CC BY
38Вариационные подходы к нахождению собственных частот балок переменного сечения
Гусев Борис Владимирович,
д.т.н., проф., член-корреспондент РАН,
заведующий кафедрой Российский университет транспорта
(МИИТ), info-rae@mail.ru
Саурин Василий Васильевич,
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Работа состоит из введения и восьми разделов. Во введении обсуждается актуальность вопросов, связанных с изучением колебаний неоднородных балок. Проводится анализ публикаций и полученных результатов в данной области. Вторая часть посвящена формулировке краевой задачи нахождения собственных частот неоднородной балки в рамках гипотез Эйлера-Бернулли. Следующий параграф касается вопросов, связанных с различными классическими вариационными формулировками спектральных задач, возникающих в теории. Обсуждаются особенности применении принципа Гамильтона и дополнительного к нему для такого типа краевых задач. В четвертом разделе описывается метод интегродифференциальных соотношений, который является альтернативным к классическим вариационным подходам. Далее исследуются возможности построения различных двусторонних энергетических оценок качества и приближенных решений, вытекающих из метода интегро-дифференциальных соотношений. В шестом параграфе обобщаются результаты, полученные и обсужденные в предыдущих разделах, и вводится однопараметрическое семейство квадратичных неотрицательных функционалов, условия стационарности которых совместно с интегродиф-ференциальными ограничениями составляют полную систему уравнений, описывающую динамическое поведение неоднородных балок. В седьмом разделе рассматривается связь вариационных задач, получаемых с использованием введенного семейства функционалов с классическими вариационными принципами. В завершающей части на основе численного модельного примера обсуждаются преимущества вариационной техники в задачах о свободных колебаниях неоднородных балок, как геометрически, так и функционально.
Ключевые слова: динамика, балка переменного сечения, собственные колебания, численные методы, структурная неоднородность, метод конечного элемента, функционально градуированные материалы.
1. Введение
Многие балки, применяемые в технике и строительстве, характеризуются переменными геометрическими и физическими параметрами. Типичным случаем является коническая балка. Кроме того, например, балка при неравномерном распределении температуры имеет переменные физические свойства. Наличие переменных параметров значительно затрудняет динамический анализ таких балок.
Изучение динамики конструкций в настоящее время становится все более важным для инженеров-строителей, поскольку многоэтажные сооружения становятся относительно более гибкими. Такая тенденция в строительстве, как правило, приводит к увеличению амплитуд колебаний зданий. Поэтому в некоторых случаях необходимо рассчитать динамические характеристики высотных конструкций уже на этапе проектирования. При анализе свободных колебаний консольных высотных зданий их можно моделировать, в первом приближении, балками с переменным поперечным сечением.
В течение последних нескольких десятилетий значительное количество публикаций, представляющих либо аналитические, либо численные решения, были посвящены поперечным колебаниям неоднородных балок и равномерно вращающихся балок. Характеристическая черта управляющих дифференциальных уравнений поперечных колебаний неоднородных балок состоит в том, что они представляют собой линейные уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами.
Поперечные колебания неоднородных балок изучались многочисленными исследователями вследствие их значимости для гражданского строительства. Эти исследования представляют из себя либо аналитические [1]-[4], либо приближенные решения [5].
Аналитические решения получены в виде ортогональных полиномов, функций Бесселя [2], гипергеометрических рядов [3], степенных рядов, полученных методом Фробениуса [4]. Метод, в котором уравнения движения неоднородных балок преобразуют в одно, описывающее
О 55 I» £
55 П П
ы
а
s
«
а б
движение некоторой однородной балки, приведен в работе Abrate [17]. Приближенные методы, такие как метод Рэлея-Ритца, с использованием либо ортогональных многочленов [5], либо рядов Фурье в качестве пробных функций, метод Ритца, метод Галеркина, метод конечных разностей или метод конечного элемента были использованы для нахождения приближенных собственных частот неоднородных балок.
Среди результатов, представленных в литературе, точные решения в замкнутой форме представляют особый интерес из-за того, что они служат критериями, по которым можно оценить точность различных приближенных решений, полученных с помощью методов Релея-Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных разностей, конечных элементов, дифференциальных квадратур и др. [6]. Кроме того, они служат тестовой базой для разработки новых систем численного решения краевых задач. Пакет, состоящий из точных решений нескольких краевых задач Штурма-Лиувилля второго порядка, который представляет собой реалистичный тест производительности доступных в настоящее время автоматических кодов для нахождения собственных значений классических задач Штурма-Лиувилля, представлен в работе Pryce [16].
Abrate [17] представил точные решения для нового класса конических балок. Он показал, что для некоторых неоднородных стержней уравнение движения можно преобразовать к уравнению однородной балки. Для проверки этих результатов была разработана общая процедура анализа свободных колебаний конических балок. Подход Рэлея-Ритца использован для формулировки задачи, и смещения раскладываются в ряд полиномиальных функций, которые могут удовлетворять граничным условиям на одном конце. Если концы стержня полностью фиксированы, то собственные значения неравномерного континуума такие же, как и у однородных балок. Для других граничных условий на концах также получены точные решения. Эффективная процедура разработана и применена для анализа колебаний неоднородной балки общей формы поперечного сечения и произвольными граничными условиями. Для нахождения фундаментальной собственной частоты неоднородной балки получены простые формулы.
Firouz-Abadi и др. [18] исследовали сужающеюся балку приближенным аналитическим методом и представили решение на основе приближений Венцеля, Крамерса, Бриллуина для свободных поперечных колебаний балок с переменным поперечным сечением.
Hsu и др. [7] применили модифицированный метод разложения Адомиана (AMDM) для неоднородной балки Эйлера-Бернулли. Полученные
решения хорошо согласуются с аналитическими и численными результатами, приведёнными в литературе.
