CC BY
44
2
МАТЕМАТИКА
АСИМПТОТИКИ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ВОЛНОВОДОВ, СОЕДИНЕННЫХ МАЛЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ, ПРИ ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ НЕЙМАНА
Л.В. Гортинская, И.Ю. Попов, Е.С. Тесовская
Развитие наноэлектроники вызывает интерес к исследованию резонансных эффектов и электронного транспорта в связанных волноводах. Изучение таких систем во многих случаях сводится к решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца [1]. Асимптотики связанных состояний, близких к нижней границе непрерывного спектра, при граничном условии Дирихле были получены в [5]. Условие Дирихле на границах характерно для полупроводниковых структур. При описании металлических наноструктур встречается как задача Дирихле, так и задача Неймана [1]. В случае краевого условия Неймана резонансные эффекты значительно сильнее, чем при условии Дирихле. Этот случай менее изучен, поэтому представляется актуальным его исследование.
В данной работе рассматривается система двух плоских волноводов О+, О. шириной ё+ и ё., соединенных малыми отверстиями (рис. 1), при граничном условии Неймана, т.е. анализируется следующая краевая задача:
Аи + к 2и = 0,
ди дп
= 0.
дО
Наличие соединяющих отверстий приводит к возникновению резонансов (квазисобственных значений), близких ко второму (третьему и т.д.) пороговому значению (нижней границей непрерывного спектра является нуль). В работе будут получены первые члены асимптотических разложений этих резонансов. Мы используем метод согласования асимптотических разложений [3], [4]. Исследуется также задача рассеяния плоской волны на одном и двух отверстиях.
Ч
Рис.1. Два волновода, соединенные через п малых отверстий.
Резонансы
Пусть волноводы соединены малыми отверстиями с центрами в точках (хЧ,0), 1,..., п, диаметры которых равны 2аЧ=2^Ч (а - малый параметр). Будем считать,
что волноводы различны (ё+ > ё.). Построим асимптотику резонанса ка , который лежит близко к точке П/ ё+2:
2-к2а = т11п 1 а + т21п 2 а +....
(1)
Асимптотики функции Грина в окрестности точки (0,0) границы области при
значениях к2, близких к П/ ё+2, имеют вид:
а + (X, 0,ка) = (П - к]<)
-1/2
008-
пх2
ехр-к1 I х1 |)-пп1п1 х I +£+ (x,каX
1
(2)
а - (хА ка) =--1п 1 х 1- (x, ка),
П
где х=(х],х2), х1, х2 - декартовы координаты точки х. Тогда асимптотическое разложение квазисобственной функции уа(х) ищем в виде
¥а (х)
-к2а ТаР+(х,(xq,0),ка), х е ^,
у?
+ у4
V а у
V а у
•1па +..., х е ^
(3)
-П- к2а ~(х,(xq,0),ка), х еО"^,
V q=l
где - круг радиуса I с центром в середине д-го отверстия, ад - некоторые коэффициенты. Метод согласования сводится к поиску таких "склеивающих" функций уд (х/а), у^ (х/а), удовлетворяющих краевым условиям Неймана и являющихся
решениями уравнения Гельмгольца, что члены соответствующих порядков в
асимптотических разложениях (3) будут совпадать в областях: ("+ ^ ("" ) ^
х
Опишем подробнее эту процедуру. Сделаем замену переменных: £ = —, р=|£|.
а
Выделим в разложении (3) члены порядка а0 и 1па:
1
-1 Г Т
¥а (х) = "
ё+ п Т
ж
ц/+а (х) =--^ + 1п-1 а —— 1п р + т ^+ (0,—) + о(1п-1 а)
\
П
ё+
П
у
+ 1п-1 а
П
г т, п . т2 1
1пр + (0—)
v п а+ п у
(4)
+ о(1п 1 а).
Для нахождения т1 рассмотрим члены порядка а . В качестве уд (£) можно выбрать функции, принимающие постоянные значения:
VIЮ = -П
П
Тогда условие согласования принимает вид:
а Г1 - Т а = 0.
