CC BY
0УДК 533.6.011.72
ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УДАРНО-ВОЛНОВОЙ СТРУКТУРЫ ТЕЧЕНИЯ С МАХОВСКИМ ОТРАЖЕНИЕМ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
М. В. Чернышов, К. Э. Савелова
Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. Проведен сравнительный анализ методов приближенного аналитического исследования параметров ударно-волновой структуры (в частности, определения высоты главного, или маховского, скачка уплотнения), возникающей в плоских установившихся сверхзвуковых течениях газа (например, при истечении сверхзвуковой струи и в сужающемся канале между двумя клиньями) с нерегулярным отражением возникающих скачков. Предлагается новая аналитическая модель, основанная на ранее достигнутых результатах решения частных задач о взаимодействии газодинамических разрывов, волн разрежения и сжатия между собой и с различными поверхностями. Путем сравнения с известными численными и экспериментальными данными показано, что предложенная модель быстрой оценки параметров ударно-волновой структуры является более точной по сравнению с предыдущими.
Ключевые слова: сверхзвуковое течение, маховское отражение, ударно-волновая структура, взаимодействие газодинамических разрывов
Для цитирования: Чернышов М. В., Савелова К. Э. Приближенно-аналитическая модель ударно-волновой структуры течения с маховским отражением скачков уплотнения // Аэрокосмическая техника и технологии. 2023. Т. 1, № 4. С. 42-66. ЕРЫ КиСБРС
APPROXIMATE ANALYTICAL MODEL OF SHOCK-WAVE STRUCTURE OF SUPERSONIC FLOW WITH MACH REFLECTION OF OBLIQUE SHOCKS
M. V. Chernyshov, K. E. Savelova
Baltic State Technical University "VOENMEH", Saint Petersburg, Russia
Abstract. In this paper, a comparative analysis of methods for approximate analytical study of the parameters of the shock-wave structure (in particular, determining the height of the main, or Mach, shock) arising in planar steady supersonic gas flows (for example, in a supersonic jet flow or in a narrowing channel between two wedges) with irregular reflection of the oblique shocks is obtained. A new analytical model is proposed, which is based on the previously achieved solutions of some problems of the interaction of ga-sodynamic discontinuities, expansion and compression waves with each other and with various surfaces. By comparing with known numerical and experimental data, it is shown that the proposed model for the rapid estimation of shock-wave structure parameters is more accurate than the previous ones.
Keywords: supersonic flow, Mach reflection, shock-wave structure, interaction of gasodynamic discontinuities
© Чернышов М. В., Савелова К. Э., 2024
For citation: Chernyshov M. V., Savelova K. E. Approximate analytical model of shock-wave structure of supersonic flow with Mach reflection of oblique shocks. Aerospace Engineering and Technology. 2023. Vol. 1, no. 4, pp. 42-66. EDN KUCSDC
Введение
При интегральной оценке параметров сверхзвуковых течений с газодинамическими разрывами большое значение имеют не только тип отражения возникающих скачков уплотнения, но и геометрические параметры формирующейся ударно-волновой структуры, включая высоту главного скачка уплотнения, образующегося при нерегулярном (маховском) отражении.
Маховское отражение скачков уплотнения в сверхзвуковых газовых струях, соплах, воздухозаборниках и других устройствах аэрокосмической техники приводит к образованию тройной конфигурации, которая разделяет поток за ней на две области с существенно различными значениями давления торможения, скорости и скоростного напора, температуры, плотности газа, акустического импеданса и многими другими параметрами, имеющими большое прикладное значение [1]. К примеру, давления торможения и статические температуры газа на сторонах тангенциального разрыва, исходящего из тройной точки ма-ховского отражения, могут различаться в десятки раз [1-3]. Высота тройной точки, совпадающая с размером главного (маховского) скачка, при этом является ключевым параметром, позволяющим сравнить объемы и влияние обеих областей на структуру течения в целом, что необходимо, например, для интегральной оценки параметров потока, попадающего в камеру сгорания воздушно-реактивного двигателя. Существенное различие в параметрах потоков за тройной точкой (значительно большее значение полного давления на одной стороне тангенциального разрыва, а температуры газа - на другой) служит поводом для их разделения в перспективных реактивных двигателях комбинированного типа [4-6] и дальнейшего использования в разных термодинамических циклах.
Для эффективного разделения потоков за тройной точкой необходимо, чтобы оценка размеров маховского скачка была достаточно точной. Однако использование широко распространенных программ вычислительной газовой динамики приводит к различным, даже противоречивым результатам (зависимость ударно-волновой структуры регулярного или маховского отражения от начального приближения поля течения, выявленная в [7-9]). Получаемые численные решения очень чувствительны к начальным и граничным условиям, выбору численного метода, принятой модели турбулентности и других факторов. По этой причине по-прежнему необходимы простые и удобные аналитические модели для быстрой и надежной оценки параметров ударно-волновой структуры и анализа характеристик течения в целом.
Предлагается новая аналитическая модель ударно-волновой структуры сверхзвукового течения с маховским отражением, основанная на современных результатах теории взаимодействия газодинамических разрывов. Результаты, полученные с ее помощью, сравниваются с численными и экспериментальными данными, результатами применения предложенных моделей. В дальнейшем они могут быть применены для исследования сверхзвуковых струйных течений, газодинамического проектирования конвергентных сверхзвуковых воздухозаборников, сопловых аппаратов, агрегатов воздушно-реактивных двигателей и других установок аэрокосмической техники.
Схема сверхзвукового течения с маховским отражением
Рассматривается течение с маховским отражением косых скачков уплотнения от плоскости симметрии в невязком сверхзвуковом потоке совершенного газа, которое имеет место в сужающемся канале между двумя клиньями (рис. 1, а) или при истечении плоской перерасширенной струи (рис. 1, б). Первый из рассматриваемых случаев является модельным для газодинамического проектирования сверхзвуковых воздухозаборников, второй - для струйных течений из сопел реактивных двигателей, а также при разработке аппаратов струйных технологий.
