CC BY
7Соотношение (6) и известные свойства процесса vn(t) при локальных альтернативах (см. [4]) влекут следующую теорему.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (ш), (iv). Пусть
5(t) := p[H(G-1 (t)) - t],t € [0,1], u функция 5(t) непрерывна. Тогда при H1n из (5)
Vn(t) = n1/2[Gn(Go 1(t)) - t] -Л v(t) + 5(t), n л то,
где v(t) — броуновский мост. Из теоремы 2 получаем
Следствие 2. В условиях теоремы 2 справедлива, сходимость по распределению
f 1
Dn Л sup |v(t) + 5(t)|, о)П Л [v(t) + 5(t)]2dt, n Л то. t Jo
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болдин M.B. Оценка распределения возмущений в схеме авторегрессии // Теория вероятн. и ее примен. 1982. 27, № 4. 905-910.
2. Anderson T.V. The statistical analysis of time series. N.Y.: J. Wiley and Sons Inc., 1971.
3. Billingsley P. Convergence of probability measures. N.Y.: J. Wiley and Sons Inc., 1968.
4. Чибисов Д.М. К исследованию асимптотической мощности критериев согласия // Теория вероятн. и ее примен. 1965. 10, № 3. 460-478.
5. Boldin М. V., Petriev M.N. On the empirical distribution function of residuals in autoregression with outliers and Pearson's chi-square type tests // Math. Methods Statist. 2018. 27, N 4. 1-17.
Поступила в редакцию 13.03.2019
УДК 511
СОХРАНЕНИЕ СВОЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ ТИПА НОРМАЛЬНОСТИ ЗАМКНУТЫМИ тар-МОРФИЗМАМИ
М. Ю. Лисеев1
Рассматриваются определения нормального, совершенно нормального, коллективно-нормального, наследственно нормального и паранормального отображений и теоремы о сохранении этих свойств замкнутыми тар-морфизмами.
Ключевые слова: послойная топология, тар-морфизм, нормальное отображение, коллективно-нормальное отображение, паранормальное отображение, наследственно нормальное отображение, совершенно нормальное отображение.
The paper contains definitions of normal, perfectly normal, collectionwise normal, hereditarily normal, paranormal mappings, and theorems on how these properties are preserved under closed map-morphisms.
Key words: fiberwise topology, map-morphism, normal mapping, collectionwise normal mapping, paranormal mapping, hereditarily normal mapping, perfectly normal mapping.
Под пространством понимается топологическое пространство, а под отображением — непрерывное отображение пространств. Далее приводятся определения отделим,ост,и окрестностями в
1 Лисеев Михаил Юрьевич — асп. каф. обшей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mathkurs2012Qgmail.com.
Liseev Mikhail Yur'evich Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Topology ang Geometry.
множестве, /-отделимости окрестностям,и, нормального отображения, тар-морфизма, взятые из [1, 2], и замкнутого тщ-м,орфизм,а.
Определение 1. Подмножества А, В пространства X называются отделимым,и окрестностя-м,и в подмножестве X' пространс тва X, если множества А П X 'и В П X 'имеют в X' дизъюнктные окрестности.
Определение 2. Для отображения / : X — У множества А, В С X будем называть /-отделимыми окрестностями, если любая точка у € У обладает окрестностью Оу, в прообразе /-1Оу АВ
Определение 3. Отображение / : X — У преднормально, если любые два дизъюнктных замкнутых подмножества А и В пространства X будут /-отделимы окрестностями. Отображение / : X — У нормально, если для любой окрестности О € ту отображение / : / -1О — О преднормально, где ту — топология на У.
Определение 4. Пусть даны два отображения / : X — 2 и д : У — 2. Отображение Е : X — У называется тар-морфизмом Е : / — д, если / = д о Е (т.е. Е(/-1г) С д-1г, Уг € 2).
Определение 5. Мар-морфизм Е : / — д отображения / : X — 2 на отображение д : У — 2 называется замкнутым отображение Е : X — У замкнуто.
Нам понадобится следующее утверждение (см., например, [3, теорема 1.4.12]).
Лемма 1. Отображение / : X — У замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого В С У и каждого открытого множества А С X, содержащего /-1(В) существует открытое множество С С У, содержащее В и такое, что /-1(С) С А.
Следующая теорема показыает, что, как и в случае пространств, свойство отображения быть нормальным сохраняется замкнутыми тар-морфизмами.
