CC BY
4
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА BUILDING AND ARCHITECTURE
УДК 624.044
DOI: 10.21822/2073-6185-2022-49-3-123-132 Оригинальная статья / Original Paper
Сочетание динамических и кинематических векторных возмущений балок А.М. Казиев, З.Р. Лихов, А.Я. Джанкулаев, И.Ю. Кумышев, Г.А. Шигалугов
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173, Россия.
Резюме. Цель. Целью исследования является изучение работы балок при одновременном влиянии сочетанных воздействий: моменты на концах, кинематические гармонические перемещения обоих опор, распределённой нагрузки с разными амлитудами, частотами, фазами, наличии вязкого трения. Метод. Исследование основано на решении краевой задачи и моделировании. Результат. Исследованы вынужденные поперечные колебания балок постоянного сечения с учётом демпфирования. Рассмотрены непериодические, периодические и гармонические колебания балки от векторных возмущений. Приведены примеры решения для различных условий закреплений балки. Вывод. Авторскую разработку можно адаптировать к колебаниям стержней переменного сечения, к колебаниям континуально-дискретных стержней. Полученные передаточные функции позволяют рассчитывать элементы зданий в виде стержней на случайные процессы, учитывая их корреляцию.
Ключевые слова: балка, вязкое трение, частота, динамические и кинематические возмущения
Для цитирования: А.М. Казиев, З.Р. Лихов, А.Я. Джанкулаев, И.Ю. Кумышев, Г.А. Шигалугов. Сочетание динамических и кинематических векторных возмущений балок. Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. 2022; 49(3): 123-132. DOI:10.21822/2073-6185-2022-49-3-123-132
Combination of dynamic and kinematic vector perturbations of beams A.M. Kaziev, Z.R. Likhov, A.Ya. Dzhankulaev, I.Yu. Kumyshev, G.A. Shigalugov
H.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevskogo Str., Nalchik 360004, Russia
Abstract. Objective. The aim of the study is to study the operation of beams under the simultaneous influence of combined actions: moments at the ends, kinematic harmonic displacements of both supports, a distributed load with different amplitudes, frequencies, phases, and the presence of viscous friction. Method. The study is based on solving a boundary value problem and modeling. Result. Investigated the forced transverse vibrations of beams with constant cross-subject to damping. Considered non-periodic, periodic and harmonic oscillations of the beams from vector perturbations. Examples of solutions for various conditions bearings beams. Conclusion. The author's development can be adapted to vibrations of bars of variable cross section, to vibrations of continuous-discrete bars. The resulting transfer functions make it possible to calculate building elements in the form of rods for random processes, taking into account their correlation.
Keywords: beam, viscous friction, frequency, dynamic and kinematic disturbances
For citation: A.M. Kaziev, Z.R. Likhov, A.Ya. Dzhankulaev, I.Yu. Kumyshev, G.A. Shi-galugov. Combination of dynamic and kinematic vector perturbations of beams. Herald of the Daghestan State Technical University. Technical Science. 2022; 49(3): 123-132. DOI:10.21822/2073-6185-2022-49-3-123-132.
Введение. Колебание балки от различных видов нагрузок динамических и кинематических в отдельности хорошо изучены [1, 5, 7]. В данной работе ставилась задача изучения работы балок при одновременном влиянии пяти воздействий: моменты на концах, кинематические гармонические перемещения обоих опор, распределённой нагрузки с разными амлитудами, частотами, фазами, наличии вязкого трения [2, 3, 4].
Постановка задачи. Рассмотрим вынужденные установившиеся колебания балки при гармонических возмущениях в общем случае. Колебания балки рассмотрим на известных примерах.