В прошлом было проведено много исследований свободных колебаний неоднородных балок. Однако решения в замкнутой форме до сих пор получены для малого числа задач. Показано, что аналитические решения можно найти для некоторых особых случаев, например, как структуры с экспоненциально изменяющимся поперечным сечением. Обычно для построения решения применяют различные численные методы, такие как метод конечных элементов, метод конечных разностей и т. д.
Для уравнений в частных производных, решения о свободных колебаниях получаются в виде тригонометрических и гиперболических функций, гипергеометрических функций, функций Бесселя. Эти решения описывают поведение балки для различных граничных условий.
Wang [19] получил решения в замкнутой форме для свободных изгибных колебаний стержня с переменной распределённой жёсткостью, но однородно распределённой массой.
Li и др. [20] смоделировали рамную конструкцию в виде поперечной балки с переменным поперечным сечением. Последняя часть этой работы посвящена конструкции каркасно-сдвиговых стенок, которые моделировались как призматическая балка Тимошенко. Однако в целом невозможно или, по крайней мере, очень сложно получить точное аналитическое решение дифференциальных уравнений для свободных колебаний стержней с переменной массой и жесткостью, но иногда точное решение может быть получено выбором подходящего распределения массы и жесткости вдоль стержня.
Большинство рассмотренных задач относятся к исследованию поперечных колебаний сужающихся балок. Эти результаты можно систематизировать следующим образом: балки с круглым поперечным сечением либо усеченные [1], имеющими один острый конец, либо два острых конца [9]; балки с прямоугольным поперечным сечением и с постоянной шириной, с постоянной толщиной [4] или пирамидой [1].
Heidebrecht [21] с использованием тригонометрического ряда Фурье нашел из частотного уравнения приближенные собственные частоты и формы колебаний неоднородной просто опертой балки. Branch [22] оптимизировал основную частоту поперечных колебаний стержней с переменным поперечным сечением, для которых допустимо изменение формы сечения по длине так, что его момент инерции линейно связан с площадью. Gupta [23] численно нашел собственные частоты и формы колебаний сужающихся балок с использованием метода конечных элементов.
Изгибные колебания конических балок были исследованы во многих работах. Naguleswaran [24] определил приближенные собственные частоты одноконусных балок и двойных конических стержней прямым решением уравнения формы колебаний на основе метода Фробениуса. Он также исследовал однородную балку прямоугольного сечения, одна сторона которой изменяется в виде квадратного корня осевой координаты.
Zhou [25] исследовал колебательные характеристики конических балок с непрерывно изменяющимся прямоугольным поперечным сечением. Теории изгиба Бернулли-Эйлера и Тимошенко были использованы для описания движения балки. В качестве допустимых функций были разработаны новые балочные функции, которые являются полным решением задачи об изгибе конической балки при произвольной статической нагрузке. Вековое уравнение выводится с помощью метода Рэлея-Ритца. Показано, что собственные частоты могут быть получены с высокой точностью при использовании лишь небольшое числа членов статических функций.
В нескольких работах были рассмотрены балки прямоугольного сечения, в которых ширина изменялась с любой положительной полиномиальной степенью продольной координаты, а толщина была либо постоянной, либо линейной, либо также менялась с любой положительной полиномиальной степенью. Обсуждалась возможность изменения толщины балки в соответствии с параболическим законом при постоянной ширине или нулевой ширине на обоих концах балки. Cranch [26] представил решения в замкнутой форме (в терминах функций Бесселя и / или степенных рядов) для собственных частот и форм колебаний неограниченных неоднородных балок с постоянной толщиной и экспоненциально меняющейся шириной для четырех видов поперечных сечений.
Ece и др. [27] исследовали колебания изотропной балки с переменным поперечным сечением. В этом случае управляющее уравнение сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно пространственной координаты для семейства поперечных сечений с экспоненциально изменяющейся шириной. Получены аналитические решения задач о собственных колебаниях балки для трёх различных типов граничных условий: простое опирание, жесткое защемление и свободные концы. Собственные частоты и формы колебаний были определены для каждого набора граничных условий. Результаты показали, что такое изменение поперечного сечения существенно влияет на собственные частоты и формы колебаний. Амплитуда колебаний увеличивается для расширяющихся балок, в то время как она уменьшается для сужающихся.
Интерес исследователей к задачам о колебаниях неоднородных одномерных структур в первую очередь связан с исследованием Eisenberger [28] конических стержней, показывающее, что собственные частоты слабо зависят от конуса. Кроме того, Graf [29] упомянул, что для стержней с коническим поперечным сечением уравнение движения можно получить в виде волнового уравнения путем соответствующего изменения переменной. Изучение конических стержней важно для изучения основ и динамики композитных структур, подверженных высокоскоростному удару. В этих случаях динамический отклик полуплоскости на поверхностную нагрузку можно точно определить с использованием конической модели.
Предыдущие исследования колебаний конических балок включают исследование Conway и др. [30], который получил точное решение уравнения движения для конической балки как разложение по функциям Бесселя и представил детерминантные уравнения для нахождения собственных частот таких балок для четырех наборов граничных условий. Mabie [31] использовал тот же подход для изучения защемленных балок с постоянной шириной и линейно изменяющейся толщиной или постоянной толщиной и линейно изменяющейся шириной. Он также рассматривал полиномиальное изменение площади поперечного сечения балки и момента инерции для получения собственных частот двойной конической балки.
Bayley [32] впервые использовал подход Рэ-лея-Ритца и численно решил частотное уравнение, чтобы найти собственные частоты сужающихся консольных балок. Существенные граничные условия на другом конце выполняются с использованием метода множителей Лагранжа. Площадь поперечного сечения и момент инерции балки считаются произвольными полиномиальными функциями осевой координаты. Результаты представлены для нескольких частных случаев и показывают отличное согласие с ранее опубликованными результатами. Предложенный метод прост в применении и эффективен. Кроме того, простые формулы для предсказания основных частот получены с использованием одномерных приближений Рэлея-Ритца. Показано, что эти формулы являются точными и должны представлять интерес для конструкторов.
