CC BY
40
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2020. Т. 5, вып. 1. С. 5-21.
УДК 517.955+517.956 Б01: 10.24411/2500-0101-2020-15101
ВОПРОСЫ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ И ПРИБЛИЖЁННОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ГЁЛЬДЕРОВОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
А. В. Авилович1'", Д. М. Гордиевских2'6, В. Е. Федоров1,3,с
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Шадринский государственный педагогический университет, Шадринск, Курганская обл., Россия
3Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия
"[email protected], ь[email protected], [email protected]
Исследуются вопросы однозначной разрешимости и приближённой управляемости линейных эволюционных уравнений дробного порядка, как разрешённых относительно дробной производной Римана — Лиувилля (невырожденных), так и содержащих необратимый оператор при ней (вырожденных). Предполагается, что оператор в правой части невырожденного уравнения или пара операторов в вырожденном уравнении порождает аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов соответствующего однородного уравнения. Получены новые результаты о разрешимости неоднородных уравнений таких классов с непрерывной по Гёльдеру функцией в правой части, которые позволили найти критерии приближённой управляемости вырожденной системы за фиксированное время, за свободное время, а также в случае систем с конечномерным входом. Начальное состояние вырожденной системы управления при этом задаётся условиями типа Шоуолтера — Сидорова. На основе полученных абстрактных результатов найден критерий приближённой управляемости распределённой системы управления, динамика которой описывается линеаризованной системой уравнений Навье — Стокса дробного порядка по времени.
Ключевые слова: дробная производная Римана — Лиувилля, аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов, вырожденное эволюционное уравнение, условие Гёльдера, приближённая управляемость.
1. Введение
Рассмотрим эволюционное уравнение дробного порядка
БЬх(г) = Мх(г) + /(г), г е (о,т], (1)
где X, У — банаховы пространства, Ь : ^ У, М : Бм ^ У — линейные замкнутые операторы, плотно определённые в пространстве X, т — 1 < а < т е N Б —
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, грант 19-41-450001, грант 19-3190008, поддержке Правительства РФ, акт 211, контракт 02.A03.21.0011.
производная Римана — Лиувилля, f : [0,Т] ^ У. Предполагается, что кегЬ = {0} (в таком случае уравнение называется вырожденным), а пара операторов (Ь, М) порождает аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов однородного уравнения (1). Ранее в работе [1] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи типа Шоуолтера — Сидорова
Ва-ш+кЬх(0)= ук еУ, к = 0,1,... ,т — 1, (2)
для уравнения (1) и получен вид решения задачи (1), (2). Для этого сначала исследована задача типа Коши щ-т+кг(0) = гк, к = 0,1,... ,т — 1, для соответствующего разрешённого относительно дробной производной уравнения
Щг(1) = Аг(1) + д(г) (3)
с линейным замкнутым оператором А, порождающим аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов однородного уравнения = Аг(Ь). Важно при этом использовать по возможности наименее обременительные условия на гладкость функции д. В работе [1] было использовано условие непрерывности в норме графика оператора А. В приложениях к уравнениям в частных производных такое условие означает большую гладкость д по пространственным переменным, чем в случае её непрерывности в обычной норме. Одной из главных целей данной работы является отказ от не очень удобного условия непрерывности в норме графика и тем самым ослабление условия на функцию д в смысле гладкости по пространственным переменным за счёт усиления требований к её гладкости по времени. Такая цель была достигнута путём использования условия гёльдеровости функции д по переменной г. Полученная теорема об однозначной разрешимости задачи типа Коши для уравнения (3) с гёльдеровой функцией д позволила соответствующим образом модифицировать и результаты о существовании единственного решения задачи (1), (2).
Условия однозначной разрешимости задачи (1), (2) используются при исследовании приближённой управляемости системы управления вида
даЬх(г) = Мх(г) + в(г)и(г) + f (г), г е (0,Т], (4)
где В : [0,Т] ^ С(Ы; У), Ы — некоторое банахово пространство, и : [0,Т] ^ Ы — функция управления. Начальное состояние вырожденной системы управления при этом задаётся условиями типа Шоуолтера — Сидорова. В [2] авторами были получены критерии приближённой управляемости системы (4) на основе результатов [1], использующие условие непрерывности по норме графика неограниченного оператора функций в правой части уравнения. В данной работе аналогичные результаты получены при условии гёльдеровости функций в правой части уравнения, которое проще проверяется в приложениях. Получены критерии в терминах операторов из уравнения для приближённой управляемости вырожденной системы (4) за фиксированное и за свободное время. Они использованы, в частности, при рассмотрении вырожденных систем управления с конечномерным входом. На основе полученных абстрактных результатов найден критерий приближённой управляемости распределённой системы управления, динамика которой описывается линеаризованной системой уравнений Навье — Стокса дробного порядка по времени.
Вопросы управляемости различных классов вырожденных (кег Ь = {0}) систем вида (1) порядка а =1 исследовались в работах [3-9]. Для вырожденных систем дробного порядка а > 0 с производной Герасимова — Капуто при условии
(L, p)-ограниченности оператора M, гарантирующем существование аналитического в разрезанной плоскости разрешающего семейства операторов вырожденного уравнения, критерии приближённой управляемости получены в [10-12]. Случай производной Герасимова — Капуто и пары операторов (L,M), порождающей аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов, как в данной работе, исследован в работе [13].
2. Разрешимость невырожденной задачи типа Коши
Введём обозначения gв(t) := te-1 /Г(в) при t > 0, в > 0,
t
Jteh(t) := (дв * h)(t) :=r^j(t — s)e-1h(s)ds.
0
При m — 1 < a < m G N обозначим через D'à производную Римана — Лиувилля, т.е. Dah(t) := D]n Jtn-a h(t), где Dm — обычная производная порядка m.
Пусть Z — банахово пространство, L(Z) — банахово пространство всех линейных непрерывных операторов, действующих из Z в Z, Cl(Z) — множество всех линейных замкнутых плотно определённых в Z операторов, действующих в Z. Через Da будем обозначать область определения оператора A G Cl(Z), снабжённую нормой его графика.
