CC BY
5УДК 533.6.011.72
ПЕРЕСТРОЙКИ И ТРАНСФОРМАЦИИ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР ПРИ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ КОСЫХ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ И ГИСТЕРЕЗИСА
Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург, Российская Федерация
П. В. Булат
Аннотация. На примере интерференции симметричных встречных косых скачков уплотнения (задача, аналогичная отражению косого скачка уплотнения от стенки) рассмотрена проблема гистерезиса в процессах перехода от регулярного типа отражения к маховскому и обратно. Приведены краткие сведения о математической теории перестроек ударных волн и ударно-волновых структур. Показано, что имеется единственная и полная классификация допустимых форм перестроек. Взаимодействие встречных скачков исследовано численно и экспериментально методом гидроаналогии. Выполнено сравнение выводов из теории и результатов численного и натурного экспериментов. Показано, что переход от регулярного отражения к маховскому происходит в соответствии с критерием отсоединения (detachment criterion в англоязычной литературе; «критерий максимального угла поворота потока на скачке» в русскоязычной) и принципом максимального промедления (термин, введенный в теории особенностей гладких отображений). Такой переход сопровождается скачкообразным изменением интенсивности и угла наклона отраженных скачков уплотнения. Переход от маховского отражения к регулярному происходит по критерию стационарной маховской конфигурации (в терминологии, введенной В. Н. Усковым), что соответствует принципу Максвелла в теории особенностей гладких отображений.
Ключевые слова: гистерезис, маховская интерференция, перестройка, регулярная интерференция, скачок уплотнения, трансформация, ударная волна, ударно-волновая структура.
Для цитирования: Булат П. В. Перестройки и трансформации ударно-волновых структур при интерференции косых скачков уплотнения в условиях неоднозначности и гистерезиса // Аэрокосмическая техника и технологии. 2023. Т. 1. № 2. С. 12-32.
REARRANGEMENTS AND TRANSFORMATIONS OF SHOCK-WAVE STRUCTURES UNDER THE INTERFERENCE OF OBLIQUE SHOCKS UNDER CONDITIONS OF AMBIGUITY AND HYSTERESIS
P. V. Bulat
Baltic State Technical University "VOENMEH", Saint Petersburg, Russian Federation
© Булат П. В., 2023
Abstract. Using the example of the interference of symmetrical opposite oblique shocks (a problem similar to the reflection of an oblique shock from a wall), the problem of hysteresis in the processes of transition from regular to Mach reflection and vice versa is considered. Brief information about the mathematical theory of rearrangements of shock waves and shock-wave structures is given. It is shown that there is a unique and complete classification of admissible forms of rearrangements. The interaction of opposite shocks has been studied numerically and experimentally by the hydroanalogy method. The conclusions from the theory and the results of numerical and full-scale studies are compared. It is shown that the transition from regular to Mach reflection occurs in accordance with the detachment criterion (in the English-language references) or the criterion of the maximum rotation angle at a given shock intensity (in the Russian-language references) and the principle of maximum delay (a term introduced in the singularity theory of smooth mappings). Such a transition is accompanied by an abrupt change in the intensity and angle of inclination of the reflected shocks. The transition from Mach to regular reflection occurs according to the criterion of a stationary Mach configuration (in terms introduced by V. N. Uskov), which corresponds to the Maxwell principle in the singularity theory of smooth mappings.
Keywords: hysteresis, Mach interference, rearrangement, regular interference, shock wave, transformation, shock, shock-wave structure.
For citation: Bulat P. V. Rearrangements and transformations of shock-wave structures under the interference of oblique shocks under conditions of ambiguity and hysteresis. Aerospace Engineering and Technology. 2023. Vol. 1. No. 2, pp. 12-32.
Введение
Интерференция двух косых скачков уплотнения (ударных волн) в зависимости от интенсивности скачков может быть регулярной (рис. 1, а) и нерегулярной, или маховской (рис. 1, б). К параметрам задачи относятся число Маха (М) набегающего потока и углы наклона приходящих скачков а1 и а2. Если скачки С1 и С2 образуются в результате натекания сверхзвукового потока на клинья с углами Р1 и Р2, то удобно задавать углы разворота потока на скачках, равные соответствующим углам клиньев р.
а б
Рис. 1. Регулярная (а) и нерегулярная (б) интерференция встречных скачков уплотнения С1, С2 - приходящие скачки; Сэ, С4 - исходящие скачки; 1р - тройные точки;
т - тангенциальные разрывы
Изменение параметров задачи М, а и р может приводить к трансформациям и перестройкам образующихся при интерференции ударно-волновых структур
(УВС). Трансформацией УВС называется изменение ее параметров при неизменной структурной форме. Например, на рис. 2 показано взаимодействие встречных скачков уплотнения, возникающих в плоском сверхзвуковом потоке, натекающем на два симметрично расположенных плоских клина.
Рис. 2. Трансформация УВС при натекании плоского сверхзвукового потока на два симметрично расположенных клина с углом в = 20°, при изменении числа Маха набегающего потока от 2,2 до 2,8
Изменение числа Маха набегающего потока (параметр задачи) приводит к изменению углов наклона скачков уплотнения, перемещению тройных точек и ножки Маха вниз по течению, что и является трансформацией УВС. Однако структурных изменений УВС в процессе такой трансформации не происходит.
При изменении параметров задачи может наступить момент, когда УВС изменяется структурно, например, происходит регулярно-маховский переход от регулярного отражения (РО) к маховскому (МО), образуются или исчезают тройные точки и т. п. Подобные ударно-волновые процессы называются перестройками УВС.
