СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3

УДК 517.956

doi 10.18522/1026-2237-2021 -3 -37-41

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2021 г. А.К. Танирберген1

1Актюбинский региональный университет им. К. Жубанова, Актобе, Казахстан

A MIXED PROBLEM FOR A DEGENERATE MULTIDIMENSIONAL

ELLIPTIC EQUATION

A.K. Tanirbergen1

1 Zhubanov Aktobe Regional University, Aktobe, Republic of Kazakhstan,

Танирберген Айсулу Кобейсинкызы - докторант, Актюбинский региональный университет им. К. Жубанова, ул. Бр. Жубановых, 263, г. Актобе, 030000, Республика Казахстан, e-mail: [email protected]

Aisulu K. Tanirbergen - Doctoral Student, Zhubanov Aktobe Regional University, Br. Zhubanovykh St., 263, Aktobe, 030000, Republic of Kazakhstan, e-mail: [email protected]

Корректность решения краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучена. Первая краевая задача, или задача Дирихле для многомерных эллиптических уравнений с вырождением на границе, достаточно полно исследована. Однако смешанная задача для указанных уравнений, как нам известно, изучена мало.

В статье показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения смешанной задачи в цилиндрической области для модельного вырождающегося многомерного эллиптического уравнения.

Ключевые слова: корректность, смешанная задача, вырождающееся уравнение, многомерные сферические функции, функция Бесселя.

The correctness of boundary value problems in the plane for elliptic equations by the method of the theory of analytic functions of a complex variable has been well studied. The first boundary value problem or the Dirichlet problem for multidimensional elliptic equations with degeneration on the boundary has been sufficiently analyzed. However, as we know, the mixed problem for the indicated equations has been studied very little.

This article shows the unique solvability and obtains an explicit form of the classical solution of the mixed problem in a cylindrical domain for a model degenerate multidimensional elliptic equation.

Keywords: correctness, mixed problem, degenerate equation, multidimensional spherical functions, Bessel function.

Введение

Первая краевая задача, или задача Дирихле для многомерных эллиптических уравнений с вырождением на границе, достаточно полно исследована [1-7]. Однако, насколько известно автору, смешанные задачи для вырождающихся многомерных эллиптических уравнений исследованы мало [8].

Корректность решения краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучена. При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3

уравнении теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полноИ теории многомерных сингулярных интегральных уравнении.

В данноИ статье, используя метод разложения по сферическим функциям, будет показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения смешанной задачи в цилиндрической области для вырождающегося многомерного эллиптического уравнения.

Постановка задачи и результат

Пусть Da — цилиндрическая область евклидова пространства Em+i точек (д^,.....xm ,t), ограниченная цилиндром Г = {(x,t): |Х = 1} и плоскостями t = a > 0 и t = Р< 0, где |x| — длина вектора

Х = (x1,---,xm) .

Части этих поверхностей, образующих границу SDa области Da, обозначим через Га, Sa, Sq соответственно.

В области Da рассмотрим вырождающееся многомерное эллиптическое уравнение

g(t)Ax" + utt = 0, (1)

где A x - оператор Лапласа по переменным xi,..., xm, m > 2; g (t) > 0 при t>0 и может обращаться в нуль при t = 0. При этом g(t) G С([0, а]) п С2((0, а)).

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат xi,...,xm, t к сферическим

r,e1,...,em—1, t, r>q,q<e1 <2л, q<ei,

i = 2,3,..., m — 1.

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области

Da из класса C(Da ) о C 2(Da ), удовлетворяющее краевым условиям

uL =x(r,e), uL = v(r,e), u|Г =v(t,e) (2)

lS 0 lS 0 Г a

при i(1, e) = ^(0, e), v(1, e) = q>t (0, e).

Отметим, что эта задача при g(t) = tp, p = const > 0, изучена в [8].

Пусть (e)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 < k < kn, кп = (п + т- 3)! (2п + т — 2)/(т — 2)! п!.

e = (e1,.,em—1).

Имеет место [9]

Лемма 1. Пусть f (r, e)eW2' (S0), где

W(Sq), I = 0,1,... - пространство Соболева. Если I > m — 1, то ряд

f (r, e)= I Ifk (r У km (e), (3)

n=0 k=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p < I — m +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того чтобы f (r,e)e Wj(S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам

1/\ х kn 2! k / \ 2 fo (r) < C1, I I П21 fkk (r) < C2, C1, C2 = const.

n=1k=1

Через in(r),Vn(r),$n(t) обозначим коэффициенты ряда (3), функций т(г, e), v(t, e), ^(t, e). Справедлива Теорема. Если

3m

r(r, 9), v(r, e)eW2/ (So ), y(t, e)ewi (ra), I

>-

то задача 1 имеет решение, причем единственное.