Будем говорить, что оператор A принадлежит классу Aa(в0, a0) при некоторых a > 0, в0 G (п/2,п), a0 > 0, если оператор A G Cl(Z) удовлетворяет следующим условиям:
(i) при всех A G SQo,ao := [ц G C : | arg(^ — a0)| < в0,ц = a0} выполняется включение Aa G p(A) := [ц G C : (цI — A)-1 G L(Z)};
(ii) для всех в G (п/2,в0), a > a0 существует такое K = K(в, a) > 0, что при любом A G SQa
-i„ / K (в,a)
\\(ÀaI - A)-1||L(Z) <
|Àa-1 (A - a)
Замечание 1. При a G (0, 2) оператор A G Cl(Z) удовлетворяет условиям (i) и (ii), если и только если существует аналитическое в секторе := {t G C : | argt| < в0 — n/2, t = 0} экспоненциально ограниченное разрешающее семейство операторов линейного однородного уравнения D'O'z(t) = Az(t) (см. теорему 2.14 [14], а также её более общий вариант [15]).
Замечание 2. По теореме Соломяка — Иосиды оператор A принадлежит классу А1(в0,а0) тогда и только тогда, когда порождает аналитическую в секторе полугруппу операторов [16; 17]. При этом оператор A называется секториальным.
Лемма 1. [1]. Пусть a > 0, A G Аа(в0,ао), Г := 0Sa,e при некоторых в G (п/2,в0), а > а0. Тогда при каждом ß G R семейство операторов
Zß(t) := ^ J ßa-1+ß(ßaI — A)-1 e^dß G L(Z) : t> 0
допускает аналитическое продолжение в сектор . При этом для любых в G (п/2,в0), а > а0 существует такое Cß = Cß(в, а), что при всех t G
\\Zß(t)||L(z) < Cß(в,а)еаКе'(Щ-1 + d)ß, ß > 0, (5)
< Св(в,а)еаКег\Ь\—в, в< 0. (6)
Замечание 3. Можно показать, что если оператор А ограничен в пространстве Я, то (Ь) = ЬвЕа,в+1(ЬаА), где Еа,в+1 — функция Миттаг-Лёффлера.
Рассмотрим задачу типа Коши
Ва-ш+кг(0) = гк, к = 0,1,... ,т — 1, (7)
для неоднородного уравнения
Баг(Ь) = Аг(Ь) + /(Ь), Ь € (0,Т], (8)
где А € Ла(во, ао), Т > 0, / € С([0,Т]; Я). Решением задачи (7), (8) называется такая функция г € С ((0, Т]; Вд), для которой дт—а * г € Ст-1([0,Т]; Я) П Ст((0,Т]; Я) и выполняются равенства (7) и (8) при всех Ь € (0,Т]. Здесь и далее г(0) := ^Иш г(Ь) в Я.
Через С1 ([0,Т]; Я), 7 € (0,1], будем обозначать множество таких функций / : [0,Т] ^ Я, что для некоторого С > 0 и для всех Ь,в € [0,Т] выполняется неравенство ||/(Ь) — /(з)||я < С\Ь — в\7, при этом по определению
||/(¡0,Т];Я) = II/( ) /(
ме[о,т] \Ь — в\
1
Теорема 1. Пусть а > 0, А € Ла(во,ао), / € С7([0,Т]; Я), 7 € (0,1]. Тогда при любых гк € Вк = 0,1,... ,т — 1, существует единственное решение задачи (7), (8). При этом оно имеет вид
1 г
т- 1
г (Ь) — ^ ^ %т—а—к (фк + а(г — в)/(в)дв. (9)
к=0 о
т— 1
Доказательство. В [1] доказано, что сумма ^ %т—а—к(Ь)гк при гк € Вд, к =
к=0
0,1,... , т— 1, является решением задачи типа Коши (7) для однородного уравнения
В^Ь) = Аг(Ь).
г
Обозначим Zf (Ь) := / а(Ь — в)/(в)дв. Для а > 1 в силу (6) 'а(0) =
о
а+к(0) = 0 для всех к = 0,1,... ,т — 2, так как а — к > 1. Поэтому при а > 0, к = 0, 1 , . . . , т - 1
г
Лк)(Л_ [ ~(к)
%(к)(Ь) = я»а(1 — в)/Шв.
о
В силу (5) при в € (п/2, во), а > ао
Ц^Нт < Ь шах ^т—^Шсю пшх ||/(в)||* <
< Ст—а(в, а)еаЧа+1—т(1 + аЬ)т—аЦ/||с([ода) ^ 0 при Ь ^ 0 + . Так как
А%1—а(Ь) = [ А(^а1 — А)-= [ »а(^I — А)-=
2пг I 2пг I
то imZi—a(t) С DA при t > 0. Более того, при е > 0
t — £ t—£ t — £ í AZi-a(t - s)f (s)ds = í Zi(t - s)(f (s) - f (t))ds + í Z^(t - s)f (t)ds
t— £
= J Zi(t - s)(f (s) - f (t))ds + (Z0(t) - Z0(e))f (t). (10)
o
Из условий на f и неравенств (5) следует, что \\Zl (t - s)(f (s) - f (t))\\z < C\t - s\Y—i, поэтому Zf (t) E Da и выражение (10) стремится к
tt
У Zi(t - s)(f (s) - f (t))ds + (Zo(t) - I)f (t) = AZf (t) 0
при е ^ 0+. Кроме того, AZf (t) ^ 0 при t ^ 0+. Таким образом, Zf E C ([0, T]; DA). Здесь использован тот факт, что lim Z0(t) = I (см., например, [14; 18]).
Через h обозначим преобразование Лапласа функции h. Определим Zp и f нулём вне отрезка [0, T], тогда Zf = Zi—a * f является свёрткой, поэтому Zf = Zi—af. При ReÀ > а0
t Ai
Z = J (»aI - A)—ie^d»dt = 2~J (V"I - A)—id» = (A), or г
следовательно, Zf = R\a (A)f на полуплоскости {À E C : ReÀ > а0}. Как в [1], легко может быть доказано, что Da—m+kZf (0) = 0, k = 0,1,... ,m - 1. Используя формулу преобразования Лапласа для производной Римана — Лиувилля (см., например, [17]), получим
m— i
D?Zf = ÀaZf - £ ÀlDrm+lZf(0) = ARXa (A)f + f = AZf + f = AZf + f. 1=0
Действуя на обе части этого равенства обратным преобразованием Лапласа, получим, что Zf является решением задачи (7) с Zk = 0, k = 0,1,... ,m - 1, для уравнения (8) и (9) — решение общей задачи (7), (8).
