SOLENOIDAL VEKTOR MAYDONLARNING LI ALGEBRASI Текст научной статьи по специальности «Математика»

>q )> d )> :>

Talqin va tadqiqotlar respublika ilmiy-uslubiy jurnali №9

SOLENOIDAL VEKTOR MAYDONLARNING LI ALGEBRASI

j ,»1>

Ergashali Axadjon o'g'li Akramov

Mirzo Ulug'bek nomidagi Ozbekiston Milliy Universiteti https://doi.org/10.5281/zenodo.7295883

in*

Annotatsiya: Ushbu tezisda vektor maydonlar, Li algebrasi va solenoidal vektor maydon tariflari yoritib berilgan, ularga doir misollar ko'rib chiqilib qisqacha bayoni keltirib o'tilgan.

Kalit so'zlar: vektor maydon, integral chizig'i, Li algebrasi, solenoidal vektor maydon, divergensiya, rotir.

Bizga biror atekislik va Qca soha berilgan bo'lsin.

1 - TarifTll. Agar Q sohaning har bir M nuqtasida shu nuqtadan chiquvchi bitta X(M) vektor berilgan bo'lsa, u holda Q to'plamda X vektor maydon berilgan deyiladi.

&

Agar G to'plamga tegishli har bir p nuqtaga bitta X(p) vektor mos qo'yilsa, bu moslik vektor maydon deb ataladi. Agar X1 (x, y, z), X2 (x, y, z), X3 (x, y, z) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo'lsa:

X: ( x, y^, z ) ^ {Xx ( x, ^ z ), X2 (^ y, z ), X3 (x, y, z )}

vektor maydon silliq (yoki differensiallanuvchi) vektor maydon deyiladi. 2 - Ta rifT21. Birorta (i a R sohada X vektor maydon berilgan bo'lib va shu

sohada p = p(t) tenglama bilan aniqlangan differensiallanuvchi y chiziq berilgan

íM-cQ y> <4

bo'lsin. Agar har bir t uchun p\t) = X(y(tJ)shart o'rinli bo'lsa y chiziq X vektor

maydonning integral chizig'i deyiladi.

Teorema. Silliq vektor maydon berilgan sohaning har bir nuqtasidan shu vektor

maydonning yagona integral chizig'i o'tadi.

Misol: X = {-y + ax;x + ay}a ^ 0 vektor maydon integral chizig'i topilsin.

\x = -y + ax

Ta'rifga ko'ra: \ differensial tenglamalar sistemasini yechamiz. Bundan

[y = x + ay

ra -1^ (10 ^

(a -1^ (1 0^

A = va E = A - XE = 0 tenglamamizning yechimidan X = a + i

11 a ) 0 1

topamiz. Ä = a + i ekanligidan Ap = Áp tengligimiz orqali (bu yerda p(pl;p2))

\ap - p =(a + i)p

quyidagi sistemani korib chiqamiz: \ . Bundan p(\;-i) va

A = a-i dan esa p(\;i) yechimlarga kelamiz. Yuqoridagi sistemamizdagi x va v

:> >

U>,* ^ * J>

• J^SW

>

J >

J

' j)>S*j

<>q >

> >>>

J

-j -o- -

Talqin va tadqiqotlar respublika ilmiy-uslubiy jurnali №9

> )>iO >>

#<b> J >j>

1

H )>

larni quyidagi ifoda orqali aniqlab olamiz:

"11 ro ^

r x 1 ri 1 e( a+i) t — eat ri 1

=

v y , V-i y V-i J

(cos t + i sin t)

= e

at

vv y

+ i

V"1 JJ

(cos t + i sin t) .Bundan

x = eat (cx cos t + c2 sin t)

x = eat cos t + ieat sin t y = eat sin t - ieat cos t

va

kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi vektor maydoning

integral chizig'i

aniqlandi.

m>

>

>;i*

>3* j)>j*

&' -

0>i

i >* m

>j>

i >>

J>

M >

i >p

y = ea (c sint - c2 cost)

x = eat (c cos t + c2 sin t) y = eat (c sin t - c2 cos t)

3 - Ta'rifT31. Agar X vektor maydon uchun shunday Y vektor maydon topilib X = rotY munosabat bajarilsa X solinoidal vektor maydon deyladi, Y esa uning potiensiali deyiladi.

Solenoidal maydon quyidagi xossalarga ega:

1) solenoidal maydonning maxsus nuqtalarini o'z ichiga olmagan yopiq sirt bo'yicha oqimi nolga teng;

2) solenoidal maydonda barcha maxsus nuqtalari o'z ichiga olgan barcha yopiq sirtlardan olingan oqim o'zaro teng bo'ladi;

3 ) solenoidal maydonda vektor naychasining ixtiyoriy kesimidan olingan oqim o'zgarmasdir.

Misol. Uch o'lchovli Yevklid fazosida berilgan U = (yz, xz, xy) vektor maydonni qaraylik.

Bundan U maydon solenoidal bo'lishi uchun divU = 0 bo'lishi kerak. Berilgan U vektor maydon uchun

TT d Ux dUy d Uz

divU = —- + —y + —- = 0

dx dy dz

bo'lish shartini tekshiraylik.

divU=^yz)+^(xz)= o

dx dy dz

munosabat o'rinli. Demak berilgan maydonimiz solenoidal ekan.

Xulosa: Silliq vektor maydon berilgan sohaning har bir nuqtasidan shu vektor maydonning yagona integral chizig'i mavjudligi haqidagi teoremalar tatbiqlari o'rganildi. Solenoidal maydonning maxsus nuqtalarini o'z ichiga olmagan yopiq sirt bo'yicha oqimi nolga tengligi bo'yicha misollar keltirib o'tilgan. Vektor maydonlarning solenoidal bo lishlig shartlari tekshirib, tahlil qilindi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. A.Ya.Narmanov "Differensial geometriya". Toshkent. "Universitet" 2003.

q

m > til"

m >

i >>

q >>:

m>

>3*

q

39

j J jW

*-q> HM>

ym^

I

q > >

q q

-X

<

Talqin va tadqiqotlar respublika ilmiy-uslubiy jurnali №9

2. Olver P. Application of Lie Groups to Differential Equations. Second edition. Springer 1993.

3. A.Ya.Narmanov, J.Aslonov. Geometry of orbit of Killing vector fields. Uzbek mathematical journal. N 2,2012, pp 77-85.

4. A.Ya.Narmanov, S. Saitova. On geometry of vector fields. Journal of Mathematical Sciences (United States).245(3) 2020, pp 347-352.

q >3* l>3»=

*<b> >*

-^fV-liT --^SfV-^Y J.—

40

>

* l •

cJ

>

>

q > >

slH >

q

>

q

> *

>

q

^ >

q > >

q