Рис. 1. Вынужденные установившиеся колебания балки при гармонических возмущениях Fig. 1. Forced steady oscillations of the beam under harmonic disturbances 1. Шарнирно опертая балка
Математическая модель задачи имеет вид
uIV + yïi + eu = fjCt), fi(t) = q(t)/EJ, х g (0, l), t > - œ, (1)
u(0, t) = f2 (t), EJu" (0, t) = f3(t). u(l t) = f4 (t), EJu" (/, t) = f5(t). (2) Здесь y = m / EJ , s = rpn / EJ, m = pS - погонная масса балки, n - коэффициент демпфирования, EJ - жёсткость балки на изгиб, f1(t) - соответствует распределённой нагрузке, f2(t), f4(t) - функции вертикальных перемещений левого и правого концов балки, f3(t), f5(t) - мо-ментные нагрузки, приложенные к левому и правому концам балки.
Поскольку система является линейной с пятью входными воздействиями, целесообразно воспользоваться принципом суперпозиции
5
u(x,t) = X u j ( Х't )'
j=1
где uj(x, t) - функция перемещений при автономном действии возмущения fj(t). Пусть внешние возмущения представлены векторным гармоническим процессом
fk(t) = ak ei(flkt+Vk) = Akeiflkt, k = 1, 2, ... 5. (3)
где
A = {Ai, À2, A3, A4, A5}, Ak = акe1^, e(t) = (einit, e1"^, ..., e1"5^, k = 1, 2, .,5 .
ак, Ak - вещественные и комплекснозначные амплитуды, ^k - начальные фазы или сдвиги фаз. С учётом (3), задача (1), (2) становится конкретной краевой задачей без начальных условий.
Вопрос далее будет состоять в том, чтобы отыскать её решение u(x, t). Выходной процесс u(x, t) в общем случае не будет гармоническим и, даже, периодическим. В то же время он будет суммой пяти гармоник с разными частотами Qk. Периодическими такие колебания будут лишь в том случае, если отношения Qj / Qk окажутся рациональными числами. Если все частоты возмущений одинаковые, т. е. Q1 = Q2 = ... = Q5 = Q, то выходной процесс будет гармоническим. Для этой задачи можно и амплитуду колебаний. Для вынужденных колебаний рассмотрим три варианта установившихся режимов: непериодические негармонические колебания; периодические негармонические колебания; гармонические колебания.
В первом и втором случаях покажем графики изменения перемещений во времени, в третьем случае найдём функцию амплитуды колебаний и построим формы её распределения вдоль оси. Реализацию принципа суперпозиции будем осуществлять в следующем порядке:
решим автономные задачи, когда на систему действует лишь одно из воздействии с единичнои
~ iQkt амплитудой e К .
В результате найдём гармоники k = 1, 2, ..., 5. Решение задачи от векторного
воздействия будет суммой (скалярным произведением векторов)
^^ 0 = (^ у). (4)
Применяя метод разделения переменных решение vk(x, ^ будем искать в виде
Vk(x, 0 = Щх, iQk) е1^, (5)
Рассмотрим автономные задачи.
1) Задача о колебаниях от поперечной нагрузки (рис. 2) имеет вид
vГ + = eЮlt, x е (0, /), t > - да,
^(0, t) = 0, у1 (0,t) = 0, t) = 0, у'1 (/, t) = 0.
(6) (7)
Рис. 2. Колебания от поперечной нагрузки Fig. 2. Transverse load vibrations
Подстановка (5) в (6), (7) при k =1 даёт краевую задачу относительно передаточной функции H1 при a1=1
HjV -b14H1 = 1, b4 =-y(iQ1 )2 -s(iQ1 ), x e (0, 1),
H1 (0, iQ1 ) = 0, H1'(0, iQ1 ) = 0, H1 (l, iQ1 ) = 0, Hj(/, iQ1 ) = 0, (8) Решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения состоит из суммы решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения
H1(x, iQ1) = C1 sin b1x + C2 cos b1x + C3 sh b1x + C4 ch b1x - b14.
