CC BY
7УДК 514.853
СООТНОШЕНИЕ КЛАССОВ БЕРТРАНА, БОННЕ И ТАННЕРИ
О. А. Загрядский1
В статье рассматриваются три известных класса поверхностей вращения и вопрос их пересечения, существуют ли у них общие части.
Ключевые слова: поверхности вращения Таннери, Бертрана, Бонне.
Three well-known classes of surfaces of revolution are considered. The problem of their intersection and existence of common parts is studied.
Key words: Bertrand, Bonnet, and Tannery surfaces of revolution.
1. Три класса поверхностей вращения. Рассмотрим гладкую поверхность вращения S ~ (a,b) х S1 с координатами (и, р) и метрикой
i2n(u) 0 \
0 a222(u)) ■ (1)
Среди таких поверхностей рассмотрим три известных класса.
1.1. Поверхности Бертрана. Поверхность Бертрана — эта такая поверхность вращения, на которой существует центральный непостоянный гладкий потенциал, такой, что все ограниченные невырожденные орбиты при движении под действием этого потенциала замкнуты и существует хотя бы одна такая орбита. Существуют три подхода (см., например, [1-3]), описывающие их.
Следуя подходу [2], скажем, что поверхность является бертрановской тогда и только тогда, когда существуют координаты (9,р), такие, что метрика (1) в них принимает вид
f (6? I . (2)
\ 0 у
Здесь / — неотрицательная рациональная константа; c,t — действительные константы. Таким образом, поверхности Бертрана представляют собой трехпараметрическое семейство поверхностей вращения (параметризованных параметрами c,t,/). Подробное описание таких поверхностей можно найти в [2].
1.2. Поверхности Бонне. Приведем определение поверхностей Бонне и некоторые известные факты о них.
Определение 1. Пара поверхностей Si,S2 называется парой Бонне, если существует изометрия h : Si ^ S2, сохраняющая среднюю кривизну. Поверхность, входящая в какую-нибудь пару Бонне, называется поверхностью Бонне.
Замечание 1. Поверхности Бонне, естественно, вложены в R3, в отличие от поверхностей Бертрана и Таннери, которые могут полностью вкладываться в R3, частично или вообще не вкладываться. Поверхность Бертрана реализуется в R3 как поверхность вращения при тех значениях c, t, /, 9, при которых
/л2(92 + c - t9-2) ^ (9 + t9-3)2.
Теорема 1. Метрики поверхностей семейства Бонне являются метриками вращения. Теорема 2. Среди компактных поверхностей класса, гладкости C2 и рода p = 0 нет пар Бонне. Теорема 3 (Г. Р. Жуков). Если поверхность вращения с метрикой (1) не имеет омбилических точек и ее средняя кривизна, непостоянна ( H'(и) = 0 Уи G (a,b)), то поверхность является поверхностью Бонне тогда и только тогда, когда
a22(s) (H2(s) - K(s)) = coH's(s). (3)
Здесь H, K — средняя и гауссова, кривизны соответственно, co — константа, s — натуральный пара-
()
S2
если все геодезические на ней периодичны.
1 Загрядский Олег Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: grpcozag@mail.ru.
Замечание 2. Допускается наличие особенностей в полюсах сферы (подробнее см. в [5]), поэтому их можно выколоть и рассматривать поверхность Таннери как поверхность S с метрикой (1).
Без ограничения общности предположим, что max a22(u) = 1. Достигается он ровно в одной точке uo,
[a,b]
множество u0 х S1 назовем экватором. Тогда (см. [5]) верна
S
метрика G на множесmee (a, b) х S1 может быть приведена к виду
G =
- + h(cos г)
q
2
dr2 + sin2 rdQ2,
где | — рациональная константа, h : (—1,1) —> (—— нечетная функция. В этом случае длина экватора, равна 2тт, длина меридиана 2|-/г; длина любой другой геодезической 2ртт.
2. Соотношения классов. Возникает естественный вопрос: как соотносятся три перечисленных выше класса поверхностей вращения?
Поверхности Бертрана не имеют экваторов (точек uo : a^iuo) = 0), а поверхности Таннери всегда имеют ровно один экватор. Поэтому глобально эти два класса не пересекаются. Исходные поверхности Таннери (гомеоморфные сфере без выколотых полюсов) компактные, а среди таких поверхностей не может быть поверхности Бонне по теореме 2. Более того, поверхности Бертрана и Таннери могут вообще не вкладываться в R3.
Однако некоторые поверхности Бертрана можно гладко склеить по окружности, т.е. существуют поверхность (a, b) х S1 и число uo £ (a, b), такие, что поверхности (a, uo) х S1 и (uo, b) х S1 суть поверхности Бертрана, при этом выполнено соотношение a^(uo) = 0. Такое склеивание можно сделать при значении параметров с > 0, t ^ 0, а также в случае c2+4t < 0, при этом uo = yf^t. В частности, при с > 0, ¿ = 0, ц = 1 две поверхности Бертрана являются полусферами, которые склеиваются по экватору в обычную сферу.
Точка, движущаяся по поверхности под действием центрального потенциала V(u), описывает траекторию, которая в случае V(u) = const является геодезической. Эта система гамильтонова с двумя независимыми первыми интегралами. Она доставляет примеры некомпактных атомов для общей теории интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем (см. [6, 7]). Анализ этих примеров требует сравнения и дальнейшего изучения упомянутых выше трех классов поверхностей вращения.
