CC BY
9Остальные 4 класса получаются изоморфными отображениями этих классов, порождаемых перестанов-
л - - (012\
ками циклической группы A3 третьего порядка, порождаемой перестановкой I ^ 2 о / '
Из 9 оставшихся классов укажем только 3. Остальные 6 классов получаются изоморфными отображениями этих трех классов, порождаемых перестановками группы A3. Упомянутые 3 класса порождаются следующими тремя функциями:
10 2\ /1 0 2\ /1 0 0\ 002,002, 000 . 222/ \0 0 2/ \0 0 2/
Класс функций, порождаемый первой из этих функций, изоморфен но без операции введения фиктивной переменной. Классы, порождаемые второй и третьей функцией, не изоморфны фг- Например, в классе, порождаемом третьей функцией, 16 функций отображаются в стрелку Пирса у\ V у2-
Методы, использованные при доказательстве утверждений данной статьи, основаны на методах, применявшихся в работах [1, 3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Макаров A.B. О гомоморфизмах функциональных систем многозначных логик // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Наука, 1992. 5-29.
2. Мальцев А.И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика. 1966. 5, № 2. 5-24.
3. Гниденко В.М. Нахождение порядков предполных классов в трехзначной логике // Проблемы кибернетики. Вып. 8. М.: Наука, 1962. 341-346.
Поступила в редакцию 12.02.2014
УДК 514.852
ПОВЕРХНОСТИ БЕРТРАНА С ПСЕВДОРИМАНОВОЙ МЕТРИКОЙ ВРАЩЕНИЯ
О. А. Загрядский1
Представлено обобщение классической теоремы Бертрана на поверхности вращения с индефинитной метрикой без экваторов. Также строятся их вложения в пространство Минковского Mf и формулируется аналог критерия Сантопрете.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, поверхности вращения, теорема Бертрана, замкнутые орбиты.
A generalization of the classic Bertrand theorem to surfaces of revolution with an indefinite metric without equators is presented. Their embeddings into the Minkowski space Rf are constructed and an analogue of Santoprete's criterion is formulated.
Key words: Hamiltonian systems, surfaces of revolution, Bertrand's theorem, closed orbits.
1. Система на поверхности вращения. В конце XIX в. было установлено [1], что только потенциалы гравитационного взаимодействия Ньютона и пружинного взаимодействия Гука дают замкнутые орбиты, т.е. планета, движущаяся в центральном поле такого потенциала, описывает замкнутую кривую (конечно, кроме случаев вырожденной или неограниченной орбиты). В дальнейшем задача неоднократно обобщалась [2-5], в том числе рассматривалось движение по римановым поверхностям постоянной кривизны и поверхностям вращения. Перейдем к рассмотрению псевдоримановых поверхностей вращения.
Рассмотрим гладкое многообразие S ~ (a, b) х S1 с координатами (и, Lp mod 2-/г) и псевдоримановой метрикой вращения
г_(а\1(и) 0 \ m
где ац(и), й22(и) € С5(а, Ь), ац(и) > 0,а22(и) > 0. Пусть на нем задан центральный потенциал, т.е. функция V = V(u) € С5. Под действием потенциала V движется точка по закону
1 Загрядский Олег Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: grpcozagQmail.ru.
а-11 + а,ц(г/,)а/11(г/,)й2 + а22(г/,)а22(г/,)<£>2 + V'(u) = 0,
d_
dt
(-а|2(г/#) = 0.
(2)
Эти уравнения суть уравнения Эйлера Лагранжа = ^¡¡^тЩ, = шщ Для лагранжиана
d дь дь
d дь
L
-V(U).
Определение 1. Назовем решение r(t) = (u(t),ip(t)) системы (2) траекторией, а образ отображения f(t) орбитой. Далее орбиту будем задавать зависимостью и = u(ip).
Назовем орбиту замкнутой, если соответствующая ей траектория периодическая функция.
Орбита 7 точки, движущейся но S иод действием потенциала V, называется круговой, если 7 = {(u,ip) : и = const, ip € [0, 2-/г)}, т.е. точка движется но одной параллели.
Орбита 7 ограниченная, если существует компакт К = [a,\,bi] х S1 С S, такой, что 7 С К, т.е. орбита зажата между двумя параллелями.
Орбита 7 называется особой, если 7 С {(и,<р) : <р = const)}, т.е. точка движется но меридиану.
Параллель {г/о} х S1 С S назовем экватором, если а/22(г/,о) = 0.
Определение 2. Центральный потенциал V назовем замыкающим, если
1) всякая неособая охрани ченная орбита замкнута;
2) существует хотя бы одна неособая ограниченная некруговая орбита.
