CC BY
21Вестник Сибирского государственного университета путей сообщения. 2022. № 4 (63). С. 77-85. The Siberian Transport University Bulletin. 2022. No. 4 (63). Р. 77-85.
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА
Научная статья
УДК 624.27:699.842
doi 10.52170/1815-9265_2022_63_77
Снижение колебаний мостовых сооружений
Сергей Павлович Глушков1, Виктор Иванович Кочергин2^, Дарья Андреевна Проворная3
1'2'3 Сибирский государственный университет путей сообщения, Новосибирск, Россия 1rcpl@ngs.ru
2vkplus2011@yandex.ruH 3molokovada@gmail.com
Аннотация. Увеличение скорости движения поездов связано с проблемой возрастания динамических реакций железнодорожных мостов и, следовательно, риска возникновения резонансных явлений. Развертывание высокоскоростной сети железных дорог повышает потребность в инновационных строительных решениях для новых мостов и экономически эффективных методах модернизации существующих маршрутов, в том числе необходима разработка методов снижения вибрации мостовых перекрытий. Одним из таких методов является установка динамических гасителей колебаний на мостовом перекрытии для снижения вертикального ускорения балки моста или амортизаторов, установленных между пролетным строением моста и опорами. Существенным недостатком известных конструкций массовых демпферов гасителей колебаний является снижение эффективности дополнительных масс, возбуждающихся за счет колебаний моста при снижении амплитуды колебаний моста до малых величин. Кроме того, как правило, не учитывается такое явление, как эксцентриситет, возникающий при деформировании от движения поезда балки моста. Во время отклонения моста этот эксцентриситет может привести к вращению краев балки мостового перекрытия.
В данной работе предлагается использование демпферов гасителей колебаний с динамическими компенсаторами в виде установленных соосно несущим упругим элементам инерционных масс и связанных с основанием и пролетным строением мостового сооружения пружинами. Приведено теоретическое обоснование предлагаемых технических решений, позволяющих обеспечить надежную защиту от вибраций за счет более полной компенсации периодических сил и моментов, передаваемых несущими упругими элементами, силами и моментами противоположного направления от инерционных масс, колеблющихся в противофазе.
Ключевые слова: мост, балка моста, вибрация, виброзащитное устройство, демпфер гасителя колебания, коэффициент демпфирования
Для цитирования: Глушков С. П., Кочергин В. И., Проворная Д. А. Снижение колебаний мостовых сооружений // Вестник Сибирского государственного университета путей сообщения. 2022. № 4 (63). С. 77-85. DOI 10.52170/1815-9265_2022_63_77.
BUILDING AND ARCHITECTURE
Original article
Reduction of vertical acceleration bridge structure Sergey P. Glushkov1, Victor I. Kochergin2H, Darya A. Provornaya3
123 Siberian Transport University, Novosibirsk, Russia 1rcpl@ngs.ru
2vkplus2011@yandex.ruH 3molokovada@gmail.com
Abstract. The increase in the speed of trains is associated with the problem of increasing dynamic reactions of railway bridges and, consequently, the risk of resonant phenomena. The deployment of a high-speed railway network increases the need for innovative construction solutions for new bridges and cost-effective methods for upgrading existing routes, including the development of methods to reduce dynamic loads on bridge structures. One such method is to install dynamic vibration dampers on the bridge floor to reduce the vertical acceleration of the bridge beam or shock absorbers installed between the bridge span and the supports. A significant drawback of known designs of mass dampers of vibration dampers is reduction of efficiency of additional masses excited due to bridge oscillations at reduction of bridge oscillation amplitude to small values. In addition, as a rule, such a
© Глушков С. П., Кочергин В. И., Проворная Д. А., 2022
phenomenon as eccentricity arising when the bridge beam deforms from the movement of the train is not taken into account. During bridge deflection, this eccentricity can cause the edges of the bridge floor beam to rotate.
