СМЕШАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 3. С. 287-300.

УДК 517.977 БОТ: 10.47475/2500-0101-2022-17303

СМЕШАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

М. В. Плеханова1,2'", А. Ф. Шуклина1,6, Г. Д. Байбулатова1,с

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "[email protected], [email protected], сЪауЪи1а1оиа_д_с1@таИги

Рассматривается класс задач смешанного управления системами, состояние которых описывается уравнениями в банаховых пространствах, неразрешимыми относительно старшей дробной производной Герасимова — Капуто и нелинейно зависящими от дробных производных младшего порядка. Используется условие 0-ограниченности пары операторов в линейной части уравнения, которое позволяет задать начальные условия Шуолтера — Сидорова исследуемого дифференциального уравнения. Нелинейный оператор предполагается зависящим только от элементов подпространства без вырождения. Целевой функционал в задаче смешанного управления предполагается выпуклым, полунепрерывным снизу и коэрцитивным, а множество допустимых управлений — непустым, выпуклым и замкнутым. Получена теорема о существовании оптимального управления. Абстрактные результаты использованы при изучении задачи смешанного управления для модифицированной системы уравнений Соболева дробного порядка по времени.

Ключевые слова: оптимальное управление, смешанное управление, дифференциальное уравнение дробного порядка, производная Герасимова — Капуто, нелинейное эволюционное уравнение, вырожденное эволюционное уравнение.

Введение

В последние десятилетия развитие дробного исчисления связано с поисками новых методов исследования сложных систем. Физические аспекты применения дробных производных в моделировании описаны многими авторами [1; 2]. Различные математические аспекты теории дифференциальных уравнений дробного порядка рассматриваются, к примеру, в известных работах [3-5]. В то же время уравнения и системы уравнений, не разрешённые относительно старшей производной, часто встречаются в неклассических задачах математической физики [6-9]. Отметим, что в соответствующих задачах управления для уравнений дробного порядка, как правило, исследователями предполагается непрерывная обратимость оператора при старшей производной [10-12].

Представляемая работа посвящена исследованию задач управления для вырожденных уравнений в банаховых пространствах X, У, которые имеют вид

ьп?х(г) = Мх(г) + N (г, б?1 х(г),...,Ба- х(г)) + Ви(г), г е (¿о ,т), (1)

Работа А.Ф.Ш. выполнена при финансировании гранта Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ, проект НШ-2708.2022.1.1. Работа М.В.П. и Г.Д.Б. поддержана грантом № 20-31-90015 Российского фонда фундаментальных исследований.

(Рх)(к)(Ьо) = Vk, к = 0,1,... ,т — 1, (2)

(и,ь) = (и, vо, VI ,...,ьт-1) еид, (3)

3(x, и^) ^ т£ . (4)

Здесь Ь — линейный непрерывный оператор, действующий из X в У, М — линейный замкнутый оператор с областью определения Ом, плотной в X, действующий в У, линейный и непрерывный оператор В : и ^ X, где и — также банахово пространство, и нелинейный оператор N : [¿о,Т] х Xп ^ У, — производные Герасимова — Капуто при различных в > 0, т — 1 < а < т Е N а1 < а2 < ••• < ап < т — 1.

Уравнение относится к классу вырожденных уравнений в предположении, что кегЬ = {0}, т.е. уравнение неразрешимо относительно старшей дробной производной. Основная цель работы — получение условий разрешимости задачи смешанного управления. Управляющее воздействие в задаче представлено двумя типами: распределённым и и стартовым (^0, VI,..., vm-1) управлением. Ограничения на управления задаются условием (3) принадлежности непустому выпуклому замкнутому подмножеству Ц9 пространства управлений Я = Ьч(Ь0,Т; и) х Xт. Таким образом, задача состоит в доказательстве существования наборов (состояние, управление), минимизирующих функционал качества 3.

Доказательство разрешимости опирается на проверку трёх основных условий: непустоты множества допустимых наборов, условия компактности и условий на функционал. Непустота множества допустимых наборов фактически означает существование сильного решения начальной задачи (1), (2) при каком-либо управлении из множества допустимых управлений. Ранее вопрос разрешимости в сильном смысле начальных задач для уравнений вида (1) рассматривался в работах [13-16]. В настоящей работе рассматривается уравнение с нелинейностью, не зависящей от элементов подпространства вырождения, вопросы однозначной разрешимости начальных задач для которого исследованы в работе [13]. Задачи с управлениями различных типов для вырожденных эволюционных уравнений как целого, так и дробного порядка в банаховых пространствах рассматривались в работах М. В. Плехановой, Г. Д. Байбулатовой, А. Ф. Шуклиной [17-20].