Теорема 1. Пусть отображение / пространства X на пространство 2 нормально, д — отображение пространства У на пространство а Е : / — д — замкнутый тщ-м,орфизм,. Тогда, д
Доказательств. Пусть О € т^, подмножества У,У2 С У замкнуты в У и дизъюнктны. Поскольку отображение Е непрерывно, то
Возьмем произвольную точку ¿о € О. Так как отображение / нормально, то найдутся окрестность Ого С 2 и окрестности О1; О2 С /-1(Ого) множеств /-1(Ого) П X1 и /-1(Ого) П X2 соответственно, такие, что О1 П О2 = 0 (отметим, что множества О1, О2 открыты в X). Из определения тар-морфизма Е : / — д следует, что
Действительно, первое равенство очевидно (прообраз пересечения равен пересечению прообразов), второе же следует из (1) и (2).
Поскольку отображение Е замкнуто, то по лемме 1 для множества У1Пд-1Ого и открытого множества 01, которое содержит Е-1(У Пд-1Ого)) найдется открытое в У множество Сь содержащее У1 П д-1 Ого и такое, что Е-1С1 С О^. И аналогично для множества У2 П д-1 Ого и открытого множества О2, которое содержит Е-1(У2 Пд-1Ого), найдется открытое множество С2 С У, содержащее У2 П д-1Ого и такое, что Е-1 С2 С О2.
Из того, что О1 П О2 = 0, следует, что Е-1и1 П Е-1и2 = 0. Значит, и1 П С2 = 0.
Таким образом, для произвольно выбранной точки ¿о € О € тх найдена окрестность Ого С такая, что в прообразе д-1Ого этой окрестности множества У1 П д-1Ого и У2 П д-1 Ого отделимы окрестностями С/1 и т.е. множества У1 и У2 д-отделимы окрестностями и отображение д нормально. □
Подобно тому, как было определено нормальное отображение, можно определить коллективно-нормальное [2] и паранормальное отображения.
Определение 6. Отображение / : X — У пространства X на пространство У называется коллективно- преднормальным, если для любой дискретной системы замкнутых в X множеств и любого у € У найдется такая окрестность Оу С У точки у, что существует дизъюнктная система окрестностей {О5 : О3 С /-1Оу}5е^ множеств {Е, П /-1Оу}5е^, т.е. семейство {Е,}8е,д отделимо
X! = Е 1У1 и X2 = Е 1У2 замкнуты в X и, кроме того, X! П X2 = 0.
(1)
/ = д о Е ^ /-1Ого = (д о Е)-1Ого = Е-1(д-1Ого). Рассмотрим множества У1 П д-1Ого и У2 П д-1О^о- Для них
Е-1(У, П д-1Ого) = (Е-1У,) П (Е-1д-1Ого) = X, П /-1Ого СО, ,г = 1,2.
(2)
окрестностями в / -1Оу. Отображение / : X — У коллективно-нормально, если для любого О € ту отображение / : / -1О — О коллективно-преднормально.
Определение 7. Отображение / : X — У пространства X на пространство У называется пред-паранормальным, если для любых точки у € У и счетной дискретной системы замкнутых в X множеств {Рп}п<ш найдется такая окрестность Оу С У точки у, что система множеств {Рп П /-1Оу}п<ш может быть расширена до локально конечной системы окрестностей {Оп : Оп С /-1Оу}п<ш, т.е. (Рп П /-1Оу) С Оп И (Рт П /-1Оу) П Оп = 0 ^ (Рт П /-1Оу) = (Рп П /-1Оу). Отображение / : X — У паранормально, если для любого О € ту отображение / : /-1О — О предпаранормально.
Замечание. Определения 6 и 7 являются обобщениями понятий коллективно-нормального и паранормального пространств (в смысле Никоша, см. [4]), убедиться в этом можно, рассмотрев
У
ние нормально. Таким образом, коллективная нормальность отображения является более сильным свойством, чем нормальность отображения. Также очевидно, что всякое нормальное отображение является паранормальным.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Пусть отображение / пространства X на пространство Z коллективно-нормально (паранормально), д — отображение пространства У на пространство Z; а Р : / — д — замкнутый тщ-м,орфизм,. Тогда, отображение д коллективно-нормально (пащнормально).
Определение 8. Нормальное отображение / : X — Z называется совершенно нормальным отображением,, если для любого подмножества X' С X, открытого в X, и каждой точки ¿о € Z найдется окрестность Ого С ^ ^^^^ ^^^^^^ что множество /-1Ого П X' имеет тип в X.