Если существует два решения zi и Z2 задачи (7), (8), то их разность z = Zi - Z2 является решением задачи (7) с zk = 0, k = 0,1,... ,m - 1, для уравнения D'àz(t) = Az(t). Действуя преобразованием Лапласа на обе части этого равенства, получим Dfz = Àaz = Az, следовательно, z = 0 на {À E C : ReÀ > а0}, так как A E Aa(00,a0). Таким образом, z(t) = 0. □
Замечание 4. Аналогичный результат для задачи Коши для уравнения вида (8) с дробной производной Герасимова — Капуто получен в работе [19]. Для уравнения (8) с функцией f E C([0,T]; Da) случай с производной Римана — Лиувилля и условиями типа Коши исследован в [1], с производной Герасимова — Капуто и условиями Коши — в [18; 20].
3. Разрешимость задачи типа Шоуолтера — Сидорова
Пусть X, Y — рефлексивные банаховы пространства, L(X; Y) — банахово пространство линейных непрерывных операторов из X в Y, C/(X; Y) — множество всех линейных замкнутых плотно определённых в X операторов, действующих в пространство Y. В предположении, что L,M G C/(X; Y), ker L = {0}, множество точек ß G C, для которых оператор ßL — M : Dl П Dm ^ Y инъективен и при этом (ßL — M)-1L G L(X), L(ßL — M)-1 G L(Y), называется L-резольвентным множеством pL(M) оператора M. Обозначим R^(M) := (ßL — M)-1L, L^(M) := L(ßL — M )-1.
При а > 0, L,M G C/(X; Y) будем говорить, что пара операторов (L,M) принадлежит классу На(в0,а0), если
(i) существуют такие в0 G (п/2,п) и ао > 0, что при всех Л G Se0,aa выполняется Аа G pL(M);
(ii) при всех в G (п/2,в0), а > а0 существует такая константа K = K(в, а) > 0, что для любого А G Sea
max {||RALa(M)||l(*), ||LL«,(M)||£W} < ^^ ^а)|.
Замечание 5. Если существует обратный оператор L-1 G L(Y; X), то (L,M) G На(в0,а0) в том и только в том случае, когда L-1M G Aa(в0,а0) и ML-1 G Аа(во,ао).
Будем использовать обозначения ker L = ker R^(M) := X0, ker LL(M) := Y0. Через X1 (Y1) обозначим замыкание образа imR^M) (imL^M)) в норме пространства X (Y), а через Lk (Mk) — сужение оператора L (M) на DLk := DL П Xk (DMk := DM П Xk), k = 0,1. Как и прежде, будем использовать контур Г := 3Sa,e при некоторых в G (п/2, в0), а > а0.
Теорема 2. [21; 22]. Пусть банаховы пространства X и Y рефлексивны, (L,M) G На(в0,а0). Тогда
(i) X = X0 ®X1, Y = Y0 Ф Y1;
(ii) проектор P (Q) на подпространство X1 (Y1) вдоль X0 (Y0) имеет вид P = s- lim nRL(M) (Q = s- lim nLLL(M));
n^-те n^-те
(iii) L0 = 0, M0 G C/(X0; Y0), L1, M1 G C/(X1; Y1);
(iv) существуют операторы L-1 G C/(Y1; X1), M—1 G L(Y0; X0);
(v) Vx G Dl Px G Dl и LPx = QLx;
(vi) Vx G Dm Px G Dm и MPx = QMx;
(vii) если S := L-1M1 : DS ^ X1, то DS := {x G DMl : M1x G imL1} плотно в пространстве X;
(viii) если V := M1L-1 : DV ^ Y1, то DV := {y G imL1 : L-1y G DMl} плотно в пространстве Y;
(ix) если L1 G L(X1; Y1) или M1 G L(X1; Y1), то S G Aa(в0, а0);
(x) если L-1 G L(Y1; X1) или M-1 G L(Y1; X1), то V G А«(в0,а0);
(xi) семейства операторов
Xß (t) = ^ f ßa-1+ßRLßa (My^dß G L(X) : t> 0 ¡> , ß G R,
Ув(г) = 2^1 ^а-1+в^ (Ме С(у): г> 0, в е к,
аналитически продолжимы в сектор . При любых в е (п/2,в0), а > а0 существует такое Ор = Ор(в, а), что для каждого г е
шах{\\Хр(1)\\ЦХ), \\УрШцу)} < Ов(в, а)еаКеЬ(Щ-1 + а)в, в > 0, (11)
тах{\\Хр(1)\\ЦХ), \\УрШцу)} < Ов(в,а)еа^Щ-в, в< 0. (12)
Решением вырожденного (кег Ь = {0}) уравнения
Б?Ьх(г) = Мх(г) + !(г), г е (0,Т], (13)
с заданным f е О([0, Т]; У) называется х е О((0,Т]; Бм), для которого дт-а * Ьх е 0т((0,Т]; У) и при всех Щ е (0,Т] выполняется равенство (13). Решением задачи типа Шоуолтера — Сидорова
Ба-т+к Ьх(0) = ук, к = 0,1,...,ш — 1, (14)
для уравнения (13) называется такое решение х этого уравнения, что дт-а * Ьх е От-1 ([0,Т]; X) и выполняются начальные условия (14).
Замечание 6. Условия (14) являются естественными для слабо вырожденных уравнений, когда подпространство вырождения X0 совпадает с ядром кег Ь оператора Ь при производной.