2. Постановка задачи
Рассмотрим тонкую балку длины L , которая может быть описана уравнениями в рамках гипотез Эйлера-Бернулли. Плоские поперечные движения балки в рамках рассматриваемой модели описываются линейным уравнением в частных производных
О 55 I» £
55 П П Н
о ы
а
р(х)уи + (£Л(х)у„ )„ = д(х, О х е (0, Ь). (1)
Здесь у - поперечные перемещения точек центральной линии балки, р - линейная плотность материала балки, Е - модуль Юнга, д(х,г) - внешняя распределенная нагрузка, Л (х) - момент инерции поперечного сечения. Без потери общности будем считать, что внешняя распределенная нагрузка отсутствует, т. е.
д (х, t) = о.
Введем новые переменные р(г, х) и ш(г, х), которые характеризуют поведение системы и, в то же самое время, имеют ясный физический смысл. Функция р(г, х) является линейной плотностью импульса, а ш(г, х) — изгибающим моментом в поперечном сечении балки.
Уравнения в линейной теории (в дальнейшем уравнения состояния), связывающие плотность импульса р(г, х) со скоростями точек системы
у1 (х, t), а также момент ш(г, х) с кривизной балки ухх(х,г) , вызванной изгибом, могут быть соответственно записаны в виде
ш
yt-- = о, У„-—= о.
(2)
р ЕЛ
Введем вспомогательные функции г и 4
(3)
а
«
а б
р ш
г = уt —, 4 = Ухх.
р ЕЛ
Тогда уравнения состояния (2) могут быть представлены в виде
г = 0, 4 = 0. (4)
Используя соотношения (2), уравнение движения упругой балки (1), записанное в перемещениях, можно выразить через функции момента ш(г, х) и импульса р(г, х):
Рг + шхх = 0 (5)
Поскольку выражение (5) связывает распределенные инерционные, упругие и внешние силы, то это соотношение будем называть уравнением динамического равновесия.
Для того чтобы сформулировать задачу нахождения собственных частот колебаний балки представим все введенные функции, которые зависят от времени, в виде
у( х, г) = у( х)в'с г( х, г) = ](х)в"1
р( х, г) = р( х)г'с 4( х, г) = 4( х)в'ю
ш( х, г) = ш( х)в'с
Подставляя функции из (6) соответственно в выражения (2), (3) и (5) получим
. _ р _ ш
' ту--= 0, Ухх= 0,
р ЕЛ
. _ р ? ш
г=Шу—, 4= ухх,
р ЕЛ
(7)
(8)
¡юр + = 0. (9)
В дальнейшем знак тильды опускается.
В данной работе ограничимся рассмотрением случая простого опирания, когда отсутствуют перемещения и внешние моменты в торцевых сечениях стержня. Другими словами, линейные граничные условия выражаются через краевые значения функций момента ш и перемещения у в виде
х = 0, ш = 0, у = 0,
х = 1, ш = 0, у = 0.
(10)
3. Классические вариационные формулировки
При решении краевой задачи (7), (8) и (10) необходимо учитывать, что функция изгибной жесткости ЕЛ может иметь разрывы в некоторых точках балки. В этих точках могут существовать особенности решения, для учета которых обычно используют вариационные подходы [35]. В динамике классические вариационные принципы сформулированы для периодических и краевых по времени задач и ограниченного класса условий, заданных на концах балки. Приведем два примера вариационных формулировок, которые потребуются в дальнейшем для анализа исходной задачи.
Рассмотрим движения упругой балки на фиксированном интервале г е [0, Т]. Если в начале (t = 0) и в конце ( = т) движения заданы перемещения у(0, х) = у°(х) и у(Т'х) = ут (х) , то существуют функции кинетической энергии
К и полной потенциальной энергии и, выраженные через перемещения, и при вариациях
не изменяются изгибающие моменты ш и
перерезывающие силы х на краях балки, из принципа виртуальной работы следует принцип стационарности Гамильтона
8 И =
0, И = | (К - и)Л,
(6)
и = | Аёх, К = -
рсо у
ёх, А =
Л
В соответствии с этим принципом граничные условия в перемещениях являются главными, т.е. должны строго выполняться. Если на концах балки условия заданы через изгибающий момент или перерезывающую силу, то они являются естественными граничными условиями и учитываются в обобщенном смысле через соответствующие линейные члены функционала Н .
В этой вариационной задаче подразумевается строгое выполнение локальных соотношений (7). Уравнение движения (9) и краевые условия (10) являются необходимыми условиями стационарности гамильтониана Н.
Если заданы начальные и терминальные распределения импульса р(0, х) = р0(х) и
р(Т, х) = рт (х) , то существуют функции дополнительной кинетической энергии Кс и полной дополнительной энергии ис, выраженные соответственно через импульс р и момент т, и при вариациях равновесных полей 5р , 6т граничные перемещения у и наклон центральной линии ух не меняют свои значения, можно
сформулировать принцип стационарности дополнительной энергии
1
5Нс = 0, Нс =| (Кс - ис С,
1 2 - т
и = [-^-сх, к = -Грсх.
с -»2 кг с 2{2р
(12)
2 Ы
В этой формулировке граничные условия, выраженные через изгибающие моменты являются главными, т.е. должны строго выполняться. Кроме того, функции момента т и импульса р обязаны удовлетворять уравнению динамического равновесия (5).
