаний элементов, зависящее в реальных условиях как от размеров, так и от множества других факторов: начальной кривизны, остаточных и статических напряжений и т. д. В конечном итоге действие совокупности этих факторов приводит к тому, что вероятность совпадения резонансных частот формально одинаковых элементов практической конструкции снижается. Этот факт приближенно учитывается повышенным значением дисперсии длины балок. Варианты соединений, для которых определялись КЭС представлены в табл. 1.

Таблица 1. Длина балок (м), составляющих соединение (выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м)

Вариант соединения

1 2 3 4 5 6 7 8 9

балка 1 1.067 0.995 1.018 0.919 1.076 1.021 1.010 0.959 1.008

балка 2 0.986 1.094 0.944 1.043 0.949 0.989 1.037 1.074 0.992

Результаты расчета представлены на рис. 2. Там же представлены КЭС, полученные по результатам моделирования МКЭ соединения одинаковых балок и аналитические значения КЭС. Аналитическими мы называем значения КЭС, рассчитанные из коэффициента прохождения энергии через соединение полубесконечных балок по формуле Пі] = Тус?і/ с°^і [1], где т ц — коэффициент прохождения (по энергии)

изгибных волн из балки і в балку ] (т^ = 0,5); с^ — групповая скорость изгибных волн

Рис. 2.

КЭС двух балок, рассчитанные МКЭ:

— девять случайных значений п12,

— девять случайных значений п21, 0 средние значения п12, П21,

а также

V КЭС для одинаковых балок,

0 аналитические КЭС

Из рис. 2 видно, что разброс значений КЭС весьма значителен, особенно в полосах частот, содержащих низшие частоты свободных колебаний балок (125...500 Гц). КЭС максимальны при равных длинах балок, т. е. при совпадении резонансных частот подсистем. Небольшое отклонение от равенства длин приводит к резкому уменьшению КЭС. Такие результаты согласуются с теоретическими представлениями, подтвержденными экспериментально, о прохождении вибрационной энергии через препятствия [2, 10]. С повышением частоты «рукав» КЭС сужается. Отличие коэффициентов связи в паре п12 и п21 незначительное.

По полученным результатам определялись статистические характеристики КЭС: закон распределения, среднее значение и дисперсия. Если выборки длин балок для расчета были сделаны из совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения, то наиболее подходящим законом распределения КЭС является нормальное распределение десятичного логарифма КЭС. На такой же закон распределения указывается в работе [8]. Т. е. статистические характеристики КЭС: среднее значение и стандартное отклонение — определяются для величин ^ п12 и/или ^ п21, которые примерно одинаковы в рассматриваемом примере. Нормальному закону распределения подчиняются также статистические характеристики величины !§(Пі2 /П21 ).

в балке і; Ьі — длина балки і, Ьі = 1 м.

КЭС

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

3. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИИ

3.1. Конструкция для расчета

Для проверки полученных КЭС выполнялись расчеты энергии колебаний конструкции, представленной на рис. 3.

Рис. 3.

Конструкция из последовательно соединенных балок, используемая для расчета

:_____________і

3.2. Расчет МКЭ

Расчеты МКЭ выполнялись для 10 вариантов конструкции, в которой длины балок являлись случайными выборками из нормального распределения со средним значением

1 м и дисперсией 0,05 м (табл. 2), т. е. статистические характеристики балок такие же, как при определении КЭС.

Таблица 2. Длина балок (м), составляющих конструкцию (случайные выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м)

Вариант конструкции балка 1 балка 2 балка 3 балка 4

1 0.9892 1.0071 1.0235 1.0501

2 1.0493 1.0350 0.9771 1.0060

3 1.0505 1.0574 0.9558 1.0926

4 0.9786 1.0182 0.9459 1.0120

5 1.0587 0.9244 1.0271 1.0177

6 1.0285 0.9319 0.9700 0.9944

7 0.9656 1.0308 0.9913 1.0109

8 0.9420 1.0415 0.9268 1.0102

9 0.9697 0.8558 1.0357 1.0653

10 1.0476 0.9948 0.9756 0.9647

Результаты расчетов представлены на рис. 4 (эти результаты вместе с описанием процедуры расчета были представлены в предыдущей работе авторов [7]).

/

&

/

&

л

3

Е + 10^т, дБ

Рис. 4.