Теорема 3. Пусть банаховы пространства X и У рефлексивны, (Ь, М) е Па(ао,во), Ь1 е С(Ху1) или Мх е С(Х^ У1), Qf (г) е \шЬ при г е [0,Т], Ь-1Qf е С([0,Т]; X1), 7 е (0,1], (I — Q)f е О((0,Т]; У), Ук е Ь1[Бь-1М1 ], к = 0,1,...,т — 1. Тогда существует единственное решение задачи (13), (14), при этом оно имеет вид
1 * т- 1
х(г) = ^ Хт-а-к (г)Ь--1ук + Х1-а(г — s)ь-1Qf (в)(в — м-1(1 — Q)f (г). (15) к=0 о
Доказательство. Обозначим х0(г) := (I— Р)х(г), х1(г) := Рх(г). Согласно теореме 2 уравнение (13) редуцируется к системе двух уравнений
0 = х0(г) + м0-1(1 — Q)f (г),
б^1® = Бх1(г) + ь-1Qf (г). (16)
При Ь1 е С(X^ У1) или М1 е С(X^ У1) по теореме 2 ^х) 5 е Аа(в0,а0), поэтому в силу теоремы 1 существует единственное решение задачи типа Коши Б<а-т+кх1(0) = Ь-1ук, к = 0,1,... ,т — 1, для уравнения (16), при этом
1 * т- 1
х1(г) = ^ ^т-а-к (г)Ь^Ук + Zl-а(t — s)Ь-1Qf (в) ¿в,
к=0 0
а в силу очевидного равенства Я^а (Б) = Я^к(М1)
Zm-а-k (г) = — I ^т-1-к Яца = Хт-а-к (Щ)]1х 1,
— s)L-1Qf (в) = Хг-а(г — в)1—1 <2/(в). Таким образом, х(Ь) = х1^) — М-1(/ — <)/(¿) имеет вид (15). □
Теорема 4. Пусть банаховы пространства X и У рефлексивны, М) е Па(а0,е0), L-1 е ¿(У1; X1) или М-1 е ¿(У1; X1), е С([0,Т); У1), 7 е (0,1], (I — <)/ е С((0,Т]; У), ук е 0М1Ь-1, к = 0,1,... ,т — 1. Тогда существует единственное решение задачи (13), (14), при этом оно имеет вид (15).
Доказательство. Вместо уравнения (16) запишем уравнение
в%у(1) = Vy(t) + (г), (17)
где у(г) = L1x1(t). Согласно теореме 2 (х) в случае L—1 е £(У1; X1) или М-1 е £(У1; X1) имеем V е Аа(в0,а0), следовательно, существует единственное решение задачи типа Коши щ—т+ку(0) = ук е Оу, к = 0,1,... ,т — 1, для уравнения (17). Её решение имеет вид
1 * т—1 г.
у (г) = ^2 ^т—а—к (г)ук + Zl—a(t — в)</(в) ¿в = к=0 0
т—1 К
= Ll^2 Хт—а—к (t)L— 1ук + Ll Х1—а(г — s)L—1Qf (в) ¿в,
к=0
где
2в(г) = I ^а—1+в(Т= ¥в(г)\у1 = LlXв(t)L—1
Г
в силу равенств К^а (Т) = (М1) = L1RL¿ (M1)L—1 и замкнутости L1. □
Замечание 7. Теоремы об однозначной разрешимости задачи типа Коши Щ—т+кж(0) = хк, к = 0,1,...,т — 1, для уравнения (13) могут быть получены дословным повторением рассуждений из доказательств теорем 3, 4, но при этом возникнут дополнительные условия согласования оа—т+к\К=о(1 — Р)М—1(1 — <)/(t) = — (I — Р)хк, к = 0,1,... ,т — 1, необходимые для разрешимости такой задачи.
Замечание 8. Аналогичные теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для уравнения вида (13) с дробной производной Герасимова — Капуто доказаны в работе [13]. Для уравнения (13) результаты с использованием непрерывности правой части по норме графика оператора L—1М1 или M1L—1 случай с производной Римана — Лиувилля и условиями типа Шоуолтера — Сидорова исследован в [1], а задача Шоуолтера — Сидорова для уравнения (13) с производной Герасимова — Капуто — в работе [20]. В [13] и [20] исследована также задача Коши, а в [1] — задача типа Коши для (13).
4. Критерии приближённой управляемости вырожденной системы
Известно, что задача Коши (или типа Коши в случае производной Римана — Лиувилля) для вырожденного уравнения (4) является переопределённой и требует согласования правой части уравнения с начальными данными. Поэтому в работах [3-12] при исследовании вопросов приближённой управляемости много усилий было
приложено для того, чтобы доказать существование нужной функции управления, удовлетворяющей дополнительным условиям согласования с выбранными начальными данными Коши (типа Коши). В работах [2; 13] было замечено, что такие проблемы не возникают, если в качестве условий, определяющих исходное состояние управляемой системы, использовать условия Шуолтера — Сидорова (типа Шоуол-тера — Сидорова) в случае производной Герасимова — Капуто (Римана — Лиувил-ля). Исследование вопросов приближённой управляемости вырожденной системы в таком случае существенно упрощается, поэтому в данной работе также будут использованы условия типа Шоуолтера — Сидорова для определения начального состояния вырожденной системы управления.
Часто удобнее при исследовании приближённой управляемости использовать теорему 4, поскольку в целом её условия несколько менее обременительны, чем условия теоремы 3 (см. аналогичную ситуацию в [2; 13]). Однако для этого необходимо выполнение условия L—1 е £(У1; X1) (условие М—1 е £(У1; X1) не даёт результата при доказательстве теоремы 5, см. далее). Если это условие не выполняется, как в рассматриваемом в завершении этой работы приложении, необходимо пользоваться условиями теоремы 3, что и будет здесь сделано.
Далее X, У — рефлексивные банаховы пространства, Ы — банахово пространство, ^,М) е Яа(0о,ао). Обозначим через С([0,Т]; £(и; У)) при 7 е (0,1]
ч
линейное пространство всех оператор-функций В е С([0,Т]; £(и; У)), для которых \rnQB(¿) С imL при t е [0,Т], L—1QB е С7([0,Т]; £(и; У)). Аналогично
С^ ([0,Т]; У) при 7 е (0,1] — множество всех д е С([0,Т]; У), для которых ь1 4
е imL при t е [0,Т], L—1Qg е С ([0,Т]; У).
