Асимптотический подход в исследовании свойств слабо связанных квантовых волноводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИЧЕСКИМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИИ СВОЙСТВ СЛАБО СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДАХ

Л.В. Гортинская, И.Ю.Попов, Е.С. Тесовская

В задачах о тонких магнитных нанослоях часто возникает уравнение Гельмгольца с граничными условиями Неймана, которые описывают поведение баллистического электрона со спином в данной системе [1-3]. При этом тонкие слои могут иметь дефекты в виде вакансий (отверстий), которые оказывают серьезное влияние на движение электронов. Анализу двух таких проблем и посвящена настоящая статья.

1. Плоские волноводы, связанные периодической системой отверстий

В этой части работы рассматривается система двух плоских волноводов , Q_ с граничными условиями Неймана, соединенных периодической системой (период L) малых отверстий диаметром 2a. Введем декартовы координаты Xi, x2 . Пусть волноводы имеют ширину d+, d_ (d+> d_ ), отверстия располагаются по линии x2 = 0. Оказывается, что наличие соединяющих отверстий вызывает резонансные эффекты. Задача сводится к решению уравнения Гельмгольца в соответствующей области с условиями Неймана на границе:

Аы + к 2ы = 0,

(1)

= 0.

да

Используя условие Блоха: y(x1 + L,x2) = e'eily(x1,x2), можно свести периодическую задачу к задаче определения квазисобственного значения (резонанса) в каждом слое (при фиксированном значении квазиимпульса в). Точнее, мы будем искать первые члены асимптотического разложения квазисобственного значения по a около N-го отверстия при фиксированном в. Подобные асимптотики для граничного условия Дирихле были получены в [6]. Асимптотики резонансов для волноводов, соединенных через конечное число отверстий, и задача рассеяния на одном и двух соединяющих отверстиях были исследованы в [7].

Будем использовать метод согласования асимптотических разложений ([4, 5]).Асимптотика функции Грина при граничном условии Неймана имеет вид:

м 1 л nix л п

G± (x ^ к) =У ± —-cos ^^cos —j^ exp (_ri\xi _ У11), (2)

j=0 d±y-n (Sn +1) d± d± "

I

± П n 2

Y =i~dT ~к

x

После замены переменных ^ = —, используя условие Блоха, будем искать квазисобст-

a

венную функцию уa (x) в виде

ды дп

У a ( x) = <

±/(ка) X е^О+ (х, х?, к), х еП± \ ,

д=-<х ^ '

У-Х(^)1па + у0(£) + М£)1п-1 а + к, х е , где 8 - круг радиуса ^ с центром в середине отверстия, /(ка) - некоторые функции. Метод согласования сводится к поиску таких «склеивающих» функций vi удовлетворяющих краевым условиям Неймана и являющихся решениями уравнения Лапласа, что члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях (3) будут сов-

падать в соответствующих областях. Учитывая асимптотику функции Грина, мы можем построить асимптотику волновых функций у/±(х), т.е. (х) в областях \ ■

¥+а (х) = /(К)(--1па--1п I £ | +£+ +XеЩ1в-ГЩ

I П П У(+ д

-X-

1дЬ9-1кЬ\д\

д #0

м+

+ 5 +, Ь)

( 11 1 ^

(х) = -/(ка) --1п а --1п | £ | +£- - X—е'дЬв-'кЦд] + 5- (в, Ь)

д#0

(4)

где 5 + (в, Ь) = ХХ"Т

1 дЬв-уП Ь\д\

+ , , 5 - (в, Ь) =

д#0 п#1 / пЫ + д#0 п I пЫ -

£ не имеют особенностей. Выберем функцию /(ка) в следующем виде:

е'дЬв-ГпЬ\д\, у =

___к2 , функции

(+2 а

/(ка ) =

_ X е'дьв-гЦд\ -X е'дьв-'кь\д\

Г

^ д

д #0

Тогда если ка близко к резонансу (у ^ 0) и 1т к < 0, то /(ка) примет вид:

(

/(ка ) =

1 е 1кЬ 008 вЬ

X

(5)

(6) (7)

у(оЪуЬ - 008 вЬ) к 1 - е-кЬ 008 вЬ Запишем асимптотику для этой функции в следующем виде:

/ (ка) = А(в, Ь) + т 1п-1 а + т21п-2 а +..., где

Ь = к(1 - 008 вЬ)(1 - е-кЬ 008 вЬ)

