Солитон-антисолитонная пара как решение уравнения синус-Гордон Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.

^ сибдк

www. sibac info

1.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

СОЛИТОН-АНТИСОЛИТОННАЯ ПАРА КАК РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОН

Хусаинова Галина Владимировна

канд. физ.-мат. наук, доцент Уральской государственной архитектурно-художественной академии, РФ, г. Екатеринбург E-mail: aldisa@mail. ru

Хусаинов Дамир Зиннурович

канд. физ.-мат. наук, доцент Уральской государственной архитектурно-художественной академии, РФ, г. Екатеринбург E-mail: damiran@mail. ru

Сагарадзе Игорь Викторович

канд. физ.-мат. наук, доцент Уральской государственной архитектурно-художественной академии, РФ, г. Екатеринбург E-mail: igorsaga@yandex. ru

27

^ СибАК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 8 (32), 2015 г

SOLITON-ANTISOLITON PAIR AS SOLUTION SINE-GORDON EQUATION

Galina Khusainova

candidate of Science, associate professor of the Ural State Architecture and Art Academy, Russia, Ekaterinburg

Damir Khusainov

candidate of Science, associate professor of the Ural State Architecture and Art Academy, Russia, Ekaterinburg

Igor Sagaradze

candidate of Science, associate professor of the Ural State Architecture and Art Academy, Russia, Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Получено точное вырожденное солитонное решение для уравнения sin-Гордон как предельный (резонансный) случай двухсолитоного решения. Показано, что это решение описывает связанное состояние двух солитонов типа перегибов (солитон-антисолитонную пару).

ABSTRACT

The exact degenerate soliton solution of sine-Gordon equation is obtained as limit (resonance) case of two-soliton solution. It has shown that the solution is described the bound state of two solitons types of kinks (soliton-antisoliton pair).

Ключевые слова: солитон; перегиб; полиномиально -

экспоненциальное решение.

Keywords: soliton; kink; rational-exponential solution.

Рассмотрим одно из классических уравнений математической физики — уравнение sin-Гордон (CT):

(52 ~52t)u = sinu , (1)

(символ 5 x обозначает частную производную относительно x).

28

Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.

^ сибдк

www. sibac info

Уравнение (1) встречается во многих областях физики: в нелинейной оптике, в физике магнетизма, в теории сверхпроводимости, как модель для описания дислокаций в кристаллах, в теории поля [3, с. 93]. Кроме того, уравнение СГ имеет многосолитонные решения [6, с. 1463], представляемые в виде стандартных конечных рядов экспонент, где каждая экспонента зависит от произвольной фазовой постоянной. Начиная с работы Хироты [5, с. 1193] и работ многих других авторов [1, с. 108], эти фазовые постоянные считались вещественными постоянными, не имели особенностей и не зависели от физических параметров солитона, таких как амплитуда и скорость.

Однако, если считать фазовые постоянные определенными сингулярными функциями параметров солитона, то возникает новый класс решений, так называемые полиномиально-экспоненциальные (ПЭ) решения [4, с. 3] .

В статье [7, с. 120] было указано на существование такого типа солитонов, как возможных многополюсных решений в методе обратной задачи рассеяния. Данные решения описывают вырожденные солитоны, которые образуются в результате резонансного взаимодействия пары солитонов, характеризующиеся одинаковыми параметрами (например, амплитудой).

В данной работе мы построим новое точное решение уравнения СГ, выбрав фазовые постоянные в виде определенных сингулярных функций параметров солитона - вырожденное солитонное решение.

Рассмотрим двухсолитонное решение [6, с. 1462] уравнения (1):

u( x, t) = 4arctan

g(x, t)

где a(1,2) =

f (x, t)

g (x, y) = eh + eh2 f (x, y) = 1 + a(1,2) eh+)2 , (Pi -P2)2 - (Q -Q2)2

(P + P2)2 - (Q + W2)2

(2)

(3)

(4)

h = P,x -Q,t + h, p2 -Q2 = 1, и P,, Q,, h — произвольные

ограниченные вещественные постоянные (i = 1,2) .

Заметим, что для вещественных постоянных )) (i = 1,2)

в пределе P1 ® P2 и Q1 ®Q2 выражения (2), (3) сводятся к одно-солитонному решению. Нетривиальное решение нового типа можно

29

^ СибАК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 8 (32), 2015 г

получить в пределе р ® Р2 и Wi ® W2, если рассматривать фазовые постоянные неограниченными и имеющими особенности.