П
(5)
д=1,д Фг
Так как нас интересуют ненулевые решения системы, то получаем:
2
+
2
т =■
пп
(6)
2d+
Чтобы найти следующий коэффициент, рассмотрим члены порядка 1па в выражении (4). Из теории потенциалов [2] известно, что необходимые для согласования функции vq (£) существуют:
vq юЧ
-—xq Ю+Cq , & > О, п
TTaXt (£) + Cq , £ < 0,
п
(7)
где cq - константы, обеспечивающие согласование,
xq —=x0(—- xq), X0(z)=ln(z+VZ7^!),
Wq (8)
Xq (£) = ln| ¿;\+ ln2 - ln | wq | +o(1), Из условий согласования асимптотик (4) и (7) находим, что т2 есть собственное значение матрицы Г = {y q}:
Ун =
п2п
4d,
g+(x, П)+g- (x, П) - ^ d, d, d,
пп ,
+-ln
2d,
w.
Y,q =
П2 n
4d+
Q-(x', xq, к) + G (x', xq, к) - (п2 - к2d+2 )~2
(9)
Если волноводы одинаковы (ё+ = ё. = ё), то, следуя аналогичной процедуре, получаем:
пп
т1 =■
d
п2п , ' п пп,
Y',' =~Г g(x^) + ln d d d
w
п2 n d
(10)
п2 n
Y,q d
Q (x', xq, к) - (п2 - к2d2) 2
к=— d
Следует отметить, что данный результат не получается предельным переходом из (9) при ё+ — ё..
В случае одного отверстия асимптотика резонанса имеет вид ж2
к2 = — - г21п 2 а - 2тхт2 1п 3 а - т\ 1п-4 а -..., ё,
т1 =<
п 2d+ п d,
d > d
d+= d = d,
(11)
T2
п
2
4d+
g+ (0, п)+g + (0, п)
\
п1п2
2d+ :
d, > d
п g(0 п) + п1п2 d ' d d
d+= d = d.
d
+
Задача рассеяния
Рассмотрим распространение волны по системе волноводов разной ширины (ё+ > ё.), соединенных через одно отверстие диаметром 2а. Будем считать, что волновое число к рассматриваемой волны близко к найденному выше резонансному значению ка. Отклонение от резонанса будем характеризовать отклонением соответствующего коэффициента с от т2 в формуле (1):
V
П 7 2 1 -1 1 -2 —--к = т 1п а + с 1п а +....
ё+ 1
(12)
Значение т1 соответствует резонансу (11). Очевидно, что
(( - к2ё2)
2 1 , С
2 =-1п а--г + ..
ё+т1 ёТ
Построим аналогично (3) асимптотику решения у(х) задачи рассеяния волны в1Юх, распространяющейся по волноводу О+:
(13)
-1кх
Щ( х) =
е-кх + а1С+ (х, 0, к), х е О+ \ ,
у-1Г о ]1п а+у0 (0х ]+у1 (0х ]1п-1 а+к, х е ^,
-а1С~ (х, 0, к), х е О \ .
(14)
Для определения коэффициента прохождения Т выделим из функции Грина
слагаемое, содержащее е-1кх (х^-да):
у/+ (х) = е гкх +а
1
21кё,
-е-1кх + ...
Тогда для коэффициента прохождения получаем выражение
Т =
1 _ 1а1
2кё+
(15)
(16)
где а1 находится из условий согласования асимптотических разложений. Подставляя (13) в асимптотику функции Грина, получим:
а+ (£0, к) = ^1п а-!1п а --1п р + % + (£,П) + ...,
ё+Т
ё+тх п
П
ё,
С - (£,0, к) = -1щ а -1щ р + % (£,П) + ...,
(17)
П
П
ё+
где £ = -, р=| £|. а
Выделим члены порядков 1па и а0 в разложении (14):
у+ (х) = 1+а
ё+т12
1
1
л
ёт п
п .
