Скручивание нанотрубки в вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

СКРУЧИВАНИЕ НАНОТРУБКИ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

И.В. Блинова, И.Ю. Попов, С.А. Чивилихин

Исследуется образование нанотрубки из слоистого материала. Для начальной стадии процесса использована модель молекулярной динамики. Дальнейшее формирование рассмотрено с учетом влияния вязкости среды.

Введение

Синтез, изучение строения и свойств нанотубулярных структур - новое направление в науке о материалах [1]. Его активное развитие связано с необычными физико-химическими, электрофизическими, механическими и другими свойствами нанотрубок и композиционных материалов на их основе. Перспективными исходными веществами для получения нанотрубок являются соединения со слоистой структурой [2], например, некоторые гидросиликаты [3]. Важная роль слоистой структуры веществ проявляется, в частности, в том, что, как показано в работах [3, 4], независимо от строения исходных компонентов в реакционной системе, образование нанотрубок в гидротермальных условиях происходит только после того, как образовались промежуточные соединения со слоистой структурой, из которых и формируются нанотрубки на следующем этапе синтеза. Для понимания механизма образования таких нанотрубок большое значение имеет изучение условий и динамики скручивания слоев соединений со слоистой структурой и их последующей перекристаллизации с формированием нанотрубок определенной морфологии.

Модель начальной стадии скручивания

На возможность образования нанотрубок путем самопроизвольного скручивания слоев под действием внутренних напряжений указывалось еще в 1930 г. в работе По-линга [5]. Механика формирования нанотрубок путем скручивания напряженных на-нослоев рассматривалась в ряде работ (см., например, [6-8]). Скручивание слоя в рассматриваемом случае можно представить происходящим вследствие внутренних напряжений, возникающих из-за неполного структурного соответствия одной, например верхней, части слоя и другой - нижней части. Примером слоистых химических соединений с таким строением слоя является, в частности, группа соединений со структурой серпентина [2-5], в которых указанный двойной слой можно представить состоящим из слоя, имеющего структуру брусита М§(ОИ)2, и слоя кремнекислородных тетраэдров [2О5], размерные параметры которых различаются. В частности, для данного случая характерно скручивание, при котором бруситовый слой, имеющий большее значение размерного параметра, при образовании нанотрубки оказывается с наружной части, а слой [2О5 ] - с внутренней. Отметим, что скручивание слоя, как правило, не заканчивается одним витком, а продолжается до тех пор, пока кривизна трубки обеспечивает энергетический выигрыш при реализации этого процесса. На первом этапе вязкость среды не является решающим фактором. Здесь приемлемой является модель молекулярной динамики. При этом она оказывается чрезвычайно чувствительной к параметрам межмолекулярного взаимодействия. Один из результатов моделирования показан на рис. 1. Наблюдается любопытный эффект появления волны в верхнем отрывающемся двойном слое, которая распространяется по нему со скоростью, несколько превышающей скорость точки отрыва слоя. Эта волна хорошо видна на рисунке. В указанной модели вязкость среды не учитывалась, однако после образования первого витка она начинает играть важную роль.

Рис. 1. Начальная стадия скручивания

Модель скручивания в вязкой среде

Рассмотрим модель формирования такой нанотрубки в условиях ее нахождения в вязком флюиде. Пусть двойные слои, из которых построено слоистое соединение, состоят из слоев с различными значениями размерного параметра - ах и , рассогласование которых и приводит к возникновению внутренних напряжений. Предположим, что рассматриваемое вещество находится во флюиде (в частности, в воде - гидротермальные условия), находящемся в состоянии, близком к критическому. Двойной слой толщины 5' в определенных условиях (при увеличении толщины межслоевого пространства 5" вследствие интеркалирования в него воды или других компонентов окружающей среды) скручивается в круговой цилиндр - нанотрубку с начальным радиусом (а! + а2)5

Я = —---— порядка нескольких нанометров, при этом толщина двойного слоя

2(а1 - а2)

5 = 5' + 5'' практически не изменяется - см. рис. 1.

Угловая скорость вращения нанотрубки ш (в начальный момент равная нулю)

возрастает из-за разности двух моментов - момента внутренних сил МЕ = Е — и моЯ

мента сил вязкого трения Му = 2паЯ2урсо , где Е и рм - модуль Юнга и плотность вещества нанотрубки, V и р - кинематическая вязкость и плотность жидкости, а - безразмерный параметр. Влияние сил инерции сказывается на начальном интервале времени т = - . При I >>т угловая скорость нанотрубки приближается к своему «5 Рм

53 Е

предельному значению ш =--—. Число Рейнольдса вязкого течения вокруг скручи-

2кЯ3pv

53 Е

вающейся нанотрубки может быть оценено из выражения Яе =-2. Для оценки

2паRpv

положим а = 1, а характерные значения физических параметров рассматриваемой сис-

сг

темы примем равными Я = 5-10 9 м, 5 = 5-10 10 м, Е = 1011 Па, рм = 103 кг

м

2

V = 1.3-104 —, р = 320 В этом случае получаем: т = 2.5-10-14 сек, ш = 4-103 ^^, с м3 с

Яе = 7 -10-5. На основании анализа рассчитанных оценочных значений параметров можно заключить, что продолжительность инерциального участка мала по сравнению с периодом вращения. Несмотря на большую скорость вращения нанотрубки, число Рей-

нольдса течения вокруг нанотрубки оказывается малым, что позволяет использовать для описания течения квазистационарное приближение Стокса [9]:

рАу = Ур, Уу = 0, г е О, (1)

V = ю х г, У = У = 0, (2)

1у 1у=0 4 у

где р и у - давление и скорость жидкости в области О, р - динамическая вязкость жидкости, ю - угловая скорость вращения нанотрубки, г - радиус-вектор (начало координат выбрано в точке О, см. рис. 2), у - поверхность нанотрубки. Рассчитанное согласно (1)-(2) поле скоростей позволяет определить момент Му вязких сил, приложенный к поверхности нанотрубки, М у = | г х т ёГ , где т - касательное напряжение

на поверхности нанотрубки, с1Г - элемент площади поверхности нанотрубки.