Далее всегда предполагается, что В е СТт-1 ([0, Т]; £(и; У)), д е С1 ([0, Т]; У)
ь1 ч ь1 ч
при некотором 7 е (0,1]. Функции управления м(-) для системы, описываемой задачей типа Шоуолтера — Сидорова
Ба—т+к Lж(0) = ук, к = 0,1,...,т — 1, (18)
DаLx(t) = Мх(^) + В^и^) + д($, (19)
будут выбираться из пространства С1 ([0,Т];и), поэтому Ви е С1ь-1 [0,Т]; У.
По теореме 2 задача (18), (19) при ук е imL, к = 0,1,... ,т — 1, может быть редуцирована к начальной задаче
Оа—т+кх1(0) = L—1ук, к = 0,1,... ,т — 1, (20)
для системы уравнений
Оах1^) = Бх1^) + L—1 <В (^и^) + L—1Qg(t), (21)
x0(t) = —Мо—1(1 — Q)(B (t)u(t) + g(t)) (22)
на подпространствах X1 и X0 соответственно. Здесь Б = L—1М1 е €1^1), х1^) = Px(t), х0^) = (I — Р)х(0.
Обозначим через х(Т; у; и) значение в момент времени Т решения задачи (18), (19) с начальными данными у = (у0,у1,... ,ут—1) в (18) и с функцией управления и в правой части уравнения (19). Через х1(Т; у; и) будем обозначать значение в момент Т решения подсистемы, описываемой соотношениями (20), (21). Наконец, через х0(Т; и) обозначим значение при t = Т функции (22).
Система (19) называется приближённо управляемой за время T > 0, если для всех е > 0, y = (y0,y1,... ,ym-1) E (L[DS})m в (18), x E X найдётся такое u E CY([0,T];U), что \\x(T; y; u) — x\\X < е.
Система (21) называется приближённо управляемой за время T > 0, если при любых е > 0, X1 E X1, y = (y0,y1,... ,ym-i) E (L[DS])m в (20) существует такое u E CY([0,T]; U), что \\x1(T; y; u) — frWxi < е.
Система (22) называется приближённо управляемой за время T > 0, если при любых е > 0, x° E X0 существует такое u E CY([0,T]; U), что выполняется неравенство \\x0(T; u) — x°\\xо < е.
Аналогично определяется приближённая управляемость за свободное время. Система (19) называется приближённо управляемой за свободное время, если для любых е > 0, x E X, y = (y0,y1,... ,ym-1) E (L[DS])m в (18) существуют T > 0 и функция управления u E CY([0,T]; U), такие, что \\x(T; y; u) — x\X < е.
Теорема 5. Пусть (L,M) E Ha(6o,ao), Lx E L(X Y1) или Mx E L(X Y B E Cl-iQ([0,T]; L(U; Y)), g E C'Y-1q([0,T]; Y)• Тогда система (19) приближённо управляема за время T (за свободное время), если и только если подсистемы (21) и (22) приближённо управляемы за время T (за свободное время).
Доказательство• Нетривиальным является только утверждение о приближённой управляемости всей системы при условии приближённой управляемости её подсистем. Рассмотрим сначала понятие приближённой управляемости за время T. Пусть
vx° EX0 Уе> 0 Bu0 E C1 ([0,T]; U) \\-M-\l — Q)(B(T)u0(T) + g(T)) — x0||X < е/3,
Vy E (L[Ds])m Vx1 EX1 Vе> 0 Bu1 E CY ([0,T]; U) \\x1(T; y; u1) — xiY < е/3.
Выберем новую функцию управления u, для которой u(t) = u1(t) для t E [0, 8] при некотором 8 E (T/2,T) и u(t) = u1(8) + v(t — 8)Y при t E (8,T],
_ u0(T) — u1 (8) V = (T — 8)Y .
Тогда u E C1 ([0,T];U), u(T) = u0(T),
u(t) = u1 (8) + {u°(T) — u1(8)) , t E (8,T],
\\u(t)\\u < C := 2 max \\u\t)\\u + \\u0(T)\\u, t E [0,T],
te[0,T]
где C не зависит от 8. Возьмём достаточно малое T — 8 > 0, х E X, тогда при x0 = (I — P)x, xl = Px в силу (15)
\\x(T; y; u) — x\\X < \\x0(T; u0) — x°\\X + \x1(T; y; u1) — xl\\X +
T
+ \\x1(T; y; u) — x1(T; y; u1)\\x < 2е/3 + C J \\X1-a(T — s)L-1QB(s)\\c{u;X )ds < е.
s
В силу неравенства (11) при a E (0,1] и неравенства (12) при а > 1 последний интеграл можно сделать сколько угодно малым по норме при достаточно малом T 8.
Утверждение о приближённой управляемости за свободное время доказывается так же, как предыдущаее утверждение. При построении новой функции управления надо взять время T управления невырожденной подсистемой (21) (в данном случае это время для подсистем разное). □
Рассуждая, как в работе [2], в которой использовался другой класс функций управления, нетрудно получить критерии приближённой управляемости за фиксированное и за свободное время вырожденной системы управления.
Теорема 6. Пусть (L, M) е Яа(в0,а0), L1 е L(X1; Y^ или M1 е L(X1; Y1), B е CY - 1Q([0,T]; L(U; Y)), g е C[-iQ([0,T]; Y), 7 е (0,1]. Тогда
(i) система (19) приближённо управляема за время T, если и только если
ГЕМ0-1(/ - Q)B(T) = X0, span(imXi_«(T - s)L-1QB(s) : 0 <s<T} = X1;
(ii) система (19) приближённо управляема за свободное время, если и только если
\JimMo-1(/ - Q)B(T) = X0,
__T>0
U span{imX1-a(T - s)L-1QB(s) : 0 <s<T} = X1.