Результаты 10-ти расчетов МКЭ энергии колебаний балки 4 в конструкции из четырех балок (рис. 3) при использовании в качестве исходных данных для длин балок случайных выборок из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м

3.3. Расчет ЭМ

3.3.1. Система уравнений энергетического баланса

В основе расчета ЭМ лежит система уравнений энергетического баланса (СУЭБ), которая для конструкции, представленной на рис. 3, имеет вид

Ґ

т

П +П12 -Пі 0

Пі2 П +П21 + П 23 Пз2

0 П2З Пз +П32 +П34

0

0

П34

' Е ^

Е2 0

Е3 0

V Е4 У V 0 ,

(2)

0 0

П43 П +П43 у

где п — П4 — КВП в балках; п12 • • • П43 — КЭС балок; Ж1 — мощность, вводимая балку 1 силой ¥ ; Е1 • Е4 — неизвестные энергии колебаний, т — круговая частота.

В системе уравнений (2) случайными величинами являются КЭС и вводимая мощность. КВП будем считать детерминированной величиной.

Для получения конечного результата расчета — энергий колебаний подсистем (балок 1.. .4) в виде средних значений и вероятных отклонений — находится некоторая совокупность решений СУЭБ, в которой исходные данные представляют собой выборки из совокупности случайных значений. Для формирования таких выборок используется информация о статистических характеристиках исходных данных как случайных величин: законах распределения, средних значениях, дисперсиях. Эти данные получаем с использованием МКЭ.

3.3.2. Коэффициенты энергетической связи

С использованием статистических характеристик КЭС, полученных по результатам расчета МКЭ (раздел 2), производились случайные выборки КЭС для подстановки в СУЭБ. Генерация значений одного из КЭС в паре, точнее логарифма КЭС, производилась с использованием статистических характеристик собственно КЭС двух балок (^п12 или ^п21), генерация второго из КЭС (пп) — с использованием

статистических характеристик логарифма отношения КЭС: ^(п12/п21). Тем самым

достигалось соответствующее реальности соотношение, при котором КЭС в паре ( п и П ) отличаются незначительно на средних и высоких частотах. В СУЭБ подставляются КЭС, рассчитанные по формулам

п = 10(Ы;

% = щ • 10(" ^, (3)

где индекс «в» означает, что величина в скобках получена путем случайной выборки.

Примеры генерации КЭС и отношения КЭС в паре представлены на рис. 5 и 6 соответственно. Там же для визуального сопоставления генерируемых КЭС с конкретными значениями КЭС, полученными МКЭ, приведены максимальные и минимальные значения КЭС и отношения КЭС в паре, рассчитанные в разделе 2.

КЭС

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

п/ъ 102 -----

-4

10 1_.------,-----,------,-----,--------------------------,-,-,-._1

31 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Рис. 5. КЭС двух балок:

— г/у генерируемые в

соответствии с нормальным законом распределения величины(100 случайных

значений на каждой частоте) ■©- максимальные и минимальные значения п12, рассчитанные с использованием энергий колебаний, полученных МКЭ (рис. 2)

Рис. 6.

Отношение КЭС в паре т]у ¡Пр

— Пу /П генерируемые в

соответствии с нормальным законом распределения величины \%(пц ¡Пр ) (100

случайных значений на каждой частоте)

■в- максимальные и минимальные значения п12 /п21 , рассчитанные с использованием энергий колебаний, полученных МКЭ

3.3.3. Вводимая мощность

Для получения статистических характеристик вводимой мощности расчеты МКЭ выполнялись применительно к свободно опертой на одном конце балке, к которой в конструкции приложена сила (рис. 7). Замена полной конструкции фрагментом в данном примере расчета выполнена с учетом того, что полное моделирование реальной сложной конструкции, например судна, в широком диапазоне частот практически невозможно, и для определения вводимой мощности приходится ограничиваться фрагментом конструкции.

Длина балки являлась случайной величиной со средним значением 1 м и дисперсией

0,05 м. (см. табл. 3). Вводимая мощность с использованием результатов моделирования МКЭ определялась по формуле Ж = Яе(р • V*)/2, где ¥ — воздействующая на балку

сила, которая задается при моделировании МКЭ (1 Н); V* — комплексно-сопряженная колебательная скорость в узле приложения силы.

