CC BY
2УДК 533.6.011.72
СКОРОСТНЫЕ НАПОРЫ И ИХ СООТНОШЕНИЯ ЗА СТАЦИОНАРНЫМИ МАХОВСКИМИ КОНФИГУРАЦИЯМИ УДАРНЫХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В ПОТОКЕ ГАЗА
М. В. Чернышов, К. Э. Савелова
Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. Анализируются параметры потоков за тройной конфигурацией ударных волн, образующейся при маховском отражении, с прямой главной волной (так называемой стационарной маховской конфигурацией). Предполагается, что стационарная маховская конфигурация перемещается во встречном потоке, имеющем произвольную скорость (и соответствующее число Маха). На примере отношения скоростных напоров на сторонах контактного разрыва, исходящего из тройной точки ма-ховского отражения, показано, что спутные потоки за тройной конфигурацией сильно различаются по степени своего трансляционного воздействия на окружающие объекты.
Ключевые слова: ударные волны, тройная конфигурация, маховское отражение, взрывобезопас-ность
Для цитирования: Чернышов М. В., Савелова К. Э. Скоростные напоры и их соотношения за стационарными маховскими конфигурациями ударных волн, распространяющихся в потоке газа // Аэрокосмическая техника и технологии. 2024. Т. 2, № 3. С. 24-56. DOI 10.52467/2949-401X-2024-2-3-24-56. ЕРЫ PZPGNS
DYNAMIC PRESSURES AND THEIR RELATIONS DOWNSTREAM THE STATIONARY MACH CONFIGURATIONS OF SHOCK WAVES PROPAGATING IN A GAS STREAM
M. V. Chernyshov, K. E. Savelova
Baltic State Technical University "VOENMEH", Saint Petersburg, Russia
Abstract. We analyzed the parameters of gas streams, which form after the triple-shock configurations occurring in Mach reflection with normal Mach shock (so-called stationary Mach configuration). We suppose that this stationary Mach configuration moves in a counter flow with arbitrary velocity (and corresponding Mach number). Analyzing relations of the dynamic pressures across the contact discontinuity, which emanates from the triple point of the Mach reflection, we have shown that the streams after the triple-shock configuration differs much in their translational action on surrounding objects.
Keywords: shock waves, triple configurations, Mach reflection, blast safety
© Чернышов М. В., Савелова К. Э., 2024
For citation: Chernyshov M. V., Savelova K. E. Dynamic pressures and their relations downstream the stationary mach configurations of shock waves propagating in a gas stream. Aerospace Engineering and Technology. 2024. Vol. 2, no. 3, pp. 24-56. DOI 10.52467/2949-401X-2024-2-3-24-56. EDN PZPGNS (In Russian)
Введение
При движении сверхзвуковых летательных аппаратов вблизи поверхности Земли возникает отражение (регулярное или маховское) возникающих скачков уплотнения (в системе координат, связанной с поверхностью, это уже не скачки, а бегущие ударные волны согласно ГОСТ 23238-78 [1, 2]). Спутные потоки, возникающие за ударными волнами, воздействуют на объекты и сооружения, что нередко приводит к их перемещению (так называемое трансляционное воздействие) и последующему удару с катастрофическими последствиями (например, с летальным исходом при перемещении тела человека и его последующем ударе о твердую поверхность [3]).
Упомянутое трансляционное воздействие имеет, например, существенное значение при внутреннем взрыве на борту летательного аппарата (например, при детонации заряда конденсированного взрывчатого вещества [4-6], в том числе при произвольном начальном значении давления на борту воздушного судна или орбитальной станции [7]). Возникающие при этом взрывные волны многократно взаимодействуют между собой и с различными поверхностями, образуя разветвленные ударно-волновые структуры и многочисленные тройные конфигурации бегущих ударных волн. При этом, как показано в [8-10], взрывные ударные волны и их тройные конфигурации обычно перемещаются не в неподвижной среде, а в потоке, ранее возмущенном другими волнами и имеющими определенную ненулевую скорость течения.
Спутный поток за ударной волной, имеющий некоторую скорость и, воздействует на объект (внутренний элемент разрушаемой конструкции, или осколок остекления, или человеческое тело), находящийся в покое, с аэродинамической силой [3]:
Х = с^ = сх ^ S, (1)
где d = р и2/2 - динамическое давление (скоростной напор) потока; сх - аэродинамический коэффициент лобового сопротивления объекта (в частности, при оценочных расчетах принято считать, что сх = 1,0 - 1,3 у человеческого тела [3, 11], сх = 1,17 у типичного осколка остекления в виде диска или квадратной пластины с плоскостью, перпендикулярной направлению потока [11]); $ - характерная площадь поперечного сечения объекта.
Если объект воздействия ударной волны уже перемещается со скоростью ир,
то вектор воздействующей на него аэродинамической силы представляется в виде:
Согласно (2), воздействующая сила пропорциональна динамическому давлению, соответствующему скорости потока относительно движущегося объекта. Таким образом, согласно (1) и (2), разгон вторичного осколка (следовательно, и его последующее поражающее воздействие) или тела человека (следовательно, и степень его повреждения при соударении со стенками фюзеляжа или другими элементами конструкции) напрямую зависит от динамического давления спутного потока за взрывной волной или последовательностью таких волн.
Как показано в [12-15] для различных случаев установившегося течения, скоростные напоры потоков за тройной точкой маховского отражения скачков уплотнения, неподвижных в рассматриваемой системе координат, могут значительно отличаться (при больших сверхзвуковых скоростях набегающего потока - в десятки раз). Соответствующим образом различается и трансляционное воздействие этих потоков. Возникает вопрос, требующий не только численного, но и аналитического исследования: в какой степени различаются скоростные напоры (и, соответственно, трансляционные воздействия) потоков за тройными конфигурациями бегущих ударных волн, распространяющихся в движущемся потоке воздуха? В данной работе построена математическая модель, позволяющая оценить эти значения на примере наиболее известной и легко поддающейся аналитическому исследованию стационарной маховской конфигурации (СМК) с прямой главной (маховской) ударной волной.
Результаты, полученные на основе построенной модели, не только позволяют выбрать наименее угрожаемое размещение людей и критически важных элементов конструкции. Они могут быть полезны и с точки зрения оптимального размещения взрывозащитных устройств (так называемых локализаторов взрыва) в городской среде, на объектах промышленности и транспорта, в частности, на борту воздушного судна. Как показано в [16, 17], поле параметров течения, возникающее при детонации заряда внутри урнообразной взрывозащитной конструкции, подобно аналогичному полю, образующемуся при взрыве заряда, приподнятого над твердой поверхностью, и также содержит маховское отражение взрывной волны от этой поверхности. Для размещения критически важных элементов конструкции в окрестности взрывозащитного устройства, специально разработанного для применения на борту воздушного судна [4-6], немаловажно, в какую область поля течения (выше или ниже тройной точки) попадет этот элемент, и какой степени трансляционного воздействия, а также воздействия вторичного осколочного потока он будет подвергнут. При этом траектория тройной точки, позволяющая разделить две области с различным воздействием взрыва, хорошо известна [18, 19]. Кроме того, анализ трансляционного
(2)
воздействия спутных потоков за ударной волной может быть полезен для оценки механического действия взрыва различных топлив на борту аэрокосмических аппаратов.
Математическая модель
Схема течения и основные ограничения. Рассматривается взаимодействие газового потока, движущегося со скоростью и (с числом Маха М = и/а, где а -скорость звука), и СМК с прямой главной ударной волной s1, перемещающейся со скоростью и (рис. 1, а-в). Тройная точка Т СМК является общей для главной
падающей ^ и отраженной ^ волн, а также для контактного разрыва К, разделяющего потоки за отраженной и главной волнами.
Рис. 1. Схема течения со СМК бегущих ударных волн: а - «дрейфующая»; б - «встречная»;
в - «догоняющая» конфигурация
Течение газа перед СМК характеризуется числом Маха M = и/а, которое условно считается положительным при и > 0 (рис. 1, а, б; поток направлен слева направо) и отрицательным при и < 0 (рис. 1, в; поток течет справа налево). Скорость us ударной волны s\ характеризуется условным числом Маха MS = us /а, которое считается положительным при us > 0, отрицательным при us < 0 и равным нулю для прямого скачка уплотнения, неподвижного в избранной системе координат.
Для определенности рассматриваются тройные конфигурации ударных волн, встречающих своим фронтом частицы газа, изначально расположенные слева
от них (т. е. М > Ms). Требование сверхзвуковой скорости распространения ударной волны относительно потока перед ней приводит к неравенству Мз < М - 1 (область под прямой 1 на рис. 2). Однако теория тройных конфигураций ударных волн [20] показывает, что это условие недостаточно для существования СМК в совершенном газе: они образуются лишь при Мз < М - Мт ,
где Мт = ^(2 - в)/(1 - в) = 1,483 , 8 = (у - 1)Ду +1), а у - показатель адиабаты
газа (во всех приведенных ниже расчетах у = 1,4), что соответствует затененной области параметров задачи под прямой 2. При параметрах задачи, соответствующих области между прямыми 1 и 2, решения для СМК отсутствуют. Согласно [12, 20], при относительном числе Маха движения тройной точки из промежутка \М -М8\ е[МР;Мт), где МР = ^2(1 + л/8)Д 1 + 2л/8) = 1,245, возможно образование только тройных конфигураций догоняющих ударных волн. Тройных конфигураций с относительным числом Маха движения тройной точки, меньшим М^, не существует.