В ряде случаев реализация УВС зависит не только от параметров задачи, но и от направления трансформации, т. е. одним и тем же параметрам могут соответствовать различные УВС. В таких случаях принято говорить о гистерезисе. Классическое изложение проблемы констатирует наличие областей со множеством решений, которые удовлетворяют условиям динамической совместности на газодинамических разрывах, но не дает правил их отбора, так как законов сохранения для этого недостаточно. Рассмотрим законы, которым соответствуют трансформации и перестройки УВС при регулярно-нерегулярном переходе в условиях гистерезиса.
Теория трансформации и перестроек УВС
В работе [1, С. 26-47] изложены основы представлений об ударных волнах с позиции теории особенностей гладких отображений проецирования [2]. Даны сведения о множестве Максвелла, специальной функции минимумов и механизме образования разрывов в первоначально гладком сверхзвуковом течении. Теория особенностей ударных волн и допустимых форм их перестроек развита в трудах научной школы выдающегося советского и российского математика В. И. Арнольда. В его основополагающей работе [3] сформулирован подход к изучению УВС как к особенностям гладких отображений проецирования.
Особенности подобных функций экстремумов (минимумов) отображений на плоскость исследованы Л. Н. Брызгаловой в [4, 5]. В. И. Арнольдом дана полная классификация особенностей подобных отображений [6]. На связь данной задачи с ударными волнами впервые обратили внимание С. Н. Гурбатов [7] и А. И. Саичев [8], а И. А. Богаевский [9], используя данный аппарат, исследовал возможные перестройки особенностей и бифуркаций уравнения Бюргерса, являющегося удобной моделью, описывающей ударные волны в течениях с малой вязкостью.
Уравнение Бюргерса представляет собой измененное уравнение Эйлера для невязкого газа, в которое добавлено слагаемое с малой вязкостью е—>0:
д и д и д2 и -г- + и — = е-
(1)
д? дх дх2 '
где и - скорость потока; ? - время.
В гладких областях течения, где силы вязкости себя проявляют мало (е—0), уравнение Бюргерса эквивалентно одномерному уравнению Эйлера для невязкого газа:
д и д и
и — + — = 0. (2)
д х д х
Форма уравнения (2), не содержащая давление р, соответствует течению с постоянным вдоль линий тока давлением, что допустимо, так как в условиях динамической совместности в точках интерференции газодинамических разрывов отсутствуют производные от параметров набегающего потока.
Таким образом, уравнение Бюргерса позволяет описывать сверхзвуковое течение и в области резкого изменения параметров (фронт ударной волны), где важную роль играют силы вязкости, и в областях гладкого течения без газодинамических разрывов, где вязкостью можно пренебречь.
Уравнение Бюргерса при помощи преобразования Коула - Хопфа [10, 11] сводится к уравнению теплопроводности, которое и описывает изменение параметров внутри фронта ударной волны. В решении уравнения теплопроводности появляется специальная функция минимума, которая при определенных начальных условиях С0(у) отвечает за появление двузначности решений, т. е. разрывов в первоначально гладком решении [1, С. 26-47]:
(х - л1
G (х, 0 = шп/(у, г, х), / = - Со(у). (3)
у 2 г
Значения начальных параметров С0, при которых возникают разрывы, называются особыми, а вид функции минимумов в этих особых точках - особенностями. Именно их изучали Л. Н. Брызгалова и И. А. Богаевский, который построил все возможные перестройки функции минимума G(x, г) для типичных начальных функций С0 [12].
Позднее С. Н. Гурбатов и А. И. Саичев показали [13], что множество допустимых перестроек уравнений Бюргерса уже множества перестроек функции минимума и определяется выпуклостью ограничения на пространство импульсов функции Гамильтона Н(р, д) уравнения Гамильтона - Якоби (где р, q - фазовые координаты; для уравнения Бюргерса функция Гамильтона это р2/2, где р - импульс). Используя данное условие, Ю. М. Барышников показал [14], что при любых начальных условиях гомотопические типы дополнений ударной волны в момент перестройки и сразу после нее совпадают. Значит, если отраженный разрыв, образующийся в процессе перестройки ударной волны или УВС в момент этой перестройки был, например, скачком уплотнения, то и сразу после перестройки он остается скачком уплотнения и не может превратиться в волну разрежения. Это условие позволило сформулировать теорему о допустимых перестройках ударных волн, УВС и волновых фронтов.
Теорема Барышникова: гомотопический тип дополнения к ударной волне сразу же после момента перестройки такой же, как в момент перестройки.
Обобщая полученные результаты, В. И. Арнольд сформулировал теорию перестроек ударных волн [15], которая утверждает, что УВС имеют конечное количество типов особенностей, трансформируются, претерпевая перестройки в отдельные моменты времени (точки бифуркации). Количество типов этих перестроек конечно и известно. Богаевский дополнил теорию Арнольда своей теоремой.
Теорема Богаевского: локальная ударная волна, рожденная в момент перестройки, в следующий момент при малом изменении параметра «стягиваема» (не образует более сложную структуру) в некоторой окрестности точки перестройки.
Это позволило ему дать полную классификацию всех возможных перестроек ударных волн в одномерном и двухмерном пространстве [16]. Далее она была обобщена и на трехмерный случай. Данная теория трансформаций и перестроек ударных волн дополняет классическую теорию газодинамических разрывов. Она позволяет не только отбирать одно из нескольких возможных решений, следующих из законов сохранения, но и учитывает направление изменения параметров, т. е. позволяет разрешить проблему гистерезиса.
Допустимые формы и направления перестроек функции минимума (3) в двухмерном пространстве показаны на рис. 3. Первая строка показывает процессы
во времени, вторая - волновые структуры в двухмерном пространстве в отдельные моменты времени.