Описанная система гамильтонова, вполне интегрируема но Лиувиллю с некомпактными поверхностями уровня интегралов энергии и момента [6, 7]. Ее бифуркационные диаграммы отличаются от аналогичных для риманова случая.
2. Бертрановские поверхности без экваторов. Следующая теорема приводит полное описание поверхностей Бертрана (с нсевдоримановой метрикой (1)), т.е. таких, на которых существуют замыкающие потенциалы. Уточнения, без которых формулировка теоремы 1 неполна, приведены в замечании 1.
Теорема 1. Пусть S & S1 х (а,,Ъ) поверхность с псевдоримановой метрикой (1). такой, что а22 (г/) Ф 0 для любого и € (а,,Ъ). Тогда справедливы, следующие утверждения.
1. На поверхностях S. псевдорилшнова .метрика которых приводится, к виду
G = W+cp
I 0
(3)
при подходящих с, ц (см. замечание 1). существуют ровно два типа замыкающих потенциалов V\(d) = Ав + В, У2(в) = ф+В.
2. На поверхностях S. псевдометрика которых приводится, к виду
Q = (в'Чс-гв-^
\ о
(4)
в'^+с-М-'1 /
при подходящих с, ^/л (см. замечание 1). существует ровно один тип замыкающего потенциала У\(в) = $ + В. Здесь I ф 0.
3. На остальных поверхностях замыкающего потенциала не существует. Замечание 1. Семейство поверхностей Бертрана трехпараметричеекое с параметрами (/л, с, £).
При (с, из области := {с < 0, £ = 0} (рисунок) и ¡л € (0>>о получаем поверхность 5 ~
(0, л/—с) х Б , где неременная в может меняться в пределах от 0 до \f-C-. На такой поверхности возможны два тина замыкающих потенциалов: У\ = Ав+В, где А < 0, В е М; У2 = Ав~2+В, где А > 0, В € М.
При значении параметров (с, 1) из области П1 := {I > 0} (рисунок) и ¡л € (0>>о имеем поверхность
5 и (О,02) х 51, где 62 = \]. На такой поверхности существует только один тин замыкающих) потенциала V = А0~2 + В, где А > 0.
t ,
h Qj Qj
с
Q2
Область изменения параметров с, t
В случае (с, ¿) € ГЬ := {£ < 0, с < 0, с + 4£ > 0} и // € (¡2>о имеем две поверхности Бертрана 5*1 ~ \f--i) и 5*2 ~ #2)) где = у ~с-Л{с2+-, 02 = \/ ~с+Л^с2+~. На каждой из них ровно один
2 ' ~~ V 2
тип замыкающего потенциала V = Ав~2 + В, где А < 0 на первой, А > 0 на второй.
При других значениях параметров (с, t, ¡л) поверхности с метрикой (4) не являются поверхностями Бертрана.
Замечание 2. Поверхности с метриками (4) при разных значениях (с, t, ¡л) попарно неизометричны. Две поверхности с параметрами (с, t, ¡л) и (с', t', ¡л') подобны тогда и только тогда, когда ¡л = ¡л' ш существует такое Л, что t = A2t',c = Ас'. Таким образом, для подобия достаточно, чтобы /л = // и точки (с, t), (cf,t') лежали на одной параболе t = Ас2.
Замечание 3. Поверхности Бертрана являются цилиндрами с метриками (3), (4). Поверхности Бертрана с параметрами (c,t,fx) из области Qi (рисунок) можно "замкнуть" одной точкой 9S = 0, можно сказать, что точка лежит на "оси вращения".
Поверхности Бертрана с параметрами (с, t, ¡л) € 0,2 разбиваются на пары так, что лежащие в одной паре 5*1, ¿>2 можно гладко склеить по экватору, т.е. добавить одну параллель в = -\f—t и получить объединение S ~ 6*1 U х S1) U S2 ~ ($1,^2) х «51; поверхность S будет гладкой поверхностью с
экватором.
3. Реализуемость и натуральная параметризация. Вопрос реализуемости двумерных многообразий Бертрана с римановой метрикой вращения как поверхностей вращения хорошо изучен. Встает вопрос о реализуемости многообразий Бертрана с псевдоримановой метрикой как поверхностей вращения в Rg.
В пространстве R2 зададим координаты (x,y,z) и метрику ds2 = —dx2 — dy2 + dz2. Поверхность вращения можно получить следующим образом: рассмотрим в плоскости OXZ кривую х(9) = f(9), z(9) = g (в). Если вращать ее вокруг оси OZ, то эта кривая будет заметать поверхность вращения S', которая задается так:
(<0,<р)\ /7(0) cos г(е,<р) = у{0,<р) = m sin^ . (5)
\z{p,4>)J \ д{в) )
Здесь ip = ip mod 2ir — угловая координата, / = f(9) — неотрицательная гладкая монотонная функция, g = g (в) — гладкая монотонная функция, в € (а,Ь).