Доказательство теоремы. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид [9]

g(t)i urr + Ur — ^T Su 1 + Utt = 0,

m—1

s^-z

1

ô

M gj sin m—j—1- 9 j 09 j

(4)

A

sin

m—j—1

e,

ô9

J J

' 1, gj =(sine1...sinej—1 f, j > i.

§1 С] г---1'""---] -

Известно [9], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел Хп = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует kn ортонормиро-ванных собственных функций У^ т (б).

Так как искомое решение задачи 1 принадлежит классу С^а) П С2 (^а), то его можно искать в виде

œ kn

u(r,9,t)= Z zukn(r,t)Ynkm(9),

n=0 k=1

(5)

где иП (г,1) - функции, подлежащие определению.

Подставив (5) в (4) и используя ортогональность сферических функций (б) [10], получим

g(t)| ulr +

m — 1

ui +-nUnk|+unktt = 0, r r2

k = l,kn, n = 0,1,

ô

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3

При этом краевое условие (2) с учетом леммы 1 запишется в виде

иЛгДМк(г), й*(г,0) = укп (г),йкп М = (г), к = 1, кп, п = 0,1,.... (7)

В (6), (7) произведем замену переменных

» (г, Г ) = йПк (г, Г )—^ (^).

g(t)Urr + ^ «k |-«tt = fi(r,t), (8)

r

«ît (r,0) = ^ (r), «î (1, t )= 0,

«Î M = ^ (r ),

k = 1, kn, n = 0,1,....,

fk (r, t ) = ^ V П -V knt, хП (r )=Tnk (r )-vkn (0), r 2

yk (r ) = vk (r )-vkt (0).

(1-m)

Произведем замену U^ (r, t) = r 2 u^ (r, t) даче (8). Получим

в за-

L«î - g (t)

«nrr + 2 «n

r

+ «kntt = ff (r, t ),

«n (r,0) = ~îk (r ), «ît (r,0)= «n (r ), «n (1,t ) = 0,

((m-1)(3 - m)-4Xn )

(9)

4

(m-1)

fnk (r, t )= r T" fk (r, t ),

(m-1)

—k

(m-1)

(г) = г 2 тП (г),СП (г) = г 2 тП (г). Решение задачи (9) ищем в виде

» (r, г Ь» (г г К» (г г),

где »кп (г, г) — решение задачи

¿»кп = /пк (г,0,

»кп(г,0) = икпг(г,0)= 0, »кп(м) = 0.

(r, t )-

«2n (r

« = 0,

решение задачи

(10) (11)

(12)

«kn (r,0) = хП (r ), «2nt (r,0) = ~k (r R (1, t )= 0. Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде

«n (r, t)= I Rs (r)Ts (t).

s=1

При этом пусть

œ

fk (r, t )=I ak n (t R (r ), xkn (r ) =

(13)

(14)

s=1

= I bkn nRs (r), ~nk (r)= I e\t R (r )

Подставляя (13) в (11), с учетом (14) получим

К,

Rsrr + -nRs + |jRs = 0, 0 < r < 1. r

Rs (1) = 0, \RS (0)<œ,

Tstt - W?(t)Ts (t) = as, n (t), 0 < t <

(15)

(16)

rs(0) = 0,rst(0) = 0.

Ограниченным решением задачи (15) является

[11]

Rs (r )=JrJv fa, nr )

(17)

п + (т — 2)

где V =-^--, | = п - нули функций Бесселя первого ряда Jv (z), | = |2,п .

Задача (16) сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго ряда относительно Т, (г) [4].

()—12,п Х

г г , (18)

х | (г — g(^ (^ =| (г — ^ Й)^, 0 0 которое имеет решение, притом единственное. Подставляя (17) в (14), получим 1

----ТО / \

г 2/кп (г,0= Е<п (t)Jv (|,,„г),

s=1

(19)

----œ / \

r 2 Xn (r)=I bs, nJv s,nr)

s=1

r " 2 v' (r )=I elnJv (Ц s, nr ),0 < r < 1.

s=1

Ряды (19) - разложение в ряды Фурье - Бесселя [12], если

< n (t ) = 2[jy+1 fa, n Î2}Vfk fe, t Jv (n s, n^,

0

bk n (t) = 2[jy+1 (цs, n Г/лК (J (ks,nïh, (20) 0

Jv+1

ek = 2

s, n

где |, п, , = 1,2,... — положительные нули функций

Бесселя Jv (г), расположенные в порядке возрастания их величины.

Из (17), (18) получим решение задачи (11) в виде

«kn (

t)= iV^s, n (t)jv s, nrl

s=1

где aksn (t ) определяются из (14).

(21)

s=1

s=1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3

Далее, подставляя (17 в (12), с учетом (14)), будем иметь

Vstt — Ц2, ng(X V = 0,0 < X <а,

Vs (0) = ь\пп, Vs,п (0) = < п.