1
1п а + %+ (0—)--1п Р
ё, п
+ о(1),
у(х) = -а1
11п а + %- (0,П) — 1п Р
п ё+ п
+ о(1).
Для согласования членов порядка а выбираем функции у0(£) в виде
(18)
2
2
Ч
а
X0(£) + А, £ > с,
п
а
п
1Xс(^) + А, & < 0
(19)
хс(£)=1п (
-1
где А - некоторая константа.
Приравнивая члены соответствующих порядков, приходим к следующему выражению для а1:
а1(с) =
- - % + (0, П) - % - (0, П)
Рис.2. Зависимость коэффициента прохождения от параметра с, см. (16),(20).
Для одинаковых волноводов (ё+ = ё. = ё) имеем
а1(с) =
2сё 2, „ п —---1п2 - % (0-)
(21)
п~ п ё
Теперь рассмотрим задачу рассеяния для волноводов, соединенных двумя отверстиями с центрами (х1,2, 0), диаметры которых равны 2а1,2=2а^1,2 (а - малый параметр). Пусть > й.. Процедура отыскания коэффициента прохождения аналогична. Асимптотику решения задачи рассеяния ищем в виде
Щ( X) =
- 1кх
е- + ахО+ (х, 0, к) + а2О+ (х, Ь, к), х ёО+ \ ,
I
2^а'
V , I Х 11п а + V I — I + V 1 — 11п 1 а + ..., х е 8,
^ а) \ а) \ а)
-а1О- (х, 0, к) - а2О + (х, Ь, к), х е О \ 8
(22)
та'
где Ь = х2 - х\ - расстояние между отверстиями. Выделяя нужные слагаемые по аналогии с (15), (16), получаем коэффициент прохождения:
Т =
1 --
2М
+а2е1кЬ)
(23)
Выбирая функции у0 (£) подобно (19) и склеивая соответствующие слагаемые, находим:
С - %2 - (С - У)е 1кь
а1(с) =
а2(с) = сё+
С1 =П
П
(с1 - %1)(с1 - %2) - (с1 -Г)2'
У-с1 + (с -Е1)е-'кЬ (с1 - %1)(с1 - % 2) - (с1 -Г)2'
+ / п . п . 21
%1,2 = % (х1,2^) + % (х1,2^) + ~1п ё+ ё+ п
Ч'1
1,2
г = С - (0, Ь, к) + С+ (0, Ь, к) - (П - к2 ё+2) 2
Рис. 3. Зависимость коэффициента прохождения от расстояния между отверстиями в случае двух окон. Спектральный параметр близок к резонансу, б+ / б. = 1.57, с = -9. В качестве единицы длины для L выбрана ширина
волновода 6+
2
к=п
ё
2
Для d+ = d. = d получаем:
ai(c) = -a2{c) =
1 ci -g2 -(ci-Y)e
-ikL
2 (ci - gi)(ci - g2) - (ci -Y)2
1 Y - ci + (ci - gi)e-'kL
2 (ci - gi)(ci - g2) - (ci -y)2
cd
Ci =
4n
gi,2 = g(Xi,2,n) + -ln d n
w
i,2
Y = G(0, L, k) - (П - k2d V
Видно, что коэффициент прохождения имеет резкие осцилляции в окрестности резонанса. Этот эффект может быть использован для разработки новых электронных устройств.
Работа поддержана грантом РФФИ 0i-0i-00253, Министерством образования России (грант Т02-02.2-599) и программой «Интеграция».
Литература
1. Duelos P., Exner P. // Rev. Math. Phys. i995. V. 7, p. 73-i02.
2. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, i966. 5i6 с.
3. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, i989. 334 с.
4. Гадыльшин Р.Р. // УМН. i997. Т. 52. № i. С. 3-76.
5. Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2002. V. 43. № i. Р. 2i5-234.
k=n
d