В первом параграфе данной работы сформулированы предварительные сведения о разрешимости обобщённой задачи Шоуолтера — Сидорова для одного класса нелинейных вырожденных уравнений в банаховом пространстве, используемые при доказательстве основного результата. Этот результат в виде теоремы о разрешимости задачи смешанного управления для нелинейных уравнений упомянутого класса сформулирован и доказан во втором параграфе для случая абстрактного целевого функционала. Следствие из этой теоремы для задачи с конкретным функционалом получено здесь же. В последнем параграфе полученные абстрактные результаты использованы для доказательства разрешимости задачи смешанного управления для дробной по времени модельной системы Соболева в ограниченной области. Тем самым получено обобщение аналогичных результатов для случая производных по времени целого порядка [20].

1. Сильное решение нелинейного вырожденного уравнения

Введём обозначения для 5 > 0: (Ь) := Г(5)-1Ьг-1 при Ь > 0, (Ь) := Г(5)-1(Ь —

г

¿0)г-1, 3к(Ь) := / д&(Ь — 8)Н(8)в>8 при Ь > Ь0. Здесь и далее От — обычная про-

го

изводная порядка т Е N 3° — тождественный оператор. Дробная производная

Герасимова — Капуто [5; 21] функции Н определена как

т— 1

цап(г) := втзт-а цг) - ^ н^М^Ф , t>t0. V к=0 )

Для банаховых пространств X, У возьмём линейный непрерывный оператор Ь : X ^ У (будем обозначать Ь Е ¿(X; У)), кегЬ = {0}, линейный замкнутый оператор М с областью определения Бм, плотной в X, действующий в У (М Е С 1(Х; У)), Ом снабжена нормой графика || • ||дм := || • ||х + ||М • ||у.

Обозначим рь(М) := {^ € С : (^Ь - М)-1 Е ¿(У; X)}, аь(М) := С\рь(М), Я^(М) := (рЬ - М)-1Ь, Ь^ := Ь(/лЬ - М)-1. Оператор М называется (Ь,а)-ограниченным, если

За > 0 Ур Е С (Ы >а) ^ (^ Е рь(М)). В случае (Ь, ^-ограниченности оператора М можно задать проекторы

Р :=2~1 ) Ф Е ¿(X), ф :=2~1 ^(М) ф Е ¿(У),

7 7

где 7 = {^ Е С : ^ = г > а} (см. [22, р. 89, 90]). Положим X0 := кегР, X1 := \шР, У0 := кег ф, У1 := тф. Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на Xк (Омк := Ом П Xк), к = 0,1.

Теорема 1. [22, р. 90, 91]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда

(I) М1 Е ¿(X1; У1), М0 ЕС /(X0; У0), Ь к Е ¿(Xк; Ук), к = 0, 1;

(II) существуют операторы М—1 Е ¿(У0; X0], Ь-1 Е ¿(У1; X^ .

Обозначим С := М—1Ь0. Для р Е N0 := {0} и N оператор М называется (Ь,р)-ограниченным, если он (Ь, а)-ограничен, Ср = 0, Ср+1 = 0. Рассмотрим вырожденное полулинейное уравнение

ЬО^г) = Мх(г) + N (г, х(г), х(г),..., х(г)), (5)

с обобщёнными условиями Шоуолтера — Сидорова

(Рх)(к)(^) = Хк, к = 0,1,... ,т - 1, (6)

где п Е N, 0 < а1 < а2 < ••• < ап < а, т - 1 < а < т Е N, тк - 1 < ак < тк Е N, к =1, 2,...,п, N : [¿0, Т ] XXп ^ У.

Функция х Е Ст-1([г0,Т]; X) П Ьд(¿0,Т; Ом) называется сильным решением задачи (5), (6), если

т1

^т-а хх(к)(г0)£к+1 Е ^(^Т; X),

к=0

выполнены условия (6) и почти всюду на (¿0,Т) верно равенство (5).

Отображение В : (¿0,Т) X 2п ^ 2 называется равномерно липшицевым по г = (г1, ■,...■, zn), если найдётся I > 0, такое, что для почти всех г Е (¿0,Т) и для любых г, у Е 2п верно неравенство

п

||В(г, г) - В(г,у)Цг < / ^ ||гк - Ук||я.

к=1

Лемма 1. [14]. Пусть I — 1 < в < I Е Н, д > 1, д > (/ — в )-1 при в < I, Т > Ьо. Тогда

ЗС^ > 0 УЛ Е С1 ([¿0,Ь]; Ь||ь,^г^) < С^||Ь||^.