Рис. 1. Схемы течений с маховским отражением: а - в сужающемся канале между двумя клиньями; б - в перерасширенной газовой струе
М - число Маха невозмущенного потока; 1 (АТ) - косой скачок уплотнения, падающий с кромки сопла или с передней кромки клина; 2 (ТВ) - отраженный скачок уплотнения; 3 (ТО) - главный (маховский) скачок; Т - тройная точка маховского отражения, общая для падающего, отраженного и главного скачков; т - тангенциальный разрыв, исходящий из тройной точки и разделяющий потоки за отраженным и маховским скачками (сверхзвуковой и дозвуковой соответственно); вт - переменный местный угол наклона (в общем случае искривленного) тангенциального разрыва т к горизонтальной плоскости симметрии течения; Д, в2 - углы поворота потока на скачках уплотнения 1 (падающем) и 2 (отраженном); в3Т = в3Т - угол поворота потока на главном скачке 3 в окрестности тройной точки Т; <г1, с2, - углы наклона скачков 1 и 2 к векторам скорости потока перед ними; с3Т - угол наклона скачка 3 в тройной точке Т; к - ширина выходного сечения струи или канала между клиньями;
уТ - искомый размер главного скачка (высота тройной точки); (г, р) - расстояние и полярный угол, отсчитываемый от горизонтального направления, в цилиндрической системе координат с центром в точке А; НВ - акустическая характеристика первого семейства, которая попадает в точку В выхода отраженного скачка на границу струи или начала его взаимодействия с хвостовой волной разрежения I - область течения за падающим скачком уплотнения 1; II (ВТС) - область потока за отраженным
скачком уплотнения (согласно [10, 11], она может быть аппроксимирована простой волной разрежения Прандтля - Майера с прямыми акустическими характеристиками первого семейства); III - область течения за маховским скачком уплотнения 3 («виртуальное сопло» с критическим сечением СгОг, согласно терминологии [12]); IV - веер характеристик волны разрежения, сходящий с границы струи в результате ее пересечения с отраженным скачком 2 или с задней кромки обтекаемого клина; V - веер характеристик исходящей волны разрежения, образующейся в результате встречного взаимодействия волны IV с криволинейным скачком уплотнения ВВ1; VI - зона отражения волны разрежения IV или V от тангенциального разрыва т, разворачиваемого этой волной в горизонтальном направлении и далее; VII - отраженная волна Прандтля - Майера (в [13] доказывается, что это волна сжатия); ВС - головная акустическая характеристика первого семейства волны разрежения IV или V; т1 и т2 - слабые тангенциальные разрывы,
ограничивающие сдвиговый слой переменной энтропии, образующийся в результате встречного взаимодействия отраженного скачка уплотнения 2 с центрированной волной разрежения IV [14, 15]; 8 (В1В2) - результирующий скачок уплотнения, исходящий из области взаимодействия отраженного скачка уплотнения с волной разрежения IV
Локальное решение задачи о маховском отражении в окрестности тройной точки
Предполагается, что отражение падающего скачка 1 является маховским согласно критерию фон Неймана. Это означает, что интенсивность J1 падающего скачка уплотнения (отношение статических давлений за скачком и перед ним) находится в диапазоне:
Интенсивность JN, минимальная для реализации маховского отражения скачка 1, соответствует образованию так называемой «стационарной маховской конфигурации» с прямым главным скачком и определяется уравнением [1, 3]
где £ = (у - 1) / (у + 1), у - показатель адиабаты газа; во всех примерах расчета, приведенных далее, у = 1,4).
Наибольшая допустимая интенсивность J1 = JТ соответствует тройной конфигурации скачков уплотнения с прямым отраженным скачком 2 (ТВ). Это значение переходной интенсивности удовлетворяет уравнению [1, 3, 16]
JN < < .
(1)
3
Е3= 1 -г, Е2=-[(1 + 8-82 + 83) М2 +(1 -г)(1 -8 + 82)", Е1 = г[(1 + г)М2 +1 - г] • [(1 - г)М2 - 2 + г],
Ео =(1 -г)(М2 -1)((1 + г)М2 -г),
(2)
M4 - rM2 + (JT -1)(JT + 2 - s)/(l - s) = 0, : (JT -1)(JT + 2 - s)/(Jt + e) + (JT + s)/(1 + s) + (1 + sJT )2 /Г(1 - s)(JT + s)2
(3)
Ударно-волновые структуры, возникающие при отражении скачков с интенсивностью Зх > ЪТ, известны как отражения Гудерлея и Васильева [17, 18]. Обычно они не реализуются в установившихся течениях, особенно при умеренных и больших числах Маха. Как правило, вместо них возникают течения с отошедшим головным скачком (при входе в сверхзвуковой воздухозаборник) или с сильным скачком уплотнения, запирающим течение по соплу (при чрезмерном перерасширении газовой струи).
При условии (1) в тройной точке Т возникает маховское отражение с образование тройной конфигурации второго типа согласно классификации [16, 19]. Условия сонаправленности потоков и равенства статических давлений на сторонах тангенциального разрыва, исходящего из тройной точки, приводят к следующей системе уравнений, определяющей параметры отраженного скачка 2 (ТВ) и главного (маховского) скачка 3 (ТО):
ß1 + ß2T ß3T
ft J J
3T ' 1 2T
J.
3T ■>
(4)
где Ъ2Т, Ъзт - интенсивности скачков 2 и 3 в точке Т. Следующие соотношения определяют углы отклонения потока в2Т и взТ от горизонтального направления в тройной точке:
tg | =
(1 + s)Ml2 - J2T -s (1 -s)( J2T - 1)
j2t + e
(1 + s)ml2 -(1 -s)( j2t - 1)'
tg IÄT I
V
(1 + s)M2 - J3T -E (1 -S)( J3T - 1)
J3T + s (1 + s)M2 -(1 - s)(J3T -1)
(5)
Углы отклонения положительны, если поток поворачивает противоположно ходу часовой стрелки. Числа Маха потока (М1 - после падающего скачка 1; М2Т, Мзт - после соответствующих скачков в окрестности тройной точки) удовлетворяют формулам
М,
К J1 + s) M2 -(1 -s)( J12 -1)
J1 (1 + sJ1)
M
К J 2 r +s) M12 -(1 -s)( J 2r - 1)
j 2 t (1 + sj 2 t )
M 3T =
(J3r +s)M2 -(1 - s)( J2r -1)
(6)
j3 t (1 + sj3 t )
При маховском отражении косых скачков уплотнения в установившемся сверхзвуковом течении предполагается, что поток за отраженным скачком 2 является сверхзвуковым (т. е. М2 > 1). Это приводит к следующему ограничению для интенсивности падающего скачка, которое немного строже, чем (3):
JN < J < Js,
(7)
Интенсивность падающего скачка JS соответствует критической скорости течения за нерегулярно отраженным скачком. Его значение определяется алгебраическим уравнением 10-го порядка относительно М и 14-го порядка относительно JS, численное решение и анализ которого дано в [20].