Рис. 2. Области существования «дрейфующих» (I), «встречных» (II) и «догоняющих» (III) СМК на плоскости чисел Маха набегающего потока М и главной ударной волны Мз
В зависимости от направлений движения главной ударной волны и потока перед ней, различают (в терминологии [2]) СМК с «дрейфующей» (при М > 0 и Мз > 0 , рис. 1, а), «встречной» (при М > 0 и Мз < 0, рис. 1, б) и «догоняющей» (при М < 0 и Мз < 0, рис. 1, в) главной ударной волной, которые соответствуют областям параметров НИ на рис. 2. Области НП разделены координатными осями, соответствующими образованию СМК неподвижных скачков уплотнения (при Мз = 0) и распространению СМК бегущих ударных волн в неподвижной среде (при М = 0). В дальнейшем термины «дрейфующая», «встречная» и «догоняющая» (по отношению к набегающему потоку) будут использоваться
применительно не только к главной волне, но и, по аналогии, ко всей СМК в целом.
Условия равенства давлений (р1 = р3) и коллинеарности векторов скорости потока на сторонах контактного разрыва К, исходящего из тройной точки (см. рис. 1, а-в), позволяют рассчитать параметры ударных волн, составляющих СМК, и потоков за ними, при известных числах Маха М и М. Здесь и далее обозначения вида/ (р, рг- и т. п.) относятся к параметрам течения в области i за волной я, а обозначения вида/- к набегающему потоку.
Основные соотношения. Изменение термодинамических параметров потока на ударных волнах я 1 (/ = 1.. .3), составляющих СМК, характеризуется их интен-сивностями Ji - отношениями статических давлений за соответствующей волной и перед ней. В частности, интенсивность J\ = р\1р главной (маховской) ударной волны где р - статическое давление в невозмущенном потоке, ар1 -в области 1 за волной зависит от ее скорости движения относительно встречаемого потока следующим образом [2]:
=(1 + 8)
Г \2
'и - и3 х
а
- 8 = (1 + 8 ) М 2 - 8,
(3)
где М — М - М8 - число Маха потока относительно фронта главной волны. Интенсивность J2 = р2 /р падающей волны в СМК определяется уравнением [21], в другой форме впервые выведенным в [22]:
I Е 1П = 0,
(4)
п=0
где
Е3 — 1 8, Е2 —
(1 + 8 - 82 + 83)ММ2 +(1 - 8)(1 - 8 + 82)
Е
(1 + 8)ММ2 + 1 - 8] [(1 - 8)ММ2 - 2 + 8] , Е0 — (1 - 8)(М2 - 1)((1 + 8)М2 - 8) .
Более удобна обратная форма записи уравнения (4), представляющая относительное число Маха течения как функцию интенсивности J2 падающей волны:
ММ
— 11 + 8 )/(1 + 8 ) ,
(5)
где
а0
J1 — (а1 + ^а2 - 4а0а2)^2а2 , (1 - 8)(8 J2 + l), а1 — (1 + 8 - 82 + 83 ) J22 + 8(1 + 8) J2 +(1 - 8)
ао — J2 Г(1 - 82 ) J2 ( J2 - 1)- 28
Интенсивность J3=р3 /р2 отраженной волны ¿3, согласно условию равенства давлений на сторонах контактного разрыва К, равна
Л — JJ J2 ■ (6)
Отношение Е плотностей газа за некоторой волной и перед ней, согласно адиабате Ренкина - Гюгонио,
E =(1 + S J )/( J + 8 ) ,
(7)
так что плотности р1 и р3 газа за главной и отраженной волнами связаны с плотностью р набегающего потока соотношениями
р1 — р/Е^ Рз — р/(Е2Е3 ) , а соответствующие скорости звука в областях 1 и 3 формулами
а1 — аЩ , аз — Е232 Ез3 з — Е2 Ез-/1 .
(8)
(9)
Скорость потока за прямой волной ¿1 зависит от ее интенсивности следующим образом [2]:
И = и
(1 - 8)«
1 + 8
J1 + 8
(10)
В соответствии с (9) и (10), число Маха М1 за главной ударной волной пред-ставимо в форме:
M^l ( 1 + 8 )( J + 8 )-(1 - 8 )( J - 1) 7(1 + 8) Ji (1 + 8 Ji)
и ✓ И M1 = —
(11)
Соотношения (8) и (10) устанавливают связь между скоростным напором d1 = р1и12/2 потока за волной ¿1 и параметром da = ра2 потока перед тройной точкой Т, имеющим аналогичную размерность:
т2
d1 =
Р1и1
M^/(1 + 8)(J + 8) -(1 - 8)(J1 - 1)
2 (1 + 8 )(1 + 8 J1)
d
(12)
Динамические давления за главной волной и в набегающем потоке ^ = ри2/2) при ненулевой скорости течения перед тройной точкой связаны следующим образом:
М(1 + 8)(3 + 8) - (1 - 8)(31 - 1)П2
d1 =
(1 + 8 )(1 + 8 J1) M2
-d.
(13)
В [2з, 24] получены явные соотношения, выражающие изменения параметров течения на сторонах ударных волн, составляющих тройную конфигурацию,
через их интенсивности. Эти соотношения определяют взаимосвязь скоростных напоров за отраженной = р3и32/2) и главной ^ = р1и12/2) волнами, а также их отношение к скоростному напору потока перед тройной точкой ^ = ри2/2) или к идентичной по размерности величине, отражающей термодинамические характеристики набегающего потока = ра2).
Аналогичные соотношения могут быть получены из анализа СМК неподвижных скачков уплотнения при переходе в систему координат, в которой главная ударная волна движется с некоторой скоростью щ. Условие сохранения полной энтальпии на скачках уплотнения, примененное к неподвижной СМК, приводит к следующему соотношению для параметров течения в областях 1 и 3:
~2 2 ~2
и Л и л
— + —— = — + ■
а,
2
у-1 2 у-1
в котором щ и и3 - скорости потоков в соответствующих областях за неподвижными скачками, а скорости звука а1 и а3 связаны со скоростью звука а в набегающем потоке соотношением (9). В подвижной системе координат (в которой и1 = щ + и8 и и3 = щ + и8), после преобразований и с учетом равенства статических давлений (6) несложно получить следующее соотношение для скорости потока и3 за отраженной волной:
и3 = Us +
в котором скорости и и и1 связаны с интенсивностью главной волны формулами (3) и (10). Окончательное соотношение, определяющее скорость потока за бегущей отраженной волной, имеет вид:
и
= а {м Ц + 8)/(1 + 8) + + 8 Ц - (1 - 82 ) ^2Ез ]/[8 (1 + 8)] } (14)
и позволяет связать скоростной напор за волной = р3и32/2) с напором d = ри2/2 набегающего потока:
^ =
d
Е2 Е3М2
М-
Ц+8 1 + 8
+
1 + 8 Ц -(1 - 8) Ц1Е2 Е3
■(1 + 8 )
а также с величиной da = ра2:
(15)
^ =
d„
2Е2 Е3
М -
Ц1 + 8
+
1 + 8 ^
1 + 8 Ц - (1 - 8 )2 Ц1Е2 Е3
•(1 + 8 )
(16)
Кроме того, соотношение (14) определяет число Маха течения в области 3 за отраженной волной:
И3 = M -V( J1 + 8 V(1 + 8 )+J 1 + 8 J1 -(1 - 82 ) J1E2E3 /[8(1+8)]
a3 yJJ1E2 E3
(17)
Целевые функции. Ввиду равенства статических давлений (р1 = р3) на сторонах контактного разрыва К, отношение скоростных напоров за главной и отраженной волнами равно отношению квадратов чисел Маха течения на сторонах контактного разрыва:
1 — ^ — раУУА — М2 (18)
13 т 2 / ,, у-2 '
а р3и3/ УР3 М1
При этом число Маха М3 течения за отраженной ударной волной выражается зависимостью (17), а число Маха М1 за главной ударной волной - соотношением (11). Интенсивности J1, J2 и J3 главной ¿1, падающей ¿2 и отраженной ¿3 волн определяются соотношениями (16), а соответствующие им отношения Е1, Е2 и Е3 плотностей газа - ударной адиабатой (7).
В ряде случаев (в особенности, если скорость течения за одной из ударных волн близка к нулю в избранной системе координат) для сравнения скоростных напоров на сторонах контактного разрыва уместнее использовать их безразмерную разность:
д — d3 - dl — р1и12/2 - р3и32/2 (19)
13 аа ра
Отношения d1/da и d3/da по отдельности определены зависимостями (12) и (16), соответственно.
Математически задача определения экстремального соотношения скоростных напоров на сторонах контактного разрыва сводится к исследованию целевых функций (18) и (19) в зависимости от скорости и набегающего потока (или от его числа Маха М) и скорости и движения главной волны (или от ее интенсивности J1, или от ее числа Маха М^).
Как показано в [25], для последовательностей стационарных скачков уплотнения, скоростные напоры потоков за отдельными волнами ¿1 и ¿3 также могут достигать экстремальных значений. Отношения скоростных напоров за волнами ¿1 и ¿3 к скоростному напору набегающего потока характеризуются безразмерными функциями:
11 — ^ — р^, (20)
d ри /2
— ^ — р3и32/2 (21)
13- 1 - 2 /о '
а ри /2
которые определены соотношениями (13) и (15), соответственно, и также подлежат параметрическому исследованию. Если скоростной напор набегающего
потока слишком мал (например, распространение ударных волн происходит в изначально неподвижном газе), более удобны для анализа отношения
подробнее определенные формулами (12) и (16).