Теорема 2. [23]. Пусть а> 0, д > (а — т + 1)-1, оператор М (Ь, 0)-ограничен, N : [¿0, Т] х Xп ^ У для всех г1, 22,..., 2п Е X и почти всех Ь Е (¿0, Т) удовлетворяет условию N(Ь, ..., 2п) = ^(Ь, Р24,..., Р2п) при некотором отображении N1 : [¿0,Т] х (X1 )п ^ У, таком, что ^N1 Е Ст"+1([;£о,Т] х (X 1)п; У) равномерно липшицево по г Е (X 1)п, (I — ^N1 Е Ст([¿0, Т] х (X 1)п; У), Х0, Х1,..., Хт-1 Е X1, для решения задачи

(7)

ЭДЬ) = Ь^М^Ь) + Ь-^^Д"1v(í),Dа2v(t),... ,Да"v(t)),

v(k)(í0) = хк, к = 0,1,... ,т — 1,

выполняются условия:

если ак < тк, то v(mfc+r)(í0) = 0, к = 1, 2, ...,п, г = 0,..., тах{тп,т — 1}, (8)

Ок|г=гоv(í),Da2v(t),... , О?"v(t))] = 0, к = 0,1,... ,т„. (9) Тогда задача (5), (6) имеет единственное сильное решение на (¿0,Т).

2. Задача смешанного управления

Пусть т — 1 <а < т Е Н, п Е Н, 0 < а1 <а2 < ••• <ап < т — 1. Для вырожденного нелинейного уравнения рассмотрим задачу смешанного управления

ЬОах(Ь) = Мх(Ь) + Nх(Ь),...,Оа"х(Ь)) + Ви(Ь), Ь Е (Ьо,Т), (10)

(Рх)(к)(Ь0) = vk, к = 0,1,..., т — 1, (11)

(и,^) = (и, Vо, Vl,..., ^-1) Е ид, (12)

3(х,и,г>) ^ т£, (13)

где множество допустимых управлений ид — подмножество пространства управлений Я, 3 — функционал качества. Смешанное управление представлено набором функций (и, V) = (и, Vо, Vl, ... ^т-1) Е Я.

Решение уравнения (10) будем рассматривать при д > 1 в пространстве

(Ь0, Т; *) := {х Е Ь,(^, Т; Ом) П Ст-1([Ьо, Т]; X) :

/ т-1 \

Лт-« х — £ х(к)(Ь0)дк+0 Е Жт(Ь0,Т; X)}.

Лемма 2. [24]. Пространство (Ь0,Т; X) с нормой

(го,Т;Х) = ||х|и„ (*о,Т;Дм) + ||х|Ст"1([го,Т];Х) + ||ОГх|Ь, (¿о,Т;Х)

является банаховым.

Лемма 3. [24]. Пусть X0, X;! — рефлексивные банаховы пространства, Xо компактно вложено в X1, д Е (1, Тогда при т Е N пространство Ж™(Ь0,Т; X0) компактно вложено в Жт-1(Ь0,Т; X1).

Множество наборов (х,и,^) Е (Ь0,Т; X) х Я назовём множеством допустимых троек задачи (10)—(13), если х Е д(Ь0,Т; X) является сильным решением задачи (10), (11) с (и, V) Е ид.

Набор G W называется решением задачи оптимального управления

(10)-(13), если

J (X, û,v) = inf J (x,u,v).

Коэрцитивность функционала J означает, что для любого R > 0 множество {(x,u,v) G W : J(x,u,v) < R} ограничено в Za,q(t0,T; X) x U.

Теорема 3. Пусть m — 1 < a < m G N\{1}, q > (a — m + 1)-1, a1 < a2 < ■ ■ ■ < an < m — 2, X, X1 — рефлексивные банаховы пространства, X компактно вложено в X1, оператор M (L, 0)-ограничен, N : [t0, T] x Xn ^ Y для всех z1, z2,..., zn G X и почти всех t G (t0, T ) удовлетворяет условию N (t, z1,..., zn) = N1(t, Pz1,..., Pzn) при некотором отображении N1 : [t0,T] x (X 1)n ^ Y, таком, что отображение QN1 : [t0,T] x (X 1)n ^ Y каратеодориево и равномерно липшицево по z G (X 1)n, для всех z1, z2,..., zn G X1 и почти всюду на (t0, T) выполнено неравенство

n

IlQN1 (t, z1, z2,..., zn)^Y < a(t) + c^ ||zfc||* (14)

fc=1

для некоторых a G Lq(t0,T; R), c > 0, (I — Q)N G Cm" ([t0,T] x (X 1)n; Y), x0, x1,..., xm-1 G X1, для решения задачи (7) при ak < mk выполняются равенства

v(mk +r)(t0) = 0, k = 1, 2,...,n, r = 0,1,...,mn — 1. (15)

Предположим, что Ud — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства U = Lq(t0,T; U) x (X 1)m, Za,q(t0,T; X) непрерывно вложено в банахово пространство Y, которое непрерывно вложено в пространство W™-2(t0,T; X1); функционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y x (X 1)m, коэрцитивный на Za,q(t0,T; X) x U. Тогда существует решение (X,û,v7) G Za,q(t0,T; X) x Ud задачи (10)-(13).