In this work, it is proposed to use dampers of vibration dampers with dynamic compensators in the form of inertial masses installed coaxially with the supporting elastic elements and springs connected to the base and span structure of the bridge structure. The theoretical justification of the proposed technical solutions is presented, which make it possible to provide reliable protection against vibrations due to more complete compensation of periodic forces and moments transmitted by bearing elastic elements, forces and moments of the opposite direction from inertial masses oscillating in antiphase.
Keywords: bridge, bridge beam, vibration, vibration protection device, fluctuation quencher damper, damping coefficient
For citation: Glushkov S. P., Kochergin V. I., Provornaya D. A. Reduction of vertical acceleration bridge structure. The Siberian Transport University Bulletin. 2022;(63):77-85. (In Russ.). DOI 10.52170/18159265 2022 63 77.
Введение
В настоящее время на магистральных железнодорожных линиях России осуществляется смешанное движение поездов. При этом использование скорости пассажирского поезда ограничено медленно идущими грузовыми поездами, что требует выполнения определенных мероприятий по увеличению пропускной способности железнодорожных магистралей. Однако увеличение скорости движения поездов через искусственные сооружения связано с появлением проблемы возрастания динамических реакций железнодорожных мостов и, следовательно, риска возникновения резонансных явлений. С точки зрения долговечности мостовых сооружений их динамическое поведение в этих условиях может оказаться непроектным. Таким образом, организация скоростного и высокоскоростного железнодорожного сообщения в Российской Федерации повышает потребность в инновационных строительных решениях для новых мостов и экономически эффективных методах модернизации существующих мостовых сооружений.
Для реализации таких решений необходимо разработать стратегию снижения вибрации мостовых перекрытий, пригодную в качестве метода модернизации существующих мостов, а также в качестве экономически эффективной альтернативы при проектировании новых мостовых конструкций. В настоящее время к такой стратегии можно отнести установку динамических гасителей колебаний на мостовом перекрытии для снижения вертикального ускорения палубы моста или амортизаторов, установленных между пролетным строением моста и опорами. Вибрации, вызванные движением подвижного состава же-
лезнодорожного транспорта и метрополитена, считаются одними из самых вредных вибрационных воздействий для зданий и сооружений [1]. Поэтому исследование влияния амортизирующих устройств, которые установлены между настилом моста и опорами, на ускорение вертикального настила моста, а также влияния изменений и неопределенностей различных параметров мостовых сооружений при движении поездов на эффективность амортизаторов является актуальной задачей.
Материалы и методы исследования
Демпфирующие устройства можно разделить на три основные группы: пассивные, активные и полуактивные системы управления. На протяжении многих лет мнения исследователей относительно общих определений, различных типов демпфирующих устройств, разделяющих их на пассивные и активные, расходились. Однако, по нашему мнению, следует считать, что есть два существенных отличия между пассивным и активным устройством управления:
- в отличие от активной системы, которая имеет реальные временные настройки и управляет структурой за счет регулируемой входной энергии, пассивная система не способна вводить механические силы в первичную структуру;
- в отличие от пассивного устройства активный демпфер требует для своей работы наличия источника питания.
Согласно недавно принятым определениям, полуактивное устройство рассматривается как компромисс между пассивной и активной системами. Причина этого заключается в том, что оно обладает возможностью изменения активного устройства, но не вводит никакой дополнительной входной энергии в управляемую структуру
и имеет очень низкие требования к энергопотреблению. Известно, что активные системы управления улучшают структурные характеристики на более высоком уровне, чем эквивалентные пассивные аналоги. С другой стороны, пассивные демпфирующие устройства превосходят их с точки зрения технической надежности, надежности обслуживания и экономической эффективности. К таким устройствам можно отнести амортизатор с вязкой силиконовой жидкостью. С помощью поршня с небольшими отверстиями жидкость может перемещаться между двумя камерами внутри цилиндра, расположенными по разные стороны головки поршня. Вследствие вязкости демпфирующей жидкости движение амортизатора будет рассеивать энергию от контролируемой конструкции и генерировать выходные силы демпфера, которые не совпадают по фазе с входным смещением [2]. В случае линейной, чисто вязкой демпфирующей жидкости с коэффициентом демпфирования Cd выходная сила Рd будет пропорциональна скорости поршня Vd :
Рл = ^Л. (1)
Первоначально амортизаторы с вязкой жидкостью широко использовались в военной и аэрокосмической отраслях. Начиная с 1990-х гг. применение пассивных амортизаторов с вязкой жидкостью для смягчения чрезмерных структурных вибраций достигло области гражданского строительства. Однако основная сфера применения амортизаторов была ограничена сооружениями, подверженными сейсмической активности. Впоследствии пассивные амортизаторы были применены и для других типов структурных систем и вариантов нагрузки. Например, пешеходный мост в Лондоне был оснащен гибридной системой «пассивный вязкостной демпфер - динамический гаситель колебаний» для уменьшения сильных колебаний, вызванных движением пешеходов [3].