В дальнейшем проводится параметрический анализ шести целевых функций (18)-(23), отражающих изменение скоростных напоров за главной (3) и отраженной (5) волнами, а также позволяющих провести их сопоставление. Исследование проводится во всем диапазоне чисел Маха набегающего потока М = и/а и ударной волны Мз = и /а, которые могут быть условно отрицательными при и < 0 или и < 0 соответственно. Для определенности параметрический анализ ограничен ударными волнами, встречающими своим фронтом частицы газа, изначально находившееся слева по течению, что соответствует затененной области 1-111 параметров задачи на рис. 2.
Многие аналитические решения, выводимые для бегущих волн в потоке газа, легко получить из анализа стационарных тройных конфигураций неподвижных скачков уплотнения путем перехода [26] к подвижной системе координат (преобразования Галилея). Однако реальный объект воздействия взрывных волн не обладает свободой выбора координатной системы, в которой он подвергался бы минимальному воздействию спутного потока. Поэтому для анализа возможного трансляционного воздействия взрыва на осколок или человеческое тело важно задать скорости движения невозмущенного потока и ударных волн именно в связанной с этим объектом системе координат, которая может быть достаточно произвольной. Последнее предполагает исследование шести целевых функций (18)-(23), характеризующих изменение скоростных напоров, в пространстве двух параметров (например, чисел Маха ударной волны Мз и набегающего потока М) и в максимально широком диапазоне их изменения.
Результаты и их обсуждение
На плоскости «число Маха М невозмущенного потока - число Маха Мз главной ударной волны в заданной системе координат» (рис. 3-8) построены изолинии шести целевых функций, заданных соотношениями (18)-(23). Рассматриваются особенности изменения этих функций и соответствующих им физических величин, начиная с верхней границы области существования СМК.
«Слабейшие» СМК. Как известно [12, 27], тройные конфигурации с прямым главным скачком образуются в установившихся течениях совершенного газа только при таких числах Маха М набегающего потока, что М > Мт , где
М т 8 )/(1 - 8) = 1,483. При меньших числах Маха трехскачковые ударно-
d1 _ р1и12/2 da ра2
(22)
(23)
волновые структуры или не реализуются вообще, или состоят исключительно из догоняющих скачков.
■4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 М
Рис. з. Изолинии отношений скоростных напоров /13 за главной и отраженной ударными волнами СМК
А13
4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 М
Рис. 4. Изолинии безразмерной разности скоростных напоров А 13 за главной
и отраженной ударными волнами
4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 М
Рис. 5. Изолинии отношений скоростных напоров /1 за главной ударной волной СМК и в набегающем потоке
Рис. 6. Изолинии отношений скоростных напоров /3 за отраженной ударной волной СМК и в набегающем потоке
Ms lia
3 2
1
О -1 -2 -3
-4 -5 -6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 M Рис. 7. Изолинии безразмерного скоростного напора I\a за главной волной СМК
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
-4 -3 -2 -1 0 1 03 2 3 4 5 М Рис. 8. Изолинии безразмерного скоростного напора Ьа за отраженной волной СМК
Обращение движения, производимое согласно [26], аналогично показывает, что СМК бегущих волн образуются, лишь если число Маха относительного движения главной волны ¿1 достаточно велико: ММ > МТ. В предельном случае
(ММ — М - М8 — МТ) падающая волна ¿2 вырождается в слабое возмущение
(У2 ^ 1), а интенсивности отраженной и главной волн равны между собой и не зависят от числа Маха набегающего потока:
Зх — зъ — 2/ (1 - 8). (24)
Этот предельный случай соответствует верхней границе области существования СМК на плоскости (М, М^) - прямой 2, описываемой уравнением Мя=М- МТ (см. рис. 2-8).
Ударная адиабата (9) позволяет вычислить равные плотности газов за волнами и такой предельной конфигурации, которая может быть названа «слабейшей». Отношения р1/р и р3/р в «слабейшей» СМК не зависят от числа Маха течения перед тройной точкой:
9\1 р = р 3/р = 2 - £. (25)
Скорости течения за волнами и также равны между собой и вычисляются согласно (10) при Зх = 2/ (1 - 8). Таким образом, оказываются равными и скоростные напоры в различных областях течения за тройной точкой ^ = d3 ). По этой причине отношение скоростных напоров /13 (18) при приближении к прямой 2 стремится к единице (рис. 3), а их безразмерная разность А 13 (19) - к нулю (рис. 4).
Представляет интерес изменение функций /1 = /3 = d1/d = d3/d (20, 21)
и /1а = /3а = d1/ ра2 = d3/ ра2 (22, 23) в зависимости от числа Маха потока перед «слабейшей» СМК. Первая из них представляет отношение равных скоростных напоров в потоках за «слабейшей» СМК к напору набегающего течения, вторая - к аналогичной по размерности величине, характеризующей термодинамические параметры набегающего потока. Соотношения (10), (24) и (25) приводят к следующим выражениям для этих функций:
Л(М) = /3(М) = (2 - 8)(М - МЬг) 2/М2 , (26)
/1а(М) = /3а(М) = (2 - 8)(М -МЬг)2/2, (27)
графики которых в зависимости от числа Маха течения перед СМК показаны кривыми 1 и 2 на рис. 9. Здесь МЪг = 1/Мт = ^(1 - 8)/(2 - 8) = 0,674 - число Маха течения, тормозящегося «слабейшей» СМК до нулевой скорости. Число Маха главной волны в такой «слабейшей» СМК Мз=МЬг - Мт = -0,809.
При М ^ да (распространение ударных волн в изначально неподвижной среде) значения функций (20) бесконечно велики, так как ударные волны конечной интенсивности, составляющие «слабейшую» СМК, трансформируют стоячий поток в течение с конечным значением скоростного напора. На промежутке 0 < М < МЪг функции (26) и (27) характеризуют скоростной напор потока, развернутого встречными волнами «слабейшей» СМК в противоположном направлении. Равные значения /1(М) и /3(М) убывают до нуля при М = МЬг, а затем возрастают, характеризуя при М > МЬг поток, текущий в том же направлении, что и набегающий. Функция (26) дважды оказывается равной единице, а именно при числах Маха:
Ма1,2 = Мт ± 1Д/Т-8 ,
Ма = 2,579, М = 0,388, см. точки а1 и а2 на рис. 2, 5 и 6. В обоих случаях скоростные напоры потоков за «слабейшей» СМК и перед ней равны, но в пер-
вом из них поток за СМК направлен противоположно набегающему, а во втором - в ту же сторону.
В пределе (M ^ю) относительное изменение скорости течения становится малым, и функция (26) определяется только отношением (25) плотностей газа на ударных волнах «слабейшей» СМК (см. асимптотику кривой 1 на рис. 9):
lim IX(M) = lim I3(M) = 2 - e. (28)
Предел (28) показывает увеличение напора потока за «слабейшей» СМК по сравнению с сонаправленным высокоскоростным потоком перед ней. В первом из двух возможных случаев (M ^ +ю) ударные волны, составляющие СМК, сносятся вниз по течению высокоскоростным потоком, текущим слева направо («дрейфующие»
волны по терминологии [2]). Во втором случае (M ^—ю) ударные волны догоняют поток, бегущий перед ним справа налево («спутные» волны согласно [2]).
3 -2-1 0 h 1 2 3 4 5 М
Dr Мт
Рис. 9. Функции /а(М) скоростных напоров за «слабейшей» и неподвижной СМК скачков уплотнения в зависимости от числа Маха М набегающего потока
1 - отношение скоростных напоров 1\(М) за главной волной «слабейшей» СМК и в набегающем потоке; 2 - безразмерный скоростной напор 1\а(М) за главной волной
«слабейшей» СМК; 3 - отношение скоростных напоров 1\(М) за главной волной неподвижной СМК и в набегающем потоке; 4 - безразмерный скоростной напор /ы(М)
за главной волной неподвижной СМК; 5 - отношение скоростных напоров /з(М) за отраженной волной неподвижной СМК и в набегающем потоке; 6 - безразмерный скоростной напор /за(М) за отраженной волной неподвижной СМК; 7 - отношение скоростных напоров /\з(М) на сторонах тангенциального разрыва за неподвижной СМК; 8 - безразмерная разность скоростных напоров А 1з(М) за СМК скачков уплотнения
Функция (27), показанная кривой 2 на рис. 9, сопоставляет скоростной напор потока за тройной конфигурацией не со скоростным напором перед ней, а с комплексом термодинамических характеристик набегающего течения. Она также равна нулю при М = МЬг (что соответствует нулевому значению скоростного
напора за СМК), но конечна при M ^ 0 (при этом I1a = I3a = (1 - 8)/2 ) и, наоборот, неограниченно возрастает в пределе M ^ да.
Совпадение основных критериев отражения ударных волн. Образование СМК соответствует одному из основных критериев перехода от маховского отражения косых ударных волн (или скачков уплотнения) к регулярному - критерию «механического равновесия», названному именем фон Неймана. Однако в диапазоне MT < M < Md, где Md = 2,202, отраженная ударная волна в СМК
соответствует так называемой «сильной ветви» ударной поляры, и такое отражение не считается устойчивым [28, 29]. Согласно [1, 30], при этих числах Маха относительного движения тройной точки реализуется регулярное отражение без образования тройных конфигураций. Таким образом, критерий фон Неймана считается актуальным, а маховское отражение с образованием СМК - устойчивым лишь при при M > Md.