T>0
Пусть заданы bi : [0,T] ^ Y, i = 1, 2,... ,n. Рассмотрим систему управления
n
D%Lx(t) = Mx(t) + ^ bi(t)ui(t) + g(t), (23)
i=1
где ui : [0,T ] ^ R, i = 1,2,...,n, являющуюся частным случаем системы
n
(19) при U = Rn, u = (щ,щ,... ,un), B(t)u(t) = bi(t)ui(t). Такие системы
i=1
управления называются системами с конечномерным входом. Функции управления u = (u1,u2,..., un) будут выбираться из CY([0, T]; Rn), 7 е (0,1]. Из теоремы 6 сразу получим следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть (L, M) е Яа(в0,а0), Lx е L(X1; Y1) или Mx е L(X1; Y1), bi е CL - iQ([0, T ]; Y), i = 1, 2,... ,n, g е CL - iQ([0, T ]; Y), 7 е (0,1]. Тогда
(i) система с конечномерным входом (23) приближённо управляема за время T, если и только если справедливы равенства
span {(I - Q)bi(T) : i =1, 2,...,n} = Y°,
span{X1-a(T - s)L_1Qbi(s) : 0 <s<T,i =1, 2,...,n} = X1;
(ii) система с конечномерным входом (23) приближённо управляема за свободное время, если и только если
У span {M0-1(I - Q)bi(T) : i = 1, 2,...,n} = X0,
T>0
У span{X1-a(T - s)L-1Qbi(s) : 0 <s<T,i = 1, 2,...,n} = X1
T>0
Замечание 9. Из следствия 1 видно, что если система (23) приближённо управляема за время Т > 0, то размерность подпространств X0 и У0 не больше п. В таком случае М0 е ¿(X0; У0).
5. О приближённой управляемости линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса дробного порядка по времени
Рассмотрим систему управления, описываемую соотношениями
Ва-ш+к 0)= тк х е к = 0, !,...,т - 1 (24)
w(x, г) = 0, (х, г) е дП х (0, Т], (25)
п^(х,г) = иАт(х,г) — г(х,г) + Ь(х,г)п(х,г), (х,г) е п х (0,Т], (26)
V- w(x,t) = 0, (х,г) е П х (0,Т]. (27)
Здесь П С Кп — ограниченная область с гладкой границей дП, V > 0. Неизвестны вектор-функции скорости = (/ш\,/ш2,... , wn) и градиента давления г = (п,Т2,... ,тп) = Vp.
Замечание 10. При а =1 система уравнений (26), (27) является линеаризованной системой уравнений Навье — Стокса.
Введём обозначения Ь2 := (Ь2(П))п, И1 := (Ж21(П))п, Н2 := (Ж>2(П))п Замыкание линеала С := {V е (С^°(П))п : V ■ V = 0} в норме пространства Ь2 обозначим через Н2, а в норме Н1 — символом Н. Также будем использовать следующие обозначения: Н?а := Н П Н2, Нп — ортогональное дополнение к Н2 в Ь2, Е : Ь2 ^ Н2, П = I — Е — соответствующие ортопроекторы.
Оператор А := ЕД, продолженный до замкнутого оператора в пространстве Н2 с областью определения Н?а, имеет действительный отрицательный дискретный конечнократный спектр, сгущающийся только на —то [23]. Обозначим через {\к} собственные значения этого оператора, занумерованные по невозрастанию с учётом их кратности. Ортонормированная система соответствующих собственных функций } образует базис в Н2 [23]. Положим
X := Н2 х Нп, У := Ь2 = Н2 х Нп, (28)
Ь := (0 0)е ;У>■ м := (/иД -°1)е ;У) (29)
Тогда х(г) := (/ш(-,г),г(-,г)) е X. Заданная функция Ь е С1 ([0,Т];Ь2), 7 е (0,1], определяет оператор, действующий на функции управления и е С1 ([0,Т]; Ь2(П)). При этом и := Ь2(П). Если же рассматривать функции управления и не зависящими от х, т. е. вместо уравнения (26) рассматривать уравнение
я^(х,г) = vДw(x,t) — г(х,г) + Ь(х,г)и(г), (х,г) е п х (0,Т), (30)
с и е С1 ([0,Т]; К), то (25), (27), (30) — система управления с одномерным входом,
и := К.
Лемма 2. [1]. Пусть V > 0, пространства X и У имеют вид (28), а операторы Ь и М определены формулами (29). Тогда (Ь,М) е На(в0,а0) при некоторых в0 е (п/2,п), ао > 0, при этом проекторы Р и О имеют вид
Р = ( 1 ° ) О = ( 1 ° Р У VПД ° ) , О У ° °
Замечание 11. Из вида проекторов Р, О следует, что X0 = кег Р = {0} х Нп, X1 = 1шР = {(г, vИДz) : г е Н}, У0 = кег О = {0} х Н, У1 = = Н х {0}. Отсюда в частности следует, что (24) — условия Шоуолтера — Сидорова.
Замечание 12. Очевидно, что в данном случае Ь1, М1 Е С(Х1; У1). Можно показать также, что М-1 Е С(У; X). Оператор Ь- не является непрерывным из У1 в X1 как обратный оператор для оператора вложения из Н2 в Н2.
Отсюда сразу видно, что система (25), (27), (30) не является приближённо управляемой за заданное время в силу замечания 9. Аналогичные соображения в данном случае справедливы и для системы (25)-(27), которая, таким образом, также не является приближённо управляемой за заданное время.
Теорема 7. Пусть V > 0, Ь Е ([0,Т]; Ь2), ЕЬ Е ([0,Т]; Н), 7 Е (0,1]. Тогда система с одномерным входом (25), (27), (30) является приближённо управляемой за свободное время в том и только в том случае, когда выполняются следующие два условия:
(1) множество {ПЬ(-,Т) : Т > 0} плотно в Нп;
И) [ ] враиУ^(Т - в)а 1Еа,а(р\к(Т - в)а){Ь(-,в),^к:)^к плотно в Н
Т>0
к=1
Для приближённой управляемости за свободное время системы (25)-(27) усло-
вия (1), (11) являются достаточными.
Доказательство. Пусть (■, ■) — скалярное произведение в Ь2. В работе [1] получены равенства
(
(М)
Е
к=1
{•,<Рк )<Рк
О
\
VПА Е Ч^т О
1
2Пг
»а - vXk
^ Еа,а О ,
к=1
из которых следует, что
Х1-а(Т - в)Ь-1 ЯБ(в)
Е (Т - в)а-1Еа^\к(Т - в)а)(Ь(■, в),<рк)<Рк
к=1
Осталось сослаться на замечание 11 о виде подпространств X0 и X1.