(9)
Здесь ^ - неизвестные постоянные интегрирования. Для использования граничных условий (8), продифференцируем (9) дважды
Hi' (x, iQ1) = b2 (-C1 sin b1x - C2 cos b1x + C3 sh b1x + C4 ch b1x). (6)-(8) дают систему линейных уравнений относительно С
(10)
C2 + C4 - bf4 = 0,
Имеем решение
C2 = C4 =
- C2 + C4 = 0,
C1 sin b1/ + C2 cos b1/ + C3 sh b1/ + C4 ch b1/ = b^ -C1 sin b1/ - C2 cos b1/ + C3 sh b1/ + C4 ch b1/ = 0.
1
C1=
1 11 cos b1/
2b!' 1 2b4 sin b1/ '
Следовательно, получено первое искомое уравнение
C3 =
1 11 ch b1/
2b4 sh b1/
H(x,i^ ) =
1
11 cos b1/ .
2b 4 ^ sin b1/
sin b1x + cosb1x +
11 chb,/ , , , , _ 1 _ 14
-— shb1x + chb1x 12 . (11)
sh b1/ J
Она описывает гармонические колебания, амплитуда которых определяется как модуль комплексной функции
аи(х) = | А1Н1 (х,Ю1 )|.
2) Правый конец стержня совершает гармонические колебания, остальные возмущения отсутствуют (рис. 3).
Рис. 3. Гармонические колебания стержня Fig. 3. Harmonic vibrations of the rod
Соответствующие функции задачи принимают вид
fi(t) = 0, f2(t) = 0, f3(t) = 0, f4(t) = elQ4t, f5(t) = 0. Ищется функция v4(x, t) из задачи, составленной как в предыдущих случаях
v
IV
(i2) (i3)
+ уу 4 + еу 4 = 0 х е (0, /)
У4(0, 1) = 0, у 4 (0,1) = 0, У4(/, 1) = е1"41, у4 (/, 1) = 0, 1 > - ю. По процедуре метода разделения переменных у4(х, 1) представляется как произведение
У4(х, 1) = Н4(х, iQ4) е1"41. (14)
Его подстановка в основное уравнение (12) и граничные условия (13) приводит к краевой задаче для передаточной функции
HÍV - b4 H4 = 0,
b4 = -y(iÜ4)2 - e(iÜ4),
xe(0, /), H4 (/, Ю4) = 0.
L4 - b4
H4(0, iQ4) = 0, H4 (0, iQ4) = 0, H4(/, iQ4) = 1,
Её решение имеет вид (16)
H4(x, iQ4) = C1 sin b4x + C2 cos b4x + C3 sh b4x + C4 ch b4x.
H 4 (x, iQ4) = b4 (-C1 sin b4x - C2 cos b4x + C3 sh b4x + C4 ch b4x). Подставим (16), (17) в граничные условия (15)
C2 + C4 = 0, - C2 + C4 = 0,
C1 sin b4/ + C2 cos b4/ + C3 sh b4/ + C4 ch b4/ = 1,
-C1 sin b4/ - C2 cos b4/ + C3 sh b4/ + C4 ch b4/ = 0.
(15)
(16) (i?)
Отсюда имеем
Значит
C2 = C4 = 0,
Cl =
1
2sin b4l
C3 =
1
2sh b4l
H4(x, 1Q) =
sin b4x sh b4x
v sin b 41
sh b4l j
(is)
Таким образом, у4(х,1) по (14) стала известной.
Амплитуда вынужденных гармонических колебаний определяется как модуль комплексной функции
аи(хН А4Н4(х,1"2)\.
3) К правому концу приложена моментная нагрузка (рис. 4), остальные возмущения нулевые.
Рис. 4. Моментная нагрузка Fig. 4. Torque load
Поэтому f1(x, t) = f2(t) = f3(t) = f4(t) = 0, f5(t) = elQst,
v5(0, t) = 0, v5(0,t) = 0, v5(/, t) = 0, EJ v5 (l, t) = elQst.