Число Маха Md соответствует совпадению критерия фон Неймана с другим широко известным условием смены типа отражения - критерием полного угла поворота потока, или detachment criterion, имеющим особенно большое особенно большое значение в задачах нестационарной газовой динамики. Значение Md = 2,202 определяется как единственный имеющий физический смысл корень уравнения [21]:
i AM2/ = 0, k=0
А4 =(1 - 8)(2 - 48 + 283 - 84 ), 4 =-10 + 208 -1082 - 1083 + 1284 - 485,
A= -12 - 248 + 1082 + 1683 -1884 + 685, A=- 2 (1 + 8)(3 - 48 + 282 )(1 - 8)2,
A =(1 + 8 )(1 - 8 )4.
Представляет интерес исследование «переходных» СМК, отвечающих сразу двум критериям смены типа отражения ударных волн. На плоскости (M,MS) такие СМК отображаются прямой Nd (см. рис. 2-8) с уравнением:
m - ms = M = Md.
Скоростные напоры потоков за такими конфигурациями исследуются как функции числа Маха M набегающего потока.
Кривые 1-6 на рис. 10 показывают изменение целевых функций (18)-(23), скоростные напоры в которых определены уточняющими соотношениями (12), (13) для потока за главной ударной волной и (15), (16) для потока за отраженной волной. Интенсивности отдельных ударных волн в СМК, образующейся при M = Md, равны соответственно: J1 = 5,490, J2 = 2,309, J3 = 2,378, а обратные отношения плотностей газа: E1 = 0,339, E2 = 0,559, E3 = 0,549, что позволяет вычислить все функции (18)-(23) в зависимости от числа Маха M набегающего потока.
Рис. 10. Функции fd (М) скоростных напоров за тройными конфигурациями, соответствующими совпадению основных критериев смены типа отражения ударных волн, в зависимости от числа Маха M набегающего потока
1 - отношение скоростных напоров li(M) за главной волной и в набегающем потоке;
2 - безразмерный скоростной напор за главной волной ha(M); 3 - отношение скоростных напоров 1з(М) за отраженной волной и в набегающем потоке; 4 - безразмерный скоростной напор за отраженной волной 1за(М); 5 - отношение скоростных напоров /1з(М) на сторонах контактного разрыва; 6 - безразмерная разность скоростных напоров А 1з(М)
Отношение 11 (М) = dx/ d (18) скоростных напоров за главной волной и в набегающем потоке показано на рис. 10 кривой 1. В пределе (М ) функция (20) стремится к одному и тому же значению:
lim 11 (М) = 1/E1 = 2,954. (29)
М
Однако в первом случае (М )это безразмерный скоростной напор тече-
ния, направленного влево как перед «спутной» ударной волной, так и за ней (см. рис. 1, в), а во втором случае (М )главная ударная волна является «дрейфующей», как показано на рис. 1, а, и поток течет вправо как перед ее фронтом, так и после него.
При М = 0 скоростной напор d течения перед СМК стремится к нулю, а функция 11 (М) = dx/d - к бесконечному значению. При некотором увеличении числа Маха главная ударная волна начинает носить «встречный» характер, распространяясь в сторону, противоположную набегающему потоку. В противоположную сторону направлен и поток за главной волной. Значение 11 (М) при этом уменьшается, достигая единицы при М = М^ = 0,921. При М = Мъ^ поток
за встречной ударной волной также направлен в сторону, противоположную потоку перед ней.
При Мс = 1,457 имеет место полное торможение потока на главной ударной волне (т. е. М1 = 0, u1 = 0, d1 = 0, 11 = 0). В дальнейшем интенсивности встречной (а при М > Ма - дрейфующей) ударной волны недостаточно для разворота потока в противоположном направлении. Отношение скоростных напоров 11 (М)
начинает увеличиваться, достигая единицы при Me^ = 3,483. При этом поток за
маховской ударной волной направлен в ту же сторону, что и перед ней, а равенство скоростных напоров на сторонах ударной волны достигается путем уменьшения скорости на фронте волны с одновременным повышением плотности газа. При дальнейшем увеличении числа Маха течения отношение скоростных напоров I1( M) монотонно возрастает и асимптотически стремится снизу к пределу (29).
Изменение функции I1a (M) = djpa2 (22) показано на рис. 10 кривой 2. В силу полного торможения потока за главной волной эта функция также равна нулю при Mc = 1,457. Однако в предельных случаях (M — ±ю) функция I1a(M) стремится к бесконечным значениям, а при м = о она конечна (I1a = 3,134). График функции I1a (M) состоит из нисходящей (при M < Mc) и восходящей ветвей. При M = 0,634 и M =2,279 эта функция равна единице, однако в первом случае речь идет о потоке за главной волной, развернутом в противоположном направлении, а во втором - о текущем в ту же сторону, что и набегающий.
Кривая 3 на рис. 10 отражает изменение функции I3 (M) = d3/d (21) скоростного напора за отраженной волной. Она во многом напоминает график функции I1 (M), однако предельные (при M —±ю) отношения скоростных напоров несколько различаются:
lim I3(M) = 1/(E2E3 ) = 3,258. (30)
M —^±ю /V '
Равенство скоростных напоров за отраженной волной и в набегающем потоке также достигается при других числах Маха (I3 = 1 при Mb = 0,650 и
M = 2,264). Различается и момент разворота потока за отраженной волной:
I3 = 0 при M = Mg = 1,010). Таким образом, при 1,010 < M< 1,457 потоки за тройной конфигурацией рассматриваемого вида направлены противоположно друг другу: течение за отраженной волной сохраняет направление набегающего потока, а за главной волной - направлено в противоположную сторону. В результате течения на сторонах контактного разрыва к оказываются коллинеар-ны, но не сонаправлены.
Кривая 4, отражающая изменение функции I3a (M) = d3/ pa2 (23), как и кривая 2, состоит из нисходящей (в данном случае - при M < 1,010) и восходящей ветвей. При больших числах Маха значения функции I3a (M) растут неограниченно, а при M = 0,226 и M = 1,793 - достигают единицы.
Отношение (18) скоростных напоров за отраженной и главной волнами I13(M) = I3(M)/11 (M) = I3a(M)/I1a(M) = d3/d1 показано на рис. 10, кривой 5. Форма этой кривой определяется ранее описанным поведением функций (20)-(23). В частности, функция I13 (M) равна нулю при Mg = 1,010 и стремится к бесконечности при Mc = 1,457. Ее значения при больших числах Маха набегающего потока определяются пределами (29) и (30):
lim /3(М) = EJ (E2E3 ) = 1,103.
При M^ =-7,904 и M^ = 1,228 значения этой функции достигают единицы,
что свидетельствует о равенстве скоростных напоров за СМК со «спутной» (в первой случае) и «встречной» (во втором случае) главной ударной волной. При небольших числах Маха потока перед тройной точкой (что соответствует СМК со «встречной» главной волной, см. рис. 1, б) значения скоростных напоров на контактном разрыве могут различаться в несколько раз с соответствующим влиянием на аэродинамические силы, воздействующие на тела в потоках за тройной точкой.
Безразмерная разность скоростных напоров Д13 (M) = I3a (M) - I1a (M) = = (d3 - d1)/pa2 (19), показанная на рис. 10, кривой 6, при больших числах Маха (M ) медленно, но неограниченно возрастает. Корни функции Д13 (M) (при Mhi = -7,904 и M^ = 1,228) соответствуют равенству скоростных напоров
за главной и отраженной волнами, а также пересечениям кривых 1 и 3, 2 и 4, выражающих изменение каждого из скоростных напоров по отдельности. Минимум этой функции (Д13(M) = -3,167 при Mt = - 3,338) показывает возможный масштаб различия скоростных напоров за тройными конфигурациями со «спут-ными» ударными волнами, преследующими поток газа. Это существенное значение достигается при умеренных числах Маха течения и интенсивностях ударных волн, составляющих СМК.
Характер изменения скоростных напоров за главной и отраженной волнами, их отношений и безразмерных разностей, описанный здесь при M = Md, сохраняется и при других числах Маха движения тройной точки относительно набегающего потока.
Тройная конфигурация скачков уплотнения. В другом важном частном случае (при MS = 0) рассматриваемая структура бегущих ударных волн обращается в СМК скачков уплотнения, неподвижных в данной системе координат.
Скоростной напор за главным скачком уплотнения неподвижной СМК описывается соотношениями (12) и (13) при интенсивности главного прямого скачка:
J1 =(1 + е) M2 - £.
Поэтому целевые функции I1 = d1/d (18) и I1a = d1jpa2 (22) для скоростных напоров в области за главным неподвижным скачком имеют вид:
I1 =(1 - е + eM 2 )/m 2, (31)
11a =(1 - e + eM2 )/2. (32)
Первая из них монотонно убывает от значения I1 = 1/(2 - е) при M = MT до величины I1 = е при M ^ да (см. кривую 3 на рис. 9). Таким образом, скоростной
напор за главным скачком уплотнения оказывается заметно меньше скоростного напора набегающего потока, что согласуется с результатами анализа, проведенного в [25].