Традиционный подход к учету классического или пропорционального затухания колебаний в мостах заключается в предположении, что энергия равномерно рассеивается вдоль балки. Данное упрощение оправдано, если задействованные собственные моды ортогональны и не связаны между собой. Если это применимо, то справедливо предположить, что затухание пропорционально массе и
жесткости системы и, следовательно, проблема собственных значений может быть решена линейной комбинацией этих объектов. Однако процедура вычисления амплитуд затухающих собственных частот и формы мод колебаний усложняется, если система непропорционально затухает.
Эффективность демпфера зависит от скорости воздействия нагрузки и поэтому точный выбор величины коэффициента демпфирования в динамических гасителях колебаний существенно влияет на динамические характеристики настила. По сравнению с традиционным модальным анализом отклик, полученный при рассмотрении сложных мод, более надежный и, следовательно, должен использоваться при оценке динамического поведения мостов с непропорциональным затуханием. Затухающие собственные моды могут быть использованы для определения максимально достижимого демпфирования, а также для оптимальной настройки амортизаторов под динамические параметры конкретных мостовых сооружений.
Метод суперпозиции сложных режимов должен быть применим как для просто поддерживаемых, так и для непрерывных балок с общими конечными условиями. Удобство использования такой модели продемонстрировано, в частности, в случае применения дополнительных демпфирующих устройств при исследовании влияния линейных затуханий, соединяющих настил моста с продольно натянутой, просто поддерживаемой вспомогательной балкой, как показано на рис. 1 [4]. Включение вязкого демпфера в мостовое сооружение с системой вспомогательных балок позволило значительно снизить отклик мостового перекрытия.
Кроме настроенных жидкостных демпферов, наиболее распространенным в области гражданского строительства является настроенный массовый демпфер гасителя колебаний (ДГК). Его можно описать как механическую систему амортизаторов с пружинной массой, предназначенной для того, чтобы резонировать с движением основной конструкции и, следовательно, противодействовать ему, создавая равные и противоположные силы (рис. 2).
Традиционно ДГК устанавливались в крупных зданиях для уменьшения вибраций, вызван-
Рис. 1. Модернизированный мост с системой вспомогательных балок
Рис. 2. Массовый демпфер гасителя колебаний
ных в основном ветровой нагрузкой и сейсмическими явлениями. Концепция устройств для демпфирования массы восходит к началу XX в., когда был изобретен динамический вибропоглотитель, уменьшающий вибрации тел, подвергающихся периодическим воздействиям. Однако это устройство не включало демпфирующий элемент, что приводило к недостаткам гашения вибрации, если частота возбуждения отклонялась от частоты поглотителя. С целью уменьшения амплитуды колебаний в более широком диапазоне частот по сравнению с исходным незатухающим поглотителем возможно размещение демпфера параллельно пружине, поддерживающей инерционную массу, подвергнутую гармонической нагрузке. Процедуры определения оптимального демпфирования ^ и частоты настройки fd ДГК при определенном соотношении масс ц следующие: 1
fd = —; (2)
^ =
1 + ц
(3)
8 (1+ Ц)'
Путем минимизации дисперсии отклика было подтверждено, что оптимальные параметры ДГК варьируются в зависимости от типа внешней нагрузки. Известно, что эффективность использования пассивного ДГК мостовых сооружений может снижаться в результате взаимодействия между мостом и поездом и возникновения эффекта расстройки частот из-за разницы между узкополосной частотой возбуждения и основной частотой моста. Расстройка ча-
стот также может произойти из-за изменений условий окружающей среды, неопределенности в структурных свойствах или в процессе изготовления устройств.
