CC BY
222
ГЛОБАЛЬНАЯ ЯДЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ, 2013 №4(9), С.23-28
ИЗЫСКАНИЕ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ, ^ СТРОИТЕЛЬСТВО И МОНТАЖ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ АЭС
УДК 51-7
СОГЛАСОВАННОСТЬ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
© 2013 г. Н.А. Бродягина, В.В. Мякушко
Снежинский физико-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», Снежинск, Челябинская обл.
Поступила в редакцию 25.11.2013 г.
Основной недостаток существующих методов экспертных оценок - формальное несоответствие обработки нечетких лингвистических оценок по строгим математическим зависимостям. При обработке информации одним из этапов является обобщение и согласование мнений экспертов. Для оценки согласованности коллективной работы экспертной группы авторами использована математическая теория нечетких множеств.
Ключевые слова: экспертные оценки, ранжирование характеристик, нечеткие множества, инженерное прогнозирование, энергетика.
Метод экспертных оценок широко применяется при проектировании сложных технических систем, оценке безопасности и решении других задач. Недостаток метода - возможность грубых субъективных ошибок экспертов. Один из приемов исключения этой ошибки - определение согласованности экспертных оценок, которое может быть выполнено различными методами.
Классическим методом оценки согласованности является обработка экспертных оценок, представленных точными числовыми значениями [1]. Оценки экспертов являются не только субъективными, но и имеющими некоторую неопределенность, даже если они даются не в лингвистической форме, а в виде некоторых цифровых коэффициентов. Недостатком данного подхода оценки согласованности экспертов является: большой объем вычислений, сложность восприятия искусственных зависимостей больших групп данных, требуется специальная интерпретация результатов.
Следовательно, для оценки согласованности экспертов, по мнению автора, целесообразно использовать математическую теорию нечетких множеств. Так, например, по методу Т. Саати оценка суждений эксперта относительно принимаемых значений выражается в лингвистических переменных с последующей фаззификацией для алгоритма построения функций принадлежности и оценки индекса согласованности [2]. Недостаток этого метода - сложность представления суждений экспертов в виде отношений между элементами, техническая сложность обработки вынуждает прибегать к приближенным вычислениям.
Обработка экспертных оценок с применением математического аппарата нечетких множеств, проведена применительно к методу коллективной работы экспертной группы [5].
На первом этапе по этой методике производится опрос п - экспертов и ранжирование экспертами отобранных ^характеристик объекта прогнозирования -оценка весов характеристик «¿/(1=1.. .т, ]=1.. .п) (таблица 1).
©Издательство Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», 2014
Таблица 1. Веса характеристик
Эксперты Вес характеристики
1 2 3 т
1 а 11 а21 аз1 ат1
2 а12 а22 аз2 ат2
п а1п а2п азп атп
С точки зрения теории нечетких множеств оценки «¿/характеристик множества экспертов п можно рассматривать как некоторые функции принадлежности л(ак множеству А; характеристик объекта прогнозирования т (таблица 2) [3]. Следовательно, имеются все основания для использования математической теории нечетких множеств, при их обработке.
Предлагается метод ранжирования характеристик с применением теории нечетких множеств, путём нахождения наиболее весомой характеристики по пересечению и объединению нечетких множеств Лг [4]. Это может быть реализовано соответственно
т1П л А. (ау)
взятием минимума функции принадлежности ¿ и максимума функции
тах л А «)
принадлежности ' (таблица 2) с последующим определением
относительного обобщенного расстояния Хэмминга ё:
1 т
ё = — £ |тахл (а ) - т1п л (а ) | т ._, А у А у
I =1 I г
Таблица 2. Функции принадлежности
(1)
Эксперты Функции принадлежности
1 2 т
А1 Л2 Лт
1 л (а ) А 11 1 ¡А2^а21) лАт (ат1)
2 л (а ) А 12 1 ¡А2(а22) лАт(ат2)
п л (а ) А 1 п 1 Л А2( а2п ) лАт (атп )
тах (аг/) тах (а1 /) тах цА (а2 .) тах л А (ат)
т1п (« ) т1п лА (а1.) т1п (а2/ ) т1п (ат/ )
Достоинством данного метода является простота, недостаток - на результатах сильно сказывается случайная или намеренная ошибка одного из экспертов, в результате которой может возникнуть грубая ошибка или забракована работа всей группы экспертов.
Указанный выше недостаток устраняется предлагаемым авторами методом определения согласованности экспертных оценок по индексу нечеткости у(Л) для среднеквадратического отклонения экспертных оценок весов характеристик (табл. 3).