Метрика на поверхности S' ~ (a, b) х S1 с координатами (в, (р) будет выглядеть так:
-f2(0) + g'2(0) о
о -р{в)
Ответ на вопрос о реализуемости получим с помощью следующего простого критерия.
Лемма. Поверхность S œ (a, b) х S1 с псевдоримановой метрикой (4) реализуется в R2 как поверхность вращения S' тогда и только тогда, когда на (а, Ъ) выполнено соотношение
112{в2+ c-te~2) < (e + te~3)2. (6)
Следующая теорема сразу следует из критерия (6).
Теорема 2. При любом допустимом значении параметров (с, t, /л) поверхность Бертрана S с индефинитной метрикой полностью реализуется в R2 как поверхность вращения S1.
В римановом случае часть поверхностей Бертрана реализуется целиком, часть — не полностью и оставшаяся часть не реализуется вовсе. По этой причине возникает разница между рассмотрением абстрактных многообразий вращения и поверхностей в R3, это касается как критерия (9), так и ряда других вопросов.
В работе [4] представлен другой подход к описанию поверхностей Бертрана (с римановой метрикой), связанный с натуральным параметром на профильной кривой (f(u),g(u)), которая есть одна из двух компонент сечения S' П OXZ (см. (5)).
Определение 3. Координаты (и, (р) на S' назовем натуральными, если метрика в них имеет вид
1 0
о-Пи)
2(„л I ■ (7)
Заметим, что (и, (р) — натуральные координаты на 5" тогда и только тогда, когда и является для кривой (/(и),д(и)) натуральным параметром в смысле метрики —dx2 + dz2.
Натуральные координаты (и, ip) строятся явно по бертрановским координатам (в, <р) из теоремы 1 (т.е. таким, в которых метрика принимает вид (4)): и = J (зависимость монотонная, так как
и'в < 0), координата Lp берется такой же.
Сформулируем еще один критерий для поверхностей Бертрана с псевдоримановой метрикой. Теорема 3. Необходимым и достаточным условием того, что поверхность S (a, b) х S1 с псевдоримановой метрикой вращения (7) будет поверхностью Бертрана, является следующее тождество, выполненное на (а,Ь):
ß4 - 5ß2(f"f - О + 4 (ff - f'2)2 - 3//'(/"7 - ff") = 0, (8)
где ß — положительная рациональная константа; функция f(u) предполагается, положительной, строго м,онот,онной.
Здесь не указываются возможные промежутки изменения параметра и.
Замечание 4. Согласно [4], для случая с римановой метрикой необходимое условие на f(u) выглядит
так:
ßA - 5/?2(-/7 + Л + 4(-/7 + Г2)2 - з//'(/"7 - ff") = о. (9)
Уравнение (9) получается из (8), если вместо f(u) подставить г ■ f(u) (то же верно и для метрики).
Замечание 5. Уравнение (8) для поверхностей Бертрана (3) (отвечающих t = 0) легко интегрируется, а именно оно имеет следующее решение:
f(u) = -3- ch (^-(и + uq)^ ,
где Ci > 0, Uq — константы интегрирования. Таким образом, поверхность Бертрана при t = 0 представляет собой кусок однополостного гиперболоида.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe // C.r. Acad. sei. Paris. 1873. 77. 849-853.
2. Darboux G. Étude d'une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution // Bull. S.M.F. 1877. 5. 100-113.
3. Liebmann H. Über die Zentralbewegung in der nichteuklidische Geometrie, Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft // Math. Phys. Kl. 1903. 55. 146-153.
4. Santoprete M. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution //J. Math. Phys. 2008. 49, N 4.
5. Загрядский O.A., Кудрявцева E.A., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.
6. Болеинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.
7. Fomenko А. Т. The integrability of some Hamiltonian systems // Ann. Global Anal, and Geom. 1983. 1, N 2. 1-10.
Поступила в редакцию 04.06.2014
УДК 539.3:534.1
АНАЛОГИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ АТОМОВ В СЕЙСМОДИНАМИКЕ
ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА
М. Ш. Исраилов1
В задаче о совместных сейсмических колебаниях среды и сегментного трубопровода с податливыми стыками установлена аналогия с линейной цепочкой сосредоточенных масс. Аналогия дает простой способ исследования проблем сейсмодинамики трубопровода путем
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., директор НИИ математической физики и сейсмодинамики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