Отсюда следует, что граничные условия, заданные в силах, не входят в функционал Нс ,
определенный в (12). Если же граничные условия заданы в перемещениях, то именно эти соотношения являются естественными граничными условиями для дополнительного принципа Гамильтона и учитываются через соответствующие линейные члены функционала Нс .
Уравнения состояния (2) и граничные условия, заданные в перемещениях, эквивалентны условиям стационарности дополнительного к гамильтониану функционала Нс .
Оба принципа (11) и (12) сформулированы для краевых динамических задач линейной теории упругости и, вообще говоря, в представлен-
ном виде не могут быть применены для решения начально-краевой задачи.
4. Метод интегро-дифференциальных соотношений
В предлагаемом подходе вместо уравнений состояния балки (2) вводится в рассмотрение одно интегральное соотношение, связывающее функции импульса р и момента т с функцией перемещений у .
В книге [36] дана следующая интегро-дифференциальная формулировка задачи о
движении упругой балки (7)—(10): найти такие
*
неизвестные поля плотности импульса р , мо* *
мента т и перемещений у , которые удовлетворяют следующему интегральному соотношению
Ф = |р(р, т, у) Са = 0, р = -р) + £/#2), (13) а 2
при строгом выполнении условий (9), (10). Здесь введена область пространственно-временная область а = (0,1) х (0,Т) с границей
да в пространстве координаты х и времени I. Интеграл (13) вычисляется по прямоугольной области а (д& = сСхсИ).
Подынтегральная функция, определенная в (13) через функции г и ^ из (8), является неотрицательной по построению. Из этого свойства следует, что интеграл Ф также неотрицателен для произвольных функций р , т и у . Это обстоятельство позволяет свести интегродиф-ференциальную задачу (7), (9), (10), (13) к следующей минимизационной. Найти такие допус-* * *
тимые функции р , т и у , которые доставляют минимальное (нулевое) значение функционалу Ф :
Ф = шт Ф( р, т, у) = 0
(14)
при строгом выполнении ограничений (7), (9) и (10).
Функционал Ф можно переписать в следующем виде
Ф = ^1 -2Т2 +Т3, т, у) сЮ, I =1,2,3,
а
V =1 (-Р®У + Ыу1.) =1 (( + ту*; ) ^3 =1 ^рр+
(15)
Подынтегральные выражения V , * = 1,2,3
представляют собой различные представления линейной плотности полной механической энер-
О 55 I» £
55 П П Н
о ы
а
s
«
а б
гии упругой балки. Функция у/1 зависит только от поперечных перемещений y , в то время как в выражение для щъ, квадратичное по p и m , перемещения не входят. Смешанная билинейная функция плотности энергии щ2 не зависит
явно от инерционных и упругих свойств балки.
Так как решение вариационной задачи (14) может быть разрывным, уравнение динамического равновесия (9) определено только тогда, когда функция моментов m дважды непрерывно дифференцируема по x .
В вариационной формулировке условие динамического равновесия необходимо понимать в следующем интегральном смысле: для любой
области Q cQ с кусочно-гладкой границей
дй и любой непрерывно дифференцируемой
по x функции перемещений y( x, t) = y( x)* em
(по аналогии с (6)) выполняется соотношение
J (iapy - myxx) dQ = J RmVx " (n,P - nxmx)у]ddQ
й ей
(16)
Здесь nx и nt проекции единичной внешней
нормали к границе дй соответственно на оси x и t. Можно показать, что для сформулированной минимизационной задачи необходимо, чтобы на линиях х = const в области Q допустимые перемещения y и моменты m задавались непрерывно дифференцируемыми по x функциями. На линиях t= const поля плотности импульса p и перемещений y непрерывны, на наклонных кривых (| nx || nt 0) вдоль нормали должно быть непрерывным соотношение nxmx - ntp .
5. Энергетические оценки качества решения
Используя функционал Ф и энергетические интегралы , i = 1,2,3 (введенные в (15), для произвольных допустимых полей импульсов p , моментов m и перемещений y , удовлетворяющих ограничениям (10) и (16), можно предложить ряд критериев, которые могут характеризовать совершенство приближенного решения. Интегральное качество приближенных функций p , m , y можно оценивать, например, в соответствии с величиной безразмерного соотношения
Ai =
+^3
2Т 2
Точность распределения энергии для некоторого допустимого движения р(х, г), ш(х,г), у(х, г) в области О характеризует подынтегральная функция р(р, ш, у), определенная в (13). Еще одним показателем качества приближенных движений является разность между запасенной балкой в процессе движения полной механической энергией и работой внешних сил. Для оценки этой величины введем еще одну функцию линейной плотности механической энергии ц и соответствующую ей энергию и
1 / 2 \ 1 т
ц = -1 — + Л 1= К (р) + А(у), Ч = \иць,
2 V р ) 0 0
(18)
где А(у) заданная в перемещениях линейная плотность упругой энергии из (11), Кс (р) -
выраженная через импульсы линейная плотность кинетической энергии из задачи (12). Аналогично выражениям из (15) определен интеграл по времени ¥ от полной механической энергии балки иц.
Из непрерывности по времени допустимых импульсов р и перемещений у следует непрерывность функции энергии иц по времени.
Дифференцируя эту функцию по времени и дважды производя интегрирование по частям, получаем выражение для мощности с учетом условия динамического равновесия (16)
□
m p
\
01 P j
dx = W + U0
Ж = 'ю[шух -шху£=0, и0 = 'Ю^-гр + ЕЛух)).
0
(19)
Здесь Ж - работа внешних сил, и0 - «паразитная» энергия, которая является малой величиной, когда приближенное движения близко к действительному, т.е. при малых значениях отношений А' (' = 1,...,4) заданных в (17).