В данном примере было обнаружено, что вводимая мощность, рассчитанная с использованием фрагмента конструкции, практически совпадает с мощностью, полученной при моделировании конструкции из четырех балок начиная с частот, где в октавные полосы попадают первые резонансные частоты одной балки — 125 Гц (рис. 8, 9). На более низких частотах разница средних значений (рис. 8) незначительна. Такие расчетные результаты согласуются с экспериментальными данными, например [11].

Рис. 7. Конструкция, используемая для расчета МКЭ вводимой мощности

Таблица 3. Длина балки (м), рис. 7 (случайные выборки из нормального распределения со средним значением 1 м и дисперсией 0,05 м)

вариант конструкции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

длина 0.966 0.949 0.938 1.014 0.979 1.003 0.982 0.977 1.019 1.036

¥

Ш, дБ

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Рис. 8.

Вводимая мощность (расчет МКЭ): -в— в одну балку, среднее по 10-ти случайным длинам балки (табл. 3); -е- в конструкцию из четырех балок, среднее по 10-ти случайным вариантам конструкции (табл. 2)

Ш, дБ

Рис. 9.

Максимальные и минимальные значения вводимой мощности (расчет МКЭ):

----в одну балку, по 10-ти случайным

длинам балки (табл. 3); в конструкцию из четырех балок, по 10-ти случайным вариантам конструкции (табл. 2)

По результатам расчета МКЭ (также как для КЭС) определялись статистические характеристики вводимой мощности: закон распределения (наиболее подходящим является нормальный закон распределения), среднее значение и дисперсия. По этим данным производились случайные выборки вводимой мощности для подстановки в СУЭБ.

Следует отметить, что дисперсия вводимой мощности намного меньше, чем дисперсия КЭС в диапазоне частот 125-8000 Гц (ср. рис. 2 и 9). Поэтому влияние разброса мощности на конечные результаты относительно невелико и им можно было бы пренебречь, используя во всех последующих расчетах средние значения вводимой мощности.

3.3.4. Результаты расчета ЭМ и их сопоставление с МКЭ

Расчеты ЭМ были выполнены при следующем объеме исходных данных:

- КЭС: 100 выборок для каждого соединения в каждой октавной полосе частот из распределения, характеристики которого определены в разделе 3.3.2. По статистическим характеристикам КЭС генерировался один КЭС из пары г/у и т]р.

Второй КЭС определяется на основании статистических характеристик отношения КЭС в паре (см. раздел 3.3.2).

- Вводимая мощность: 100 выборок из распределения, характеристики которого определены в разделе 3.3.3.

- КВП: детерминированная величина, п = 0,01.

Таким образом, было выполнено 100 расчетов, в каждом из которых случайными величинам являлись одновременно КЭС и вводимая мощность.

Результаты расчета приближенным ЭМ сравниваются с совокупностью из 10-ти решений более точным МКЭ, представленных в разделе 3.2.

На рис. 10 представлены энергии колебаний балок 1...4 в некоторых октавных полосах частот исследуемого диапазона, рассчитанные МКЭ (10 значений для каждой балки в каждой полосе частот) и ЭМ с использованием КЭС и вводимой мощности, генерируемых на основании статистических характеристик (100 значений).

На рис. 11 те же данные представлены в ином виде: средние энергии колебаний и границы доверительного интервала каждой из балок конструкции, рассчитанные МКЭ и ЭМ.

Из рисунков видно, что расчет ЭМ хорошо согласуется с расчетом МКЭ как в части средних значений энергий, так и в части вероятного разброса результатов. Относительно большое несоответствие в полосе 63 Гц обусловлено в первую очередь погрешностью определения вводимой мощности с использованием фрагмента конструкции. В полосах 125-500 Гц ЭМ дает заниженные на 2-3 дБ результаты для самой удаленной балки (4). Это может быть связано с недостаточно точными оценками статистических характеристик КЭС при их определении МКЭ при небольшом для столь значительного разброса КЭС объеме выборки (см. рис. 2)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлен пример расчета КЭС подсистем с неопределенными свойствами с применением МКЭ. Определены статистические характеристики: закон распределения, среднее значение и дисперсия КЭС двух соединенных под прямым углом балок, длина которых является случайной величиной. Эти характеристики использованы для расчета ЭМ конструкции, состоящей из четырех балок. Результаты расчета сопоставлены с совокупностью решений МКЭ для той же конструкции, длина балок которой также является случайной величиной. Обнаружено, что расчет ЭМ хорошо согласуется с расчетом МКЭ как в части средних значений энергий, так и в части вероятного разброса результатов. Таким образом, использование МКЭ для

определения КЭС позволяет не только рассчитывать КЭС подсистем в соединениях, для которых отсутствуют аналитические решения, но и оценивать статистические характеристики КЭС как случайной величины. Такие характеристики в свою очередь позволяют получить энергетическим методом в качестве конечных результатов расчета колебаний сложной конструкции не только некоторые средние значения, но и «рукав», характеризующий разброс результатов.