Устранив препятствие в виде экватора, сравним поверхности Бертрана с поверхностями Таннери.
Утверждение 1. На, поверхности Бертрана с экватором (щи c > 0,t ^ 0 или при c2 + 4t < 0), получаемой при описанном выше склеивании, все геодезические замкнуты, за, исключением меридианов.
Доказательство. Уравнения геодезических в координатах (в, ф) примут вид
+ ^ + (4)
i( Ф ^=0 = (5)
(в2 + с - гв-2)) ¡12(в2 + с - ье-2)
Из уравнения (5) можно выразить г и подставить в уравнение (4), получится уравнение, определяющее геодезическую, записываемую зависимостью в = в(ф):
¡12в" + в + гв-3 = о. (6)
Проинтегрируем уравнение (6) один раз:
^е>2 + е2 + с-ье-2 = -^. (7)
Проинтегрируем уравнение (7): 92 = (--¡^ ~ 77 ) ( 1 —|— Н--^—^-—■ 8Ш^ ^° ] .
к 2/ \ у т^! - §) V )
Теперь из явного вида геодезической и рациональности ^ медует ее замкнутость. □ Следствие. Указанные в утверждении 1 поверхности Бертрана с экваторами являются поверхностями Таннери.
Менее тривиальным является вопрос о локальном пересечении классов, т.е. могут ли существовать общие куски у поверхностей из разных классов.
Определение 2. Два класса поверхностей вращения (из трех перечисленных) локально пересекаются, если существуют повехность & Б1 х (а1,Ъ\) с метрикой diag(af1 (и),а^2(и)) 113 первого класса и поверхность Б2 ~ Б1 х (а2, Ъ2) с метрикой diаg(af1 (и), а^2(и)) из второго, а также числа а[, Ъа'2, Ъ'2, такие, что а1 ^ а1 < Ъ\ ^ Ъ1,а2 ^ а'2 <Ъ'2 ^ Ъ2, и гладкая изометрия Н, переводящая полосу первой поверхности Б1 х (а'1,Ъ'1) в полосу второй Б1 х (а'2,Ъ'2).
Другими словами, два класса локально пересекаются, если кусочек (в виде пояса) какой-то поверхности из первого класса совпадает с кусочком поверхности из второго класса. Естественно, мы рассматриваем только те поверхности, которые вкладываются в М3.
В случае поверхностей Таннери можно сказать, что этот класс локально пересекается с любым из двух других, так как, согласно замечанию 4.15 работы [5], для любой функции к : [0,1] —> мы можем
Б2
будут замкнуты и будут иметь длину 2рп. На вопрос о пересечении поверхностей Бонне и Бертрана дает ответ следующее
М3
непостоянной (У в И1 (в) = 0) средней кривизной локально не пересекаются.
Доказательство. Для доказательства достаточно убедиться, что ни на какой области поверхности Бертрана не выполняется соотношение, определяющее поверхность Бонне, а именно соотношение (3); с этой целью для поверхности Бертрана посчитаем а22,И,К, подставим их в формулу (3) и убедимся, что равенство (3) нарушится.
М3
кривизны. Итак, компоненты метрического тензора Ё = а^ = ; Р = 0, С = .
1 { д С \
Гауссова кривизна вычисляется по формуле К =---=== ( —— —=== ) , что в итоге дает К = с — —
\7777 К"" \ТТ;)
шв-4 + 2г2в-6.
Для подсчета средней кривизны вычислим сначала главную кривизну Х1 как кривизну профильной кривой (меридиана), затем поделим на нее К и найдем Х2■ Средняя кривизна будет их средним арифметическим. Имеем
А1 = уУ (02 + с - гв~2) ~(в + ¿0-3)2,
о тт ¡л2(в2 + с - гв-2) - (в + гв-3)2 + с - бьв-2 - зьев-4 + 2г2в-6
2 Н =--^-.
Л/1Л2{в2 + с - ¿0-2) - (9 + ¿0"3)2
Осталось вычислить И . Для этого заметим [2], что натуральный параметр в связан с в соотношением з = / ■ Имеем Н'3 = Н'в • 0'3 = Н'в • -р- = Н'в • ц2(02 + с — Ю~2). Вычисления показывают, что
после подстановки К,И,И'3,а22 в формулу (3) равенство не выполняется даже локально. □
Соотношение (3) задает поверхности Бонне и еще некоторые поверхности вращения с омбилическими точками; как мы показали только что, ни те ни другие не будут поверхностями Бертрана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Santoprete М. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution // Math. Phys. 2008. 49, N 4.
2. Загрядский О.А., Кудрявцева E.A., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.
3. Ballesteros A., Enciso A., Herranz F.J., Ragnisco О. Hamiltonian systems admitting a Runge-Lenz vector and an optimal extension of Bertrand's theorem to curved manifolds // Communs Math. Phys. 2009. 290. 1033-1049.
4. Сабитов И.Х. Изометрические поверхности с общей средней кривизной и проблема пар Бонне // Матем. сб. 2013. 203, № 1. 115-158.
5. Besse A. Manifolds all of whose geodesies are closed. Berlin: Springer, 1978.
6. Fomenko A.T. The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability // Math. USSR Izvestija. 1987. 29, N 3. 629-658.
7. Болсипов А.В., Фоменко A.T. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Изд-во Удмурт, ун-та, 1999.
Поступила в редакцию 24.01.2014