Углы j1, j2T и j3T наклона соответствующих скачков к направлению потока перед ними связаны с их интенсивностями следующим образом:
J1 = (1 + s)M2 sin2 j - s, J2T = (1 + s)M1 sin2 <j2t - s,
(8)
J3T = (1 + s)M2 sin2 j3t - s.
Поскольку отраженный (2) и главный (3) скачки имеют ненулевую геометрическую кривизну, их интенсивности (32 и З3) являются переменными функциями, которые изменяются от значений и Ззт в тройной точке до значений и Ззс> в точках В и О соответственно. Углы в2 и в3 отклонения потока в произвольных точках на фронтах скачков 2 и 3 таковы, что
tg в2
tg| в
V
V
(1 + s)M2 - J2 -s (1 -s)( J2 -1)
J 2 + s
(1 + s)M1 -(1 -s)(J2 -1)'
(1 + s)M2 - J -s (1 -s)( J3 -1)
J3 +s (1 + s)M2 -(1 - s)( J3 - 1)
Углы j2 и j наклона скачков уплотнения 2 и 3 по отношению к потоку перед ними в произвольных точках скачков определяются уравнениями
J2 = (1 + s)M2 sin2 j2 - s, J3 = (1 + s)M2 sin2 j - s.
Аналогично (6) рассчитываются числа Маха M2T и M3T в областях II и III сразу за этими искривленными скачками:
M,
M3 =
(J2 +s)M2 -(1 -s) ( J 22 - 1)
J2 (1 + sJ2 )
(J3 + s)M2 -(1 -s) ( J32 - 1)
(1 + еЗъ)
Таким образом, соотношения (3-6) при дополнительном ограничении (2) или (7) позволяют рассчитать параметры всех скачков и потока за ними в окрестности тройной точки маховского отражения. При заданных параметрах набегающего потока и интенсивности падающего скачка, решение в тройной точке является единственным и точным для невязкого течения. Оно хорошо изучено параметрически [1-3, 16, 20-22] и часто используется в различных аналитиче-
ских моделях [10-13]. В то же время оно не определяет размер маховского скачка, форму и свойства других образующихся скачков и разрывов за окрестностью тройной точки. Следовательно, остаются неустановленными и интегральные характеристики потока в целом. Эта проблема [23] долго остается нерешенной.
Аналитическое описание и выбор начального приближения
для параметров течения по «виртуальному соплу» за главным скачком
Тангенциальный разрыв т, который направлен под углом 63T = ß1 + ß2T к горизонтальной плоскости в тройной точке T маховского отражения, ограничивает сверху область III течения за сильным главным (маховским) скачком, которое изначально (непосредственно за главным скачком) является дозвуковым. Согласно критерию фон Неймана, маховское отражение существует при Q3T < 0. Так называемое отражение фон Неймана, которое теоретически может возникать при Q3T > 0, в реальных установившихся течениях неустойчиво и фактически не образуется [24, 25].
Ввиду малых поперечных градиентов параметров течения в области III, этот поток обычно рассматривают как изэнтропный и квазиодномерный, аналогичный квазиодномерному течению по классическому сверхзвуковому соплу («соплу Лаваля») с небольшими углами раствора. Аналогия со сверхзвуковым соплом еще более полна, поскольку под воздействием веера характеристик волны разрежения IV или V (рис. 1, а, б) тангенциальный разрыв т разворачивается вверх, в результате чего угол вт его наклона в некоторой точке C* становится равным нулю. Скорость потока в дозвуковой области TOO*C* за некоторой линией O*C* (критическим сечением) становится сверхзвуковой. Таким образом, термин «виртуальное сопло» адекватно характеризует поток в области III за главным скачком.
Совпадение разворота контактного разрыва и перехода течения за маховским скачком к сверхзвуковым скоростям является ключевым условием в многочисленных аналитических моделях [10-13, 26-30] и численных исследованиях, позволяющих провести оценку высоты yT маховского скачка. Если предполагаемая высота yT слишком мала, поток газа в области III достигает критической скорости раньше, чем происходит разворот тангенциального разрыва до горизонтального направления. В противном случае, если оценка высоты yT слишком велика, тангенциальный разрыв поворачивается до горизонтального направления, а скорость течения снизу от него остается дозвуковой (вт = 0 при M3 < 1).
В рамках квазиодномерной модели течения в области III за маховским скачком 3, ширина y произвольного поперечного сечения этой области течения определяет число Маха М3т потока в соответствующем сечении через соотношение расходных функций:
у./У = q ( MЗт), (9)
поэтому
y/y = q (M3 )/q (Мзт), а°)
где q (M) = M • [1 + s (M 2 - 1)]-1/2е - безразмерная изоэнтропическая функция расхода; у* в (9) - ширина области III в ее «критическом сечении» O*C*; M3 - усредненное число Маха потока непосредственно за криволинейным скачком уплотнения 3 (в первом приближении M3 = M3T). Статическое давление p, равное на обеих сторонам тангенциального разрыва, как и другие параметры течения на его нижней стороне, определяется формулами изоэнтропного течения
РРт =п( M зг)/П( M 3 ) = n(M2r)/n(M2T), (11)
где п (M) = (1 + (у- 1) M2/2)-y/(y_1) - изоэнтропическая функция давления; M2t -число Маха потока в рассматриваемой точке, но на верхней стороне тангенциального разрыва.