Исследования в области сравнения детерминированного и стохастического подходов к оптимизации ДГК с учетом неопределенных свойств основной структуры показали, что неопределенности влияют на оптимальные свойства демпфера и, таким образом, должны быть учтены для получения надежного конструктивного решения ДГК. Другой мерой, которая была предложена для уменьшения эффекта расстройки, является установка системы с несколькими ДГК. Например, система, изображенная на рис. 3, охватывает более широкую полосу частот, чем один ДГК [5, 6].
Один ДГК может быть эффективен, если собственные частоты были широко разделены, а система из ДГК, настроенная на разные частоты, является предпочтительной и обладает более надежными свойствами в условиях сбоя в случае близко расположенных собственных мод колебаний.
Полуактивные ДГК с регулируемой жесткостью путем изменения свойств сбрасываемого элемента позволяют снизить эффект расстройки по частотам и, таким образом, обеспечить оптимальное управление даже при изменении структурных свойств основной системы. При этом существенным недостатком всех устройств массовых ДГК является то, что при снижении амплитуды колебаний моста до малых величин снижается и эффективность
Рис. 3. Балка Тимошенко с настроенными амортизаторами массы
дополнительных масс, так как они возбуждаются за счет колебаний моста.
Результаты и их анализ
Избавиться от указанных недостатков существующих конструктивных решений ДГК, а следовательно и снизить колебания мостовых сооружений возможно при использовании предлагаемой конструкции устройства ДГК с динамическим компенсатором (рис. 4) [7-9]. Устройство состоит из несущего упругого элемента 1 в виде винтовой пружины и динамического компенсатора в виде соосно установленной инерционной массы 2, связанной с основанием и пролетным строением моста верхней и нижней пружинами 3 и 4. Более полная защита от вибраций в данном случае обеспечивается за счет компенсации периодических сил и моментов, передаваемых несущими упругими элементами, силами и моментами противоположного направления от инерционной массы, колеблющейся в противофазе колебаниям защищаемого основания.
хххх
Рис. 4. ДГК с динамическим компенсатором
Рассматривая балку, лежащую на опорах, видим, что нейтральная ось моста расположена близко к верхней поверхности, а это приводит к эксцентриситету опор, который необходимо учитывать в моделях [10]. Во время отклонения моста этот эксцентриситет может привести к вращению краев балки при преодолении трения подвижного подшипника. Как следствие, все точки, расположенные вдоль моста, получат дополнительное силовое воздействие в горизонтальном направлении вследствие нагрузки по г-й оси от движения поезда Fr(t). Это означает, что ДГК можно разместить ближе к опорам под таким углом наклона, который позволит совместить центр тяжести моста и ось воздействия силы ДГК. Предлагаемая стратегия снижения вибрации включает в себя набор ДГК, установленных между настилом моста и опорами, как показано на рис. 5. На рисунке условно изображено, что оси крепления демпферов пересекаются в центре масс балки моста Y.