Функция (32) с увеличением числа Маха, напротив, монотонно и неограниченно возрастает, начиная со значения 11a = 1j 2 (1 - е)] при М = Мт . При
М = Мк =yj(1 + е)/е = 2,646 ее значение равно единице (точка k на кривой 4,
рис. 9). Таким образом, скоростной напор за главным скачком уплотнения при больших числах Маха значительно больше, чем аналогичный по размерности комплекс термодинамических параметров набегающего потока, а при небольших числах Маха может оказаться меньше него.
Целевые функции скоростных напоров в области за отраженным скачком
13 = d3/d (21) и 13a = d3/pa2 (22), согласно (15) и (16), преобразуются к форме:
1 = 1 + J-(1 -е2)JE2E3 1 = 1 + J -(1 -е2)JE2E3 3a 2е (1 + е) E2E3 ' 3 е (1 + е) E2Е3М2 '
где J1 =(1 + е)М2 - е - интенсивность главного (прямого) скачка, а E2 и E3 -
отношения плотностей газа на падающем и отраженном скачках, выражаемые адиабатой (7) через их интенсивности J2 и J3. При этом J3 = Jx/J2, а интенсивность J2 падающего скачка определяется из уравнения (4) при М = М. Функция 13а (М) неограниченно возрастает, начиная с 13a = 1j[2 (1 - е)] при М = Мт. В частности, при Мщ = 1,757 (точка m1 на кривой 6, рис. 9) она равна
единице. Функция 13(М), показанная на рис. 9, кривой 5, также монотонно возрастает, начиная со значения 11 = 1/(2 - е) при М = Мт. Она достигает единицы при Мт^ = 2,254 (точка m2 на кривой 5). При больших числах Маха (при
М ^ да) скоростной напор за отраженным скачком стремится к конечному пределу относительно динамического давления набегающего потока:
1 -2е + 2е2 + 2е3 -е4 + (1 -еШ 1/10/1л
lim 13 (М) =---—-}--= 14,342,
м^ 3V 7 2(2 - е)е2
где
D = (1 + е)2 - е(1 - е)[2(1 + е)(2 - е)- е3 (1 - е)".
Отношения 113 и безразмерные разности А13 динамических давлений потоков за СМК скачков уплотнения показаны на рис. 9 кривыми 7 и 8 соответственно. Функция 113(М) монотонно увеличивается от единицы (при М = Мт ) до конечного значения:
, ч 1 - 2е + 2е2 + 2е3 - е4 +(1 - е )VD _
lim I13(М) =--^-1-= 86,05. (34)
м 2 (2 - е) е
Предел (34) несколько меньше аналогичного значения (/^ = 155,8), установленного в [12] для произвольных тройных конфигураций скачков уплотнения. Тем не менее он отражает существенную разницу скоростных напоров, которая может быть достигнута в потоках, прошедших различные последовательности скачков в тройных конфигурациях и других ударно-волновых структурах.
Функция /\з(М), начиная с нулевого значения при М = Мт , возрастает монотонно и неограниченно. Как видно из сравнения кривых 8 и 6, при больших числах Маха она практически определяется значением скоростного напора за отраженным, а не за главным скачком (последнее также увеличивается неограниченно, но намного медленнее).
Тройная конфигурация ударных волн, бегущих по изначально неподвижному газу. Нижняя (при М8 < -Мт) ветвь оси ординат на рис. 2-8 соответствует тройным конфигурациям, бегущим влево со скоростью, соответствующей числу Маха
М б\
> Мт , по изначально неподвижному потоку. Анализ таких
конфигураций важен для оценки трансляционного действия взрывных волн при надповерхностных взрывах [18, 19] или при взрывах в полуоткрытых емкостях (например, в защитных устройствах урнообразного типа [16, 17]).
Скоростные напоры за главной и отраженной волнами СМК, бегущие по покоящейся среде, оцениваются с помощью функций /1а (М51) (22) и /Ъа (М$
(23) соответственно, а их сравнение - с помощью отношения /и (М$ (18)
и безразмерной разности Д^ (|М51) (19). Графики перечисленных функций представлены кривыми 1 -4 на рис. 11.
30 20 10 0 10 20
,2
'l l2
MT 4
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 |М<
Рис. 11. Функции fd , характеризующие скоростные напоры потоков за СМК ударных волн, бегущими по неподвижной среде
1 - безразмерный скоростной напор за главной волной ha в зависимости от числа Маха \Ms\ ее движения; 2 - безразмерный скоростной напор за отраженной волной 1з a; 3 — отношение скоростных напоров I13; 4 — безразмерная разность скоростных напоров Д13
Соотношения (15) и (16), определяющие функции 11а (М2|) и 13а (М2 ), при М = 0 и интенсивности главной волны, представленной в виде:
Jl =(1 + е)М2 -е,
преобразуются к форме:
(1 -е)2 (МI-1)2
I,
1а
1 + е(М2 -1)
(35)
13а =
2 Е2 Е3
1 -
(1 - е )2 Е2Е3 - е Г(1 + е)М2 - е
:(1 + е)
М
(36)
где Е2 =(1 + еJ2)/(J2 + е), Е3 =(1 + еJ3)/(J3 + е), J3 = J1/J2, а интенсивность J2 падающей волны определяется из уравнения (2) при М = М2 .
Функция 11а (| М21) (35) монотонно и неограниченно возрастает, начиная со значения, равного (1 - е)/2 при |М21 = Мт. В частности, 11а = 1 при числе Маха главной ударной волны:
М 2 = -Мк =
4.
1 - е + е2 + Т2-48^382
1 - е
= 1,719.
Начиная со значения (1 - е)/2 при |М2| = Мт , монотонно и неограниченно возрастает и функция 13а (|М 21). Однако ее увеличение происходит более медленно (в частности, функция 13а (М21) достигает единицы лишь при М2 = -М^ = 1,854). В результате безразмерная разность скоростных напоров
Д13 (М21) = 13а (М21)- 11а (М21) = (d3 - d1)/ра2 монотонно и неограниченно убывает, начиная с нуля при |М21 = Мт, достигая существенных значений уже при умеренных числах Маха ударной волны (см. кривую 2 на рис. 11). Отношение скоростных напоров 113 (М2 ) = d3|d1, показанное на рис. 11, кривой 1, монотонно убывает от единицы при |М21 = Мт до конечного предела:
Нт 113 (\М8 \) =
\М2 |^<х>
Я1-2)
Е
31
(1 - е)2Е
= 0,119
31
где
Е31 =(1 + е Jзl)/(JЪl + е ) = 0,297:
(37)
(38)
J31 = (1 + 8 -82 + 83 + 7д)/[28(1 - 8)] = 7,271 (39)
- предельные отношения плотностей и статических давлений газа на сторонах отраженной волны в СМК, движущейся с большим числом Маха [12].
Сравнение пределов (34) и (35) показывает, что скоростные напоры за тройными конфигурациями могут различаться многократно: за СМК неподвижных скачков уплотнения - в пользу потока за отраженным скачком, а за СМК ударных волн, бегущих по изначально неподвижной среде, - в пользу потока за главной (маховской) ударной волной. В частности, при приповерхностном («приподнятом») взрыве конденсированного вещества человеческие тела, находящиеся сверху от траектории тройной точки маховского отражения, испытывают существенно меньшее трансляционное воздействие, чем находящиеся снизу от этой траектории (т. е. у поверхности земли).
Полное торможение потока газа за главной и отраженной волнами. Условие противотечения на контактном разрыве. Как известно, встречная ударная волна при определенной интенсивности осуществляет торможение набегающего потока, а при еще большей интенсивности - его разворот в противоположном направлении. Из условия (10) при щ = 0 и интенсивности прямой главной волны, равной:
=(1 + в)(М -М8 )2 - 8, (40)
следует, что «тормозящая» маховская ударная волна, движущаяся во встречном, «отрицательном» направлении по отношении к набегающему потоку, описывается следующим соотношением на плоскости (М, МБ):
(1 - 28)М -л¡М2 + 4 (1 - 8 )2
Ms =~- Л Л --, (41)
2 (1 - 8)
отображенным кривой 01 на рис. 2-8. Кривая 01 вступает в область существования СМК при М = МЬг = 1/Мт =^(1 - 8)/( 2 - 8) = 0,674 и Мб = МЬг - Мт = -0,809
и пересекает кривую Ш, соответствующую совпадению двух основных критериев смены типа отражения ударной волны, при М = Мс =1,457 и МБ = -0,745. При числе Маха набегающего потока:
М = Мр = (1 - 28 У(1 - 8)/8 = 1,491
число Маха встречной тормозящей прямой волны минимально по абсолютной величине:
М8 = -2^8 (1 - 8) = -0,745.
При больших числах Маха набегающего потока значение МБ для тормозящей волны достаточно медленно, но неограниченно возрастает:
Нш (М8/М) = -е/(1 - е) = -0,200. (42)
В частности, М2 = -1 при М = (1 - 2е)/е = 4.
Кривая 01 соответствует нулевым значениям целевых функций 11 (20) и 11а (21), что показано на рис. 5 и 7 соответственно, а отношение скоростных напоров 113 (18) при приближении к этой кривой неограниченно возрастает (см. рис. 3).
Ниже кривой 01 на плоскости (М, М2) (рис. 2-8) располагается область параметров задачи, соответствующая развороту потока на главной волне ^ в противоположном направлении.