Если высота маховского скачка достаточно велика по сравнению с размером поперечного сечения потока в целом, и нельзя пренебречь поперечными градиентами потока в области III, то могут применяться методы усреднения параметров течения. В первую очередь, вместо числа Маха M3T за главным скачком в окрестности тройной точки, в (9-11) можно использовать число Маха M0 за прямым главным скачком в точке O. Аналогичным образом могут быть использованы некоторые усредненные (между M0 и M3T) значения (например, полусумма этих чисел Маха). Но поскольку именно число Маха M3T в действительности точно характеризует начальное (в окрестности тройной точки) состояние потока с нижней стороны тангенциального разрыва, приближение M3 = M0 является более спорным. В качестве компромисса начальное статическое давление на левой границе дозвуковой зоны III может быть оценено как усредненное согласно [12] интегральное значение, дополненное параболической аппроксимацией формы главного скачка:
yT
Р3 = J Р (У) dy Ут, (12)
0 /
Оригинальный и более простой, чем усреднение (12), метод аппроксимации параметров потока в начале дозвуковой зоны предложен и применен в [27, 28]. Основываясь на приближении первого порядка для потока за главным скачком, получено следующее соотношение для оценки начального среднего числа Маха в области III:
M = 2 (РзтU3T C0SC3T +PoUO ) (13)
3 (Рзт +Po )(a3T + aO ) '
где p3T, u3T, a3T - плотность газа, скорость потока и скорость звука в зоне III сразу за тройной точкой; р0, uO, aO - параметры за прямым скачком в точке O; с3т -угол наклона маховского скачка в тройной точке.
Аппроксимация потока за отраженным скачком
В работе [12], посвященной приближенно-аналитическому описанию течения с маховским отражением, предположено, что головная акустическая характеристика BC второго семейства волны разрежения падает на тангенциальный разрыв т в критическом сечении области III (т. е. C = C*, рис. 1, а, б). Причем разрыв т является прямолинейным и имеет тот же угол наклона, что и за тройной точкой. В условии постоянства всех углов наклона сильных и слабых разрывов, составляющих треугольник BTC, несложно определить длину дозвуковой части «виртуального сопла» III и, следовательно, высоту тройной точки.
Однако сравнение с экспериментальными результатами [31, 32] выявляет большие ошибки (до 50-100 %) в оценках [12]. Основные причины недопустимых ошибок следующие:
• Тангенциальный разрыв т в действительности криволинеен. Угол его наклона переменный и изначально (в тройной точке) мал. Поэтому даже небольшая количественная ошибка в оценке угла наклона тангенциального разрыва существенно влияет на оценку длины и ширины дозвуковой зоны. Представим, например, изменение угла наклона вт от в3т = -2° до вт = -10° в точке C. Если считать угол вт постоянным, возникает ошибка в длине и ширине дозвуковой зоны в несколько раз. Таким образом, пренебрежение изменением угла наклона приводит к очень сильному занижению размера маховского скачка.
• Поворот тангенциального разрыва т под воздействием падающей волны разрежения IV или V происходит не мгновенно, а вдоль конечного сектора CC*. Пренебрежение конечной длиной сектора CC* также приводит к значительным расхождениям.
Аппроксимация [26] сверхзвуковой части течения в области II методом Гриба - Рябинина [33] на основе касательного преобразования Лагранжа существенно усложняет математическую модель, но разница между результатами [26] и [12] составляет всего 2-4 %, поэтому погрешности определения размеров маховского скачка в основном сохраняются.
Впервые предложено в [10, 13] рассматривать течение в области II за отраженным скачком как простую волну Прандтля - Майера с прямыми акустическими характеристиками первого семейства. Предлагаемая модель напоминает «метод скачков и волн», он же shock-expansion method [34, 35], но применяется не только для оценки давления, но и восстановления формы и соответствующих характеристик всех разрывов. Согласно инварианту Прандтля - Майера и условию равенства давлений на тангенциальном разрыве т, имеют место следующие соотношения, доказанные в [13, 36, 37]:
dyT
dx
= tg т (14)
dx M¡T(Ml-1) yr
dMт = M2г) tg вт
dx (1-е) M^( МзТ-1) y dM3T = М( M Зг) M¿tg ^ dx (1-е)( МзТ-1) у/
(15)
(16) (17)
где М2т, М3т - местные числа Маха течения сверху и снизу от тангенциального разрыва соответственно; [ (М) = 1 + е (М - 1); ут (х) - уравнение формы тангенциального разрыва; вт (х) - местный угол наклона тангенциального разрыва; X = + 1 - коэффициент направления волны.
Уравнения (14-17) следует интегрировать до пересечения тангенциального разрыва с падающей характеристикой ВС. Как показано в [37], форма этой криволинейной характеристики определяется интегрированием уравнения по направлению w ее падения (рис. 1, а, б):
с1в 2л/мi -1 дг
_^ _ У 2 w_ _ д т
м 2 ' 2'
2 w
¿М^ ___ 2/(1 + е(Мк -')). N ,18,
dw (1 -е) М2_, (18)
<1а22Х(1 + е(М-1))
dw (1 -е) M Um ¡, -1
где Qw - местный угол течения; M2w - местное число Маха; a2w = arcsin (1/M2w) -угол Маха; N2 - кривизна линии тока:
у/(1 -е)( M2 -1) M2 sin (в +%а2 ) sin в
NN 'V /\ 2 w у 3 w \ w ^ 2 w / w
2
m :
M2 Ml sin П + - e)VM 22w -1 (M3w -1) sin (^ + № w)
Q = yCl - yT q (M3T)/q (M3w) определяет кривизну линии тока в некоторой произвольной точке C1 простой волны; у = + 1, поскольку область течения II рассматривается как волна разрежения (а не сжатия, так как она через тангенциальный разрыв т сопряжена с областью III, статическое давление в которой уменьшается вниз по потоку). Числа Маха M3w зависят от M2w аналогично тому, как М3т зависит от М2т (9-11).
Результаты интегрирования (14-17) показывают, что контактный разрыв всегда является выпуклым вверх, поэтому его наклон к горизонтальной плоскости увеличивается вдоль всего сектора TC. Характеристика BC является слабым разрывом, поэтому мгновенный поворот тангенциального разрыва в точке C от конечного (по абсолютной величине - большего, чем в тройной точке) угла
наклона до нулевого значения этого угла невозможен. Как известно из [16], пересечение тангенциального и слабого разрывов приводит в скачку кривизны тангенциального разрыва, а не к его излому.