6. Семейство вариационных формулировок
Используя свойства квадратичных функционалов, обсуждавшийся ранее, введем семейство эквивалентных вариационных формулировок для задач о движениях упругой балки
■ = \ра(р, ш, у) ё О = 0, ра= — (рг2 +аЕЛ%2), аФ 0, ^ 2
Ф„ =
-1.
(17)
(20)
для которых, как будет показано далее, стационарные условия при выполнении ограниче-
ний (10) и (16) эквивалентны определяющим соотношениям состояния упругой балки (7). В выражении для функционала Фа из (20) а — ненулевая действительная константа. При а = 1 интеграл Фа совпадает с неотрицательным функционалом Ф, введенным в (13). Если а > 0 , то каждому функционалу Фа соответствует своя задача условной минимизации эквивалентная задаче (10), (14) и (16).
Обозначим действительные и произвольно
выбранные допустимые импульсы, моменты,
* * *
перемещения, через р , т , у и р , т, у соответственно и положим, что выполняются равенства р = р* +5р, т = т* + 5т ,
у = у * +5у . Тогда предполагая, что на точном
* * *
решении р , т , у значение функционала Фа равно нулю: Фа(р*,т*,у*) = 0, на допустимых полях р , т , у получаем
(р,т,у)=2Г^р!'/й<у* + 8у)-р +Зр I + аЕ]| £ + 8уд
* + дт\
Е] )
са,
Ф(
а..... 2а^ ^ р
Фа = Фа(р*,ш*, У)+Ф+Фа(др>5т, 5у) = Ф+5Фа 8Фа=2 ОрКр, у) ^у-^рр)+аЕ7^(т, у) {зу^ -^^О,
(21)
где 5 Фа первая, а 52Фа вторая вариации функционала Фа . Отсутствие членов более высокой степени объясняется квадратичной формой функционала относительно неизвестных функций.
Для произвольных значений а можно дать общую вариационную формулировку краевой
задачи движения упругой балки: найти неиз-
* * *
вестные функции р , т , у , доставляющие при выполнении ограничений (10) и (16) стационарные значения функционалу Фа
5Ъа=5р Фа+5„ Фа+5у Фа= 0 (22)
где 5рФа , 5тФа , 5уФа — первые вариации
относительно неизвестных р, т, у соответственно.
После интегрирования по частям с учетом ограничений (10) и (16) получаем выражения для первых вариаций
5рФа+5тФа = -\(г5р + а5т )сС О,
а
5уФа=\(а(Е]^)х -трг)5уСО +
а
Т х=1 1 1=т
+ а[5ух - (Е]4)х 5у] с + Г [ рг5у\ сСх.
0 х=0 0 I=0
Из выражений (23) видно, что первые вариации функционала Фа равны пулю на любых
допустимых вариациях функций 5р , 5т, 5у , если выполняются соотношения (7).
Получим в явном виде необходимые условия стационарности функционала Фа (уравнения
Эйлера). Для этого надо учесть связь между функциями импульса р и момента т , которая определяется уравнением динамического равновесия (9), а значит и связь между их вариациями 5р и 5т:
Ш5р = -5тхх
Вводя вспомогательную функцию
(24)
С = \г&
= ]К
0
находим с учетом ограничения (24) выражения для первых вариаций 5Фа
5тФа + 5уФа = 0
Т х=1 1 1=Т
5тФа = -\(хх + а)<СП + Г[5т1 -С,5т] А-\[5р] Сх,
а 0 х=0 0 1=0
Т х=1 1 1=т
гуФа = |(а(Е]^)хх+рет2С)гуСО+а|[Е]^гух - (Е]£)5у\ Л+ГЕро'С5у]
" ° (25)
Учитывая условия (10), накладываемые на граничные вариации неизвестных функций 5р ,
5т, 5у, выпишем уравнения Эйлера с соответствующими граничными соотношениями
(26)
1ршС+(ЕЛСх.)хх = 0, а#+Схх = 0; х = 0: С = 0, Сх = 0; х = 1: С = 0, Сх = 0.
Относительно неизвестной функции С система (26) представляет собой краевую задачу с единственным нулевым решением, из которого
непосредственно следуют условия г = 0 и
**
£ = 0. Иными словами, если решение р , т , у* задачи (10), (14) и (16) существует, система (26) вместе с ограничениями (10) и (16) эквивалентна исходной линейной задаче о свободных движениях упругой балки (7)-(10).
7. Связь с классическими вариационными принципами
Рассмотрим один функционал из семейства
(20), когда а = -1 (Ф-1 =Фа
1а=-1
). Сформули-
руем соответствующую вариационную задачу.
Найти неизвестные функции р*
т
у , дос-
0 55 I» £
55 П П Н
Ж
о ы
а
s
«
а б
тавляющие при выполнении ограничений (10) и (16) стационарное значение функционалу Ф-1.
Представим функционал Ф-1 в следующем виде
ф-1 =|р-1( р, ш, у) а о = ©1 - 202 +03, р-1 =^22-+,
О 2 2
©, = —ш— |ао, ©, =117грюу-шу )ао, 1 ¿12р 2ЕЛ ^ 2 2 ^
©3 = -2 ¿^-рю2 у2 + ЕЛу2х )а о.