Управляющее уравнение движения балки Эйлера - Бернулли может быть описано линейно упругим осциллятором с вязким затуханием в терминах смещения и, а также его производных по времени: скорости V и ускорения а. С помощью модального анализа динамический отклик может быть выражен как взвешенная сумма различных режимов естественной вибрации, которые в сочетании способны описать любую возможную деформированную форму конструкции. Это получается путем разделения переменных в соответствии с теоремой о разложении. Следовательно, смещение и его производные по времени равны и задаются в терминах обобщенных координат Чп> Чп, Чп режима вибрации фи (х):
Рис. 5. Система демпферов гасителей колебаний: а - угол наклона; Сл - коэффициент демпфирования; е - эксцентриситет; ха и уа - горизонтальные и вертикальные координаты положения ДГК соответственно
и (х>т )=Е Уп (х) чп к)
*(х>т)=£УЛхШ0> (4) й{х,Т) = ^УАхУь СО-
Умножением на фп(х) получим следующее выражение для уравнения движения в модальных координатах:
тъАп + °ьА + К,Яп = К (О- (5)
В выражении (5) модальная масса ть,п, демпфирование сь,п и жесткость Ь,п задаются как
т. =
: | т( х)ф п (х)2 dx;
о L
: I с( х)ф п (х)2 dx■;
о L
К,п = IЕ1 (х)фп (х)2 dx,
с.. =
(6)
где т - масса на единицу длины; Е - модуль упругости; I - момент инерции.
Выражение для внешней модальной силы Fn(t) может варьироваться в зависимости от источника возбуждения, которому подвергается система. Применительно к железнодорожному движению один из подходов заключается в моделировании поездной нагрузки как группы сосредоточенных сил с определенным набором характерных расстояний между ними. Эти расстояния обычно равноудалены и отображаются с повторяющимися интервалами. Исходя из этого модальная сила может быть выражена как сумма функций амплитуды:
Fn ^) = £ Fr гг ^ )фп (vt - dr),
(7)
Н ^) = •
(9)
где /у - нагрузка от г-й оси; V - скорость движения поезда; - расстояние от оси г до первой точки балки.
Функция от времени £г(0 определяется выражением:
вг (t) = Н ^ - dr / V]-Н ^ - + L)/V], (8)
где Н(0 - шаговая функция Хевисайда, т. е. кусочно-постоянная функция; L - длина пролета моста.
Шаговая функция Хевисайда равна нулю для отрицательных значений аргумента и единице - для положительных:
[О, если t < О, [1, если t > О. Поскольку формы режимов колебаний мостовых сооружений не зависят от формы колебаний демпферов, коэффициенты демпфирования сь,п и жесткости ^,п ДГК должны быть включены в модальное уравнение движения:
+ (Кп - КпП )Чп = К (0. (10)
Другое явление, которое должна содержать математическая модель, - это эксцентриситет е. Он может быть включен в качестве модельной координаты вдоль линии действия ДГК. Вывод этой координаты основан на вертикальной составляющей смещения моста:
= фп (х)Чп.
(11)
г=1
Ь
и
ъ
п
Из-за эксцентриситета результирующая горизонтальная составляющая описывается как
ur,n = eq'n (x)4n. (12)
Общая длина l ДГК в любой момент времени равна сумме начальной длины lo и изменения длины Д1 из-за сжатия или удлинения амортизаторов (рис. 6).
В этой модели предполагается, что опора полностью зафиксирована. Следовательно, общая длина l определяется как 1 = 10+М =
= J[xa + Ur,s,n(xa) + Ur,s,n]2+ [yd + ubtn(xd)]2, (13)
где ur s n - горизонтальное смещение несущей опоры.
В соответствии с простой геометрией применяется следующее условие:
*о = *d + yd. (14)
Опуская остальные члены второго порядка из-за незначительности их влияния, приведем уравнение (13) к следующему виду:
м = [_XdUr,n (Xd ) + XdUr,s,n + УаЩ,п (Xd )] (15)
" l '
L0
Применяя правила геометрии, можно записать:
l0 = ; Ъ = . (16)
cos a yd sin а
Следовательно, изменение длины присоединенного ДГК можно выразить как
Al = [urn(xd) + ursn]cos а +
+ud,n(xd) sin а. (17)
Поскольку величина Al эквивалентна смещению вдоль линии действия амортизаторов, она может быть обозначена как u¿,n.