Представление конечного результата расчета в виде среднего значения и вероятного отклонения адекватно описывает ожидаемое поведение реальных конструкций, характеристики которых всегда случайным образом отличаются от номинальных значений. Использованная в работе методология определения виброакустических характеристики конструкции с неопределенными свойствами может быть применена для вероятностного расчета более сложных реальных конструкций. При этом МКЭ применяется для фрагментов конструкции, а для всей сложной конструкции используется экономичный ЭМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. L. Cremer, M. Heckl, E. E. Ungar. Structure-Borne Sound, 2nd edition, Springer, Berlin, 1988.

2. В. Т. Ляпунов, А. С. Никифоров. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л., «Судостроение», 1975.

3. С. Н. Овсянников. Распространение звуковой вибрации в гражданских зданиях.

Издательство Томского государственного архитектурно-строительного

университета, 2000.

4. И. В. Грушецкий, А. В. Смольников. Определение коэффициентов энергетической связи двух балок с использованием метода конечных элементов. Электронный журнал «Техническая акустика», www.ejta.org, 2005, 24.

5. F. Fahy. Foundations of Engineering Acoustics. Academic Press, 2001.

6. Yang S. J., Ellison A. J. Machinery noise measurements. Oxford University Press, 1985.

7. И. В. Грушецкий, А. В. Смольников. Сопоставление метода конечных элементов и статистического энергетического метода для расчета вибрации в периодических конструкциях. Электронный журнал «Техническая акустика», www.ejta.org, 2005, 9.

8. C. Hopkins. Statistical energy analysis of coupled plate systems with low modal density and low modal overlap. JSV. 2002, V. 251, No 2, pp. 193-214.

9. Phil Shorter, Robin Langley. Numerical and Experimental Validation of Hybrid FE-SEA Method. NOISE-CON 2004, pp. 380-388.

10. В. Ю. Кирпичников. М. Н. Кузьмичев. Об увеличении виброизоляции изгибных волн в пластине варьированием фильтрующих свойств элементов подкрепляющего набора. Акустический журнал, 1977, т. 23, вып. 3, с. 397-403.

11. V. Kirpichnikov, D. Liapunov, V. Savenko. On influence of resonance phenomena at inside shell structures on vibration and sound radiation of transport means shells. Proceedings of the 2-nd Symposium “Transport Noise and Vibration”, 4-6 October, 1994, St. Petersburg, Russia, pp. 365-368.

а)

Е +10^^ , дБ

Е + 10^^ , дБ

— 1 1 110 1 100

90

80

70

60

50

1 1 40

в)

Е +10\%т , дБ

г)

Е + 10\%т , дБ

1 1 ^ ■ 110 100 90

70

60

50

40

Е +10\%т , дБ

Е + 10\%т , дБ

д)

110

100

90

е)

Рис. 10. Энергия колебаний балок 1.4 в полосах частот: сплошные линии — расчеты ЭМ с использованием КЭС, генерируемых на основании статистических характеристик КЭС, полученных МКЭ (100 расчетов); о — расчеты МКЭ (10 расчетов) а) 31,5 Гц, б) 125 Гц, в) 500 Гц, г) 1000 Гц, д) 2000 Гц, е) 8000 Гц

31.5 п2

2

3

4

2

3

4

2

3

4

2

3

4

2

3

4

2

3

4

Е + 101ц®, дБ

Е + 101ц®, дБ

1)

2)

Е + 101ц ® , дБ

Е + 101ц®, дБ

3)

4)

среднегеометрические частоты октавных полос, Гц

Рис. 11. Средние энергии колебаний балок конструкции и границы доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95:

, расчет МКЭ (10 расчетов);

-в—,-расчет ЭМ с использованием КЭС, генерируемых на основании

статистических характеристик КЭС, полученных МКЭ (100 расчетов); вводимая мощность — случайная величина для конструкции из одной балки;

1) балка 1, 2) балка 2, 3) балка 3, 4) балка 4