( ' ) = кЬ(1 - е~1кЬ 008вЬ) -1(1 - 008 вЬ)е~1кЬ 008вЬ " Используя метод согласования, найдем коэффициент т1 как функцию от в и Ь. Учитывая (4), (5) и (7), выпишем коэффициенты при а0 в разложении (4):

±-11 + А(в, Ь) (-—1п \ £ \ + £ ++ 5+ а+ п ч п

Vo(£)

— - А (в, Ь)(-—1п \ £ \ + £ - + 5

(8)

^(£) = ■

(9)

Процедура согласования дает наиболее подходящий выбор функции У0 (£) : \-А(в, Ь)(1п \ £ \ + 1п 2) + Сд, [ А(в, Ь)(1п \ £ \ + 1п2) + Сд, где константы Сч обеспечивают согласование соответствующих членов в областях 0+, 0,-. Сравнивая члены порядка а0, получаем выражение для коэффициента т1:

т(в, Ь) = 2П + П А(в, Ь) 2а, 2

£ + + £ ~ + Б+ (в, Ь) + 5 - (в, Ь) + — 1п2

п

(10)

Окончательно, учитывая (7), получаем асимптотику для квазисобственного значения ка при фиксированном значении в:

к] = 7П - В(в, Ь)1п_1 а + к,

где В(в,Ь) = 2 6(1 -008вЬ)2 3 -Т1(в,Ь). А (в, Ь)(2 + 008 вЬ)Ь 14

Рис.1(а) и 1(б) показывают зависимость вещественной и мнимой части коэффициента В(в,Ь) от в при фиксированном периоде (Ь= 1.5 ¿/+).

Ке(в(е ,1.5))

100

1т(в(е,1.5)) 0

б)

Рис.1. Зависимость коэффициента в асимптотике квазисобственного значения для слоя оператора от квазиимпульса в, а) - вещественная часть, б) - мнимая часть коэффициента Б(в,1).

2. Резонансы в связанных нанослоях

Металлические магнитные нанослои представляют широкий класс низкоразмерных магнитных систем. В последние годы большое внимание уделяется структурам с очень тонкими магнитными нанослоями, так как в этих системах экспериментально были реализованы непрерывные переходы от трехмерного к двумерному магнетизму. При выращивании тонких магнитных слоев необходимо учитывать, что возможны дефекты в их структуре. Эти дефекты приводят к потере однородности и появлению отверстий. В тонких магнитных нанослоях тип граничных условий для волновых функций баллистических электронов зависит от ориентаций их спинов и заполненности соответствующих систем уровней. А именно, если все уровни для электрона с фиксированным спином в данном слое заполнены, то его волновая функция на границе этого слоя удовлетворяет условию Дирихле. В случае же наличия свободных уровней ситуация меняется, в частности, может реализоваться граничное условие Неймана. Кроме того, имеется возможность управлять граничными условиями при помощи внешних полей. В связи с этим возникает задача исследования электронного баллистического транспорта в связанных магнитных слоях при различных граничных условиях.

Рассмотрим систему трех тонких трехмерных магнитных нанослоев, в среднем слое которой присутствуют дефекты (отверстия). Обозначим области, разделенные тонким слоем с дефектами, через , соответственно. Пусть их ширина равна

, d_, а соединены они через малые отверстия размерами ^ с центрами в точках хч, хч е{(х1, х2,0), х1 е . Пусть d+ > d_. Асимптотика резонанса к2а в зависимости от полуширины отверстия близка к порогу ж2/й\ оператора Лапласа с граничными условиями Неймана. Нижняя граница непрерывного спектра лапласиана Неймана равна нулю

(для лапласиана Дирихле она больше нуля). Квазисобственные значения (резонансы) близки ко второму (третьему, четвертому и т.д.) порогу. Будем искать главные члены асимптотического разложения резонанса, близкого ко второму порогу. Точнее, найдем коэффициенты т1 и т2 в следующем асимптотическом разложении:

108 П ~ ка=т1а+т2а+•••■

Функция Грина для уравнения Гельмгольца с граничным условием Неймана выглядит так:

О ± ( х, у, к ) =

X

2

2,2

а± +1)

-008

хпп у3пп / 7 ГЛ) . я п , 2 Г, 72 ; 72

-^008^-Я01) 1 —- - кх - у^2 + (х2 - у2)2 а± а± 4 V а±

где х = (х1, х2, х3). х15 х2, х3 - декартовы координаты точки х (ось х3 выбрана перпендикулярно плоскости слоев). Для дальнейшего необходимо знать асимптотику функции Грина в окрестности особенности для собственного значения, близкого к порогу. При

1

я

О + (х, 0, к) =---10^— - к

1

Яс(,

'а2

О - (х, 0, к) = -

1

2яа|х | ^ "(х, к ),

^ +(х, к ),

2яа|х|

где £ + (х, к) и £- (х, к) - функции, не имеющие особенностей.