Преобразуем выражение (2):

u = 4arctg

CieXl +Се&

1 + a(1,2) CiC2eXl+x

(5)

где C = eh , hi — начальная фаза, = Fjx -Wit, (i=i,2).

Предположим, что фазовые постоянные являются сингулярными функциями параметров солитона :

Ci = C2 =

1

2

-a(1,2)

(6)

тогда решение (5) можно записать в виде

(

u = 4arctg

2Ci

V

sh((hi ~h2)/2)

chhf^ - ln2)

2 0

(7)

С учётом формулы (4) выражение (6) можно преобразовать к следующему виду:

Wi + W2

2(Р - Р2)

(8)

Кроме того, можно получить дополнительное соотношение

Wi -W2

(Р -Р2)(Р, + Р2)

Wi + W2

(9)

поскольку Р[2 - W2 = Р22 -W2 = i.

Полученные выражения (8),(9) позволяют записать решение (7) в виде:

30

Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.

^ сибдк

www. sibac info

u = 4arctg

(Wj + W2)

sh(^ J x-IP+PLt »

2 { (Wj +W2) '

(P- P2) cH{P' + P X - (W +П2> t - ln2 22

В пределе P1 ® P2, W1 ® W2 из формулы (10) имеем: u = 4arctg

( (WjX - pt) Л

(10)

ch(P1x -W1t - ln 2)

(11)

При получении формулы (11) мы учли, что sha ~ а при а ® 0 . Отметим, что предельный переход P1 ® P2, W ®W2 соответствует вырожденному случаю, так как двум солитонам соответствуют два равных параметра. Нетрудно проверить, что данная функция u(x, t) удовлетворяет уравнению (1).

В результате нами получено простейшее вырожденное солитонное решение уравнения СГ ( ПЭ решение).

Уравнение (1) подробно исследовалось для магнитных систем. Для магнетика с анизотропной «легкой» плоскостью уравнение Ландау-Лифшица сводится к уравнению СГ [2, с. 98]. Простейшее односолитонное решение уравнения (1) [2, с. 98]:

Ф+ = U = +2arctg ePx-Wt+h , Ф- = U = -2arctg ePx-Wt+h (12)

описывает перегибы (или доменные границы ), соединяющие области с Ф = 0и Ф± =±p (см. Рис. 1). Здесь Ф -угол, отсчитывемый от легчайшей оси в «легкой» плоскости. Знаки ± определяют полярность доменной границы (плюс соответствует солитону, а минус — антисолитону).

Вырожденное солитонное решение (11) описывает связанное состояние двух таких границ. Из Рисунка 2. видно, что в начальный момент времени (при t=0) взаимодействие носит сложный характер. Анализ дальнейшей эволюции данной пары показывает, что при больших значениях x, t доменные границы расходятся в противоположные стороны.

31

^ СибАК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 8 (32), 2015 г

Рисунок 1.

W

Односолитонное решение Ф+ 1,h° = 0).

U = +2arctgePx-Q>+h

( P2 = 2,

32

Естественные и математические науки в современном мире № 8 (32), 2015 г.

€'

; СнбАК

www. sibac info

Рисунок 2.

Вырожденное солитонное решение (11), (P2 = 2, W = 1, h = 0).

Список литературы:

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М., Мир, 1987 — 478 с.

2. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук. Думка, 1983 — 192 с.

3. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., Мир, 1989 — 326 с.

4. Bezmaternih G.V. (Khusainova G.V.), Borisov A.B. Rational — Exponential Solutions of Nonlinear Equations// Lett.Math.Physics — 1989 — Vol. 18 — P. 1—8.

33

^ СибАК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 8 (32), 2015 г

5. Hirota R. Exact solution of the Korteweg — de Vries equation for multiple collisions of solitons// Phys. Rev. Lett. — 1971 — Vol. 27 — P. 1192—1194.

6. Hirota R. Exact solution of the Sin-Gordon equation for multiple collisions of solitons//J.Phys.Soc.Jap. — 1972 — Vol. 33, — № 5 — P. 1459—1464.

7. Poppe C. Construction of solutions of the sine - Gordon equation by means of Fredholm determinants//Physica D — 1983 — Vol. 9 — P. 103—139.

34