Кривизна отраженного скачка и аппроксимация его формы
Поскольку расширяющийся поток в области II влияет на предшествующий отраженный скачок TB, этот скачок криволинеен, а его интенсивность (J2) и угол наклона к набегающему потоку (c2), определяемый уравнением (8), переменны. Но, как показано в [34, 38], возмущения, отражаемые при взаимодействии косого скачка с последующей догоняющей волной разрежения, очень малы (третьего порядка по сравнению с аналогичными параметрами догоняющей волны, которая сама по себе в данном случае довольно слаба), и ими можно пренебречь. Следовательно, форму отраженного скачка допустимо восстановить следующим образом: направление потока в любой точке за скачком должно соответствовать полю течения в последующей догоняющей волне разрежения II.
На практике, изменение угла наклона отраженного скачка TB обычно не превышает 1°. Например, при M = 5, c1T = 36° и у = 1.4 в задаче о струйном обтекании (безразмерная высота маховского скачка yT / h = 0,390 согласно расчетам сверхзвуковой части поля течения методом характеристик [39]) угол наклона отраженного скачка уплотнения c2T = 40,857°, а угол наклона этого же скачка в точке B его выхода на границу струи c2B = 40,395°. При M = 5 и c1T = 40°, когда yT/ h = 0,589, соответствующие углы наклона скачков равны с2Т = 47,492° и c2B = 47,043°. По этой причине, если рассматривать отраженный скачок уплотнения TB как прямолинейную поверхность с постоянным углом наклона, равным углу его наклона в тройной точке, это не приводит к существенной погрешности в определении размеров маховского скачка и при оценке других параметров потока.
Если не пренебрегать кривизной отраженного косого скачка уплотнения, можно предложить метод его сопряжения с последующей догоняющей волной разрежения, рассмотренный в [11, 13]. Форму скачка 2 определяют в полярной системе координат (r, ф), связанной с точкой A, путем решения уравнений
d- = r ■ ctg (c + Р,-ф), (19) аф
dc r ^ dc
T2 = ~í-Ъ-\'0'^ (20)
dy sin(c2 +Д -ф) op2
где r - расстояние от точки A до текущей точки на поверхности скачка; c2 - угол наклона скачка уплотнения к потоку перед ним в данной точке; 0 = M2 • KS • sin (а2 - c2 + в2); а2 = arcsin (1/M2); M2 - текущее число Маха за скачком
уплотнения; в2 - угол поворота потока на поверхности скачка; KS - кривизна линии тока в рассматриваемой точке за скачком:
(1 - е)(Ы22 -1)M32 sin (в + а2)sin в
K„ = -
S M22 M2M32sin£-Q + (1-s)y¡M22 -1 (M32-1)sin(в + а2)
do2_ M4 ((1 - s)cos4o2 -(1 - 2s2)cos2o2 -s2)- 2s(1 -s)M2sin2 o2 -(1 -s)2
в (1 - s)[m; ((1 + s)cos4 o2 - (1 + 2s)cos2 o2 + s) -M2 (2(1 - s)cos2 o2 - (1 - 2e)) - (1 - s)
в = в\ + в - угол течения за скачком в данной точке; q (M3) - расходная функция, M3 зависит от M2 согласно соотношениям (9-11); Q = y - yT q (M3T)/q (M3); M3T -число Маха потока за главным скачком в окрестности тройной точки.
Уравнения (19-20) интегрируются от значения (pT = -o\ в тройной точке T (другие начальные условия также соответствуют тройной точке) до отрицательного значения (B = в\, соответствующего точке B.
Результаты, достигнутые путем интегрирования уравнений (\9) и (20), несущественно (обычно на 0,01-0,02o для значения угла o2B) отличаются от результатов расчетов методом характеристик. Одновременно определяются и все параметры потока (например, угол течения в2В и число Маха M2B) за отраженным скачком на всем его протяжении.
Взаимодействие отраженного скачка со встречной волной разрежения
Существует по крайней мере два способа построения формы отраженного скачка уплотнения в области его взаимодействия с волной разрежения IV противоположного направления (рис. 1, а и 2, на котором отдельно рассматривается этот тип взаимодействия). Первый из них был предложен в [14, 15], применен в [11, 13, 29, 30] и дальнейших исследованиях. Он предполагает равенство статического давления и сонаправленность векторов скорости потока за исходящим скачком B\B2 и преломленной волной разрежения V, которая затем попадает на тангенциальный разрыв т. Второй вариант [15, 40] предполагает, что исходящий скачок B\B2 за точкой прямолинеен (т. е. имеет нулевую геометрическую кривизну). Оба метода приводят к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для определения формы скачка BB1 в области взаимодействия. Также они позволяют определять параметры потока в волне разрежения V.
Реализация первого метода [14, 15] выглядит следующим образом: так называемый сдвиговый слой, ограниченный слабыми тангенциальными разрывами т\ и т2, разделяет потоки, прошедшие, с одной стороны слоя, центрированную волну разрежения IV и результирующий (исходящий) скачок уплотнения 8 (B\B2); с другой стороны сдвигового слоя, отраженный скачок 2 (TB) и преломленную волну V, которая также рассматривается как течение Прандтля - Майе-ра с прямолинейными акустическими характеристиками второго семейства. Ус-
ловия равенства давлений и сонаправленности потока ками и волнами записываются в виде:
^ 2Б^ 5 = ^ 4^ 8'
в б +в = Д + в
С
Рис. 2. Взаимодействие косого скачка с веером характеристик волны разрежения
I - область течения за падающим скачком уплотнения (М\- число Маха потока в этой зоне); II - область течения за отраженным скачком уплотнения 2, приходящим в область взаимодействия; IV - веер характеристик волны разрежения, приходящей с задней кромки обтекаемого клина (D - ее центр; % - произвольная прямолинейная характеристика второго семейства); V - веер характеристик
исходящей волны разрежения (%- ее произвольная характеристика второго семейства); ББ1 -криволинейный скачок уплотнения, находящийся под воздействием волны IV; 8 (Б1Б2) - исходящий скачок уплотнения, возникающий в результате этого воздействия; т1 и т2 - слабые тангенциальные
разрывы, ограничивающие сдвиговый слой переменной энтропии между ними; а2 и в2 - углы наклона и отклонения потока на скачке 2; М2Б - число Маха потока в точке Б сразу за этим скачком
за образующимися скач-
(21) (22)
Углы поворота потока на скачках, рассматриваемых в (21-22), связаны с их интенсивностями следующим образом:
tg | ß2 в|
i
(1 + e)M1 - J2в -e (1 -e)( J2в -1)
J 2 B +e
i
(1 + e) M; -(1 - e)( J 2 в-1)' (1 + e)M42 - J8 -e (1 -e)( J8 -1)
(23)
(24)
(25)
Ji+8 (1-(1 -8)( Ji -1)' а в волнах Прандтля - Майера IV и V соотношениями:
в =у(М4)-у(М1), в =у(М2)-у(М2Б), JA =п(М4)/п(М), J5 = п(М2)/п(М2б),
где у (М) = \/48 аге!^8(М2 -1) - аг^ VМ2 -1 - функция Прандтля - Майера.