Доказательство. По теореме 2 множество W непусто. Определим пространства Y1 := Za,q(t0,T; X), U := Lq(t0,T;U) x (X 1)m, V := Lq(t0,T; Y) x Xm и операторы

L(x,u,v) := (LDtax — Mx — Bu, Y0(Px) — зд,Т0(Рх)(1) — ..., Y0(Px)(m-1) — vm-1),

F(x(-)) := —(N(■, Dtaix(-), Dta2x(-),..., Dta"x(-)), 0, 0,..., 0). Непрерывность линейного оператора L : Y1 x U ^ V следует из неравенств

||L(x,u,v)||L, (ia,T;Y)xXm < CL|Dax|L, (to,T;X) + ||Mx||Lq (îq,T;Y) + CB ||u||Lq (îq,T;W) +

+ |70(Px)|x + ||Y0(Px)(1)||x + ■ ■ ■ + ||70(Px)(m-1)|x + M* + ■ ■ ■ + |K-1||* <

< C1| | Lq (t0,T;X) + 11 x 11 Lq (îq,T;Dm ) + C2 ||x || С™-1^ ,T;X) + CB ||u||Lq (to,T;U) + ||v||Xm < < C (ЦxЦZа,q + ||(u,v)||u) = C||(x,u,v)||Za,q(to,T;X)xU.

Докажем непрерывность нелинейного оператора F : Za q(t0,T; X) ^ V. Из соотношения ||xj — x||za q(i0,T;*) ^ 0 при j ^ œ, равномерной липшицевости оператора N1 и леммы 1 следует, что

||N1(-, D?1 Xj(■),..., DtanXj(■)) — N1(-, Dtaix(-),... ,Dtanx(-))|Uq(to,T;Y) <

n

< l ||DtakXj — D^X11Lq(to,T;*i) < C3n||Xj — x||cm-i([io,T];X) ^ 0 при j ^ œ. fc=1

Проверим условие компактности из теоремы 2.4 [25]. Пространство ¥1 := Да,д(¿0, Т; X) непрерывно вложено в Ж™-1 (¿о, Т; X) и поэтому в силу леммы 3 компактно вложено в ¥-1 := Ж™-2(Ь0,Т; Х1). Для элемента v* Е (Ьд(Ь0,Т; У))* в силу равномерной липшицевости оператора N1 и леммы 1

Б?1х3(■),..., X(■))) - N1^ Б?1х(-),..., х(-))))| < < |И|(ь, (¿о,Т;У))* Н^^Б"1 х,- (■),..., х3 О)-^^"1 *(■),..., Д"* х(0)||ь, (¿о,Т;У) <

п к=1

< С^^!^,(4о,т;Х1))* ИХ - х|Ждт-2(*а,Т;Х1).

Таким образом, функционал ■&>(■) = v*(F(■)) непрерывно продолжим до функционала на ¥-1. По теореме 2.4 [25] получаем существование решения рассматриваемой задачи управления. □

Рассмотрим задачу минимизации функционала

3 (х, П,у) = ||х - Х^ | С т-1([4о,Т ];Х) + ||Д"х - Д^Ць, (*о,Т;У) +

т— 1

+5||п - ПаЦьч (*0,Т;М) + 5 || Vk - Vdk ||х ^ ^ (16)

к=0

с заданными 5 > 0, х^ Е Да,д(¿0,Т; X)п Е Ьд(¿0,Т;и), vdk Е X.

Следствие 1. Пусть т - 1 < а < т Е N \ {1}, д > (а - т + 1)—1, а1 < а2 < ■ ■ ■ < ап < т- 2, X, X;! — рефлексивные банаховы пространства, X компактно вложено в X1, оператор М (Ь, 0)-ограничен, N : [¿0, Т ] х Xn ^ У для всех х1,х2,... ,хп Е X и почти всех Ь Е (¿0, Т) удовлетворяет условию N(Ь, г1, . . . , гп) = N1(í, Рг1,..., Рхп) при некотором отображении N : [¿0,Т] х (X 1)п ^ У, таком, что отображение QN1 : [¿0,Т] х (X 1)п ^ У каратеодориево и равномерно липшицево по х Е (X 1)п, для всех х1,х2,... ,хп Е X1 и почти всюду на (Ь0,Т) выполнено неравенство (14) для некоторых а Е Ьч(¿0,Т; К), с > 0, (I - Q)Nl Е Ст" ([¿0,Т] х (X 1)п; У), х0, х1,..., хт—1 Е X1, для решения задачи (7) при ак < тк выполняются равенства (15). Предположим, что и — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Я = Ьд(Ь0,Т;и) х (X 1)т. Тогда существует решение (х,П,с) Е Д«,д(¿0, Т; X) х и задачи (10)-(12), (16).

