Смещение резонанса в системе связанных волноводов в слабом электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

СМЕЩЕНИЕ РЕЗОНАНСА В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ ВОЛНОВОДОВ В СЛАБОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Н.А. Малина

Получены параметры резонанса в системе двух слабо связанных волноводов в поперечном электрическом поле. Используется метод согласования асимптотических разложений.

Вступление

Один из наиболее активно развивающихся разделов наноэлектроники в настоящее время связан с созданием элементной базы квантового компьютера. Предлагаются различные способы реализации, основанные на использовании ядерного магнитного резонанса, ионов в ловушках при лазерном охлаждении, сверхпроводящих устройств, фотонных кристаллов, квантовых точек и квантовых нитей. С последним из перечисленных вариантов и связана задача, рассматриваемая в данной работе. А именно, для создания соответствующих устройств необходимо уметь описывать поведение электрона в соответствующих структурах, особенно во внешних полях, с помощью которых может осуществляться управление. При прохождении электроном системы из двух связанных волноводов наблюдается резонансный эффект. Внешнее электрическое поле позволяет управлять параметрами резонанса, т.е. можно контролировать поведение электрона. Следует отметить, что внешнее электрическое поле может быть создано и другим электроном. В частности, такая ситуация наблюдается при реализации в данной системе как в элементе квантового компьютера двухкубитовых операций.

Рассмотрим систему двух плоских волноводов, связанных через малое отверстие, находящуюся в поперечном электрическом поле. Для описания поведения электрона в баллистическом режиме необходимо решить свободное уравнение Шредингера, т.е. уравнение Гельмгольца с соответствующими граничными условиями. Наиболее естественными для полупроводниковых наноструктур считаются условия Дирихле. В случае металлических наноструктур ситуация изменяется. Решающую роль играет спин электрона. В ферромагнитном слое положение энергетического уровня определяется ориентацией спина электрона. Таким образом, для электронов с различной ориентацией спина граничные условия различаются. Выбор соответствующих граничных условий зависит от существования свободных уровней в ферромагнитном слое соответствующего электрона. Например, отсутствие свободных уровней приводит к условиям Дирихле. Во всех остальных случаях рассматриваются другие условия, например, условия Неймана.

Волновод в электрическом поле

Рассмотрим уравнение, описывающее поведение электрона в волноводе шириной с1 с поперечным электрическим полем напряженности Г: 2т

<р"+—{А + ¥у)у = 0. (1)

й2

С помощью замены переменных

, Г) р'< Р="»

уравнение сводится к уравнению Эйри:

<Р" (г ) + ) = 0, (3)

решениями которого являются функции вида

ср(г ) = СЛг (-г ) + БЫ (-г ), (4)

2 = |у + —|Р1, Р , (2)

где Ai (-z) и Bi (-z) - функции Эйри. Пусть на границах волновода выполняются условия Неймана: (ру(0) = (ру(d) = 0 . Тогда, зная асимптотики функций Эйри при больших значениях z ,

Ai (-z) = zsin {3z' + Пj + 0 [z

Bi(—z) = z 4 cos[3z2 + nJ + 0[z

V V у У

получаем уравнение для значения порога непрерывного спектра: п( 2т

* -d{lF) * +- =0-

Отсюда

i dF

4

=Vv

1 dF

(5)

(6)

(7)

2fc2

где Aj =

п2 h

- значение порога спектра невозмущенной задачи (в отсутствие элек-

2тй2 трического поля).

Стоит заметить, что выражение для первого порога (7) остается таким же в случае граничных условий Дирихле.

Связанные волноводы в электрическом поле

Рассмотрим систему двух плоских волноводов шириной й + и й , связанных

через малое отверстие ширины 2а, находящуюся в поперечном электрическом поле. Известно, что наличие соединяющего отверстия приводит к появлению резонанса. Параметры этого резонанса (квазисобственного значения) были исследованы ранее. Интересен вопрос о влиянии электрического поля на расположение резонанса.