Вставим уравнения (11) и (12) в выражение (17). В результате получаем:
ud,n = [eq'n(.xd)cos а + eф's,nсоs а +
+ Ф„(х^т а]дп. (18)
Дифференцирование по времени позволяет определить скорость вдоль линии действия амортизаторов:
üd,n = [^'„Od^os а + еф'5,псо5 а +
+ Ф„(х^п а]дп. (19)
Данное уравнение можно представить в виде
üd,n = фd,n4n. (20)
Анализируя выражение (20), отметим, что из-за эксцентриситета выводится новая координата, полностью основанная на исходном режиме вибрации. Для ряда ДГК общий дополнительный коэффициент демпфирования для «-го режима вибрации определяется как
cd,n = Ey=i cdJ ф,п(а_/, xdj) . (21) Полученное уравнение (21) включается в уравнение (10). Это означает, что два существенных явления включены в исследуемую модель. Результирующий отклик в терминах и, и, ü может быть получен с помощью раз-
Рис. 6. Изменение длины Д/ ДГК из-за отклонения балки моста с вертикальными и горизонтальными перемещениями: /0 - начальная длина ДГК; а - угол наклона; ха и уа - начальные координаты точки крепления ДГК
личных методов решения (например, численных методов с шагом по времени) с последующей суперпозицией режимов в соответствии с уравнением (4).
Выводы
По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Существенным недостатком известных конструкций массовых ДГК является снижение эффективности дополнительных масс, возбуждающихся за счет колебаний моста при снижении амплитуды колебаний моста до малых величин.
2. Использование предложенного конструктивного решения ДГК, оснащенных динамическими компенсаторами в виде установленных соосно несущим упругим элементам инерционных масс и связанных с основанием
и пролетным строением мостового сооружения пружинами, позволит обеспечить более полную защиту от вибраций за счет компенсации периодических сил и моментов, передаваемых несущими упругими элементами, силами и моментами противоположного направления от инерционных масс, колеблющихся в противофазе колебаниям защищаемого основания.
3. Предложенное математическое описание процессов демпфирования железнодорожных мостовых сооружений позволяет учесть наличие двух объективно существующих явлений: представление поездной нагрузки как группы сосредоточенных сил с определенным набором характерных расстояний между ними и эксцентриситет, возникающий при деформировании от движения поезда балки моста.
Список источников
1. Козлова Н. А., Мишина В. М. О методах виброзащиты фундаментов зданий в условиях города // Наука, образование и экспериментальное проектирование. 2020. № 1. С. 208-210.
2. Castaldo P. Passive energy dissipation devices // Integrated seismic design of structures and control systems. Switzerland : Springer International Publishing, 2014. P. 21-62. DOI 10.1007/978-3-319-02615-22.
3. The Millennium Bridge, London: Problems and solutions / Р. Dallard [et al.] // Structural Engineer. Project: London Millennium Pedestrian Bridge. 2001. Vol. 79, no. 8. P. 15-17.
4. Museros P. M., Martinez-Rodrigo M. D. Vibration control of simple support beams under moving loads using liquid viscous shock absorbers // Technic Sound and Vibration log. 2007. Vol. 300, iss. 1-2. P. 292-315. DOI 10.1016/J.JSV.2006.08.007.
5. Méndez-Sáchez R. A., Morales A., Flores J. Experimental check on the accuracy of Timoshenko's beam theory // Journal of Sound and Vibration. 2005. Vol. 279. P. 508-512.
6. Franco-Villafañe J. A., Méndez-Sánchez R. A. On the Accuracy of the Timoshenko Beam Theory Above the Critical Frequency: Best Shear Coefficient // Journal of Mechanics. 2016. January. P. 1-4. DOI 10.1017/jmech.2015.104.
7. Патент № 2082907 Российская Федерация, МПК F15F 15/00. Устройство для виброизоляции машин : № 93035915/28 : заявл. 27.06.93 : опубл. 27.06.97. Бюл. № 18 / Барановский А. М., Глушков С. П.
8. Glushkov S. P., Kochergin V. I. Improvement of Machine Protection against Vibration // Transportation Research Procedia. XII International Conference on Transport Infrastructure. 2022. Vol. 61. Р. 674-680. DOI 10.1016/j.trpro. 2022.01.107.