Из точки Ьг (М=МЬг = 0,674, Мб = -0,809) на рис. 2-8 исходит также кривая 03, соответствующая полному торможению потока в области за отраженной волной. Эта кривая, в частности, пересекает линию Ш совпадения двух критериев отражения при М = Mg =1,010 и Мб = -1,192. Уравнение кривой 03 получается, если положить d3 = 0 в соотношение (15) или (16), выразив при этом интенсивность J1 главной волны через число Маха ее движения формулой (40) и рассчитав интенсивности J2 и J3 остальных ударных волн из уравнений (4) и (6). Отношения Е плотностей газа на сторонах этих волн при этом связываются с их интенсивностями Ji адиабатой (7).
Параметры задачи, соответствующие кривой 03, определяют нулевые значения целевых функций 13 (21) и 13а (23), связанных со скоростным напором d3 течения за отраженной волной, а также отношения скоростных напоров 113 = d3/ d1 (18), что показано на рис. 6, 8 и 3 соответственно. Под кривой 03 располагается область параметров, при которых поток за отраженной ударной волной направлен противоположно набегающему течению.
Как видно из рис. 2-8, кривая 03, соответствующая торможению потока за отраженной волной, сильно отличается от кривой 01, соответствующей торможению на главной волне и описываемой уравнением (41). Достаточно сравнить предельное отношение чисел Маха (42) для кривой 01 с аналогичным предельным соотношением для кривой 03:
/ л/1 -(1 - е2) Е31
Нш(М2/М) =--, у ' =-5,375. (43)
1 -,/1 -(1 -е2 )Е
лЯ17^
31
Предельное отношение плотностей Е31 в (43) описывается соотношениями (38) и (39).
Таким образом, при параметрах задачи, соответствующих обширной области, заключенной между кривыми 01 и 03 на рис. 2-8, течения на сторонах контактного разрыва К коллинеарны, но направлены противоположно: в области за отраженной волной - в ту же сторону, что и набегающий поток, в области за главной (маховской) волной - в противоположную сторону. Устойчивость кон-
тактного разрыва, исходящего из тройной точки, при этом может стать предметом дополнительных исследований.
Равенство скоростных напоров на контактном разрыве. Условие dl = dз равенства скоростных напоров за главной и отраженной волнами приводит к трем решениям. Одно из них соответствует прямой 2, т. е. «слабейшим» СМК. В этом случае падающая волна вырождается в слабое возмущение, в результате чего параметры течения за волнами ^ и ^ не различаются.
Второе решение представлено кривой 02 на рис. 2-8. Как видно из расположения кривых 01, 02 и 03, оно соответствует равенству скоростных напоров в противонаправленных потоках: поток за отраженной волной сонаправлен набегающему, а за маховской - течет в противоположную сторону.
Выходя из точки Ьг торможения обоих потоков за СМК, кривая 02 пересекает линию Ш совпадения критериев отражения в точке ^(М = М^ = 1,228,
МБ = 0,974).
Как видно из рис. 3 и 4, в области I, соответствующей «дрейфующим» СМК, и в части области II, расположенной над кривой 02, скоростной напор течения за маховской волной меньше, чем за отраженной. Отношение /13 = й3/ d1 может оказаться значительно больше единицы, стремясь к бесконечности в окрестности кривой 01 (см. рис. 3). Безразмерная разность А13 =(й3 - d1)/ра2 при этом
положительна и способна принимать большие значения (см. рис. 4).
В области III, соответствующей «встречным» СМК, и в части области II, расположенной ниже кривой 02, скоростной напор за отраженной волной меньше, чем за маховской (d3 < й1) . Отношение /13 = d3/d1 может быть значительно меньше единицы, стремясь к нулю в окрестности кривой 02 (рис. 3). Безразмерная разность А13 = (й3 - й1)/ра2 при этом отрицательна и бывает достаточно велика по абсолютной величине (рис. 4) даже при умеренных числах Маха М и Мб.
Третье решение соответствует равенству скоростных напоров сонаправлен-ных потоков за волнами «догоняющей» СМК (см. рис. 1, в) при больших значениях М\ (в частности, соответствующая кривая пересекает линию Nd при М = М^ =-7,904) и здесь подробно не рассматривается. При больших числах
Маха набегающего потока кривые, соответствующие равенству скоростных напоров за маховскими и отраженными волнами, описывается пределом:
Первый из них равен -1,528 и характеризует кривую 02, второй - 2,528 и реализуется при больших отрицательных М и МБ.
31
Характерные значения скоростного напора за главной волной. Приравняв в выражениях (12) и (13), записанных в форме:
7 d
d1 =-2
1 ЕХМ
(1 - 8) (М - М8 )2 -1
м--
л2
М - М8
d„
2 Е1
(1 - 8) (М - М8 )2-1
м--
2
М-М8
при Е1 =(1 + 8J1)/(J1 + 8) и J1 =(1 + 8 )/(М -М8 )2 - 8, скоростной напор
d1 = р1м12/2 за маховской волной со скоростным напором набегающего потока
d = р и 2/2 или с величиной da = ра2, несложно получить условия равенства соответствующих скоростных напоров и графически отобразить их на плоскости (М, М8). Первое условие ^ = d, или 11 = 1) приводит к выражению:
8М ±^(1 - 8)2 + 8М2
М8 = , ,
1 - 8
определяющему кривые 11 и 12 на рис. 2 и 5. Верхняя из них (кривая 11) соответствует «дрейфующим» ударным волнам, сносимым сверхзвуковым потоком вправо по отношению к наблюдателю. Сохранение скоростного напора на этих волнах достигается путем роста плотности газа с одновременным уменьшением скорости потока, который за «дрейфующей» волной (в ситуации, соответствующей рис. 1, а) сохраняет направление набегающего течения.
Кривая 12 соответствует маховским ударным волнам, бегущим навстречу потоку (как показано на рис. 1, б) и разворачивающим его в противоположном направлении. Равенство скоростных напоров в данном случае достигается в противоположно направленных течениях перед волной ^ и за ней. В частности, течение с критической скоростью сохраняет свой скоростной напор
(d1 = р1и12/2 = ра2 /2), будучи развернуто на «встречной» прямой волне ^ с числом Маха:
= -( 8 + 41 - 8 + 82 )/(1 - 8 ) =-1,314.
Кривые 11 и 12 исходят из точек а1 и а2 на кривой 2 с уравнением М8 = М - МТ = М-у!(2 - 8 )/(1 - 8), отображающей «слабейшие» СМК. Числа Маха течения, соответствующие этим точкам, определяются соотношениями:
Ма12 =(72^8 ± 1)/л/Т8, (44)
гдеМ = 2,579, М = 0,388. В пределе (М ^да) соотношение чисел Маха на кривых 11 и 12 остается конечным:
11Ш(М 8/М) = ±^, М ^ 1 ± V 8
указанные значения равны 0,290 и -0,690 соответственно.
М 8
На сильных встречных и догоняющих ударных волнах (при Мб ^ -да) скоростной напор потока, текущего справа налево, неограниченно растет. На сильных дрейфующих ударных волнах число Маха волны ^ ограничено значением числа Маха набегающего потока (М8 < М - Мт), в силу чего предельное отношение скоростных напоров на таких волнах при М ^ да стремится к значению 1/ е.
Равенство значений й1 = р1м12/2 и йа = ра2 (т. е. /1а = 1) достигается на кривых 11а и 12а (рис. 2 и 7), описываемых решениями уравнения:
(1 - е )2 ММ4 - 2 (1 - е)МММ3 +(М2 - 2 + 2е - 2е2)ММ2 + 2 (1 - е)ММ-(1 - е2 ) = 0 относительно значения ММ = М - М8. Эти кривые исходят из точек и1 и и2 на кривой 2 с уравнением Мб = М - Мт = М 2 - е )/(1 - е) :
~ ^ д. Г^ ±л/2
А, -^Л/о— = МЬг ±л~-=-, (45)
Мт \2 -е \2 -е >/2-е
где Ми = 1,719, Ми = -0,370. Кривая 12а пересекает ось ординат (М = 0) при
M s
= -V 1 -е + £2 W2-4s + 3е2/(1 -s) =-1,719,
что соответствует ударной волне, бегущей с данным числом Маха по неподвижному газу и разгоняющему его до скоростного напора й1 = йа = ра . Слева от этой точки соответствующие ударные волны являются «спутными», а справа - «встречными» по отношению к потоку перед ним. Значение Мб на кривой 12а максимально (Мб = -1,497) при М = 1,592.
Кривая 11а имеет точку пересечения с осью абсцисс (М = 0) при
M = Mk = ^(1 + е)/s = 2,646,
что соответствует прямому скачку уплотнения, скоростной напор за которым d = da = ра . Слева от этой точки кривая 11а соответствует «дрейфующим», справа - «встречным» волнам.
В пределе (M ^ да) кривые 11а и 12а описываются тем же соотношением (42), что и кривая 01 нулевого скоростного напора за главной волной:
lim (MS/M) = -е/(1 - е) =-0,200.
M ^да
Как видно из рис. 7, скоростной напор di за главной волной СМК может значительно превышать значение da = ра2, причем неограниченный рост нормированного скоростного напора I1a = dx/da возможен и на «спутных», и на «дрейфующих», и на «встречных» ударных волнах. В последнем случае это скоростной напор потока, развернутого «встречной» волной в противоположном направлении.