Сначала, как и в предыдущих случаях, получим краевую задачу относительно переда-
точной функции HV -b4H = О
b4 =-(iQ5 )2- e(iü5), x e (0, /),
H5(0, iQ5) = 0, H5(0, iQ5)= 0, H5(/, iQ5) = 0, EJH5(/, iQ5)=1. Нетрудно показать, что её решение имеет вид
H5(x, iQ5) = C1 sin b5x + C2 cos b5x + C3 sh b5 x + C4 ch b5x.
H5 (x, iQ5) = b^ (-C1 sin b5 x - C2 cos b5x + C3 sh b5x + C4 ch b5x). Подстановка (20), (21) в граничные условия (19) даёт
C2 + C4 = 0, - C2 + C4 = 0,
Ci sin b5/ + C2 cos b5/ + Сз sh l b5 + C4 ch l b5 = 0,
(19)
(20) (21)
EJ b 2 (-C1 sin b5/ - C2 cos b5/ + C3 sh / b5 + C4 ch b5/ ) = 1.
Отсюда имеем
C2 = C4 = О,
Cl =-
2EJb2 sin b5l
C3 =
2EJb2 sh b5l
Значит, H5(x, lQ5) =
1
í
2EJb2
sh bsx sin bsx
sh b= l
sin b5l j
(22)
Функция у5(х,1;) и амплитуда колебаний стали известны.
Недостающие передаточные функции Н2(х, Ю2), Н3(х, Юз), могут быть выписаны заменив в (18) и (22) х на 1-х, а именно
H2(x, lQ2) =
H(x, lQ ) =
1 Г sin b2(l - x) sh b2(l - x) ^
2
v
sin b21
sh b2l
J
2EJb:
sh b3(l-x) sin b3(l-x)
sh b3l
sin b3l
b4 = -Y(lQ 2)2 - s(lQ 2 \
b4 =-y(iQ3 )2 - s(iQ3 ).
(23)
(24)
При равенстве частот, т. е. = й2 =.. й5 = й, суммарные колебания будут гармоническими, и формула (2) примет вид
и(х, 1) = [A, H(x, Ш)] еЮ1, причём компоненты вектора Н(х, iQ) определяются по (11), (18), (22), (23), (24). Соответствующая амплитуда выписывается легко
аи(х) = | [А, Н(х, iQ)] |. (25)
2. Балка с заделанным левым и шарнирно опертым правым концом. Теперь, математическая модель задачи примет вид
и1У + уИ + ей = ^(О, ад = яф/Ш, х е (0,/), 1 > - да. (26)
и(0,1) = ^(1), и'(0, 1) = Гз(1). и(/ 1) = ^(1), Е:и' (/, 1) = Г5(1).
Решение этой задачи осуществляем точно в такой же последовательности, как и в предыдущей задаче. Применяя принцип суперпозиции, решаем пять автономных задач от каж-
юа
дого возмущения в отдельности при единичной амплитуде е к .
После решения пяти автономных задач получены передаточные функции
1
1
1
) =
H2(x,ifi 2) =
Нз(х,Ю 3) = -
(1 - H2(x,iQ1) - H4(x,iQ1))
U 4 '
b1
chb2l• sin b2(/ - x) + cosb2l• shb2(l-x)
B
shb 3l • sin b3 (l - x) - sin b3l • shb 3 (l - x)
B3 • b3
H4(x,ifi 4) =
(chb 41 + cos b 4l ) • (shb 4x - sin b 4x) + (sin b 4l + shb 4l ) • (cos b 4x - chb 4x)
H5 =
(chb 5l - cosb5l ) • (shb 5x - sin b5x) + (sin b5l - shb 5l ) • (cosb5x - chb 5x)
2 • B5 • b2 • EJ
где Б^ = еЬЬ^• зт Ь/-еозЬ/• зЫэ/, ^ = -у(^)2 -) , ) = 1, 2, 3, 4, 5.