4 А
О )( • X — X — и -«- © А х А х А X АЛ /К А А\ А АЛ
Н ! II II II II и t и Н
Рис. 3. Перестройки ударных волн в 2D-пространстве (белые стрелки - перестройки функции минимума, которые запрещены теоремами Барышникова и Богаевского; черные стрелки - реально реализуемые перестройки УВС)
Анализируя рис. 3, можно сделать вывод, что образовываться могут только УВС, состоящие из точек с двумя приходящими разрывами и двумя исходящими, а также тройных точек. Никакие другие УВС в двухмерном пространстве образовываться не могут. Например, треугольник в верхней строке и четвертом столбце распадается на тройные УВС, но возникнуть из них он не может. В третьем столбце ударная волна может зародиться в гладком течении (черные стрелки), но исчезнуть не может. Может только выродиться в слабый разрыв с интенсивностью J=p2/pi = 1, где p - давление за волной (2) и до волны (1).
Исследование гистерезиса при взаимодействии встречных скачков уплотнения методом вычислительного эксперимента
Имеются области параметров, в которых решение уравнений динамической совместности допускают как РО, так и МО (рис. 4) [17].
Линия Mo(P) отвечает за переключение между МО и РО по критерию стационарной маховской конфигурации (СМК) в терминологии В. Н. Ускова [1, С. 2647], линия M^(P) - между РО и МО по критерию отсоединения (рис. 4). Оба критерия ввел в обращение фон Нейман. Первый критерий часто в англоязычной литературе называют критерием механического равновесия (criterion of mechanical equilibrium), а второй критерием отсоединения (detachment criterion). О критериях перехода между РО и МО подробнее в [1, С. 26-47]; полный обзор проблемы и ранее выполненных работ дан в монографии [18], а также в работах сотрудников Института теоретической и прикладной механики им. Христиано-
вича [19-21]. В этих работах исследован гистерезис при изменении числа Маха набегающего потока или угла клина (клиньев при несимметричной интерференции встречных скачков). Приведено сравнение данных вычислительного и физического эксперимента. В большинстве случаев численные результаты дают более узкий диапазон гистерезиса [22], чем предсказывает теория.
Рис. 4. Область неоднозначности решений на плоскости М - в Мо - линия, соответствующая критерию СМК; Мд - линия, соответствующая критерию отсоединения; I - диапазон изменения числа Маха в ходе вычислительного эксперимента
По мере сгущения разностной сетки отклонение становится меньше, причем переход по критерию СМК (линия М0, рис. 4) предсказывается расчетами с большей точностью, чем обратный переход по критерию отсоединения [23]. Но в ряде случаев получен парадоксальный результат - отдельные численные расчеты, выполненные с использованием консервативных разностных схем, продемонстрировали РО в области параметров, лежащей ниже линии Мд, соответствующей критерию отсоединения (рис. 4). Но консервативные схемы специально создаются для точного соблюдения законов сохранения, поэтому данные факты следует отнести к неверной интерпретации результатов расчетов.
Исследование проблемы влияния на область гистерезиса формы скачков, схемной вязкости в численных методах и нестационарности течения выполнено в работе [24]. Показано, что проявление физической и схемной вязкости можно трактовать как наличие некоторой толщины линий ударных поляр при решении задач об интерференции, причем физическому результату соответствует точка
пересечения огибающих поляр. Для доказательства этого факта в работе [25] использован прямой метод статистического моделирования решения кинетического уравнения Больцмана. Открытым остался вопрос - аналогично ли влияние схемной вязкости влиянию физической вязкости, и сходится ли численное решение к аналитическому при неограниченном измельчении сетки.
Таким образом, выполненные исследования показали, что результаты численных и физических экспериментов демонстрируют границы гистерезиса, близкие к теоретическим, но точность определения границы гораздо хуже, чем Mo. Остался невыясненным теоретический вопрос - почему переходы между РО и МО происходят именно так, а не иначе? Можно ли повлиять на момент перехода, например, создавая возмущения перед и за точкой интерференции?
Для выяснения вопросов сходимости выполнен вычислительный эксперимент, в котором число Маха набегающего потока изменялось в пределах 2,4-3,2. Углы клина составляли в = 20°. Геометрия расчетной области соответствует рис. 2. Среда - невязкий двухатомный газ с показателем адиабаты у = 1,4. Выбор невязкого газа для расчетов обусловлен тем, что вязкость не влияет на законы динамической совместности на ударных волнах [1, С. 26-47]. Однако на численное решение влияет размывание скачка вследствие схемной (сеточной) вязкости, что эквивалентно появлению у линии ударной поляры Л(Р) толщины (Л - логарифм от интенсивности скачка уплотнения J=р2/рь где р2 - давление за скачком; р1 - давление перед скачком) и неопределенности на плоскости М-р. Для исключения данного фактора исследована сходимость решения по числу ячеек в левой входной области, откуда газ затекает в пространство между клиньями (см. таблицу). Сходимость достигалась при 960 ячейках в поперечном направлении по отношению к потоку (по вертикали). Методика учета в теоретическом решении на плоскости поляр размывания скачков описана в [26]. Результаты расчета приведены на рис. 5.
Результаты исследования сходимости
Количество ячеек Численный метод Аналитическое решение с учетом размазывания скачка
РО ^ МО РО ^ МО РО ^ МО РО ^ МО
60 2,6 2,7 2,612-2,975 2,745 - нет
240 2,7 2,9 2,715-2,835 2,878-2,936
480 2,75 3,0 2,753-2,789 3,092-3,22
960 2,8 3,15 2,762-2,78 3,12-3,185
Теоретическое значение 2,77 3,149 2,77 3,149
Рис. 5. Результаты расчета трансформации и перестройки УВС при интерференции встречных скачков уплотнения (960 ячеек по вертикали, угол клиньев 20°, среда - воздух) Стрелками показано направление изменения чисел Маха
На рис. 5 в центральном столбце приведены расчетные ударные поляры, точками отмечены пересечения вторичной поляры с основной и осью ординат. На выносках А и В крупно показана область интерференции встречных скачков. При М = 2,8 интерференция регулярная, а при М = 2,7 - маховская (заметна более темная область за ножкой Маха).