В соотношениях (21-25) М4 и М5 - числа Маха потоков за волнами IV и V; ^ и - интенсивность исходящего скачка 8 в точке Б1 и соответствующий угол
отклонения потока на его поверхности. В результате решения (21-25) определяется интенсивность ^ образовавшегося скачка уплотнения и угол его наклона, а также интенсивность ^ исходящей (преломленной) волны V, число Маха М5 течения за ней и угол наклона ее хвостовой прямолинейной акустической характеристики, поскольку она наклонена под углом Маха к вектору скорости потока перед ней.
Без дополнительных допущений можно рассматривать взаимодействие скачка уплотнения не со всей волной разрежения противоположного направления (встречной волной), а с ее частью вплоть до произвольной прямолинейной характеристики Эта характеристика с местным числом Маха М^ направлена под углом в\ + V (М) - V (М\) - а (М^) к горизонтальной оси.
Решая систему, полностью аналогичную выражениям (21-25), вплоть до характеристики несложно получить: числа Маха потока по обе стороны взаимодействующего скачка уплотнения ВВ\ в произвольной точке; угол наклона, который приводит к уравнению для у'ВВ\ (х), определяющему форму скачка; угол наклона произвольной характеристики С исходящей волны V (рис. 2); направление потока и число Маха течения на этой характеристике. Как показано в [13, 15, 40], полученные решения практически неразличимо близки к точному.
Второй метод анализа основан на предположении, что исходящий косой скачок уплотнения практически прямолинеен (имеет нулевую кривизну) непосредственно перед точкой В входа в веер характеристик (скачок 2) и сразу после точки В\ выхода из этого веера (скачок 8). Дифференциальные условия динамической совместности [16, 40] вместе с точным решением задачи о взаимодействии косого скачка и слабого разрыва [16] позволяют точно оценить геометрическую кривизну скачка ВВ\ в его произвольной точке. Это приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, которое определяет форму, интенсивность, числа Маха и другие переменные параметры потока на обеих сторонах взаимодействующего и исходящего скачков, имея, как показано в [13, 40], почти такую же или немного лучшую точность.
Отражение волны разрежения, приводящее к развороту тангенциального разрыва
Поворот тангенциального разрыва т в горизонтальном направлении в точке С* (см. рис. \, а, б) происходит под воздействием волны разрежения IV (рис. \, б) или преломленной волны разрежения V (рис. \, а).
Ограничиваясь отражением центрированной волны и сохраняя номенклатуру обозначений, показанную на рис. 3, обсудим аналитический метод, который можно обобщить на отражение нецентрированной преломленной волны в потоке между двумя клиньями.
Рис. 3. Падение волны разрежения IV на тангенциальный разрыв - границу области квазиодномерного течения III
т - тангенциальный разрыв (0C - его угол наклона в точке C падения головной характеристики волны разрежения); III - «виртуальное сопло» (C*O*- его «критическое сечение»; M3C - число Маха потока непосредственно под точкой C; M3N - число Маха потока в произвольной точке N непосредственно под тангенциальным разрывом); IV - падающая волна разрежения (BC - ее головная характеристика второго семейства; MBC - число Маха на характеристике BC;
M4 - число Маха потока на произвольной падающей характеристике BNj);
VI - область взаимодействия; VII - отраженная волна
Расчеты сверхзвуковой части течения показывают, что градиенты газодинамических переменных в области за отраженным скачком уплотнения малы по сравнению с интенсивным изменением параметров потока в области IV (см. рис. 1). Например, участок TC медленного отклонения потока на тангенциальном разрыве в несколько раз длиннее сектора CC* его разворота в противоположном направлении на несколько б0льший (по абсолютной величине) угол. Таким образом, позволительно рассматривать параметры потока на характеристике BC как усредненные и одинаковые. Саму характеристику BC при этом следует рассматривать как прямолинейную, а течение в области IV как центрированную волну Прандтля - Майера с прямолинейными характеристиками второго семейства.
Граничная характеристика BC также является слабым разрывом: линии тока претерпевают конечный разрыв кривизны при пересечении этой линии. В частности, кривизна тангенциального разрыва т изменяется резко и, как правило, скачкообразно становится положительной в точке С. Таким образом, тангенциальный разрыв т становится выпуклым вниз.
Среднее число Маха потока MBC на характеристике BC определяется следующим образом:
MBC = 1 sin (вс + arctg А ^ + nn), (26)
где n = 0 при xC > xB; n = 1 в противоположном случае; Axy = (yC - yB) / (xC - xB); 6C - угол течения в точке C.
Следующее соотношение справедливо для произвольной внутренней прямолинейной характеристики БЫ1 волны разрежения IV:
(Ущ - У,)/(^ - х,) = tg(О + v(М4) -- VМвс) - а(М4)), (27)
где V (М ) - функция Прандтля - Майера.
Соотношение (27) определяет число Маха потока М4 на этой произвольной характеристике, а также угол наклона и параметры течения на ней не только в области IV, но и на участке ЫЫ1 внутри зоны VI. Связав углы отклонения потока в падающей (IV) и в отраженной (VII) волнах Прандтля - Майера, легко получить следующее уравнение для формы сектора ЭС тангенциального разрыва т:
Ут (Х) = (Ос + 2у(М4) - у(МбС ) - у(Мк)). (28)
Уравнение, аналогичное (27)
(Ут - Уб )/(Хт - хб ) = (вс + V(М4) - V(МБС )-и(М4)), (29)
определяет число Маха потока М4 в падающей волне. Число Маха Мм на верхней стороне тангенциального разрыва определяется из условия равенства статических давлений аналогично (11):
п (мn )/п (мбс ) = п (Мзn )/п (Мзс) . (30)
Число Маха Мш на его нижней стороне определяется законом сохранения массы в следующей форме:
у„1 ус = q (mзn )/ q (мзс ). (31)
Уравнение (28) с ограничениями (26, 27, 29-31) позволяет построить тангенциальный разрыв т за точкой С по крайней мере до тех пор, пока поток снизу от него не достигнет критической скорости (т. е. пока не выполнится условие
Мз# = 1).