Алгоритм процесса нахождения этих функций в точности совпадает с предыдущей задачей, поэтому представляем только полученные результаты.
Искомые гармоники представляются в форме (25), тогда решение задачи (26) при векторных возмущениях можно найти по формуле (4).
Обсуждение результатов. Возьмём стальную балку (р = 7800 кг/ м3, Е = 200 ГПа, п = 1
1 4 2
с- ) из двутавра № 14 (I = 572 см , Б = 17, 4 см ), со свободно опертыми концами пролётом / = 6 м.
Определим погонную массу и коэффициент
m = pS =7800-17,4-10 = 13,57 кг/м,
Y = '
m
13,57
= 11,86-10 - 6 с 2/м 4
Е1 200-109 • 57240-8
Первые элементы спектра собственных частот которого, имеют значения
{ 79,59, 318,39, 716,37, ...} с-1.
Пусть характеристики возмущений будут следующими
aq =700 Н/м, а2 =5 мм, аз = 4900 Нм, а4 = 10 мм, а5 = 980 Нм.
Значения воздействий подобраны так, чтобы перемещения, вызванные ими, были соизмеримы. Сначала рассмотрим негармонические непериодические колебания, когда частоты и начальные фазы имеют значения
П = { 5, 5л/2 , 5п, 23,4, 33,32 } с-1, у = { 0, 0, п, 0, п }.
Обратим внимание на то, что выбранные начальные фазы соответствуют идеально синфазным возмущениям, т. е. имеющим направления, одновременно способствующие прогибу балки вверх или вниз.
Для середины балки (х = / = 3 м) проведены вычисления по формуле (4) для интервала
времени t е [0; 2] с, и результаты представлены кривой рис. 5.
Рис. 5. Негармонические непериодические колебания Fig. 5. Non-harmonic non-periodic vibrations
Видно, что колебания носят негармонический непериодический характер и представляют сумму гармоник с разными частотами и амплитудами.
С теми же данными, но при частотах возмущений й = { 85, 68, 51, 34, 17 } с-1 колебания будут периодическими, так как они кратны 17 с-1.
Вычисления, проведённые при амплитудах возмущений ач = 700 Н/м, а2 = 5 мм, а3 = 2900 Нм, а4 = 10 мм, а5 = 980 Нм, дали результаты, представленные графиками рис. 6.
Легко заметить, что вновь кривая является суммой гармоник, но уже колебания носят периодический характер. Период колебаний определяется по а именно
T =
22L = 13141 = 0,3695 е-1
17
U, ми
О 0,2 0,4 0,6 0,8 е
Рис. 6. Периодические колебания Fig. 6. Periodic fluctuations
Теперь обратимся к гармоническим колебаниям, когда все частоты возмущений равны между собой
Ol = O2 = ... = ß = O. Пусть при этом начальные фазы будут такими же, как прежде.
По формулам (25) проведены вычисления для амплитуд колебаний, результаты которых представлены графиками рис. 7.
Рис. 7. Амплитуды колебаний Fig. 7. Oscillation amplitude
Показаны кривые, полученные при возрастающих значениях частот Q = 1 с-1 (кривая 1), 36 с-1 (2), 45 с-1 (3), 307 с-1 (4), 625 с-1 (5),
и амплитуд возмущений aq =700 Н/м, a2 = 5 мм, a3 = 2900 Нм, а4 = 10 мм, a5 = 980 Нм при сохранении остальных параметров.
Анализ кривых обнаруживает следующее. При сравнительно небольшой частоте возмущений (кривая 1) отклонения близки к статическим (например, в середине пролёта истат ~ 25,6 мм). При росте частоты возмущений, она приближается к первой собственной частоте, и потому постепенно амплитуды увеличиваются (кривые 2, 3). Форма колебаний совпадает с первой собственной формой.