Таким образом, вычислительный эксперимент продемонстрировал, что переход от МО к РО происходит при М = М0 в соответствии с критерием СМК, а от РО к МО - при М = Мд в соответствии с критерием отсоединения. Следовательно, имеет место гистерезис, т. е. структурный вид УВС зависит от направления изменения параметров (в этом случае от направления изменения числа Маха
набегающего потока). На данном этапе этот факт следует воспринимать как эмпирический.
Исследование гистерезиса при взаимодействии встречных скачков уплотнения методом гидроаналогии
Уравнения динамики идеального невязкого газа при показателе адиабаты у = 2 формально совпадают с уравнениями тяжелой мелкой воды в поле силы тяжести, поэтому одним из общепринятых методов физического моделирования ударных волн является гидроаналогия. Задача экспериментов - обнаружение гистерезиса при переходе от РО к МО встречных скачков. Характеристики переходного процесса сравнивались с результатами численных расчетов для газа с у = 2.
Эксперименты проводились в лотке шириной 1 м с потоком в интервале 2-15 л/с, глубина слоя воды не превышала 1 см, поэтому можно говорить о применимости уравнений мелкой воды. Тестовая секция оборудована поворотными пластинами, которые могли устанавливаться под произвольным углом к потоку (рис. 6).
Рис. 6. Экспериментальный гидролоток (линиями справа отмечены профили дна и поверхности воды; поперечная линия соответствует переходу течения
в надкритический режим)
В ходе экспериментов исследовано набегание надкритического потока на пластины, расположенные под разными углами и на разном расстоянии друг от друга. Путем внесения возмущений ниже по течению предпринимались попытки обнаружения стабильных режимов с РО и МО скачков от линии симметрии. Гистерезис при у = 2 может существовать в узком диапазоне углов клина 1617°. Чтобы учесть толщину вытеснения пограничного слоя на пластинах, угол их установки увеличен до 20°, величина определена подбором. Выбор начального числа Маха для проведения эксперимента осуществлялся, исходя из того, что необходимо было обеспечить стационарный режим течения с фиксированным положением центрального скачка. Для этого последовательно изменялись модельные числа Маха и замерялись параметры переходного режима.
При достаточно низком числе Маха 3,8 скачок стоит в любом положении практически неподвижно, дрейфуя вверх или вниз по течению в зависимости от случайных возмущений потока. В дальнейшем эксперимент проводился численным методом в рамках модели идеального газа для у = 2 и методом гидроаналогии для начального числа Маха 3,8, когда УВС находится вне зоны гистерезиса.
Эксперимент проводился следующим образом: в начальный момент времени отражение было регулярным, после создания рукой возмущения (рис. 7, а) в потоке позади точки пересечения скачков течение переходило к МО (рис. 7, б). Затем возмущение вносилось в поток перед ножкой Маха (перед центральным скачком) путем небольшого увеличения скорости потока. Течение возвращалось в режим РО скачков (рис. 7, в). Такое поведение подтверждает гипотезу, что в области неоднозначности решения возможен не только гистерезис, но и переключение из одного режима в другой под действием внешних возмущений.
а б в
Рис. 7. Моделирование гистерезиса при переходе между регулярной (а, в) и маховской (б) интерференцией встречных скачков методом гидроаналогии
Исходя из результатов теоретических расчетов, область гистерезиса должна заключаться в диапазоне чисел Маха 4,4-6, что подтвердилось в эксперименте и результатах численных расчетов. Расчет с 60 ячейками по вертикали, в ходе которого размывание скачков по разностным ячейкам примерно соответствовало условиям проведения эксперимента методом гидроаналогии, дал диапазон чисел Маха в области 4,45-5,45 (рис. 8). Расчеты на разностной сетке с 960 ячейками по вертикали показали диапазон гистерезиса 4,4-5,95. Эксперимент методом гидроаналогии дал примерно такие же результаты. Это подтверждает тот факт, что при изменении параметра задачи - числа Маха набегающего потока -переход от МО к РО происходит в соответствии с критерием СМК, а от РО к МО - в соответствии с критерием отсоединения. В то же время путем созда-
ния возмущений до и после точки интерференции скачков в области гистерезиса можно реализовать и РО, и МО.
Рис. 8. Результаты расчета гистерезиса для условий эксперимента методом гидроаналогии (разностная сетка с 60 ячейками поперек сечения)
Теория гистерезиса
Остается вопрос - всегда ли будет происходить переход от МО к РО в соответствии с критерием СМК, а от РО к МО - в соответствии с критерием отсоединения? Не может ли при дальнейшем изменении параметра задачи при пересечении линии M0 сохраниться МО? Экспериментальные факты требуют теоретического подкрепления.
В теории особенностей гладких отображений в задачах с параметром признаются возможными два типа перестроек: соответствующие принципу Максвелла и максимального промедления. Первый принцип означает, что система перестраивается при прохождении через множество Максвелла (рис. 9, а), второй принцип подразумевает перемещение по фазовой поверхности, описывающей динамическую систему, до тех пор, пока существует решение (рис. 9, б).