Скоростной напор течения за отраженной волной. Условие равенства скоростных напоров за отраженной волной и в набегающем потоке = d, или
р3и3^/2 = ри2/2), примененное к соотношению (15), определяет кривые 31 и 32 на рис. 2 и 6. Исходя из точек а1 и а2 на кривой 2, определенных формулой (44), при больших числах Маха эти кривые равенства скоростных напоров описываются пределами:
= ±УЕ 1 -(1 - 82) Е31
НШ (М8/М ):
1 -Л/1 -(1 -82 )Е
31
где значение равно -3,956 для кривой 31 и -6,794 для кривой 32.
Нижняя кривая 32 соответствует течению за «встречной» СМК, развернутому на отраженной волне в направлении, противоположном набегающему потоку. Из расположения кривых 12 и 32 (см. рис. 2, 5 и 6) видно, что поток за главной волной также развернут противоположно набегающему, а его скоростной напор существенно больше, чем за отраженной волной.
Верхняя кривая 31 соответствует равенству скоростных напоров в сонаправ-ленных потоках перед СМК и за отраженной волной: при М8 > 0 - в «дрейфующей» СМК, а при М8 < 0 - во «встречной» СМК. Поток за главной волной при этом может быть направлен в ту же сторону, что и набегающий (на участке а1т2 кривой 31) или в противоположную (на нижнем участке той же кривой). Рисунок 5 показывает, что, будучи направлен в ту же сторону, поток за главной волной имеет скоростной напор существенно меньший, чем за отраженной, а будучи развернут в противоположную сторону - быстро принимает значения, гораздо большие по абсолютной величине. Таким образом, торможение и разворот потока на главной волне СМК осуществляются более результативно, чем в системе из падающей и отраженной волн.
Условие М8 = 0 применительно к кривой 31 выполняется при числе Маха течения М = Мщ = 2,254 и означает равенство скоростных напоров в невозмущенном потоке и за отраженным скачком уплотнения неподвижной СМК.
Обращает на себя внимание слабая зависимость числа Маха М8 движения СМК, в которой осуществляется равенство скоростных напоров в набегающем потоке и за отраженной волной, от числа Маха М потока (так, например, М8 « 2,5 для кривой 31 во всем диапазоне умеренных М).
Условие d3 = da, или р3и^/2 = ри1 ¡2, примененное к соотношению (16), определяет кривые 31а и 32а на рис. 2 и 8. Исходя из точек и1 и и2, определенных формулой (45), кривые 31а и 32а описываются предельным соотношением, совпадающим с пределом (43) для СМК, тормозящих поток за отраженными волнами:
Л -(l - е2) E31 lim (M JM) =--v , v ' =-5,375.
M~V " ' 1 ^ 1 -(1 - е2) Ез,
Кривая 31a соответствует «дрейфующим» (при MS > 0), «встречным» (при MS < 0) СМК или неподвижным маховским конфигурациям (при MS = 0, M = Mm^ = 1,757). Поток за главной волной при этом может быть как сонаправ-
лен набегающему, так и развернут в противоположном направлении. Если он сонаправлен набегающему потоку, то обладает меньшим скоростным напором, чем поток за отраженной волной (см. рис. 6), а если направлен в противоположную сторону - быстро принимает большие значения скоростного напора.
Кривая 32а соответствует СМК, бегущим влево от наблюдателя: «дрейфующим» при M < 0, «встречным» при M > 0. Поток за отраженной волной при этом направлен также влево в рассматриваемой координатной системе. Значение MS = Mt =-1,854, достигаемое при M = 0, соответствует тройной конфигурации, бегущей влево по изначально неподвижному газу. Рисунок 3 показывает, что скоростной напор потока за главной волной (также направленного влево от наблюдателя) при параметрах задачи, соответствующих кривой 32а, как правило, многократно больше, чем за отраженной.
Дополнительное замечание. Согласно (18), отношение скоростных напоров течений на контактном разрыве за тройной конфигурацией ударных волн равно отношению чисел Маха этих течений. Поэтому результаты анализа изменения чисел Маха в СМК, бегущих в потоке газа, будут иметь много общего с проведенным. Последнее замечание может иметь значение для импульсных газодинамических устройств, создающих поток с заданным числом Маха путем его разгона или поворота на ударных волнах.
Заключение
Скоростные напоры потоков, разделенных контактными разрывами за тройными конфигурациями подвижных ударных волн (образующихся, в частности, при маховском отражении взрывной волны) могут различаться в десятки раз, как в пользу потока за главной (маховской) ударной волной, так и в пользу потока за системой из падающей и отраженной волн. В данной работе на примере СМК бегущих ударных волн показано, что потоки за главной и отраженной волнами не только многократно различаются значениями скоростного напора, но и могут быть противоположны по направлению. Эти явления необходимо учитывать при проектировании средств защиты аэрокосмической техники от взрыва, а также мест их размещения, в частности, на борту воздушного судна или орбитальной станции, изобилующей уязвимыми элементами, способными создать вторичный осколочный поток.
Благодарность/Acknowledgement
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект «Создание и научное обоснование методологии аэрогазодинамического проектирования общего облика двигательных энергетических установок, технологий разработки массового производства беспилотной аэрокосмической техники для решения задач в экстремальных условиях и чрезвычайных ситуациях», № FZWF-2024-0003) / This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (project "Creation and scientific justification of the methodology for aerogasdynamic design of the overall appearance of propulsion systems, technologies for mass production of unmanned aerospace vehicles for solving problems in extreme conditions and emergencies", No. FZWF-2024-0003).
Конфликт интересов / Conflict of interests
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflict of interests.
Библиографический список
1. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 2nd Edition. Berlin - Heidelberg - New York: Springer, 2007. 342 p.
2. Усков В. Н. Бегущие одномерные волны. СПб.: БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, 2013. Т. 1. 232 с. Т. 2 - 186 с.
3. Гельфанд Б. Е., Сильников М. В. Баротермическое действие взрывов. СПб.: Астерион, 2006. 657 с.
4. Гельфанд Б. Е., Сильников М. В., Михайлин А. И., Чернышов М. В. Защита широкофюзеляжного самолета от взрывных нагрузок // Проблемы управления рисками в техносфере. 2009. № 1-2 (9-10). С. 21-31. EDN: LAUBRF
5. Сильников М. В., Михайлин А. И., Чернышов М. В., Шишкин В. Н. Защита узкофюзеляжного воздушного судна от поражающего действия внутреннего взрыва // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2011. № 1 (67). С. 18-27. EDN: NEDUGN
6. Silnikov M. V., Mikhaylin A. I. Protection of flying vehicles against blast loads // Acta Astronautica. 2014. Vol. 97. Pp. 30-37. DOI: 10.1016/j.actaastro.2013.12.012
7. Silnikov M. V., Chernyshov M. V., Mikhaylin A. I. Blast wave parameters at diminished ambient pressure // Acta Astronautica. 2015. Vol. 109. Pp. 235-240. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.12.007
8. Settles G. S., Keane B. T., Anderson B. W., Gatto J. Shock waves in aviation security and safety // Shock Waves. 2003. Vol. 12. Iss. 4. Pp. 267-275. DOI: 10.1007/s00193-002-0162-1
9. Mundy J. A., Rizzetta D. P., Melville R. B. Numerical simulation of the jet produced by an internal aircraft explosion // Journal of Aircraft. 1995. Vol. 32, № 2. Pp. 370-376. DOI: 10.2514/3.46725
10. Baum J. D., Hong L., Lohner R. Numerical Simulation of a Blast Inside a Boeing 747 // 23rd Fluid Dynamics, Plasmadynamics, and Lasers Conference, 6-9 July 1993, Orlando, FL, U.S.A. 1993. Pp. 93-3091. 9 p. DOI: 10.2514/6.1993-3091
11. Бейкер У., Кокс П., Уэстайн П. и др. Взрывные явления. Оценка и последствия / Под ред. Я. Б. Зельдовича, Б. Е. Гельфанда. М.: Мир, 1986. Кн. 1. 319 с.
12. Усков В. Н., Чернышов М. В. Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, № 4. С. 39-53. EDN: NXKWBF
13. Hekiri H., Emanuel G. Structure and morphology of a triple point // Physics of Fluids. 2015. Vol. 27. Iss. 5. № 056102. DOI: 10.1063/1.4921094
14. Чернышов М. В. Экстремальные тройные конфигурации с отрицательным углом наклона отраженного скачка // Известия вузов. Авиационная техника. 2019. № 2. С. 82-88. EDN: JIOOLR
15. Чернышов М. В., Гвоздева Л. Г. Тройные конфигурации скачков уплотнения и бегущих ударных волн // Известия вузов. Авиационная техника. 2022. № 2. С. 87-110. EDN: VDHNFZ
16. Gelfand B. E., Silnikov M. V., Chernyshov M. V. On the efficiency of semi-closed blast inhibitors // Shock Waves. 2010. Vol. 20, № 4. Pp. 317-321. DOI: 10.1007/s00193-010-0250-6
17. Chernyshov M. V., Kapralova A. S., Matveev S. A. Combined device for suppression of damaging effects of detonation of the condensed media // Journal of Physics: Conf. Series. 2019. Vol. 1214. № 012002. 7 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1214/1/012002
18. Балаганский И. А., Мержиевский Л. А. Действие средств поражения и боеприпасов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. 408 с.