При дальнейшем возрастании частот возмущений достигается первая собственная частота балки, т. е. имеет место равенство Q = 79,59 с, колебания становятся резонансными с весьма большими амплитудами (они здесь не показаны).
При частотах возмущений, превышающих первую собственную частоту, но меньших второй собственной частоты, сначала первая собственная форма в основном сохраняется, затем
появляется и играет основную роль вторая собственная форма (кривая 4). Дальнейший рост частот возмущений приводит к появлению высших форм колебаний (кривая 5).
Исследуем влияние сдвига фаз возмущений на вынужденные колебания. С этой целью проведены вычисления по той же формуле (25), и результаты представлены кривыми рис. 8.
30
20
ю
1
/ 5
-'""а 2
0 1,2 2,4 3,6 4,8 6 м
Рис. 8. Влияние сдвига фаз возмущений на вынужденные колебания Fig. 8. Influence of phase shift of perturbations on forced oscillations
При фиксированной частоте возмущений fi и предыдущих значениях других параметров рассмотрены четыре случая различных сочетаний начальных фаз
fi = 35 с-1, у = { 0, 0, п, 0, п }(кривая 1), у = { 0, п, 0, 0, п }(кривая 2),
у = { 0, 0, п, п, 0 }(кривая 3), у = { 0, п, 0, п, 0 }(кривая 4),
у = { 0, -п/2, п/2, -п/2, п/2 }(кривая 5). (27)
Кривая 1 соответствует идеально синфазным возмущениям, одновременно имеющим направления, способствующие прогибу балки вверх или вниз. Поэтому амплитуды являются наибольшими по всей серии вычислений.
Кривая 2 изображает колебания в том случае, когда перемещения левого конца и мо-ментная нагрузка здесь же находятся в идеальной противофазе с остальными возмущениями. Поэтому недалеко от левого конца появилась нулевая точка, и, вообще, значения амплитуд заметно уменьшились.
Аналогичные эффекты имеют место и в том случае, когда возмущения на правом конце находятся в противофазе с остальными возмущениями (кривая 3).
Наименьшие отклонения отмечены для случая, когда концевые возмущения находятся в идеальной противофазе с поперечной нагрузкой (кривая 4).
Кривая 5 построена для возмущений, которые занимают промежуточное положение между случаями 1 и 4. Естественно, соответствующие амплитуды принимают также промежуточные значения.
Вывод. Поперечные колебания стержней, являются опасными для их прочности и устойчивости. Особенно опасны резонансы, когда частоты близки к собственным частотам балок.
Данную разработку можно адаптировать к колебаниям стержней переменного сечения, к колебаниям континуально-дискретных стержней.
Реальные сооружения подвергаются одновременному действию динамических и кинематических воздействий, имеющие разные параметры. Кроме того, многие воздействия являются случайными.
Полученные передаточные функции позволяют рассчитывать элементы зданий в виде стержней на случайные процессы, учитывая их корреляцию.
Приведённые здесь примеры свидетельствуют о необходимости расширения такой тематики исследований с включением и других типов колебаний: комбинаций продольных с поперечными, угловыми, крутильными, параметрическими и т.д.
Библиографический список:
1. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. - М.: Высшая школа. 1979. - 416 с.
2. Джанкулаев А.Я., Казиев А.М. Вынужденные колебания стержней при комбинированных возмущениях // Избранные труды научного семинара «Механика». Вып. 1. Нальчик: Каб.-Балк. гос. сель. акад., 2002. С.195-199.
3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 560 с.
4. Казиев А. М. Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях: Дис. канд. техн. наук : 05.23.17 Нальчик, 2005 130 с. РГБ ОД, 61:05-5/3003.
5. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролётной балки // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. Труды Х Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. 2011. No4, часть 2. С. 198-200.
6. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Наука, 1967. - 444 c.
7. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.
8. Клаф З., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.