Если вычислять значения семейства функций, зависящих от параметров, множество критических значений которого изображено на рис. 10, а (катастрофа сборки в теории катастроф), в точках, принадлежащих этому множеству, то получится поверхность, приведенная на рис. 10, б. Линия самопересечения этой поверхности («ласточкин хвост» в теории катастроф) образует собой множество Максвелла. Линии сборок р1 на рис. 10, б соответствуют переключению решений по принципу максимального промедления. Таким образом, динамическая система, перемещаясь по верхнему листу фазовой поверхности, может пере-
ключаться на нижний лист, пересекая множество Максвелла (см. рис. 9, а), или двигаться по верхнему листу вплоть до точки, в которой касательная к поверхности становится вертикальной (множество границы каустики, рис. 9, б). Первый случай соответствует критерию СМК, второй - критерию отсоединения.
Рис. 9. Иллюстрация принципа Максвелла (а) и принципа максимального промедления (б)
1 - верхний лист поверхности сборки; 2 - нижний лист поверхности сборки; 3 - линия критического множества на верхнем листе; 4 - линия критического множества на нижнем листе; 5 - область регулярных значений; 6 - каустика; красные линии - фазовые траектории
Рис. 10. Множество Максвелла (б) для семейства потенциальных функций Г = ¥(х, а, Ь), зависящих от двух параметров а и Ь, в трехмерном пространстве х-а-Ь, образующих особенность типа «сборки» (а) 1, 2 - поверхности складок; 3 - поверхность «быстрого» движения; dp - особенность типа «ласточкин хвост»; р1 - линии сборок;----множество Максвелла
Поясним принцип максимального промедления на примере осциллятора ван дер Поля (рис. 11), который задается уравнением
х = у — X3 + х, у = —ЕХ. (4)
Если параметр е мал и е > 0, то система быстро движется (релаксирует к аттрактору) по направлению х вдоль стрелок и медленно движется при изменении параметра е вдоль г (рис. 11).
Рис. 11. Реализация принципа максимального промедления на примере осциллятора ван дер Поля: а - схема аттрактора и движение по «быстрой» координате х; б - форма предельного цикла по медленной координате с перестройкой системы и переходом с верхнего листа на нижний и обратно (г - линия аттракторов)
При некотором значении параметра е система оказывается в критической точке, в которой касательная к линии г становится вертикальной (точки отмечены на рис. 11 красными кружками). Это положение является неустойчивым, и динамическая система переходит вдоль фазовых траекторий на другую ветвь линии аттракторов г (такие перестройки отмечены красными стрелками на рис. 11). Подобное поведение системы называется принципом максимального промедления, т. е. при изменении параметров система перемещается по линии устойчивых положений до тех пор, пока эти положения существуют, затем скачком переходит к другой линии устойчивых положений.
Продемонстрируем метод отбора нужных решений и моментов перестройки в условиях гистерезиса. На рис. 12 показаны области, в которых реализуются различные типы отражения встречных скачков уплотнения.
В соответствующих областях показаны фрагменты решения задачи об интерференции встречных скачков (отражения косого скачка от стенки) на плоскости ударных поляр. На рис. 13 на плоскости ударных поляр Л-Р показана последовательность перехода от РО скачка от стенки к нерегулярному. Отражение скачка от стенки полностью эквивалентно интерференции встречных скачков равной интенсивности.
16 17 18 19 20 21
Рис. 12. Области реализации различных типов отражения и область неоднозначности 1 - МО; 2 - граница области неоднозначности, соответствующая критерию отсоединения; 3 - область неоднозначности; 4 - граница области неоднозначности, соответствующая критерию СМК; 5 - РО; красные кружки - пересечения вторичной ударной поляры с МО и РО
Э Р Р Р
а б в г
Рис. 13. Переход от РО скачка уплотнения от стенки к нерегулярному с прохождением точки, соответствующей критерию СМК: а - РО; б - регулярное отражение в точке, соответствующей критерию СМК; в - регулярное отражение в зоне неоднозначности; г - переход к МО в соответствии с критерием отсоединения
В точке (рис. 13, а) отражение регулярное. Постепенное уменьшение числа Маха набегающего потока приводит к уменьшению размеров основной поляры. Угол в остается постоянным и интенсивность косых приходящих скачков уменьшается.
В определенный момент вторичная поляра пересекает основную в ее вершине (рис. 13, б) - это граница области неоднозначности решений, соответствую-
щая линии СМК. Предположим, что в этот момент происходит перестройка УВС от РО к МО. Возможно ли это? Нет, это запрещено теоремой Барышникова. При РО дополнением к каждой приходящей ударной волне является единственная отраженная ударная волна. Если в этот момент возникнет тройная точка и происходит это плавно, без изменения интенсивности и угла наклона отраженной ударной волны, то в процессе перестройки произойдет ветвление приходящей ударной волны на ножку Маха и отраженную ударную волну, т. е. тип дополнения к приходящей ударной волне изменяется, что нарушает теорему Барышникова. До начала нестационарного процесса, который представляет собой перестройку УВС, дополнения к приходящим ударным волнам были отраженными ударными волнами, а сразу после перестройки появились тройные точки, т. е. тип дополнения изменился, хотя точки интерференции (точки перестройки) остались неизменными - это запрещено теоремой Барышникова.
Дальнейшее уменьшение числа Маха сопровождается пересечением вторичной поляры с осью ординат выше вершины основной поляры, вплоть до того момента, пока это возможно (рис. 13, в) - это область неоднозначности решений. В момент, соответствующий критерию отсоединения, вторичная поляра касается оси ординат (рис. 13, г) - это вторая граница области неоднозначности, за которой отражение переходит к маховскому типу, так как РО уже существовать не может.