Применяя решение о взаимодействии косого скачка уплотнения с веером характеристик встречной волны разрежения, легко обобщить уравнения (26-31) на случай воздействия преломленной нецентрированной волны.
Общий алгоритм расчета ударно-волновой структуры течения с маховским отражением
Рассмотренные уравнения позволяют рассчитать ударно-волновую структуру всего исследуемого потока, если заданы определяющие условия (число Маха М невозмущенного потока, угол ст1 наклона падающего скачка и показатель адиабаты газа). Одна неизвестная величина (высота ут главного скачка) назначается в первом приближении достаточно произвольно и уточняется итерационно. Для точной оценки высоты ут в струйных и внутренних (сопловых, канальных) течениях в [10, 11, 13] предложен следующий алгоритм:
1. Задаются значения М, ст1 и у, соответствующие рассматриваемому случаю. Решается задача (2-7) локального расчета тройной конфигурации, возника-
ющей при маховском отражении скачка 1. Полученное решение определяет интенсивности ^ и Зъ отраженного и главного скачков в окрестности тройной точки, а также числа Маха М2Т и М3Т течения за этими скачками и начальный угол въТ наклона тангенциального разрыва т.
2. Назначается некоторое начальное оценочное значение уТ (высота тройной точки - размер маховского скачка) на первой итерации.
3. Форма отраженного скачка уплотнения 2 на участке ТВ определяется уравнениями (19-20). Эти уравнения необходимо интегрировать вплоть до границы перерасширенной струи или точки пересечения скачка уплотнения с первой характеристикой веера характеристик встречной волны разрежения (т. е. до точки В). Таким образом, определяются число Маха потока М2В и угол поворота потока в2В на скачке уплотнения 2 в точке В.
4. Интегрируются уравнения (14-17), определяющие форму тангенциального разрыва т в секторе ТС (а также параметры течения с обеих его сторон). Одновременно решаются уравнения (18), определяющие форму первой падающей характеристики ВС (и параметры течения вдоль нее) вплоть до точки С ее пересечения с тангенциальным разрывом.
5. При анализе маховского отражения в сужающемся канале между клиньями решается также задача о взаимодействии косого скачка уплотнения с веером характеристик волны разрежения. Применяя методы, разработанные Ли и Бен -Дором [14] или Мешковым и Омельченко [15], восстанавливают форму взаимодействующего скачка ВВХ и параметры течения в исходящей преломленной волне разрежения V.
6. Характеристики течения на первой граничной характеристике волны разрежения, падающей на тангенциальный разрыв, усредняются. Уравнения (26-31) определяют форму тангенциального разрыва на участке СС*. Эти уравнения интегрируются до тех пор, пока не будет выполнено одно из двух следующих условий: полный горизонтальный поворот разрыва т (выражающийся условием вТ = 0) или увеличение скорости потока с его нижней стороны до критического значения (М3т = 1). В первом случае высота уТ тройной точки, рассматриваемая на данной итерации, считается слишком большой, во втором случае -слишком маленькой.
7. На основе упомянутого вывода о значении высоты тройной точки корректируется значение уТ высоты маховского скачка, и происходит возврат к п. 3. Результат последней итерации (при достижении достаточной точности) считается окончательным.
Таким образом, задача вычисления высоты тройной точки (с соответствующим анализом всего поля течения и его ударно-волновой структуры) сводится к краевой задаче для нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений.
Расчет показал отсутствие численных неустойчивостей при разумно заданных параметрах течения, по крайней мере, в сверхзвуковом струйном течении с числом Маха М> 2, когда интенсивность падающего скачка удовлетворяет неравенству (2). Итерационный расчет размера маховского скачка с помощью
обычного ПК и выбранного широко распространенного программного обеспечения (MATLAB 2017) занимает около 10 с, в то время как решение аналогичной задачи при расчете сверхзвуковой части течения методом характеристик второго порядка точности [39] занимает до нескольких минут на каждой итерации. Прямой расчет поля течения методами вычислительной газовой динамики с использованием хорошо известных кодов (например, ANSYS Fluent, примененного в [5, 6] к аналогичным задачам) занимает около двух часов. Кроме того, он не позволяет оценить размер маховского скачка и форму других газодинамических разрывов из-за их недостаточного разрешения, а также применить дифференциальные анализаторы ударных волн [41] к полученным полям течений.
yT!h 0.8
0 --- г
6 8 10 12 14 16 18 20 J]
Рис. 4. Значения безразмерной высоты тройной точки (ут/И), определенные аналитически (сплошная линия) и численно (звездочки) в зависимости от интенсивности падающего скачка
Результаты применения аналитической модели и их верификация
Результаты расчета высоты тройной точки ут (отнесенной к половине ширины выходного сечения сопла И) в перерасширенном струйном течении представлены в таблице (а также рис. 4) для числа Маха потока М = 5 и различных углов ст1 падения скачка уплотнения 1. Результаты, полученные методом характеристик для всей сверхзвуковой части поля течения [39], представлены в последней строке таблицы. Аналитические и численные данные отличаются примерно на 0,5-1 %; результаты их сравнения представлены на рис. 4. Следовательно, предложенный приближенно-аналитический метод имеет очень большую точность, вполне достаточную для быстрого решения соответствующих задач, возникающих в авиационном и ракетном двигателестроении. Расчет аналогичных характеристик ударно-волновой структуры при числах Маха М = 3 и М = 4 продемонстрировал даже большую точность, чем представлено в таблице.