СОГЛАСОВАННОСТЬ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 25
Индекс нечеткости по определению является хорошим аналогом показателя согласованности экспертов (конкордации):
у = (А) = - ■ й'(А, А)
~ п ~ (2)
А
где ~ - подмножество, ближайшее к нечеткому, т.е. расположенное на наименьшем евклидовом расстоянии от данного нечеткого подмножества А, для которого верно:
(аг] ) = 0 ПРи Ма К ) - 0,5
/иА (аг]) = 1 при /иА (аг]) > 0,5 й - обобщенное расстояние Хемминга:
п
й'( а, А) =11 иА а) - иА а) |
~ )=1 ~
Таблица 3. Индексы нечеткости оценок
(3)
(4)
Эксперты Номер характеристики
2 т
А1 А ~1 А2 А ~ 2 Ат А ~ т
1 /А1(а11) иА (а11) /42(а21) иА (а21) ~2 иАт (ат 1) /А (ат1) ~ т
2 /А1(а12) иА (а12) ^А2(а22) иА (а22) ~2 ^Ат (ат 2 ) /А (ат2) ~ т
п /а1 (а1п ) /А (а1п ) ~1 /А2(а2п ) иА (а2 п) ~2 иАт (атп ) иА ( а тп ) ~ т
V (Л,) V! (А1) V2 (Л2) Vm (Аз)
V (АО
Тогда общий индекс нечеткости -V (АО находится по индексам нечеткости отдельных характеристик.
Для проверки результатов расчетов определяется обобщенное относительное расстояние Хемминга всех взятых попарно нечетких множеств Вгот множества В] оценок экспертов, для которых определяются индексы нечеткости:
1 п
й (В г, В]) = —Ъ | /ив (а )-ив (а] )|
г ] п г=1 Б1 В] ] (5)
Общая оценка согласованности, соответствующая коэффициенту конкордации, определяется по индексам нечеткости V и V .
При полной согласованности V = 0, индекс нечеткости увеличивается при росте несогласованности.
По предложенной методике произведена оценка согласованности опроса экспертов одной из разработок при определении весовых коэффициентов основных
характеристик. Данные опроса экспертов приведены в таблице 4.
Таблица 4.
езультаты опроса экспертов
Веса характеристик
1 2 3 4 5 6
Номер пространст- плотностное доза скорость надежность масса
эксперта венное разрешение разрешение облучения сканирования
1 1,0 0,5 1,0 0,8 1,0 0,7
2 1,0 1,0 0,9 1,0 1,0 0,0
3 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,8
4 0,9 0,8 0,6 1,0 0,8 1,0
5 0,8 0,9 1,0 0,7 1,0 0,3
6 1,0 1,0 0,8 0,7 0,9 0,5
7 1,0 0,9 0,5 0,3 0,8 0,3
8 1,0 1,0 0,8 0,5 0,6 0,2
9 1,0 1,0 1,0 0,8 1,0 0,8
10 0,9 0,2 1,0 0,8 0,1 1,0
тах ц^ (aij ) 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
min цa (atj ) 0,8 0,2 0,5 0,3 0,1 0,0
Как видно, оценки экспертов имеют достаточно большой разброс, и появляется необходимость определения степени согласованности мнений экспертов в пределах каждой характеристики и в целом.
Обобщенное относительное расстояние Хемминга, рассчитанное по формуле (1):
Расчет индекса нечеткости оценок приведен в таблице 5.
ё =1 • (0,2 + 0,8 + 0,5 + 0,7 + 0,9 +1,0) = 0,683 6
Таблица5. Индекснечеткостиоценок
Номер 1 2 3 4 5 6
эксперта A1 A ~1 A2 A ~ 2 Аз A ~3 A4 A ~ 4 А5 A ~ 5 А6 A ~6
1 1,0 1 0,5 0 1,0 1 0,8 1 1,0 1 0,7 1
2 1,0 1 1,0 1 0,9 1 1,0 1 1,0 1 0,0 0
3 0,9 1 0,9 1 0,9 1 0,9 1 0,9 1 0,8 1
4 0,9 1 0,8 1 0,6 1 1,0 1 0,8 1 1,0 1
5 0,8 1 0,9 1 1,0 1 0,7 1 1,0 1 0,3 0
6 1,0 1 1,0 1 0,8 1 0,7 1 0,9 1 0,5 0
7 1,0 1 0,9 1 0,5 0,3 0 0,8 1 0,3 0
8 1,0 1 1,0 1 0,8 1 0,5 0 0,6 1 0,2 0
9 1,0 1 1,0 1 1,0 1 0,8 1 1,0 1 0,8 1
10 0,9 1 0,2 0 1,0 1 0,8 1 0,1 0 1,0 1
у (А) 0,1 0,24 0,3 0,42 0,22 0,4
у'(А) 0,56
СОГЛАСОВАННОСТЬ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОМ 27 Для первой характеристики индекс нечеткости по формуле (2) равен:
2
V (A) = — [¡1,0 -1,01 +11,0 — 1,01 +1 0,9 — 1,01 +1 0,9 —1,01 +1 0,8 -1,01 + ~ 10
2
+11,0 -1,01 +11,0 —1,01 +11,0 —1,01 +11,0 —1,01 +1 0,9 -1,01 ] = — • 0,5 = 0,1
Аналогично находится индекс нечеткости для остальных характеристик.