О
vПА¿2(T - з)а-1Еа^\к(Т - в)а)(Ь^в),рк)<Рк О к=1
□
Замечание 13. Если в (26) взять Ь Е С7([0,Т]; Ь2(П)), 7 Е (0,1], Ы := Ь2, и Е С1 ([0,Т]; Ь2), то система (25)-(27) будет приближённо управляемой при менее ограничительных условиях. В частности её вырожденная подсистема приближённо управляема за фиксированное время Т, если Ь-1 Е Ь2(&).
Список литературы
1. Федоров, В. Е. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной Ри-мана — Лиувилля в секториальном случае / В.Е.Федоров, А.С.Авилович // Сиб. мат. журн. — 2019. — Т. 60, № 2. — С. 461-477.
2. Федоров, В. Е. Критерий приближенной управляемости одного класса вырожденных распределенных систем с производной Римана — Лиувилля / В.Е.Федоров, Д. М. Гордиевских, Д. Балеану, К.Таш // Мат. заметки Сев.-Вост. федер. ун-та. — 2019. — Т. 26, № 2. — С. 41-59.
3. Федоров, В. Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами / В.Е.Федоров, О.А.Рузакова // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 7. — С. 54-57.
4. Федоров, В. Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В.Е.Федоров, О.А.Рузакова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 8. - С. 1137-1139.
5. Федоров, В. Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В.Е.Федоров, О.А.Рузакова // Мат. заметки. — 2003. — Т. 74, вып. 4. — С. 618-628.
6. Рузакова, О. А. Об е-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховых пространствах / О. А. Рузакова, В. Е. Федоров // Вычислит. технологии. — 2005. — Т. 10, № 5. — С. 90-102.
7. Федоров, В. Е. Полная нуль-управляемость вырожденных эволюционных уравнений скалярным управлением / В.Е.Федоров, Б.Шкляр // Мат. сб. — 2012. — Т. 203, № 12. — С. 137-156.
8. Плеханова, М. В. Оптимальное управление вырожденными распределёнными системами / М.В.Плеханова, В.Е.Федоров. — Челябинск : Издат. центр Юж.-Урал. гос. ун-та, 2013. — 174 с.
9. Плеханова, М. В. Об управляемости вырожденных распределенных систем / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Уфим. мат. журн. — 2014. — Т. 6, № 2. — С. 78-98.
10. Fedorov, V. E. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations / V. E. Fedorov, D. M. Gordievskikh, G. D. Baybulatova // AIP Conference Proceedings. — 2017. — Vol. 1907. — P. 020009-1-020009-14.
11. Федоров, В. Е. Бесконечномерная и конечномерная е-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка / В. Е. Федоров, Д.М. Гордиевских, М.М. Туров // Челяб. физ.-мат. журн. — 2018. — Т. 3, № 1. — С. 5-26.
12. Fedorov, V. E. Approximate controllability of strongly degenerate fractional order system of distributed control / V. E. Fedorov, D. M. Gordievskikh // IFAC-PapersOnLine (17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization CAO 2018, Yekaterinburg, Russia, 15-19 October 2018). — 2018. — Vol. 51, no. 32. — P. 675-680.
13. Baleanu, D. Approximate controllability of infinite-dimensional degenerate fractional order systems in the sectorial case / D. Baleanu, V. E. Fedorov, D. M. Gordievskikh, K.Tas // Mathematics. — 2019. — Vol. 7, no. 735. — 15 p.
14. Bajlekova, E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces / E. G. Bajlekova. — PhD thesis. — Eindhoven : Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001. — 107 p.
15. PrUss, J. Evolutionary Integral Equations and Applications / J. Priiss. — Basel: Springer, 1993. — 366 p.
16. Solomyak, M. Z. Applications of the theory of semigroups to the study of differential equations in Banach spaces / M. Z. Solomyak // Doklady Mathematics. — 1958. — Vol. 122, no. 5. — P. 766-769.
17. Иосида, К. Функциональный анализ : пер. с англ. / К.Иосида. — 2-е изд. — М. : Изд-во ЛКИ, 2007. — 624 c.
18. Федоров, В. Е. Неоднородное эволюционное уравнение дробного порядка в сектори-альном случае / В. Е. Федоров, Е. А. Романова // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обзоры. — 2018. — Т. 149. — С. 103-112.
19. Fedorov, V. E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces / V. E. Fedorov // Integral Equations and Their Applications. Proceeding of University Network Seminar on the occasion of The Third Mongolia — Russia — Vietnam Workshop on NSIDE 2018, Hanoi Mathematical Society. — Hung Yen : Hung Yen University of Technology and Education, 2018. — P. 11-20.
20. Fedorov, V. E. Initial problems for semilinear degenerate evolution equations of fractional order in the sectorial case / V. E. Fedorov, A. S. Avilovich, L. V. Borel // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. — 2019. — Vol. 292. — P.41-62.
21. Федоров, В. Е. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка / В. Е. Федоров, Е. А. Романова, А. Дебуш // Сиб. журн. чистой и приклад. математики. — 2016. — Т. 16, № 2. — С. 93-107.
22. Романова, Е. А. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай / Е. А. Романова,
B.Е.Федоров // Мат. заметки Сев.-Вост. федер. ун-та. — 2016. — Т. 23, № 4. —
C. 58-72.
23. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А.Ладыженская. — М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. — 204 с.
Поступила в 'редакцию 02.02.2020 После переработки 02.03.2020
Сведения об авторах
Авилович Анна Сергеевна, аспирант, кафедра математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected]. Гордиевских Дмитрий Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математического и информационно-технологического образования, Шадринский государственный педагогический университет, Шадринск, Курганская обл., Россия; e-mail: [email protected].
Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; научный сотрудник, лаборатория функциональных материалов, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
20
A. C. ABH^OBH^, M. ropgueBCKHx, B. E. OegopoB
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2020. Vol. 5, iss. 1. P. 5-21.