Запишем волновую функцию ща (х) в соответствующих областях (для случая одного соединяющего отверстия)

(х) = <

± 108(7 - к1 а0О± (х. 0 ка ) + ■■■.

х

V,(х) + )а + а а

х е

2 Та '

где ^ - шар радиуса / с центром в центре отверстия, а0 - некоторый коэффициент. Процедура склеивания асимптотических разложений (см. п.1) заключается в выборе функций (х/а). Для случая п соединяющих отверстий процедура аналогична. Чтобы найти т1,

выбираем следующую функцию (в локальных координатах в окрестности отверстия ):

С,„ я 2я | х |

2я | х |

Здесь С^ - емкость 1-го отверстия. И для т1 в случае п соединяющих отверстий полу-

чено выражение: 1 п

Т X Си1'

а, > а

+ ¿=1

2 X , а+=( = (

а 1=1 '

п=0

V, = <

Для нахождения т2 выбирается функция У2 :

С п 2п\х |

■ + А,

■ + А,

2п\ х \

где А - константа, и т2 - собственное число матрицы Г = {у^}:

Г г, = _Т1П<Сщ ( § + ( х, к) + § _ ( Ъ, к )) \к=М+

1

п

Уг,а =_ТпСщ (О+ (хх,к)+—^Ьг _ к +О_(хх,к))\,

пd,

d2

к

3. Задача рассеяния в нанослоях

Особо интересно исследовать асимптотическими методами задачу рассеяния баллистического электрона в тонких магнитных слоях при наличии малых дефектов (вакансий) в разделяющем слое. Изучение проблемы рассеяния электрона при помощи асимптотических методов имеет специфические черты. Если волновое число пришедшей волны фиксировано и отличие от резонансной величины ка мало, то при достаточно малом а рассеяния не будет. Поэтому соответствующий член асимптотики будет равен нулю. Чтобы обойти это препятствие, мы предполагаем, что к близко к резонансу и отклонение от резонанса характеризуется разностью между с и т2:

1-1 п2 ,2 2

1ое _к = та + са +....

К2 1

Используя аналогичный метод согласования, была получена амплитуда рассеяния волны на одном соединяющем отверстии. Она имеет круговую симметрию, и квадрат ее абсолютного значения а равен:

1

а =-

16п

§+(х, к) + § _ (х, к) +

пd,т1

Самые интересные результаты были получены при изучении рассеяния баллистического электрона на двух соединяющих отверстиях. Функция рассеяния (V и w -векторы пришедшей и рассеянной волны, соответственно) в этом случае имеет вид: / (V, w, к) = а + а2е**,

где

с(1) =

(с (1) + О у^ + (с1-1-1 + §) (2с(1) + § + О)(§ _ О) ' (с(1) + §)е_ (с(1) + О) (2с(1) cпd+

§ + О)(§ _ О)

16

О =

О+ (хр х2, к) + 1о§>/П _ к2 + О (хр х2, к),

§ = §+ (х1,к) + § _ (х1,к )• Для этого случая были построены диаграммы направленности (рис. 2).

2

Рис. 2. Диаграммы направленности рассеяния баллистического электрона на двух со-

П

единяющих отверстиях при угле падения у = — и с = 1. Расстояние между отверстиями

6

задано в единицах ширины о .

Работа поддержана грантом Министерства образования России (грант Т02-02.2-599) и программой «Интеграция».

Литература

1. Bruno P. // Phys. Rev. B. 1995. 52 (1). Р.411-439.

2. Uzdin V.M., Yartseva N.S. // J. Magn. Magn. Mater, 1996. 156. Р. 193-194.

3. Duclos P., Exner P. // Rev. Math. Phys. 1995. V. 7. Р. 73-102.

4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

5. Гадыльшин Р.Р. // УМН. 1997. Т. 52 № 1. С.3-76.

6. Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2002. V. 43. № 1. Р. 215-234.

7. Гортинская Л.В., Тесовская Е.С., Попов И.Ю. / Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. Выпуск 9. С. 22-28.