Доказательство. Пусть ¥ = Да,д(Ь0,Т; X). Выпуклость, непрерывность и ограниченность снизу функционала (16) в пространстве Да,д(Ь0,Т; X) х Xт при 5 > 0 или в пространстве Да,д(Ь0,Т; X) при 5 = 0 очевидны. В силу равномерной липшицевости оператора N1 и непрерывности оператора Ь имеем на множестве {(х,п^) Е : 3(х,п^) < Я} с учётом равенства (10)

т— 1

ЫЫа,(4о,Т;Х) + ||п|к?(*о,Т;М) + ^ ^^ =

к=0

т— 1

= ||х|и„(*о,Т;Дм) + ||х||Ст-1([4о,Т];Х) + (*о,Т;Х) + (*о,Т;М) + ^ Ц^Х <

к=0

т—1

< С1\\х\\ст-щг0,т\-,х) + \\Мх\\ь,(Ь0,Т;У) + \\Б?х\\ьч(Ьо,Т;Х) + \\и\\ьч(Ь0,ТЦ) + ^ \Н\х <

к=0

< С1\х\ст-1([40,т\;х) + \\LDax - N(г, Б?1х,в?х}.. х)\\Ьд^у) +

т— 1

+ \\Б1х\\ь,(Ьо,Т;X) + \\и\\ь,(Ьо,Т;и) + ^ \М\х <

к=0

т1

< С1 \ \х \ \ Ст—1 ([4о,Т\;Х) + С2(4о,Т;Х) + \\и\\ьч(*о,Т;Ц) + ^ \М\х +

к=0

+ х(-),...,Б?"х(-)) - Nх^),...,Б?"ха(-))\Ьч^;у) +

+ (•,БГ1 х^(-), . . . (¿о,Т;У) < С1\х\ст—1№о,Т\;Х) +

т— 1 п

+ С2\\Б?х\\ьч(Ю,Т;Х) + \\и\\ь„(1о,Т;Ц) + ^ \М\х + 1 ^ ^^х - ^^^(*о,Т;Х) + С3 <

к=0 к=1

< С4 \ \х — х<1\\ст—1([4о,Т\;Х) + С2 \\ — (4о,Т;Х) +

т— 1

+ \\« - Па\\ьч(Ьо,Т;Ц) + ^ \\Vfe - УЛк \\X + С5 < С5 + С6Д.

к=0

Отсюда следует коэрцитивность функционала. Осталось сослаться на теорему 3.

□

3. Смешанное управление для системы Соболева дробного порядка по времени

Пусть О С К3 — ограниченная область с границей дО класса СРассмотрим начально-краевую задачу

дк т

-(х,Ь0) = ьк (х), х € О, к = 0,1,...,т - 1, (17)

дгк

(х,г):=^2 Ыг(х,г)щ(х) = 0, (х,г) € дО х (и,Т), (18)

3

тп(х,г) := ^ т

г=1

для модифицированной системы Соболева дробного порядка

Б?т(х,г) = [т(х,г),й] - т(х,г) + д(х,Б^1 т(х,г)) + п(х,г), (х,г) € О х (г0,Т), (19)

V- т(х,г) = 0, (х,г) € О х (Ь0,Т), (20)

где 0 < а1 < т1 < т - 1 < а < т € N \ {1}. Эта система описывает при а = 1, д = 0 динамику малых внутренних движений вращающейся стратифицированной жидкости в равновесном состоянии [26]. Здесь и = (и1,и2,и3) является вектором внешней нормали к границе, т = (т1,т2,т3) — вектор скорости частиц жидкости, т = (т1,т2,т3) = (рХ1 ,рХ2,рХз) нестационарный градиент давления р(х1,х2,х3), [■,ш] — векторное произведение, где ш = (0, 0,ш) € К3, ш — двойная угловая скорость вращения, д = (д1,д2,д3) : К ^ К3,

дт1 дт2 дт3

V ■ т := ---+ ---+ -—.

дх1 дх2 дх3

Неизвестными вектор-функциями являются т и г. Набор (и, и) = (и,10,... , 1т—1) задаёт управление.

Обозначим Ь2 := (Ь2(П))3, С := {т € (С^П))3 : V • т = 0}, замыкание линеала С по норме пространства Ь2 обозначим через Н.. Это гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) пространства Ь2. Существует представление Ь2 = Н. ф Нп, где Нп — ортогональное дополнение к Н.. Обозначим через П : Ь2 ^ Нп ассоциированный с этим расщеплением ортопроектор.