2 о
(27)
Как и для интегралов ^ , ' = 1,2,3, определенных в (15), видно, что интеграл 03 зависит только от перемещений у , тогда как в выражение для 01 функция у не входит. Билинейный функционал ©2, в свою очередь, не зависит
явно от упругих и инерционных свойств балки, и с учетом равенства (16) этот интеграл приводится к виду
т х=1 1 г=т
202 = ¿[myx -шху] Ж + ¿[py] ах. (28)
0 х=0 0 г=0
После подстановки выражения (28) функционал Ф-1 может быть переписан с учетом (11) и (12) следующим образом
1 г=т
Ф_! = И (у) + Ис (р, ш)-¿[ру ] Жх (29)
0 г=0
В случае периодических движений или если в начальный и конечный моменты времени задано распределение в теле либо поперечных перемещений, либо линейной плотности импульса, то одномерный интеграл в (29) равен нулю и функционал Ф-1 распадается на две независимые части. Первые вариации функционала Ф-1 могут быть представлены в виде
¿Ф-1 = 5„И (у) + ЗИс (р, ш) + ЗрИс (р, ш)
(30)
Следовательно, эти краевые задачи распадаются на две независимые подзадачи:
1. Най
ти допустимое поле перемещений у , которое строго удовлетворяет кинематическим краевым условиям и доставляет стационарное значение функционалу И
5И (у) = 0; (31)
2. Найти равновесные поля импульсов p* и
*
моментов m , которые удовлетворяют динамическим краевым условиям, заданным в силах и моментах, которые доставляют стационарное значение функционалу Ис
5пИс (p, m) + 5рИс (p, m) = 0 (32)
Важно отметить, что эти обе задачи годятся для нахождения собственных частот колебаний неоднородной балки. При этом из задачи (31) находятся собственные векторы перемещений. В тоже время из задачи (32) можно найти собственные распределения плотности импульсов и напряжений .
8. Численный пример
В качестве примера рассмотрим различные железобетонные балки со следующими геометрическими характеристиками. Все балки имеют одинаковые длину L = 6 m и прямоугольное поперечное сечение с шириной b = 0.3 м = const и высотой h = h(x), которая меняется как квадратичная функция [37] по длине балки
h(x) = | -— +1 h I (x - 3)2 +—-1 h
1 10 6 ПJ 10 21
(33)
Здесь управляющий параметр h1 , который может изменяться в следующих пределах 0 < h < 0.6 м , представляет из себя значения строительной высоты на концах балки h(0) = h(L) = h1. Из (33) следует, что все рассматриваемые балки имеют одинаковый объем конструкционного материала
V = 1.08 м3 . (34)
Отметим, что форма сечения балки не меняется по длине если h(x) = h = 0.6 м = const.
Момент инерции сечения вычисляется по следующей формуле
J (x) =
bh3(x) _ h2(x)S(x)
S (x) = bh( x).
(35)
12 12
Здесь Б(х) - площадь поперечного сечения. Балка с указанными параметрами показана на Рис. 1.
о з
Рис. 1. Балка переменного сечения.
Считается, что все балки выполнены из бетона тяжелого класса по прочности на сжатие В25 с модулем упругости E = E25 = 3000 МПа и погонной плотностью р(x) = pvbh(x), где
pv = 2300 кг / м3 - объемная плотность бетона. Все механические характеристики взяты из строительных норм и правил (СНиП 2.06.08-87). Граничные условия на концах балки даются формулой (10).
Собственные частоты были найдены с использованием вариационных подходов, обсуждаемых в этой статье. Следует отметить, что все обыкновенные дифференциальные уравнения, вытекающие из вариационных принципов, имеют переменные коэффициенты. Это, как указано в [35], значительно ограничивает возможности построения аналитических решений и проведения полного анализа естественных движений балки переменного сечения.
Чтобы найти приближенное решение краевой задачи (7), (9), (10) исключим функцию импульсов p из первого уравнения (7). Тогда исходная задача будет иметь следующий вид
EJyxx -m = 0, -peo2y + mxx = 0 (36) с граничными условиями (10). Можно показать, что в этом случае система уравнений (36) эквивалентна уравнению (1) с нулевой правой частью (q = 0).
Зададим аппроксимации неизвестных функций перемещений y и моментов m в виде полиномов относительно переменной x
У = Z Уf
i=1
N0 +4
m = ^ mix1. i=1
(37)
Здесь yi и mi - неизвестные константы, а
N0 - степень полиномов.
Ис-
пользуя аппроксимации (37) можно точно удовлетворить второе уравнение из (36) и граничные условия (10). Эта операция позволяет исключить все константы ш' и некоторые у{. Оставшиеся коэффициентов У', ' = 1,...,ис-
пользуются для нахождения минимума следующего квадратичного функционала
ф„
= пип(Ф0) > 0, Ф0 =^EJylx - m^dx, i = 1,..., Nd
(38)
Стоит отметить, что применение вариационной техники в такой задаче приводит к появлению комплексных собственных значений. Можно показать (см., например, [35]), что действительные собственные частоты приближенного спек-
тра соответствуют точным значениям частот. На Рис. 2 показано поведение четвертого комплексного собственного значения в зависимости от степени аппроксимации N0. Увеличение этого параметра приводит к значительному уменьшению мнимых частей. Видно, что линия, соответствующая приближенным собственным частотам, вертикально втыкается в вещественную ось. Поэтому угол наклона частотной линии и расстояние до действительной оси могут служить специальным видом оценки качества полученных частот. В расчетах параметр N0 менялся от N0 = 7 до N0 = 25 .
Рис. 2. Действительные и мнимые части четвертой собственной частоты балки для различных полиномиальных приближений.
На Рис. 3 изображены первые собственные формы свободных колебаний незакрепленной балки с переменным поперечным сечением. Функция , введенная в уравнении (15) представлена на Рис. 4 для первой моды колебаний при N0 = 25 . Можно отметить заметное биение
функции, а также значительный ее рост в окрестностях концов балки.
Рис. 3. Первые пять собственных форм колебаний опертой балки переменного сечения.
На Рис.5 показана характерная сходимость пяти первых собственных частот (кривые отмечены соответствующими номерами) относительно числа степеней свободы (ЫйОР). Значения параметра А1 приведены в логарифмиче-
О 55 I» £
55 т ti Н
ском масштабе. Можно отметить довольно быструю сходимость (экспоненциальную). Все линии линейно убывают с ростом числа степеней свободы.