Таким образом, имеет место реализация принципа максимального промедления, и переход к МО происходит в соответствии с критерием отсоединения. В этот момент теоремы Барышникова и Богаевского не нарушаются. Решение, соответствующее РО, существовать не может, и система переключается на решение, соответствующее МО. В этот момент и происходит нестационарный процесс перестройки УВС. Тройная точка уже родилась, и в процессе перестройки УВС ножка Маха приобретает размеры, а отраженная ударная волна -угол наклона, соответствующие условиям динамической совместности. Тип дополнения в процессе перестройки не изменяется.
Рассмотрим обратную перестройку МО^РО (рис. 14). В начальный момент времени (рис. 14, а) поляра, соответствующая приходящей ударной волне, пересекает поляру, соответствующую числу Маха набегающего потока, в точке на верхней ветви («сильные» скачки) и не пересекает ось ординат (МО).
С увеличением числа Маха увеличиваются размеры основной и вторичной поляр, повышается интенсивность приходящих скачков. Появляется точка пересечения вторичной поляры с осью ординат (рис. 14, б) - область неоднозначности. Условия динамической совместности допускают и РО, и МО.
Невозможен переход от МО к РО по критерию отсоединения, когда вторичная поляра касается оси ординат (рис. 14, а). Изменяется тип дополнения к приходящим ударным волнам. Вместо двух ударных волн рождается одна, и ее параметры, по сравнению с отраженной ударной волной в тройной точке, изменяются скачкообразно, т. е. нарушается теорема Богаевского. Поскольку МО
может существовать и дальше, то перестройка в данной точке рассматривается именно как переход от МО к РО.
Р Р Р Р
а б в г
Рис. 14. Переход от нерегулярного отражения к регулярному по критерию СМК: а - МО; б - МО в зоне неоднозначности; в - переход от МО к РО, соответствующий критерию СМК; г - РО
При дальнейшем увеличении числа Маха вторичная поляра пересекает основную в ее вершине (рис. 14, в). Поскольку задача симметричная, то при еще больших М МО существовать не может, так как точка пересечения с основной полярой перемещалась бы в ее левую часть. Система переходит к РО в соответствии с принципом Максвелла (см. рис. 9, а).
В момент перестройки геометрия и интенсивность отраженной ударной волны меняется плавно, т. е. теорема Богаевского не нарушается, как и теорема Барышникова, так как в момент перестройки ножка Маха уже выродилась, ее высота равна нулю, и переход к РО не сопровождается сменой дополнения к приходящим ударным волнам.
Таким образом, применение теорем Барышникова и Богаевского позволяет дать строгое толкование результатов, полученных эмпирическим путем.
Заключение
В аэродинамике важной является проблема гистерезиса при протекании динамических процессов, когда допускается реализация различных состояний динамической системы при одних и тех же параметрах. Обычно подход к исследованию подобных состояний носит эмпирический характер.
В теории интерференции ударных волн к данной проблеме относится задача перехода между регулярной и маховской интерференцией. В простых случаях она исследована достаточно подробно методами вычислительного и физического эксперимента. В более сложных случаях требуется надежный теоретический критерий, который позволял бы отбирать нужное решение, так как даже численные результаты в областях гистерезиса зависят от постановки задачи вычислительного эксперимента. В настоящей работе такой критерий выведен на основе математической теории перестроек ударных волн, разработанной в рамках научной школы В. И. Арнольда. Критерий заключается в необходимости
выполнения одновременно двух теорем, известных как теорема Барышникова и теорема Богаевского. Продемонстрировано применение разработанного критерия при решении задачи об интерференции встречных скачков в условиях гистерезиса. Приведены результаты численного эксперимента и эксперимента методом мелкой воды.
Благодарность. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (№ FZWF-2020-0015).
Библиографический список
1. Булат П. В. Ударно-волновые структуры. Ч. 1. Основы теории интерференции и рефракции газодинамических разрывов: Учебное пособие / П. В. Булат, М. В. Чернышов. - М.: Изд-во «Спутник +», 2022. - 117 с.
2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. - 400 с.
3. Arnold N. I. Wave front evolution and equivariant Morse lemma // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1976. - Vol. 29. - Iss. 6. - Pp. 557-582.
4. Брызгалова Л. Н. Особенности максимума функции, зависящей от параметров // Функциональный анализ и его приложения. - 1977. - Т. 11. - Вып. 1. - С. 59-60.
5. Брызгалова Л. Н. Особенности максимума семейства функций, зависящих от параметров // Функциональный анализ и его приложения. - 1978. - Т. 12. - Вып. 1. - С. 66-67.
6. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гу-сейн-Заде. - М.: Наука, 1982. - 304 с.; Монодромия и асимптотики интегралов. Т. 2. - М.: Наука, 1984. - 334 с.
7. Гурбатов С. Н. Вероятностные распределения и спектры потенциальной гидродинамической турбулентности / С. Н. Гурбатов, А. И. Саичев // Известия вузов. Радиофизика. -1984. - Т. 27. - № 4. - С. 456-468.
8. Гурбатов С. Н. Крупномасштабные структуры Вселенной в рамках модельного уравнения нелинейной диффузии / С. Н. Гурбатов, А. И. Саичев, С. Ф. Шандарин. - М.: ИПМ им. Келдыша, 1984. - 27 с.
9. Богаевский И. А. Перестройки особенностей функций минимума и бифуркации ударных волн уравнений Бюргерса с исчезающей вязкостью // Алгебра и анализ. - 1989. - Т. 1. -Вып. 4. - С. 1-16.
10. Cole J. D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. - 1951. - Vol. 9. - Pp. 225-236.
11. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = [j,uxx // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1950. - Vol. 3. - Pp. 201-230.
12. Богаевский И. А. Перестройки ударных волн в оптимальном управлении // Современная математика и ее приложения. - 2003. - Т. 7. - С. 3-16.