9. Патент № 201850 Российская Федерация, МПК B61F 5/30, B61F 5/12, F16F 7/10, F16F 7/104. Тележка рельсового транспортного средства : № 2020131954 : заявл. 24.09.20 : опубл. 15.01.21. Бюл. № 2 / Глушков С. П., Кочергин В. И. ; заявитель СГУПС.
10. Fransson H. Rotation capacity of reinforced high strength concrete beams // Licentiate Thesis. Stockholm, 1997. Bulletin 32.
References
1. Kozlova N. A., Mishina V. M. On methods of vibration protection of building foundations in urban conditions. Science, education and experimental design. 2020;(1):208-210. (In Russ.).
2. Castaldo P. Passive energy dissipation devices. Integrated seismic design of structures and control systems. Switzerland : Springer International Publishing; 2014. P. 21-62. DOI 10.1007/978-3-319-02615-22.
3. Dallard Р. [et al]. The Millennium Bridge, London: Problems and solutions. Structural Engineer. Project: London Millennium Pedestrian Bridge. 2001;79(8):15-17.
4. Museros P. M., Martinez-Rodrigo M. D. Vibration control of simple support beams under moving loads using liquid viscous shock absorbers. Technic Sound and Vibration log. 2007;300(l-2):292-315. DOI 10.1016/J.JSV.2006.08.007.
5. Méndez-Sáchez R. A., Morales A., Flores J. Experimental check on the accuracy of Timoshenko's beam theory. Journal of Sound and Vibration. 2005;279:508-512.
6. Franco-Villafañe J. A., Méndez-Sánchez R. A. On the Accuracy of the Timoshenko Beam Theory Above the Critical Frequency: Best Shear Coefficient. Journal of Mechanics. 2016;January:1-4. DOI 10.1017/jmech.2015.104.
7. Patent 2082907 Russian Federation, MPK F15F 15/00. Device for vibration insulation of machines. A. M. Baranovskij, S. P. Glushkov. № 93035915/28. 15.01.21. Bulletin № 18. (In Russ.).
8. Glushkov S. P., Kochergin V. I. Improvement of Machine Protection against Vibration. Transportation Research Procedía. XII International Conference on Transport Infrastructure. 2022;61:674-680. DOI 10.1016/j.trpro. 2022.01.107.
9. Patent 201850 Russian Federation, MPK B61F 5/30, B61F 5/12, F16F 7/10, F16F 7/104. Rail vehicle trolley. S. P. Glushkov. V. I. Kochergin. STU. № 2020131954. 15.01.21. Bulletin № 2. (In Russ.).
10. Fransson H. Rotation capacity of reinforced high strength concrete beams. Licentiate Thesis. Stockholm; 1997. Bulletin 32.
Информация об авторах
C. П. Глушков - профессор кафедры «Технология транспортного машиностроения и эксплуатация машин» Сибирского государственного университета путей сообщения, доктор технических наук.
В. И. Кочергин - заведующий кафедрой «Технология транспортного машиностроения и эксплуатация машин» Сибирского государственного университета путей сообщения, доктор технических наук.
Д. А. Проворная - аспирант кафедры «Технология транспортного машиностроения и эксплуатация машин» Сибирского государственного университета путей сообщения.
Information about the authors
S. P. Glushkov - Professor of the Transport Engineering Technology and Machine Operation Department, Siberian Transport University, Doctor of Engineering.
V. I. Kochergin - Head of the Transport Engineering Technology and Machine Operation Department, Siberian Transport University, Doctor of Engineering.
D. A. Provornaya - Postgraduate Student of the Transport Engineering Technology and Machine Operation Department, Siberian Transport University.
Статья поступила в редакцию 18.04.2022; одобрена после рецензирования 19.05. 2022; принята к публикации 03.10.2022.
The article was submitted 18.04.2022; approved after reviewing 19.05. 2022; accepted for publication 03.10.2022.