Следуя подходу С. Л. Соболева [26], используем обобщённую постановку задачи (17)—(20), заменив уравнение несжимаемости (20) и граничное условие (18) на уравнение

Пш(-,*) = 0, г € (¿о,Т). (21)

Действительно, из плотности множества {V^ : ^ € С^(П)} в пространстве Нп и равенства

J (т, = J — J (V •

п дп п

для всех ^ € Сте(П) следует, что для т € Н1 := (Н1(П))3 совокупность двух условий (18) и (20) эквивалентна включению т(-,£) € Н., г € (г0,Т). Откажемся от ограничения т € Н1 и получим условие (21).

Очевидно, что оператор В : т ^ [т,ш], ш = (0, 0,ш), является непрерывным из Ь2 в Ь2, ||В|^(ь2) = |ш|. Введём обозначение В. := ВЕ.

Положим Е := I- П, Н2 := (Н2(П))3, Н. := Н2 ПН., X = Н. х Нп, У = Н. х Нп. Тогда задачу (17), (19), (21) можно задать в виде (5), (6) с помощью операторов (см. подробнее [27])

Ь =( 0 0) €С(Х; У), М ^ЕВ -/) €С(Х; У), N (г) = у(г),

где г = (т,г) € X, т € Н., г € Нп. В работе [27] показано, что оператор М (Ь, 0)-ограничен и проектор Р имеет вид

Р = ( иВ. 0 ) €С(Х).

Поэтому подпространство X1 = 1шР изоморфно пространству Н..

Рассмотрим задачу оптимального управления с ограничением на функции управления

т— 1

|2 , V1 11„. 112 ^ п2

Ы^оД^) + 1|1к 11Хт ^ Д2. (22)

к=0

Пространство (г0,Т; X) по определению имеет вид

£а>( := {(т,г) € Ст—1([г0,Т];Н. х Н) :

/ т—1 \

Лт—а т - £ т^У/т € ^т(г0,Т; Н.); ( к=0 / т— 1

Лт—а г - £ ^(¿0)^+1 € ^т(г0,Т;Нп)}. V к=0 /

При заданных (щ*, г^) € (¿0, Т; Н. х Нп), € ^(¿0, Т; Ь2), € Н., д > 1, 5 > 0 будем рассматривать целевой функционал

3(ш, г, м, 1) = ||ш - т-1([40,Т];Н|) + ||г — г^|Ст-1([*0,Т];Нп) +

+ ||Я> - Я^Н^ТН) + ||Двг - ВДЦ,(¿о,т;Нп)+ (23)

т— 1

+5||м - |¿2(40,Т;Ь2) + 5 Е К - ^ ПН ^ ^ .

Теорема 4. [28]. Пусть П — ограниченная область в с гладкой границей, у € Сте(П х Е^; Е), I > ¿/2, отображение Р действует по правилу Р(11,12,... ,1^) = ц(^), 12(^),..., ^0). Тогда Р € С~((Яг(П))^; Яг(П)).

С учётом проведённой редукции и следствия 1 получим следующее.

Теорема 5. Пусть 0 < а1 < т1 < т - 1 < а < т € N \ {1}, д > (а — т + 1)—1, у € Сте(Е; Е), производная у^ ограничена на Е, € Н., к = 0,1,..., т — 1; если а1 < т1, то 1т1+г = 0, г = 0,1,...,т1 — 1. Тогда существует единственное решение (и), Г, и, )0,..., 1т— 1) € (¿0,Т; X) х Мд задачи управления (17), (19), (21)—(23).

Доказательство. Для доказательства необходимо показать непустоту множества допустимых наборов. Заметим, что X1 = 1шР = {(1,г) € Н. х Нп : г = ПВ. V}. Следовательно, условия (17) эквивалентны обобщённым условиям Шоуолтера — Сидорова (6).

Кроме того, для всех г = (1,г) € X имеем Рг = (V, ПВ. V), V = Р1Рг, где Р1 проекция (1,г) ^ V. Поэтому N (г) = у(Р1Рг) := ^(Рг). По теореме 4 получим включение у € С~(Н2; Н2) С С~(Н.; Ь2), так как й = &шП = 3, I = 2 > 3/2 = ¿/2.

Оператор N является равномерно липшицевым, так как у' ограничена. Условие (14) выполнено, поскольку

||у(г)||ь2(п) < ||уМО) - уО, 0)||Мп) + ||у0, 0)|ь2(п) < < (^))г|Ь2(п) + ||У(•,0)|Ь2(п) < шах ^Ог^Ии^п) + НУ(•, 0)||Ь2(п).

Остаётся сослаться на лемму 1 [27], в которой показана (Ь, 0)-ограниченность оператора М, и следствие 1. □

Список литературы

1. Mainardi F. The time fractional diffusion-wave equations // Radiophysics and Quantum Electronics. 1995. Vol. 38. P. 13-24.