Используя метод согласования асимптотических разложений решений краевых задач, будем искать коэффициенты т и т2 в асимптотическом разложении (по малому

параметру а) для резонансной частоты следующего вида (здесь к^ близко к порогу

П /й+2):

V

— - k2a = т ln 1 а + т2 ln 2 а + o(ln 2 а) .

Нам понадобится функция Грина:

да 1

G±(X, Y, k ) ■

п=Ч -k

здесь y/n (-z) = CAi -p13 [ y + *

V (-z tyn (-z (X-X ]

(8)

(9)

f

+ DBi

J

-p3 {y+F

J

Асимптотики функций Грина в окрестности точки (0,0) границы области при значениях к , близких к П/ й+ , имеют вид:

_ _ V Lap3] _

G (х'k) = -П1п1 Yl+* +(X)

2

+

О~ (х, 0, к) = - - 1п |X + g-(x),

здесь функции g+ (х), g~ (х) регулярны. Тогда асимптотическое разложение квазисобственной функции Ц/а (х) ищем в виде:

\/п2/с1+ - к2аО + (Х,0,ка) + к, X еП+ \8^,

¥а(X) = < V, (X/а|) + VI (|х/а|) • 1п-1 а +..., Xе 8^, (11)

-ПЫ^О - (X ,0, ка) + ..., X еО-\8^,

где - круг радиуса ^ с центром в середине отверстия. Метод согласования сводится

к поиску таких «склеивающих» функций ^ ( X / а ), v1 ( X / а ), удовлетворяющих

краевым условиям Неймана и являющихся решениями уравнения (1), что члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях (11) будут совпадать в

областях (о+ \8^82^, \8^) ^ 8^-.Можно легко показать, что функции V ( X / а ), V (X / а|) должны удовлетворять уравнению Лапласа.

Выписывая коэффициенты при а0 в асимптотике функции ц/а (X), получаем

уравнение для нахождения т1:

2 ( Д 3 ] 1 1

^ -т:Р3 —Т = V =—Т.

[ Г | ж ж

(12)

В качестве v0 (X / а ) можно выбрать константу v0 (( / а) = -2- -Дд Р3

тогда

Ж 2 | Д 3 т = ——к р 1 2 1 . Г

Далее, приравнивая коэффициенты при 1п 1 а, получаем выражение для т2 : Т = §(^2 + Т (g +(0) + g-(0))) . Здесь функция выбрана следующим образом:

(13)

(14)

X

а

-тт (1п

ж ^

-(

ж v

1п

X / а + 1п2)- Л + ..., у > 0, + 1п2)- Л + ..., у < 0,

X / а

а константа Л обеспечивает склеивание значений коэффициентов в верхнем и нижнем волноводах.

Чтобы понять, как сильно влияет электрическое поле на сдвиг резонанса, получим асимптотику для коэффициента тх в формуле (13).

Т □

ж 385 Г2н2а,2

2а+ 482 2тж2

ж

(15)

Значение т = соответствует коэффициенту в асимптотике квазисобственного

значения для волноводов в отсутствие электрического поля.

V

Работа поддержана грантом РФФИ 05-03-3257б.

Литература

1. Bruno P. // Phys. Rev. 1995. V. B 52. № 1. Р. 411-439.

2. Uzdin V.M., Yartseva N.S. // J. Magn. Magn. Mater. 199б. V. 15б. Р.193-194.

3. Duelos P., Exner P. // Rev. Math. Phys. 1995. V. 7. Р. 73-102.

4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

5. Гадыльшин Р.Р. // УМН. 1997. Т. 52. № 1, С.3-76.

6. Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2002. V. 43. № 1. Р. 215-234.

7. Гортинская Л.В., Тесовская Е.С., Попов И.Ю. // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. Выпуск 9. С. 22-28.