9. I.V. Kudinov, V.A. Kudinov. Mathematical simulation of the locally nonequilibrium heat transfer in a body with account for its nonlocality in space and time. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2015; 88(2): 406-422.
10. Amabili, M.,. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. Cambridge University Press, New York, USA. (2008)
11. Refined beam elements with arbitrary cross-section geometries / E. Carrera, G. Giunta, P. Nali [and others] // Computers and Structures. 2010. V. 88, No 5-6. pp. 283-293.
12. Elishakoff I. Eigenvalues of Inhomogeneous Structures: Unusual Closed-form Solutions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2005.
13. Hsu J.C., Lai H.Y., Chen C.K. Free vibration of non-uniform EulerBernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method. Journal of Sound and Vibration. 2008;318: 965-981.
14. Free vibration behavior of exponential functionally graded beams with varying cross-section / A.A Haasen, T. Abdelouahed, A.M. Sid [and others.] // Journal of Vibration and Control. 2011. V. 17, No 2. pp. 311-318.
15. Maurini C., Pofiri M., Pouget J. Numerical methods for modal analysis of stepped piezoelectric beams // Journal of ound and Vibration. 2006. V. 298, No 4-5. pp. 918-933.
16. Zheng T. X., Ji T. J. Equivalent representations of beams with periodically variable crosssections // Engineering Structures. 2011. V. 33, No 3. pp. 706-719.
17. Tejada A. A Mode-Shape-Based Fault Detection Methodology for Cantilever Beams: Tech. Rep.: CR-2009-215721: NASA, 2009.
18. Alshorbagy A. E., Eltaher M. A., Mahmoud F. F. Free vibration characteristics of a functionally graded beam by finite element method // Applied Mathematical Modelling. 2011. V. 35, No 1. pp. 412-425.
19. Huang Y., Li X. F. A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section // Journal of Sound and Vibration. 2010. V. 329, No 11. pp. 2291-2303.
20. Mohanty S.C., Dash R.R., Rout T. Free vibration of a functionally graded rotating Timoshenko beam using FEM //International Journal of Advanced Structural Engineering. 2013. V. 16, No 2. pp. 405-418.
21. Ke L.L., Yang J., Kitipornchai S. An analytical study on the nonlinear vibration of functionally graded beams // Mec-canica. 2010. V. 45, No 6. pp. 743-752.
22. Simsek M., Cansiz S. Dynamics of elastically connected doublefunctionally graded beam systems with different boundary conditions under action of a moving harmonic load. Composite Structures. 2012; 94(9): 2861-2878.
References:
1. Biderman V.L. Applied theory of mechanical oscillations. M.: Higher school. 1979; 416. (In Russ)
2. Dzhankulaev A.Ya., Kaziev A.M. Forced vibrations of rods under combined perturbations. Selected works of the scientific seminar "Mechanics". Nalchik: Kab.-Balk. State village acad., 2002;(1):195-199.
3. 3. Babakov I.M. Theory of vibrations. M.: Nauka. 1968; 560. (In Russ)
4. Kaziev A. M., Oscillations of Homogeneous and Continuum-Discrete Beams under Vector Harmonic and Random Perturbations, Cand. cand. tech. Sciences: 05.23.17 Nalchik, 2005; 130. RSL OD, 61:05-5/3003. (In Russ)
5. Kulterbaev Kh.P. Kinematically excited vibrations of a continuous-discrete multi-span beam // Bulletin of the Nizhny Novgorod University. N.I. Lobachevsky. Proceedings of the X All-Russian Congress on Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics. 2011; 4 (2): 198-200. (In Russ)
6. Timoshenko S.P. Fluctuations in engineering. M.: Nauka. 1967; 444. (In Russ)
7. Verzhbitsky V.M. Fundamentals of numerical methods. M.: Higher school; 2002; 840. (In Russ)
8. Clough Z., Penzien J. Dynamics of structures. M.: Stroyizdat. 1979; 320. (In Russ)
9. I.V. Kudinov, V.A. Kudinov. Mathematical simulation of the locally nonequilibrium heat transfer in a body with account for its nonlocality in space and time. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2015; 88(2):406-422.