2. УчайкинВ.В. Метод дробных производных. Ульяновск : Артишок, 2008.

3. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. Boston : Academic Press, 1974.

4. СамкоС.Г., КилбасА. А., МаричевО.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987.

5. Bajlekova E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis, University Press Facilities, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, 2001.

6. Соболев С. Л. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. 1951. Т. 81, № 6. C. 1007-1009.

7. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М. : Физматлит, 2007.

8. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений соболевского типа с необратимым оператором при старшей производной // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обзоры. 2019. Т. 167. С. 34-41.

9. Фалалеев М. В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обзоры. 2020. Т. 183. С. 139-151.

10. WangJ.R., ZhouY. A class of fractional evolution equations and optimal controls // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2011. Vol. 12, no. 1. P. 262-272.

11. BaleanuD., Machado J. A. T., LuoA. C.J. Fractional dynamics and control. London, New York, Dordrecht, Heidelberg : Springer, 2012.

12. DebboucheA., Torres D.F.M. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2015. Vol. 18. P. 95-121.

13. Плеханова М. В. Сильные решения нелинейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка // Сиб. журн. чистой и приклад. математики. 2016. Т. 16, № 3. C. 61-74.

14. Plekhanova M. V., Baybulatova G. D. Semilinear equations in Banach spaces with lower fractional derivatives // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 2019. Vol. 292. P. 81-93.

15. Plekhanova M. V., Baybulatova G. D. Strong solutions of semilinear equations with lower fractional derivatives. Transmutation Operators and Applications, V. Kravchenko, S. Sitnik (eds). Trends in Mathematics. Cham, Birkhauser, 2020. Pp. 573-585.

16. Baybulatova G. D., Plekhanova M. V. An initial problem for a class of weakly degenerate semilinear equations with lower order fractional derivatives // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2021. Vol. 35. P. 34-48.

17. Плеханова М. В., Исламова А. Ф. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами // Изв. вузов. Математика. 2011. № 7. С. 37-47.

18. Плеханова М. В. Задачи стартового управления для эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2016. Т. 1, вып. 3. С. 16-37.

19. Plekhanova M. V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations // Materials Science Forum. 2016. Vol. 845. P. 170-173.

20. Шуклина А. Ф., Плеханова М. В. Задачи смешанного управления для системы Соболева // Челяб. физ.-мат. журн. 2016. Т. 1, вып. 2. С. 78-84.

21. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529539.

22. Sviridyuk G. A., FedorovV. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston : VSP, 2003.

23. Plekhanova M. V., Baybulatova G. D. On strong solutions for a class of semilinear fractional degenerate evolution equations with lower fractional derivatives // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2021. Vol. 44, no. 15. P. 11810-11819.

24. Плеханова М. В. Разрешимость задач управления для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2017. Т. 2, вып. 1. С. 5365.

25. ФурсиковА.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск : Науч. кн., 1999.

26. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. С. 3-50.

27. Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнениий дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12-22.

28. ХэссардБ., КазариновН., ВэнИ. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М. : Мир, 1985.

Поступила в 'редакцию 20.06.2022. После переработки 24.08.2022.

Сведения об авторах

Плеханова Марина Васильевна, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; профессор кафедры вычислительной механики, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Шуклина Анна Фаридовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Байбулатова Гузель Дамировна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 3. P. 287-300.

DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17303

MIXED CONTROL FOR DEGENERATE NONLINEAR EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES

M.V. Plekhanova1'2", A.F. Shuklina1b, G.D. Baybulatova1^

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "[email protected], [email protected], [email protected]

A class of problems of mixed control of systems is considered, the state of which is described by equations in Banach spaces that are not solvable with respect to the Gerasimov — Caputo highest fractional derivative and depend nonlinearly on lower-order fractional derivatives. The condition of 0-boundedness of a pair of operators in the linear part of the equation is used, which allows one to set the Schwalter — Sidorov initial conditions for the differential equation under study. The nonlinear operator is assumed to depend only on the elements of the subspace without degeneration. The objective functional in the mixed control problem is assumed to be convex, lower semicontinuous, and coercive, while the set of admissible controls is assumed to be non-empty, convex, and closed. A theorem on the existence of an optimal control is obtained. Abstract results are used in the study of the mixed control problem for the modified Sobolev equation of fractional order in time.

Keywords: optimal control, mixed control, fractional order equation, Gerasimov - Caputo derivative, nonlinear evolution equation, degenerate evolution equation.

References

1. MainardiF. The time fractional diffusion-wave equations. Radiophysics and Quantum Electronics, 1995, vol. 38, pp. 13-24.

2. UchaikinV.V. Metod drobnykh proizvodnykh [Fractional derivatives method]. Ulyanovsk, Artishok, 2008. (In Russ.).

3. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. Boston, Academic Press, 1974.