Произведя в (22) замену (X) = (X) — ^ + <п , приходим к задаче

^ — Ц2,п§(Х)Gs.n = ч1п (ХХ (0) = 0, о3г п (0) = 0,

ч1п (X) = ц 2,п Ь,п + хе^,п ) Я (X).

Задача (24) сводится также к интегральному уравнению (18), где вместо а\п (X) берется qk,n (X).

Из (17), (18), (23) найдем решение задачи (12)

(22)

(23)

(24)

u2n

(r, t)= n (tК (Цs,nr),

(25)

s=1

где Ькп,находятся из (20).

Таким образом, из (5), (10) получаем решение задачи 1 в виде

и(г, е, X )=

Г (1—т^г ,"]

к Ы(x) + г 2 К0 + »2п(Г(26)

п=0 к=1 ^ ^

X Упк,т (е),

где икп (г, X), и*п (г, X) находится из (21), (25).

Имеют место формулы [12, 13] и'у(2 ) = Зу—1(г)—Зу+1(2 ),

(27)

Применяя признак Даламбера, (27), устанавливаем, что ряды (21), (25) и продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно.

Далее, используя формулу (27), оценки из [9]

kn < ^—2,

ô1

ô9

Ynkm (9)

l n, m

j

< c2n 2

-—1+1

j = 1,m — 1, l = 0,1,...

k-n

= слпт-2,

m 1 7

< ctn~-1+l

] = 1, т - 1,1 = 0,1,- ,

а также леммы и ограничения на заданные функции т^,в),у(г,в),'ф(г,в), показываем, как в [7, 8], что полученное решение в виде (26) принадлежит

классу с(.Оа)п С2 (оа).

Если в задаче 1 т^, в) = у(г, в) = тр(г, в) = 0, то из леммы 1 следует, что (г) = г>п (г) = трп (0 = 0, к = 1,кп, п = 0,1,.... Отсюда и из интегрального уравнения (18) вытекает, что Т5(€) = 0,5 = 1,2,....

Следовательно, учитывая представления (13) и (5), имеем, что и(г,1,в) = 0, т.е. решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, является тривиальным. Таким образом, единственность решения задачи 1 показана.

Теорема доказана полностью.

Литература

1. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

2. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973. 144 с.

3. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных, М.: Наука, 1981. 448 с.

5. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М.: Изд-во МГУ, 2010. 354 с.

6. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных эллиптических уравнений // Мат. заметки. 2013. Т. 94, № 6. С. 936-939.

7. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся трехмерных эллиптических уравнений // Мат. журн. 2017. Т. 2 (64). С. 5-12.

8. Алдашев С.А. Корректность смешанной задачи для одного класса вырождающихся многомерных эллиптических уравнений // Науч. ведомости БелГУ. Математика и физика. 2019. Т. 51, № 2. С. 174-182.

9. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

10. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука,1974. 295 с.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

References

1. Smirnov M.M. (1966). Degenerate elliptic and hyperbolic equations. Moscow, Nauka Publ., 292 p. (in Russian).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3

2. Tersenov S.A. (1973). Introduction to the theory of equations degenerating at the boundary. Novosibirsk, Novosibirsk State University Press, 144 p. (in Russian).

3. Yanushauskas A. I. (1979). Analytical theory of elliptic equations. Novosibirsk, Nauka Publ., 190 p. (in Russian).

4. Bitsadze A.V. (1981). Some classes of partial differential equations. Moscow, Nauka Publ., 448 p. (in Russian).

5. Oleinik O.A., Radkevich E.V. (2010). Equations with a non-negative characteristic form. Moscow, Moscow State University Press, 354 p. (in Russian).

6. Aldashev S.A. (2013). Correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for degenerate multidimensional elliptic equations. Matematicheskie zametki, vol. 94, No. 6, pp. 936-939. (in Russian).

7. Aldashev S.A. (2017). The correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for degenerate

Поступила в редакцию /Received

three-dimensional elliptic equations. Mat. zhurnal, vol. 2 (64), pp. 5-12. (in Russian).

8. Aldashev S.A. (2019). Posedness of the mixed problem for a class of degenerate multidimensional elliptic equations. Nauch. vedomosti BELGU. Mathematics and physics, vol. 51, No. 2, pp. 174-182. (in Russian).

9. Mikhlin S.G. (1962). Multidimensional singular integrals and integral equations. Moscow, Fizmatgiz Publ., 254 p. (in Russian).

10. Mikhlin S.G. (1977). Linear partial differential equations. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 431 p. (in Russian).

11. Kamke E. (1965). Handbook of ordinary differential equations. Moscow, Nauka Publ., 703 p. (in Russian).

12. Bateman G., Erdeyi A. (1974). Higher transcendental functions, vol. 2. Moscow, Nauka Publ., 295 p. (in Russian).

13. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. (1966). Equations of mathematical physics. Moscow, Nauka Publ., 724 p. (in Russian).

24 апреля 2021 г. /April 24, 2021