2 4 6
Рис. 4. Распределение локальной ошибки по длине балки для первой формы собственных колебаний.
Рис. 5. Сходимость пяти первых собственных частот относительно числа степеней свободы.
О ы
а
s
«
а б
Рис. 6. Зависимость значения первой собственной часто-
К
ты в зависимости от значения параметра 1 .
На Рис. 6 показана зависимость первой собственной частоты для балок переменного сече-
ния, характеризующихся параметром К1. Важно
отметить что существует ярко выраженный максимум у представленной кривой
ю= 190.105 Гц при К = 0 233 . При этом отличие максимальной частоты от значения первой частоты балки постоянного сечения (Ю = 171.496 Гц при 10.85% .
h1 = 0.6) составляет
9. Заключение
Разработан регулярный вариационный подход нахождения собственных частот и форм колебаний неоднородных балок путем сведения краевой задачи по времени к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Изучены и обсуждены свойства квадратичных соотношений и их значение для решения различных спектральных задач. В качестве примера представлены интег-родифференциальные формулировки задачи о свободных колебаниях балки с квадратично меняющейся по ее длине строительной высотой. Построены оптимальные формы бетонных балок с максимальной первой собственной частотой. Показано, что предложенные двусторонние критерии качества приближенного решения позволяют получать высокоточные решения для математических моделей малой размерности.
В будущих работах авторы планируют уделить внимания разработке эффективных численных стратегий и процедур построения достоверных решений методом конечных элементов с использованием разработанной вариационной техники на основе метода интегро-дифференциальных соотношений.
Литература
1. Rosa M.A. De, Auciello N.M. Free vibrations of tapered beams with flexible ends // Computers & Structures. 1996. V. 60, № 2. pp. 197-202.
2. Cranch E.T., Adler A. Bending vibrations of variable section beams // American Society of Mechanical Engineers. 1956. V. 23, № 1. pp. 103108.
3. Caruntu D.I. On nonlinear vibration of nonuniform beam with rectangular cross-section and parabolic thickness variation // Solid Mechanics and its Applications. 2000. V. 73. pp. 109-118.
4. Chaudhari T.D., Maiti S.K. Modelling of transverse vibration of beam of linearly variable depth with edge crack // Engineering Fracture Mechanics. 1999. V. 63. pp. 425-445.
5. Auciello N.M. On the transverse vibrations of non-uniform beams with axial loads and elastically restrained ends // International Journal of Mechanical Sciences. 2001. V. 43. pp. 193-208.
6. Elishakoff I. Eigenvalues of Inhomogeneous Structures: Unusual Closed-form Solutions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2005.
7. Hsu J.C., Lai H.Y., Chen C.K. Free vibration of non-uniform Euler-Bernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 318. pp. 965-981.
8. Franciosi C., Mecca M. Some finite elements for the static analysis of beams with varying cross section // Computers and Structures. 1998. V. 69, № 2. pp. 191-196.
9. Jang S.K., Bert C.W. Free vibration of stepped beams: Exact and numerical solutions // Journal of Sound and Vibration. 1989. V. 130. pp. 342-346.
10. Prediction of the influence of temperature field on the critical speeds of a rod-fastened rotor / S. Liu, Y. Zhang, Z. Du [and others.] // Gas Turbine Technology. 2011. V. 2. pp. 20-23.
11. Simsek M., Cansiz S. Dynamics of elastically connected double-functionally graded beam systems with different boundary conditions under action of a moving harmonic load // Composite Structures. 2012. V. 94, № 9. pp. 28612878.
12. Gorman D.J. Free vibration analysis of beams and shafts. New York: Wiley, 1975.
13. Rao S. Ramalingerswara, Ganesan N. Dynamic response of tapered composite beams using higher order shear deformation theory // Journal of Sound and Vibration. 1995. V. 187, № 5. pp. 737-756.
14. Calim F.F. Free and forced vibrations of non-uniform composite beams // Computers & Structures. 2009. V. 88, № 3. pp. 413-423.
15. Pakar M.B. Accurate analytical solution for nonlinear free vibration of beams // Structural Engineering and Mechanics. 2012. V. 43, № 3. pp. 337-347.
16. Pryce J.D. A test package for Sturm-Liouville solvers // ACM Transactions on Mathematical Software. 1999. V. 25, № 1. pp. 21-57.
17. Abrate S. Vibration of non-uniform rods and beams // Journal of Sound and Vibration. 1995. V 185, № 4. pp. 703-716.
18. Firouz-Abadi R.D., Haddadpour H., Novinzadeh A.B. An asymptotic solution to transverse free vibrations of variable-section beams // Journal of Sound and Vibration. 2007. V. 304. pp. 530-540.
19. Wang G.Y. Vibration of Building and Structures // Beijing Technology Science Press. 1978. pp. 168-178.
20. Kang Y. A., Li X. F. Bending of functionally graded cantilever beam with power-law nonlinearity subjected to an end force // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2009. V. 44, № 6. pp. 696703.
21. Heidebrecht D.H. Vibration of non-uniform simply supported beams. Journal of the Engineering Mechanics Division. 1967. pp. 1-15.
22. Branch R.M. On the extremal fundamental frequencies of vibrating beams // Journal of Sound and Vibration. 1968. №. 4. pp. 667-674.
23. Gupta A. Vibration of tapered beams // Journal of Structural Engineering. 1985. V. 111, № 1. pp. 19-36.
24. Naguleswaran S. Vibration of an Euler-Bernoulli beam of constant depth and with linearly varying breadth // Journal of Sound and Vibration. 1992. V. 153. pp. 509-522.
25. Zhou D., Cheung Y.K. Vibrations of tapered Timoshenko beams in terms of static Timoshenko beam functions // Journal of Applied Mechanics. 2001. V. 68. pp. 596-602.