DOI: 10.24411/2500-0101-2020-15101
ISSUES OF UNIQUE SOLVABILITY AND APPROXIMATE CONTROLLABILITY FOR LINEAR FRACTIONAL ORDER EQUATIONS WITH A HOLDERIAN RIGHT-HAND SIDE
A.S. Avilovich1a, D.M. Gordievskikh2b, V.E. Fedorov13c
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2Shadrinsk State Pedagogical University, Shadrinsk, Kurgan region, Russia 3South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia [email protected], [email protected], [email protected]
Issues of unique solvability and approximate controllability of linear fractional order evolution equations, both resolved with respect to the Riemann — Liouville fractional derivative (nondegenerate) and containing an irreversible operator at it (degenerate), are investigated. It is assumed that an operator on the right side of a non-degenerate equation or a pair of operators in a degenerate equation generates an analytic in a sector resolving family of operators of the corresponding homogeneous equation. New results on the solvability of inhomogeneous equations of such classes with a Holder continuous function on the right side are obtained. These results allow us to find criteria for the approximate controllability of a degenerate system in fixed time, in free time, and in the case of systems with finite-dimensional input. The initial state of the degenerate control system is set by the Showalter — Sidorov type conditions. Based on the obtained abstract results, we found a criterion for the approximate controllability of a distributed control system, the dynamics of which is described by the linearized system of Navier — Stokes equations of fractional order in time.
Keywords: fractional Riemann — Liouville derivative, analytic in a sector resolving family of operators, degenerate evolution equation, Holder condition, approximate controllability.
References
1. Fedorov V.E., Avilovich A.S. A Cauchy type problem for a degenerate equation with the Riemann — Liouville derivative in the sectorial case. Siberian Mathematical Journal, 2019, vol. 60, no. 2, pp. 359-372.
2. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., BaleanuD., Ta§K. Criterion of the approximate controllability of a class of degenerate distributed systems with the Riemann — Liouville derivative. Mathematical Notes of NEFU, 2019, vol. 26, no. 2, pp. 41-59.
3. Fedorov V.E., RuzakovaO.A. Controllability of linear Sobolev type equations with relatively p-radial operators. Russian Mathematics, 2002, vol. 46, no. 7, pp. 52-55.
4. FedorovV.E., RuzakovaO.A. One-dimensional controllability in Hilbert spaces of linear Sobolev type equations. Differential Equations, 2002, vol. 38, iss. 8, pp. 12161218.
5. FedorovV.E., RuzakovaO.A. Controllability in dimensions of one and two of Sobolev-type equations in Banach spaces. Mathematical Notes, 2003, vol. 74, no. 4, pp. 583-592.
6. Ruzakova O.A., Fedorov V.E. On e-controllability of linear equations, not solved with respect to the derivative, in Banach spaces. Computational Technologies, 2005, vol. 10, no. 5, pp. 90-102. (In Russ.).
The reported study was funded by RFBR, project 19-41-450001, project 19-31-90008, by Act 211 of Government of the Russian Federation, contract 02.A03.21.0011.
7. Fedorov V.E., ShklyarB. Exact null controllability of degenerate evolution equations with scalar control. Sbornik: Mathematics, 2012, vol. 203, no. 12, pp. 1817-1836.
8. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. Optimal Control for Degenerate Distributed Systems. Chelyabinsk, Publishing Center of South Ural State University, 2013. 174 p. (In Russ.).
9. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. On controllability of degenerate distributed systems. Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 2, pp. 77-96.
10. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., Baybulatova G.D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations. AIP Conference Proceedings,
2017, vol. 1907, pp. 020009-1-020009-14.
11. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., TurovM.M. Infinite-dimensional and finite-dimensional e-controllability for a class of fractional order degenerate evolution equations. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2018, vol. 3, no. 1, pp. 5-26. (In Russ.).
12. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M. Approximate controllability of strongly degenerate fractional order system of distributed control. IFAC-PapersOnLine (17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization CAO 2018, Yekaterinburg, Russia, 15-19 October 2018), 2018, vol. 51, no. 32, pp. 675-680.
13. BaleanuD., Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., TasK. Approximate controllability of infinite-dimensional degenerate fractional order systems in the sectorial case. Mathematics, 2019, vol. 7, no. 735. 15 p.
14. Bajlekova E.G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis. Eindhoven, Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001. 107 p.
15. PrUss J. Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel, Springer, 1993. 366 p.
16. Solomyak M.Z. Applications of the theory of semigroups to the study of differential equations in Banach spaces. Doklady Mathematics, 1958, vol. 122, no. 5, pp. 766-769.
17. YosidaK. Functional Analysis. Berlin, Springer-Verl., 1965. 458 p.
18. Fedorov V.E., Romanova E.A. Inhomogeneous evolution equations of fractional order in the sectorial case. Itogi Nauki i Tekhniki. Contemporary Mathematics and Its Applications. Thematical Surveys, 2018, vol. 149, pp. 103-112. (In Russ.).
19. Fedorov V.E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces. Integral Equations and Their Applications, Proceeding of University Network Seminar on the occasion of The Third Mongolia — Russia — Vietnam Workshop on NSIDE 2018, Hanoi Mathematical Society. Hung Yen, Hung Yen University of Technology and Education,
2018. Pp. 11-20.
20. Fedorov V.E., Avilovich A.S., BorelL.V. Initial problems for semilinear degenerate evolution equations of fractional order in the sectorial case. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 2019, vol. 292, pp. 41-62.
21. Fedorov V.E., Romanova E.A., DebboucheA. Analytic in a sector resolving families of operators for degenerate evolution fractional equations. Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 228, no. 4, pp. 380-394.
22. Romanova E.A., Fedorov V.E. Resolving operators of linear degenerate evolution equation with the Caputo derivative. The sectorial case. Mathematical Notes of NEFU, 2016, vol. 23, no. 4, pp. 58-72. (In Russ.).
23. Ladyzhenskaya O.A. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow. New York, London, Paris, Gordon and Breach, Science Publ., 1969. 198 p.
Accepted article received 02.02.2020 Corrections received 02.03.2020