19. Omang M., Christensen S. O., B0rve S., Trulsen J. Height of burst explosions: a comparative study of numerical and experimental results // Shock Waves. 2009. Vol. 19. Iss. 2. Pp. 135143. DOI: 10.1007/s00193 -009-0196-8
20. Усков В. Н., Мостовых П. С. Тройные конфигурации бегущих ударных волн в потоках невязкого газа // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 3. С. 3-10. EDN: JVHCCD
21. Chernyshov M. V., Tolpegin O. A. Optimal regular reflection of oblique shocks // Acta Astronautica. 2019. Vol. 163. Pp. 225-231. DOI: 10.1016/j.actaastro.2019.01.015
22. Henderson L. F. Exact Expressions for Shock Reflection Transition Criteria in a Perfect Gas // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1982. Vol. 62, № 6. Pp. 25-261. DOI: 10.1002/zamm.19820620608
23. Омельченко А. В., Усков В. Н. Интерференция нестационарных косых ударных волн // Письма в Журнал технической физики. 2002. Т. 28, № 12. С. 5-12. EDN: RYQYVR
24. Усков В. Н., Мостовых П. С. Тройные конфигурации бегущих ударных волн в потоках невязкого газа // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 3. С. 347-353.
25. Омельченко А. В., Усков В. Н. Оптимальные ударно-волновые системы // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1995. № 6. С. 118-126.
26. Ben-Dor G., Takayama K. Application of Steady Shock Polars to Unsteady Shock Wave Reflections // AIAA Journal. 1985. Vol. 24, № 4. Pp. 682-684. DOI: 10.2514/3.9327
27. Bulat P. V., Chernyshev M. V. Existence regions of shock wave triple configurations // International Journal of Environmental and Science Education. 2016. Vol. 11. Iss. 11. Pp. 4844-4854. EDN: WHXIDV
28. Hornung H. G. On the stability of steady-flow regular and Mach reflection // Shock Waves. 1997. Vol. 7. Pp. 123-125. DOI: 10.1007/s001930050068
29. Тешуков В. М. Об устойчивости регулярного отражения ударных волн // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989. Т. 30, № 2. С. 26-33. EDN: XWELDF
30. Адрианов А. Л., Старых А. Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. 180 с.
Дата поступления: 08.08.2024 Решение о публикации: 11.08.2024
Контактная информация:
ЧЕРНЫШОВ Михаил Викторович - д-р техн. наук, доцент, чл.-кор. РАРАН, профессор (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Россия, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), [email protected], chemyshov_mv@voenm eh.ru
САВЕЛОВА Карина Эдуардовна - аспирант, младший научный сотрудник (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Россия, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), [email protected]
References
1. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 2nd Edition. Berlin - Heidelberg - New York: Springer, 2007, 342 p.
2. Uskov V. N. Running One-Dimensional Waves. Saint Petersburg: Baltic State Technical University "VOENMEH", 2013. Vol. 1, 232 p. Vol. 2, 186 p. (In Russian)
3. Gelfand B. E., Silnikov M. V. Barothermal Action of Blasts. Saint Petersburg: Asterion, 2006, 657 p. (In Russian)
4. Gelfand B. E., Silnikov M. V., Mikhaylin A. I., Chernyshov M. V. Wide-body aircraft defense from blast loading. Problems of Risk Management in the Technosphere. 2009. Iss. 1-2 (9-10), pp. 21-31. EDN: LAUBRF (in Russian)
5. Silnikov M. V., Mikhaylin A. I., Chernyshov M. V., Shishkin V. N. Protection of narrow-fuselage air vehicle from damage action of internal blast. Bulletin of the Russian Academy of Rocket and Artillery Sciences. 2011. Iss. 1 (67), pp. 18-27. EDN: NEDUGN (In Russian)
6. Silnikov M. V., Mikhaylin A. I. Protection of flying vehicles against blast loads. Acta Astronautica. 2014. Vol. 97, pp. 30-37. DOI: 10.1016/j.actaastro.2013.12.012
7. Silnikov M. V., Chernyshov M. V., Mikhaylin A. I. Blast wave parameters at diminished ambient pressure. ActaAstronautica. 2015. Vol. 109, pp. 235-240. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.12.007
8. Settles G. S., Keane B. T., Anderson B. W., Gatto J. Shock waves in aviation security and safety. Shock Waves. 2003. Vol. 12. Iss. 4, pp. 267-275. DOI: 10.1007/s00193-002-0162-1
9. Mundy J. A., Rizzetta D. P., Melville R. B. Numerical simulation of the jet produced by an internal aircraft explosion. Journal of Aircraft. 1995. Vol. 32, no. 2, pp. 370-376. DOI: 10.2514/3.46725
10. Baum J. D., Hong L., Löhner R. Numerical Simulation of a Blast Inside a Boeing 747. 23rd Fluid Dynamics, Plasmadynamics, and Lasers Conference, 6-9 July 1993, Orlando, FL, U.S.A. 1993. Paper 93-3091, 9 p. DOI: 10.2514/6.1993-3091
11. Baker W. E., Cox P. A., Westine P. S. et al. Explosion Hazards and Evaluation. Amsterdam - Oxford - New York: Elsevier, 1983, 807 p.
12. Uskov V. N., Chernyshov M. V. Special and extreme triple shock-wave configurations. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2006. Vol. 47, no. 4, pp. 492-504. DOI: 10.1007/s10808-006-0081-5, EDN: LKATEZ
13. Hekiri H., Emanuel G. Structure and morphology of a triple point. Physics of Fluids. 2015. Vol. 27. Iss. 5. No. 056102. DOI: 10.1063/1.4921094
14. Chernyshov M. V. Extreme Triple Configurations with Negative Slope Angle of the Reflected Shock. Russian Aeronautics. 2019. Vol. 62, no. 2, pp. 259-266. DOI: 10.3103/S1068799819020120. EDN: DORNVG
15. Chernyshov M. V., Gvozdeva L. G. Triple Configurations of Steady and Propagating Shocks. Russian Aeronautics. 2022. Vol. 65, no. 2, pp. 319-344. DOI: 10.3103/S106879982202012X
16. Gelfand B.E., Silnikov M.V., Chernyshov M.V. On the efficiency of semi-closed blast inhibitors. Shock Waves. 2010. Vol. 20, no. 4. Pp. 317-321. DOI: 10.1007/s00193-010-0250-6
17. Chernyshov M. V., Kapralova A. S., Matveev S. A. Combined device for suppression of damaging effects of detonation of the condensed media. Journal of Physics: Conf. Series. 2019. Vol. 1214. № 012002, 7 p. DOI 10.1088/1742-6596/1214/1/012002
18. Balagansky I. A., Merzhievsky L. A. Dejstvie sredstv porazheniya i boepripasov [The Effect of Weapons of Destruction and Ammunition]. Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2004, 408 p. (In Russian)
19. Omang M., Christensen S. O., B0rve S., Trulsen J. Height of burst explosions: a comparative study of numerical and experimental results. Shock Waves. 2009. Vol. 19. Iss. 2, pp. 135-143. DOI: 10.1007/s00193-009-0196-8
20. Uskov V. N., Mostovykh P. S. Triple configurations of traveling shock waves in inviscid gas flows. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2008. Vol. 49, no. 3, pp. 347-353. DOI: 10.1007/s10808-008-0048-9
21. Chernyshov M. V., Tolpegin O. A. Optimal regular reflection of oblique shocks. Acta Astronautica. 2019. Vol. 163, pp. 225-231. DOI: 10.1016/j.actaastro.2019.01.015
22. Henderson L.F. Exact Expressions for Shock Reflection Transition Criteria in a Perfect Gas. ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1982. Vol. 62, no. 6, pp. 258-261. DOI: 10.1002/zamm.19820620608
23. Omel'chenko A. V., Uskov V. N. Interference of nonstationary oblique shock waves. Technical Physics Letters. 2002. Vol. 26, no. 6, pp. 491-493. DOI: 10.1134/1.1490969
24. Uskov V. N., Mostovykh P. S. Triple configurations of traveling shock waves in inviscid gas flows. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2008. Vol. 49, no. 3, pp. 347-353.
25. Omel'chenko A. V., Uskov V. N. Optimal shock-wave systems. Fluid Dynamics. 1995. Vol. 30. Iss. 6, pp. 905-911.
26. Ben-Dor G., Takayama K. Application of Steady Shock Polars to Unsteady Shock Wave Reflections. AIAA Journal. 1985. Vol. 24, no. 4, pp. 682-684. DOI: 10.2514/3.9327
27. Bulat P. V., Chernyshev M. V. Existence regions of shock wave triple configurations. International Journal of Environmental and Science Education. 2016. Vol. 11. Iss. 11, pp. 4844-4854. EDN: WHXIDV
28. Hornung H. G. On the stability of steady-flow regular and Mach reflection. Shock Waves. 1997. Vol. 7, pp. 123-125. DOI: 10.1007/s001930050068
29. Teshukov V. M. Stability of regular shock wave reflection. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1989. Vol. 30, no. 2, pp. 189-196. DOI: 10.1007/BF00852163
30. Adrianov A. L., Starykh A. L., Uskov V. N. Interferenciya stacionarnyh gazodinamicheskih razryvov [Interference of Stationary Gasodynamic Discontinuities]. Novosibirsk: Nauka, 1995, 180 p. (In Russian)
Date of receipt: August 8, 2024 Publication decision: August 11, 2024
Contact information:
Mikhail V. CHERNYSHOV - Doctor of Engineering Sciences, Associate Professor, Corresponding Member of the Russian Academy of Rocket and Artillery Sciences, Professor (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russia, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), [email protected], [email protected]
Karina E. SAVELOVA - Postgraduate Student, Junior Researcher (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russia, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), [email protected]
