CC BY
12Учитывая бифуркационную картину топологий SMT и MF для невыпуклых множеств, можно получить следующий результат.
Теорема. Для любых четырех точек евклидовой плоскости суботношение Штейнера больше или равно л/З/2, причем эта граница достигается только для, множества точек из класса Т.
В [5] вычислено значение ssr3(R2) = \/3/2. В работе З.Н.Овсянникова [10] установлено, что ssr5(R2) < л/З/2. То есть max{n : ssrra(R2) = л/Ъ/2} = 4.
Автор выражает благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также Д. П. Ильютко и А. Б. Жеглову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13—01—00664а, и программы "Ведущие научные школы РФ ", грант НШ-581.2014.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов А.О., Тужилин A.A. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.
2. Карпунин Г.А. Аналог теории Морса для плоских линейных сетей и обобщенная проблема Штейнера // Матем. сб. 2000. 191, № 5. 64-90.
3. Иванов А.О., Тужилин A.A., Цислик Д. Отношение Штейнера для многообразий // Матем. заметки. 2003. 74, № 3. 387-395.
4. Ильютко Д.П. Разветвленные экстремали функционала А-нормированной длины // Матем. сб. 2006. 197, № 5. 75-98.
5. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.
6. Cieslik D. The Steiner ratio of metric spaces. A report. Preprintreihe Mathematik, 2010.
7. Yiu P. Introduction to the geometry of the triangle. Florida Atlantic University Lect. Notes, 2001.
8. Акопян A.B. Геометрия в картинках. М.: МЦНМО, 2011.
9. Kimberling С. Encyclopedia of triangle centers. URL: http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html. 10. Овсянников З.Н. Суботношение Штейнера для пяти точек на плоскости и четырех точек в пространстве
// Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 167-179.
Поступила в редакцию 20.05.2015
УДК 519.7
СЛОЖНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИИ ГОЛОСОВАНИЯ В БАЗИСЕ АНТИЦЕПНЫХ ФУНКЦИЙ
О. В. Подольская1
Изучается сложность реализации булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе, состоящем из всех характеристических функций антицепей булева куба. Установлено, что сложность реализации функции четности от п переменных есть [^^J ' сложность ее отрицания равна сложности функции голосования от п переменных и составляет l"2^"] •
Ключевые слова: антицепная функция, сложность схем, функция четности, функция голосования.
The complexity circuits of Boolean functions is studied in a basis consisting of all characteristic functions of antichains over the Boolean cube. It is established that the circuit complexity of an n- variable parity function is L2^] ^^ complexity of its negation equals the complexity of the n-variable majority function which is f2^] •
Key words: antichain function, circuit complexity, parity function, majority function.
1 Подольская Ольга Викторовна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
olgavipodolskayaQgmail .com.
Булева функция, принимающая значение 1 лишь на попарно несравнимых наборах, называется антицепной. Множество всех антицепных функций образует бесконечный функционально полный базис, который обозначается через АС [1].
В работе рассматривается реализация булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе АС. Сложностью схемы называется число функциональных элементов в этой схеме, а сложностью функции — наименьшая сложность реализации этой функции в базисе АС. Сложность схемы S обозначается через L(S), сложность функции / — через L(f). Функцией Шеннона называется функция L(n) = maxL(/), где максимум берется по всем булевым функциям / от п переменных. С этими и другими используемыми понятиями можно ознакомиться в монографии [2].
п
Булева функция рп(х... ,хп) = ^ х^ (mod 2) называется функцией четности, функция чет-
к=1
ности рп и ее отрицание рп называются линейными. Булева функция тп(х..., хп), принимающая
п
значение 1 тогда и только тогда, когда Хк ^ называется функцией голосования.
к=1
Для двух действительнозначных функций а(п) и Ь(п) натурального аргумента, принимающих положительные значения, будем говорить, что порядок роста функции а(п) равен Ь(п), если существуют такие положительные постоянные С\ и С2, что при всех достаточно больших п выполнены неравенства c\b(n) ^ а(п) ^ С2&(п).
Сложность реализации функций схемами в базисе АС изучалась в работах [1, 3-5]. В [1] доказана нижняя оценка порядка п1/3 сложности функции четности от п переменных, затем в [3] для этой же функции была получена нижняя оценка порядка (n/lnn)1/2. Позже этот результат был улучшен: в [4] доказана нижняя оценка порядка Л/п для функции четности, функции голосования и почти всех функций от п переменных (т.е. доля функций, для которых указанная оценка выполнена, среди всех функций от п переменных с ростом п стремится к единице).
В работе получены точные значения сложности линейных функций и функции голосования от п переменных.
Теорема 1. Для любого натурального п ^ 2 выполнены, следующие равенства:
L(Pn) =
п + 1
J = L(mn) =
~п + 1"
В работе [1] указана оценка функции Шеннона L(n) ^ п + 1 для всех натуральных п. Позже в работе [5] была установлена оценка L(n) ^ п. Последняя оценка и нижняя оценка функции Шеннона, вытекающая из теоремы 1, в совокупности дают следующий результат.
Теорема 2. В базисе АС порядок роста функции Шеннона L(n) равен п.
Автор приносит благодарность О. М. Касим-Заде за полезные замечания и внимание к работе. Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №14Ч)Ю0598.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Касим-Заде О.М. О сложности схем в одном бесконечном базисе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 6. 40-44.
2. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Касим-Заде О.М. О сложности реализации булевых функций схемами в одном бесконечном базисе // Дискретный анализ и исследование операций. 1995. 2, № 1. 7-20.
4. Подольская О. В. О нижних оценках сложности схем в базисе антицепных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 17-23.
5. Подольская О.В. Об оценках сложности схем в одном бесконечном базисе // Мат-лы IX Молодежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям. Москва, 16-23 сентября 2013 г. М.: НИМ им.М.В. Келдыша РАН, 2013. 97-100.
Поступила в редакцию 25.05.2015