Тогда общий индекс нечеткости -V (А) по формуле (2):
2
v(А) = -• (|0,1 — 0| + | 0,24 — 0| + | 0,3 — 0| + | 0,42 — 0| + | 0,22 — 0| + | 0,4 — 0|) = 0,56 ~ 6
Результаты расчетов обобщенного относительного расстояния Хемминга по формуле (5) приведены в таблице 6.
Общая оценка согласованности, соответствующая коэффициенту конкордации, определяется по индексу нечеткости индексов V = 0,5600; V = 0,5324, что свидетельствует о недостаточной согласованности экспертных оценок.
Таблица 6.Обобщенного относительное расстояние Хэмминга
Номер эксперта Номер эксперта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
di(Bi,Bj) d2(BuBj) d3(BuBj) d4(B,Bj) d5(B,Bj) de(BuBj) d?(BuBj) ds(BuBj) dg(BuBj) dio(Bi,Bj
1 0 0,15 0,09 0,15 0,11 0,11 0,2 0,19 0,06 0,16
2 0,15 0 0,12 0,18 0,1 0,1 0,17 0,12 0,11 0,31
3 0,09 0,12 0 0,08 0,1 0,08 0,17 0,16 0,05 0,19
4 0,15 0,18 0,08 0 0,18 0,14 0,17 0,2 0,13 0,19
5 0,11 0,1 0,1 0,18 0 0,08 0,13 0,12 0,09 0,25
6 0,11 0,1 0,08 0,14 0,08 0 0,11 0,08 0,07 0,25
7 0,2 0,17 0,17 0,17 0,13 0,11 0 0,09 0,18 0,32
8 0,19 0,12 0,16 0,2 0,12 0,08 0,09 0 0,15 0,27
9 0,06 0,11 0,05 0,13 0,09 0,07 0,18 0,15 0 0,2
10 0,16 0,31 0,19 0,19 0,25 0,25 0,32 0,27 0,2 0
v (B) 0,244 0,272 0,208 0,284 0,232 0,204 0,308 0,276 0,208 0,428
v (B) 0,532
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гмошинский, 5.Г.Инженерное прогнозирование [Текст] / В.Г. Гмошинский. - М. : Энергоиздат, 1982. - 208 с.
2. Саати, Т. Метод анализа иерархий [Текст] / Т. Саати. - М. : Радио и связь, 1993.
3. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств [Текст] / А. Кофман. - М. : Радио и связь, 1982. - 432 с.
4. Пегат, А. Нечеткое моделирование и управление [Текст] / А. Пегат ; пер. с англ. - М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2009. - 798 с.
5. Бродягина, Н.А. и др. Метод теории нечётких множеств в инженерном прогнозировании [Текст] / Н.А. Бродягина, В.В. Мякушко // Теория нечётких множеств в прикладных инженерных задачах / Сборник науч. трудов. - Снежинск: СГФТА, 2008. С. 16-28.
Peer Inspections Coherence on the Mathematical Theory Basic Fuzzy Sets
N.A. Brodyagina, V.V. Myakushko
Snezhinsk Physisc-Technical Institute the Branch of National Nuclear Research University MEPhI 8 Komsomolsk st., Snezhinsk city, Cheliabinsk reg. 456776 e-mail: [email protected]
Abstract - The article describes the main drawback of current peer inspections methods which is the formal processing of fuzzy linguistic values irrelevance to strict functions. It is also deals with the information processing one of the stages is the experts' opinion generalization and accommodation. The authors used the fuzzy sets mathematical theory to estimate the coherence of experts' group collaboration.
Keywords: peer inspections, characteristic ranging, fuzzy sets, engineering forecasting, energetic.