10. Amabili M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. Cambridge University Press, New York, USA. 2008.
11. Refined beam elements with arbitrary cross-section geometries. E. Carrera, G. Giunta, P. Nali [and others/ Computers and Structures. 2010;88(5-6): 283-293.
12. Elishakoff I. Eigenvalues of Inhomogeneous Structures: Unusual Closed-form Solutions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2005.
13. Hsu J.C., Lai H.Y., Chen C.K. Free vibration of non-uniform Euler Bernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method. Journal of Sound and Vibration. 2008;318: 965-981.
14. Free vibration behavior of exponentially functionally graded beams with varying cross-section. A.A Haasen, T. Abdelouahed, A.M. Sid [and others.] Journal of Vibration and Control. 2011;17(2): 311-318.
15. Maurini C., Pofiri M., Pouget J. Numerical methods for modal analysis of stepped piezoelectric beams. Journal of ound and Vibration. 2006; 298(4-5): 918-933.
16. Zheng T. X., Ji T. J. Equivalent representations of beams with periodically variable crosssections. Engineering Structures. 2011; 33( 3): 706-719.
17. Tejada A. A Mode-Shape-Based Fault Detection Methodology for Cantilever Beams: Tech. Rep.: CR-2009-215721: NASA, 2009.
18. Alshorbagy A. E., Eltaher M. A., Mahmoud F. F. Free vibration characteristics of a functionally graded beam by finite element method. Applied Mathematical Modelling. 2011; 35(1): 412-425.
19. Huang Y., Li X. F. A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section. Journal of Sound and Vibration. 2010; 329(11): 2291-2303.
20. Mohanty S.C., Dash R.R., Rout T. Free vibration of a functionally graded rotating Timoshenko beam using FEM. International Journal of Advanced Structural Engineering. 2013;16(2): 405-418.
21. Ke L.L., Yang J., Kitipornchai S. An analytical study on the nonlinear vibration of functionally graded beams. Meccanica. 2010; 45(6): 743-752.
22. Simsek M., Cansiz S. Dynamics of elastically connected doublefunctionally graded beam systems with different boundary conditions under action of a moving harmonic load. Composite Structures. 2012; 94(9):2861-2878.
Сведения об авторах:
Казиев Аслан Мугазович, кандидат технических наук, доцент кафедры строительных конструкций и механики; kaziev1969@mail.ru
Лихов Залим Русланович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой сопротивления материалов, теоретической и строительной механики; zalimhan@mail.ru
Джанкулаев Амирхан Яхьяевич, кандидат технических наук, доцент кафедры строительных конструкций и механики; строительных конструкций и механики; dzhankulaevaj@yandex.ru
Кумышев Ислам Юрьевич, магистрант; dzhankulaevaj@yandex.ru Шигалугов Герман Арсенович, магистрант; dzhankulaevaj@yandex.ru Information about the authors:
Aslan M. Kaziev, Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof., Department of Building Structures and Mechanics; kaziev1969@mail.ru Zalim R. Likhov, Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof., Head of the Department of Strength of Materials, Theoretical and Structural Mechanics; zalimhan@mail.ru
Amirkhan Ya. Dzhankulaev, Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof., Department of Building Structures and Mechanics; dzhanku-laevaj @yandex.ru
Islam Yu. Kumyshev, Undergraduate; dzhankulaevaj@yandex.ru German A. Shigalugov,Undergraduate; dzhankulaevaj@yandex.ru Конфликт интересов/ Conflict of interest.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов/The authors declare no conflict of interest. Поступила в редакцию/Received 12.08.2022. Одобрена после/рецензирования Reviced 03.09.2022. Принята в печать/ Accepted for publication 03.09.2022.