Теорема 3. Пусть отображение / : X — ^ нормально, д — отображение про-
странства У на, прост,ранет,во ^ а Р : / — д _ замкнутый, тщ-м,орфизм,. Тогда, отображение д совершенно нормально.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество и С У, открытое в У. Поскольку отображение Р непрерывно, его прообраз Р-1и С X открыт в X. Но по условию теоремы отображение / совершенно нормально, значит, для произвольной точки ¿о € Z найдется ее окрестность Ог0 С Z, такая, что
те
/-1Ого П Р-1и = У Сг, г=1
где Сг — замкнутые подмножества X, г € N. Теперь рассмотрим множество д-1 Ого П и С У, учитывая предыдущее равенство и то, что /-1Ого = Р-1 ◦ д-1 Ого- Имеем следующие соотношения:
д-1Ого П и = Р о Р-1(д-1Ого П и) = Р(Р-1д-1Ого П Р-1и) =
те те
= Р(/-1Ого П Р-1и) = Р^ Сг) = и Р(Сг),
г=1 г=1
так как отображение Р замкнуто, подмножества Р(Сг) замкнуты в У, г € N.
То есть для произвольного открытого в У множества и и произвольно выбранной точки ¿о € Z
нашлась ее окрестность Ого С такая, что множество д-1 Ого П и имеет тип кроме того, из
дд
совершенно нормально. □
Следующее определение приведено в [1].
Определение 9. Ограничение /' = / : X' — ^ ^^^^^ажения / : X — ^ ^^ ^^^тожество X'
пространства X будем называть подотображением, отображения /.
Определение 10. Нормальное отображение / : X — Z называется наследственно нормаль/'
Нам потребуется следующее утверждение [5, §1].
Лемма 2. Если непрерывное отображение / : X — У пространства X в пространство У замкнуто, то для, любого множества В С У отображение / : /-1В — В также замкнуто. Эту лемму можно распространить со случая пространств на случай отображений. Лемма 3. Если непрерывный, тщ-м,орфизм, Р : / — д отображения / : X — Z на, отображение д : У — Z зам,кнут,, то для, любого подотображения д' отображения д тщ-м,орфизм, Р : Р-1д' — д' тоже замкнут.
Доказательство. Рассмотрим произвольное подотображение д' = д|у, : У' — Z отображения д. Рассмотрим замкнутое в Р-1У' подмножество М, тогда в X существует замкнутое множество X, в
пересечении с F-1Y' дающее множество М, т.е. М = F-1Y' П N Поскольку множество N замкнуто в X, а отображение F замкнуто, получаем, что множество F(N) замкнуто в Y. Следовательно, замкнуто в Y' множество
Y' П F(N) = F(F-1Y' П N) = F(М).
Таким образом, получили, что образ F(М) замкнутого в F-1Y' множества М замкнут в Y', а это означает, что отображение F : F-1Y' — Y' тоже замкнуто, и, так как g' = g|y, : Y' — Z, получаем, что тар-морфизм /■' : F~lg' —>■ g' замкнутый. □
Теорема 4. Пусть отображение f : X — Z наследственно нормально, g — отображение
пространства Y на прост,ранет,во Z, a, F : f — g — замкнутый тар-морфизм. Тогда, отображение g
Доказательство. Рассмотрим произвольное подотображение g' = g|y, : Y' — Z отображения g. Тогда прообраз F-1Y' С X дает нам подотображение f' : F-1Y' — Z отображения f.
По условию теоремы отображение f наследственно нормально, значит, подотображение f' нормально. По лемме 3 тар-морфизм F : (f' = F-1g') — g' тоже замкнутый. Тогда поскольку отображение /' нормально, то по теореме 1 получаем, что и отображение д' тоже нормально. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы. М.: Изд-во МГУ, 1984. 72-102.
2. Buhagiar D., Miwa Т., Pasynkov В. A. On metrizable type (МТ-) maps and spaces // Topol. and its Appl. 1999. 96, N 1. 31-51.
3. Эпгелькипг P. Общая топология. M.: Мир, 1986.
4. Nyikos P. Problem Section. Problem B. 25 // Topol. Proc. 1984. 9, N 2. 367.
5. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
Поступила в редакцию 26.12.2018
УДК 531.382
ЗАДАЧА МИНИМАКСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНИИ ВИЗИРОВАНИЯ
В. В. Латонов1
Приводится решение задачи минимаксной стабилизации линии визирования в окрестности программной траектории. Движение этой линии описывается системой линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка. В задаче возмущения представлены в виде отклонений начального положения от нуля, а также в виде постояннодействую-щих возмущений. Стабилизация осуществляется посредством линейной обратной связи. Коэффициенты обратной связи вычислены как оптимальные при наихудших возможных возмущениях.
Ключевые слова: линия визирования, оптимизация, стабилизация, минимаксное управление, матричное уравнение.
The solution of the problem of minimax stabilization of the line of sight in the vicinity of the program trajectory is given. The motion of this line is described by a system of fourth-order linear differential equations. In the problem, perturbations are represented as deviations of the initial position from zero as well as constant perturbations. Stabilization is carried out
1 Латонов Василий Васильевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: WLatonovQgmail.com.
Latonov Vasilii Vasil'evich— Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