13. Гурбатов С. Н. Нелинейные волны и одномерная турбулентность в средах без дисперсии / С. Н. Гурбатов, А. И. Саичев, И. Г. Якушкин // Успехи физических наук. - 1983. -Т. 141. - № 2. - С. 221-255.
14. Барышников Ю. М. Топология перестроек множеств негладкости функций минимума вариационных задач // Функциональный анализ и его приложения. - 1990. - Т. 24. - Вып. 3. -C. 62-63.
15. Saichev A. I. Nonlinear Random Waves and Turbulence in Nondispersive Media: Waves, Rays, Particles / A. I. Saichev, S. N. Gurbatov, A. N. Malakhov. - Manchester: Manchester University Press, 1991. - Pp. 290-300.
16. Bogaevsky I. A. Perestroikas of shocks and singularities of minimum functions // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2002. - Vol. 173. - № 1-2. - Pp. 1-28.
17. Булат П. В. Интерференция встречных скачков уплотнения / П. В. Булат, П. В. Денисенко, Н. В. Продан // Научно-техническийаучно-техинформационных технологий, механики и оптики. - 2015. - Т. 15. - № 2. - С. 346-355.
18. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. - Berlin: Springer, 2007. -https://doi.org/10.1007/978-3-540-71382-1
19. Study of Transition Between Regular and Mach Reflection of Shock Waves in Different Wind Tunnels / V. M. Fomin, H. G. Hornung, M. S. Ivanov [et al.] // Proceedings of the 12th International Mach Reflection Symposium, Pilanesberg, South Africa. - 1996. - Pp. 137-51.
20. Flow-Mach-number-variation-induced hysteresis in steady shock wave reflections / M. S. Ivanov, G. Ben-Dor, T. Elperin [et al.] // AIAA Journal. - 2001. - Vol. 39 (5). - Pp. 972-974. -https://doi.org/10.2514Z2.1406
21. The reflection of asymmetric shock waves in steady flows / M. S. Ivanov, G. Ben-Dor, T. Elperin [et al.] // Journal of Fluid Mechanics. - 1999. - Vol. 469. - Pp. 71-87.
22. Хотяновский Д. В. Численный анализ сверхзвуковых течений со сложными ударно-волновыми структурами: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск: ИТПМ, 2007. - 19 с.
23. Васильев Е. И. W-модификация метода Годунова и её приложения в моделировании газодинамических течений с ударными волнами: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. -Волгоград: Волгоградский государственный университет, 1999. - 35 с.
24. Кудрявцев А. Н. Вычислительная аэродинамика сверхзвуковых течений с ударными волнами: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - Новосибирск: ИТПМ, 2014. - 36 с.
25. Шоев Г. В. Численное исследование влияния вязкости на процессы взаимодействия и распространения ударных волн: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск: ИТПМ, 2013. - 19 с.
26. Гистерезис интерференции встречных скачков уплотнения при изменении числа Маха / П. В. Булат, П. В. Денисенко, Н. В. Продан, В. В. Упырев // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2015. - Т. 15. - № 5. - С. 930-941.
Дата поступления: 24.05.2023 Решение о публикации: 13.06.2023
Контактная информация:
БУЛАТ Павел Викторович - д-р физ.-мат. наук, канд. экон. наук, главный научный сотрудник (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Российская Федерация, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), pavelbulat@mail.ru
References
1. Bulat P. V., Chernyshov M. V. Udarno-volnovyye struktury. Ch. 1. Osnovy teorii inter-ferentsii i refraktsii gazodinamicheskikh razryvov: Uchebnoye posobiye [Shock-wave structures. P. 1. Fundamentals of the theory of interference and refraction of gas-dynamic discontinuities: Training Manual]. Moscow: Sputnik +, 2022, 117 p. (In Russian)
2. Arnold V. I. Geometricheskiye metody v teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Geometric methods in the theory of ordinary differential equations]. Izhevsk: Izhevsk Republican Printing House, 2000, 400 p. (In Russian)
3. Arnold N. I. Wave front evolution and equivariant Morse lemma. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1976. Vol. 29. Iss. 6, pp. 557-582.
4. Bryzgalova L. N. Osobennosti maksimuma funktsii, zavisyashchey ot parametrov [Peculiarities of the maximum of a function depending on parameters]. Functional Analysis and its Applications. 1977. Vol. 11. Iss. 1, pp. 59-60. (In Russian)
5. Bryzgalova L. N. Osobennosti maksimuma semeystva funktsiy, zavisyashchikh ot parametrov [Peculiarities of the maximum of a family of functions depending on parameters]. Functional Analysis and its Applications. 1978. Vol. 12. Iss. 1, pp. 66-67. (In Russian)
6. Arnold V. I., Varchenko A. N., Guseyn-Zade S. M. Osobennosti differentsiruyemykh oto-brazheniy. T. 1. Klassifikatsiya kriticheskikh tochek, kaustik i volnovykh frontov [Singularities of differentiable mappings. Vol. 1. Classification of critical points, caustics, and wave fronts]. Moscow, Nauka, 1982, p. 304; Monodromiya i asimptotiki integralov. T. 2 [Monodromy and asymptot-ics of integrals. Vol. 2]. Moscow: Nauka, 1984, 334 p. (In Russian)
7. Gurbatov S. N., Saichev A. I. Veroyatnostnyye raspredeleniya i spektry potentsial'noy gidrodinamicheskoy turbulentnosti [Probability distributions and spectra of potential hydrodynamic turbulence]. Bulletin of Universities. Radiophysics. 1984. Vol. 27. No. 4, pp. 456-468.