Г Т

Рис. 2. Линии тока вокруг нанотрубки, скручивающейся на границе вязкой жидкости

д¥

Для решения краевой задачи (1)-(2) введем функцию тока ¥: Ух =-,

ду

д¥

уу =--. Тогда соотношения (1), (2) принимают вид

дх

А2¥ = 0, г е О, (4)

д¥

У¥| =-ю г, ¥| = 0,

1у 1у=0 ду

= 0, ¥ = 0. (5)

у=0

2Я

Конформное отображение х + гу =--переводит область О в полосу

^ + гП

, 0 <п< 1, причем поверхность нанотрубки отображается на верхнюю границу полосы п = 1, а граница полупространства - на нижнюю границу полосы п = 0. Решение задачи (4), (5) в переменных п имеет вид

2Я2ш ю

где

% = | ехр(-Ш;)1% (Л)Л, (6)

-<х>

%к (П) = Ак — кцск(кц)\ + Вк п^(кгО,

(к + 2)^(к) + кск(к)

А = — ( ЬЦ-к2() еХР(—к(7)

(к + 1)(*й(к-) - ксН(к)) - к 2 ) ехр( ,) Вк =-^-еХР("к).

Используя полученное решение, получаем момент вязких сил Му = 2паЯ2vpю, где безразмерный параметр а = 1.2 .

Первый виток нанотрубки имеет равновесный радиус Я0. В ходе скручивания внутренний радиус нанотрубки Д принимает значения, меньшие исходного равновесного радиуса Я0 , а ее внешний радиус Я2 оказывается большим, чем Я0 . Уменьшение

внутреннего радиуса нанотрубки после образования более чем одного витка определяется уменьшением при этом механической энергии нанотрубки за счет проскальзывания скрученных слоев друг относительно друга и приводит к выдавливанию жидкости изнутри нанотрубки.

Давление Р внутри нанотрубки, определяемое вязким трением жидкости внутри нанотрубки, может быть оценено как

где ¿0 - длина и ширина исходного нанослоя (предполагается, что исходный слой имеет квадратную форму).

Считая, что во время скручивания радиус нанотрубки возрастает по закону

Я = Я0 +—5, 2п

запишем суммарную потенциальную энергию нанотрубки и еще не скрученной части двойного слоя в виде

тт Е5'3 ( Л Е5'3 \( 1 1 ^2 ,

и =--((0 -/) +-II---, (9)

2Я0 2 01 Я® Я0 ) ^

где / - длина части нанослоя, скрученного в нанотрубку, - координата вдоль витков нанотрубки. Выражение для упругой энергии системы (9) позволяет рассчитать момент упругих сил, действующих на нанотрубку,

^ Е5 Я МЕ =-3

Е 2Я(3

( Я ^

2

2 -

2

V Я0)

и нормальное напряжение на внутренней поверхности нанотрубки

Е5'3 Г „Я2 ^ ст =-- 1 - 2 —

Я0 )

25Я12

(10)

(11)

Приравнивая момент упругих сил и момент сил вязкого трения, действующие на нанотрубку, получаем уравнение для внешнего радиуса нанотрубки. В свою очередь, приравнивая нормальное напряжение внутри нанотрубки и давление жидкости внутри трубки, молучаем уравнение для определения внутреннего радиуса нанотрубки. Решение этих уравнений имеет вид:

А

Яо г

Н = и =

(

2 - ехр

, лл

Я

Е5'35

V Л

'1 =

'1у у

4у1}0Ь Е5'3

(12)

-1

+ ■

С Р 2 Л % -1 Я2 ,

+

Р2

V Ро

-1

+

8

2 ^ -1

V Ро у

(13)

Зависимости от времени внешнего и внутреннего радиусов нанотрубки, а также числа витков нанотрубки п представлены на рис. 3, 4. При этом предполагается, что

длина и ширина исходного нанослоя имеет порядок Ьо = 6 -10 м.

Рис. 3. Зависимость внешнего и внутреннего радиусов нанотрубки от времени

Рис. 4. Зависимость числа оборотов нанотрубки от времени

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-03-32576).

Литература

1. Ивановский А.Л. // Успехи химии. 2002. Т. 71. № 3. С. 203-224.

2. Корыткова Э.Н., Маслов А.В., Гусаров В.В. // Сборник научных трудов «Химия поверхности и синтез низкоразмерных систем». СПб, 2002. С. 54-59.

3. Корыткова Э.Н., Маслов А.В., Пивоварова Л.Н., Дроздова И.А., Гусаров В.В. // Физика и химия стекла. 2004. Т 30. № 1. С. 72-78.

1

1

4

4

4. Корыткова Э.Н., Маслов А.В., Пивоварова Л.Н., Полеготченкова Ю.В., Повинич В.Ф., Гусаров В В. // Неорган. матер. 2005. Т. 41. № 7. С. 849-855.

5. Pauling L. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1930. V. 16. P. 578.

6. Schmidt O.G., Eberl K. // Nature. 2001. V. 410. P. 168.

7. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. // ДАН 2002. Т. 385. № 4. С. 1-3.

8. Prinz V.Ya. // Microelectronic Engineering. 2003. T. 69. C. 466-475.

9. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976.