4. SamkoS.G., KilbasA.A., MarichevO.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. New York, Gordon and Breach, 1993.

5. Bajlekova E.G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis, University Press Facilities, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, 2001.

6. Sobolev S.L. Ob odnoy novoy zadache dlya sistem uravneniy v chastnykh proizvodnykh [On a new problem for systems of partial differential equations]. Doklady AN SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences], 1951, vol. 81, no. 6, pp. 1007-1009. (In Russ.).

7. Sveshnikov A.G., AlshinA.B., Korpusov M.O., PletnerYu.D. Lineynye i nelineynye uravneniya sobolevskogo tipa [Linear and nonlinear Sobolev type equations]. Moscow, Fizmatlit, 2007. (In Russ.).

8. Kozhanov A.I. Boundary value problems for Sobolev type equations with irreversible operator coefficient of the highest derivatives. Journal of Mathematical Sciences, 2022, vol. 260, no. 3, pp. 307-314.

The work is funded by the grant of the President of the Russian Federation to support leading scientific schools, project no. NSh-2708.2022.1.1.

9. FalaleevM.V. Obobshchyonnye resheniya vyrozhdennyh integro-differentsial'nykh uravneniy v banahovykh prostranstvakh [Generalized solutions of degenerate integro-differential equations in Banach spaces]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory [Results of science and engineering. Contemporary mathematics and its applications. Thematic reviews], 2020, vol. 183, pp. 139-151. (In Russ.).

10. WangJ.R., ZhouY. A class of fractional evolution equations and optimal controls. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, vol. 12, no. 1, pp. 262-272.

11. BaleanuD., Machado J.A.T., Luo A.C.J. Fractional dynamics and control. London, New York, Dordrecht, Heidelberg, Springer, 2012.

12. Debbouche A., Torres D.F.M. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2015, vol. 18, pp. 95-121.

13. Plekhanova M.V. Strong solutions to nonlinear degenerate fractional order evolution equations. Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 230, no. 1, pp. 146-158.

14. Plekhanova M.V., Baybulatova G.D. Semilinear equations in Banach spaces with lower fractional derivatives. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 2019, vol. 292, pp. 81-93.

15. Plekhanova M.V., Baybulatova G.D. Strong solutions of semilinear equations with lower fractional derivatives. Transmutation Operators and Applications, V. Kravchenko, S.Sitnik (eds). Trends in Mathematics. Cham, Birkhauser, 2020. Pp. 573-585.

16. Baybulatova G.D., Plekhanova M.V. An initial problem for a class of weakly degenerate semilinear equations with lower order fractional derivatives. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2021, vol. 35, pp. 34-48.

17. Plekhanova M.V., Islamova A.F. Solvability of mixed-type optimal control problems for distributed systems. Russian Mathematics, 2011, vol. 55, no. 7, pp. 30-39.

18. Plekhanova M.V. Start control problems for fractional evolution equations. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2016, vol. 1, no. 3, pp. 16-37.

19. Plekhanova M.V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations. Materials Science Forum, 2016, vol. 845, pp. 170-173.

20. Shuklina А.F., Plekhanova M.V. Mixed control problems for the Sobolev system. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2016, vol. 1, no. 2, pp. 78-84.

21. Gerasimov A.N. Obobshcheniye lineynykh zakonov deformatsii i ikh prilozheniye k zadacham vnutrennego treniya [Generalization of linear deformation laws and their applications to problems of internal friction]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathematics and mechanics], 1948, vol. 12, pp. 529-539.

22. Sviridyuk G.A., FedorovV.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, VSP, 2003.

23. Plekhanova M.V., Baybulatova G.D. On strong solutions for a class of semilinear fractional degenerate evolution equations with lower fractional derivatives. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2021, vol. 44, no. 15, pp. 11810-11819.

24. Plekhanova M.V. Solvability of control problems for degenerate evolution equations of fractional order. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2017, vol. 2, no. 1, pp. 53-65.

25. Fursikov A.V. Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications. American Mathematical Society, 1999.

26. Sobolev S.L. Ob odnoy novoy zadache matematicheskoy fiziki [On a new problem of mathematical physics]. Izvestiya AN SSSR. Seriya Matematicheskaya [News of USSR Academy of Sciences. Series mathematical], 1954, vol. 18, pp. 3-50. (In Russ.).

27. GordievskikhD.M., FedorovV.E. Solutions for initial boundary value problems for some degenerate equations systems of fractional order with respect to the time. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2015, vol. 12, pp. 12-22.

28. Hassard B.D., Kazarinoff N.D., WanU.-H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation. Cambridge, New York, Cambridge University Press, 1981.

Article received 20.06.2022. Corrections received 24.08.2022.