8. Gurbatov S. N., Saichev A. I., Shandarin S. F. Krupnomasshtabnyye struktury Vselennoy v ramkakh model'nogo uravneniya nelineynoy diffuzii [Large-scale structures of the Universe within the framework of the model equation of nonlinear diffusion]. Moscow: Keldysh Institute, 1984, 27 p. (In Russian)
9. Bogaevsky I. A. Perestroyki osobennostey funktsiy minimuma i bifurkatsii udarnykh voln uravneniy Byurgersa s ischezayushchey vyazkost'yu [Rearrangements of the singularities of the minimum and bifurcation functions of shock waves of the Burgers equations with vanishing viscosity]. Algebra and Analysis. 1989. Vol. 1. Iss. 4, pp. 1-16. (In Russian)
10. Cole J. D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1951. Vol. 9, pp. 225-236.
11. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = p,uxx. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1950. Vol. 3, pp. 201-230.
12. Bogaevsky I. A. Perestroyki udarnykh voln v optimal'nom upravlenii [Shock wave rearrangement in optimal control]. Modern Mathematics and Its Applications. 2003. Vol. 7, pp. 3-16. (In Russian)
13. Gurbatov S. N., Saichev A. I., Yakushkin I. G. Nelineynyye volny i odnomernaya turbu-lentnost' v sredakh bez dispersii [Nonlinear waves and one-dimensional turbulence in dispersionfree media]. Advances in the Physical Sciences. 1983. Vol. 141. No. 2, pp. 221-255. (In Russian)
14. Baryshnikov Yu. M. Topologiya perestroyek mnozhestv negladkosti funktsiy minimuma variatsionnykh zadach [Topology of rearrangements of sets of nonsmoothness of variational problem minimum functions]. Functional Analysis and Its Applications. 1990. Vol. 24. Iss. 3, pp. 62-63. (In Russian)
15. Saichev A. I., Gurbatov S. N., Malakhov A. N. Nonlinear Random Waves and Turbulence in Nondispersive Media: Waves, Rays, Particles. Manchester: Manchester University Press, 1991, pp. 290-300.
16. Bogaevsky I. A. Perestroikas of shocks and singularities of minimum functions. Physica D: Nonlinear Phenomena. 2002. Vol. 173. No. 1-2, pp. 1-28.
17. Bulat P. V., Denisenko P. V., Prodan N. V. Interferentsiya vstrechnykh skachkov uplot-neniya [Interference of counter shocks]. Scientific and technical bulletin of scientific and technical information technologies, mechanics and optics. 2015. Vol. 15. No. 2, pp. 346-355. (In Russian)
18. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. Berlin: Springer, 2007. https://doi.org/10.1007/978-3-540-71382-1.
19. Fomin V. M., Hornung H. G., Ivanov M. S. [et al.]. Study of Transition Between Regular and Mach Reflection of Shock Waves in Different Wind Tunnels. Proceedings of the 12th International Mach Reflection Symposium, Pilanesberg, South Africa. 1996, pp. 137-51.
20. Ivanov M. S., Ben-Dor G., Elperin T. [et al.]. Flow-Mach-number-variation-induced hysteresis in steady shock wave reflections. AIAA Journal. 2001. Vol. 39 (5), pp. 972-974. https://doi.org/10.2514/2.1406
21. Ivanov M. S., Ben-Dor G., Elperin T. [et al.]. The reflection of asymmetric shock waves in steady flows. Journal of Fluid Mechanics. 1999. Vol. 469, pp. 71-87.
22. Khotyanovsky D. V. Chislennyy analiz sverkhzvukovykh techeniy so slozhnymi udarno-volnovymi strukturami: Avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Numerical analysis of supersonic flows with complex shock-wave structures: abstract of a thesis of a PhD in Physics and Mathematics]. Novosibirsk: ITPM, 2007, 19 p.
23. Vasilyev E. I. W-modifikatsiya metoda Godunova i eyo prilozheniya v modelirovanii gazodinamicheskikh techeniy s udarnymi volnami: Avtoref. dis. d-ra fiz.-mat. Nauk [W-modifi-cation of the Godunov method and its application in modeling gas-dynamic flows with shock waves: abstract of a thesis of a Doctor of Science in Physics and Mathematics]. Volgograd: Volgograd State University, 1999, 35 p. (In Russian)
24. Kudryavtsev A. N. Vychislitel'naya aerodinamika sverkhzvukovykh techeniy s udarnymi volnami: Avtoref. dis. ... d-ra fiz.-mat. Nauk [Computational aerodynamics of supersonic flows with shock waves: abstract of a thesis of a Doctor of Science in Physics and Mathematics]. Novosibirsk: ITPM, 2014, 36 p. (In Russian)
25. Shoev G. V. Chislennoye issledovaniye vliyaniya vyazkosti na protsessy vzaimodeistviya i rasprostraneniya udarnykh voln: Avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Numerical study of the influence of viscosity on the processes of interaction and propagation of shock waves: abstract of a thesis of a PhD in Physics and Mathematics]. Novosibirsk: ITPM, 2013, 19 p. (In Russian)
26. Bulat P. V., Denisenko P. V., Prodan N. V., Upyrev V. V. Gisterezis interferentsii vstrech-nykh skachkov uplotneniya pri izmenenii chisla Makha [Hysteresis of interference of oncoming shock waves with a change in the Mach number]. Scientific and technical bulletin of scientific and technical information technologies, mechanics and optics. 2015. Vol. 15. No. 5, pp. 930-941. (In Russian)
Date of receipt: May 24, 2023 Publication decision: June 13, 2023
Contact information:
Pavel V. BULAT - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Candidate of Economics, Principal Research Associate (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russian Federation, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), pavelbulat@mail.ru