26. Cranch E.T., Adler A. Bending vibrations of variable section beams // American Society of Mechanical Engineers. 1956. V. 23, № 1. pp. 103108.
27. Ece M.C., Aydogdu M., Taskin V. Vibration of a variable cross-section beam // Mechanics Research Communications. 2007. V. 34. pp. 78-84.
28. Eisenberger M. Exact longitudinal vibration frequencies of a variable cross-section rod // Applied Acoustics. 1991. V. 34. pp. 123-130.
29. Graf K. F. Wave Motion in Elastic Solids. Columbus, Ohio: Ohio State University Press, 1975. p. 641.
30. Conway H.D., Dubil J.F. Vibration frequencies of truncated wedge and cone beam // Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32, № 4. pp. 932- 935.
31. Mabie J.J., Rogers C.B. Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams // Journal of Acoustical Society of America. 1972. V. 51. pp. 1771-1772.
32. Bayley P.B., Everitt W.N., Zettl A. Computing eigenvalues of singular Sturm-Liouville problems // Results in Mathematics. 1991. V. 20.
33. Carrera, E., Giunta, G., Nali, P., and Petrolo, M. (2010). Refined beam elements with arbitrary cross-section geometries. Computers and Structures, 88(5-6), 283-293.
34. Elishakoff, I. (2005). Eigenvalues of Inhomogeneous Structures: Unusual Closed-form Solutions. CRC Press, Boca Raton, FL.
35. Kostin, G.V. and Saurin, V. V. (2012). Integrodifferential relations in linear elasticity. De Gruyter, Berlin.
36. Kostin, G.V. and Saurin, V. V. (2017). Dynamics of solid structures. Method using integrodifferential relations. De Gruyter, Berlin.
37. Б.В.Гусев Строительная конструкция типа балки. Патент № 25620077, 07.08.2015.
О в
£
В
m ti H
Variational approaches to finding eigenvalues for beams with variable cross-section
Gusev B.V. , Saurin V.V.
Russian University of Transport» (RUT - MIIT)
The work consists of an introduction and eight sections. The introduction discusses the relevance of the problems associated with studying vibrations of inhomogeneous beams. The analysis of publications and obtained results in this field is performed. The second part is devoted to the formulation of the boundary value problem to finding natural frequencies of an inhomogeneous beam in the framework of the Euler-Bernoulli hypotheses. The next section deals with questions related to various classical variational formulations for the spectral problem arising in the beam theory. Particularities of the application of the direct and complementary Hamiltonian principles to such type of the boundary-value problems are discussed. The fourth section describes the method of integro-differential relations, which is an alternative to the classical variational approaches. Next, the possibilities to constructing various bilateral energy quality estimates for approximate solutions that follow from the method of integro-differential relations are investigated. In the sixth section the results obtained and discussed in the previous sections are generalized and an one-parameter family of quadratic nonnegative functionals whose stationarity conditions together with integro-differential constraints constitute a complete system of equations describing the dynamic behavior of non-homogeneous beams are introduced. In the seventh section, the relations of the variational problems obtained using the introduced family of functionals to the classical variational principles are considered. In the seventh and final part, based on a numerical model example, the advantages of the variational technique in problems of free vibrations of inhomogeneous beams are discussed.
Key words: dynamics, a beam with a variable cross-section, eigenvibrations, numerical methods, structural inhomogeneity, finite element method, functionally graded materials.
References
1. Rosa M.A. De, Auciello N.M. Free vibrations of tapered beams with flexible ends // Computers & Structures. 1996. V. 60, № 2. pp. 197-202.
2. Cranch E.T., Adler A. Bending vibrations of variable section
beams // American Society of Mechanical Engineers. 1956. V. 23, № 1. pp. 103-108.
3. Caruntu D.I. On nonlinear vibration of nonuniform beam with
rectangular cross-section and parabolic thickness variation // Solid Mechanics and its Applications. 2000. V. 73. pp. 109-118.
4. Chaudhari T.D., Maiti S.K. Modelling of transverse vibration of
beam of linearly variable depth with edge crack // Engineering Fracture Mechanics. 1999. V. 63. pp. 425-445.
5. Auciello N.M. On the transverse vibrations of non-uniform
beams with axial loads and elastically restrained ends // International Journal of Mechanical Sciences. 2001. V. 43. pp. 193-208.
6. Elishakoff I. Eigenvalues of Inhomogeneous Structures: Unusual Closed-form Solutions. Boca Raton, FL: CRC Press, 2005.
7. Hsu J.C., Lai H.Y., Chen C.K. Free vibration of non-uniform Euler-
Bernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 318. pp. 965-981.
8. Franciosi C., Mecca M. Some finite elements for the static
analysis of beams with varying cross section // Computers and Structures. 1998. V. 69, № 2. pp. 191-196.
9. Jang S.K., Bert C.W. Free vibration of stepped beams: Exact
and numerical solutions // Journal of Sound and Vibration. 1989. V. 130. pp. 342-346.
10. Prediction of the influence of temperature field on the critical speeds of a rod-fastened rotor / S. Liu, Y. Zhang, Z. Du [and others.] // Gas Turbine Technology. 2011. V. 2. pp. 20-23.
11. Simsek M., Cansiz S. Dynamics of elastically connected double-functionally graded beam systems with different boundary conditions under action of a moving harmonic load // Composite Structures. 2012. V. 94, № 9. pp. 2861-2878.
12. Gorman D.J. Free vibration analysis of beams and shafts. New York: Wiley, 1975.
13. Rao S. Ramalingerswara, Ganesan N. Dynamic response of tapered composite beams using higher order shear deformation theory // Journal of Sound and Vibration. 1995. V. 187, № 5. pp. 737-756.
U
a
s
«
a б