Результаты расчета размера маховского скачка ут /И, полученные двумя методами
«1, ° 31 35 39 43 47 51 55 59
Предлагаемый метод 0,046 0,243 0,363 0,455 0,532 0,602 0,673 0,753
Метод характеристик 0,046 0,245 0,364 0,457 0,536 0,607 0,677 0,756
Как показано на рис. 4, размер главного (маховского) скачка является непрерывной функцией угла ö1, начиная со значения yT = 0 при ö1 = 30.796°, соответствующего критерию фон Неймана маховского отражения.
Отметим, что при больших значениях интенсивности падающего скачка (при ö1 = 53° и более) веер характеристик волны разрежения IV не полностью поворачивает поток в горизонтальном направлении с одновременным переходом потока в области III через критическую скорость. Представленные решения основаны на искусственном удлинении веера характеристик волны разрежения. Предполагается, что течение газа по «виртуальному соплу» может оставаться дозвуковым при столь глубоком перерасширении (отрыв потока внутри сопла, а также возникновение отошедшего скачка при входе в сверхзвуковой воздухозаборник не исследуются).
Значения безразмерной высоты маховского скачка, возникающего в сужающемся канале (тракте сверхзвукового воздухозаборника), приведены на рис. 5 в зависимости от угла наклона падающего скачка (ö) в потоке с числом Маха M = 3,98. Результаты, показанные на рис. 5, лежат в пределах ошибок измерения экспериментальных данных [31], тогда как результаты применения аналитической модели [29] отличаются от них на 20-25 %, а приближенной модели [12] - даже в большей степени (на 40-90 %).
yTi\AD\
33.5 34 34.5 35 35.5 36 ai
Рис. 5. Значения безразмерной высоты главного скачка уплотнения (ут / |АО| ) при маховском отражении в сужающемся канале в зависимости от угла с1 наклона падающего скачка
Число Маха потока М = 3,98; крестики соответствуют экспериментальным данным [32]; кривая 1 соответствует применению инженерного подхода [12]; кружки и аппроксимирующая кривая 2 получены при использовании метода [26]; 3 - результаты использования метода [29]; 4 - данные, полученные путем применения предлагаемого аналитического метода
Заключение
На основе полученных ранее результатов решения отдельных задач взаимодействия газодинамических разрывов и волн, включая решение для тройной конфигурации маховского отражения, взаимодействия волны Прандтля - Май-ера с предшествующим догоняющим скачком уплотнения, встречным скачком и квазиодномерным потоком, падающей центрированной или простой волны разрежения - с тангенциальным разрывом, разработана новая комплексная аналитическая модель ударно-волновой структуры сверхзвукового течения с ма-ховским отражением. Результаты применения разработанной модели, полученные для сверхзвукового перерасширенного струйного течения или течения в сужающемся канале, показывают его высокую точность, особенно при определении размера главного (маховского) скачка.
Благодарность / Acknowledgement
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № FZWF-2024-0003) / The work has been carried out with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (project no. FZWF-2024-0003).
Конфликт интересов / Conflict of interests
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflict of interests.
Библиографический список
1. Усков В. Н., Чернышов М. В. Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, № 4. С. 39-53.
2. Чернышов М. В. Экстремальные тройные конфигурации с отрицательным углом наклона отраженного скачка // Известия вузов. Авиационная техника. 2019. № 2. С. 82-88. EDN: JIOOLR
3. Чернышов М. В., Гвоздева Л. Г. Тройные конфигурации скачков уплотнения и бегущих ударных волн // Известия вузов. Авиационная техника. 2022. № 2. С. 87-110. EDN: VDHNFZ
4. Патент RU 2285143 С2. Способ организации детонационного режима горения в камере сгорания сверхзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя / Иванов М. С., Кудрявцев А. Н., Троцюк А. В., Фомин В. М. Опубл. 10.10.2006. Бюл. № 28. 8 с.
5. Chernyshov M. V., Murzina K. E., Matveev S. A., Yakovlev V. V. Shock-wave structures of prospective combined ramjet engine // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 618, № 012068. 10 p. DOI: 10.1088/1757-899X/618/1/012068
6. Savelova K. E., Alekseeva M. M., Matveev S. A., Chernyshov M. V. Shock-wave structure of prospective combined jet engine // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1959. № 012043. 9 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1959/1/012043
7. Ivanov M. S., Gimelshein S. F., Beylich A. E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves // Physics of Fluids. 1995. Vol. 7. Iss. 4. Pp. 685-687.
8. Ivanov M. S., Markelov G. N., Kudryavtsev A. N., Gimelshein S. F. Numerical Analysis of Shock Wave Reflection Transition in Steady Flows // AIAA Journal. 1998. Vol. 36, № 11. Pp. 2079-2086. DOI: 10.2514/2.309
9. Ivanov M. S., Vandromme D., Fomin V. M. et al. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results // Shock Waves. 2001. Vol. 11. Pp. 199-207. DOI: 10.1007/PL00004075
10. Омельченко А. В., Усков В. Н., Чернышов М. В. Об одной приближенной аналитической модели течения в первой бочке перерасширенной струи // Письма в Журнал технической физики. 2003. Т. 29. Вып. 6. С. 56-62. EDN: RDBDWN
11. Chernyshov M. V., Savelova K. E., Kapralova A. S. Approximate Analytical Models of Shock-Wave Structure at Steady Mach Reflection // Fluids. 2021. Vol. 6. Iss. 9. № 305. 18 p. DOI: 10.3390/fluids6090305
12. Azevedo D. J., Liu C. S. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows // AIAA Journal. 1993. Vol. 31. № 1. Pp. 83-90.
13. Чернышов М.В. Взаимодействия элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб.: БГТУ «Военмех», 2002. 173 с.
14. Li H., Ben-Dor G. Oblique Shock - Expansion Fan Interaction - Analytical Solution // AIAA Journal. 1996. Vol. 43, № 2. Pp. 418-421. DOI: 10.2514/3.13081
15. Мешков В. Р., Омельченко А. В., Усков В. Н. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 2002. Т. 9, № 2. С. 99-106.
16. Адрианов А. Л., Старых А. Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. 180 с.
17. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 1st Edition. NewYork: Springer, 1992. 307 p.
18. Васильев Е. И. Четырехволновая схема слабого маховского взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 3. С.144-152.
19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. 4-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1988. 736 с.
20. Henderson L. F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas // Aeronautical Quarterly. 1964. Vol. 15. Pp. 181-197. DOI: 10.1017/S0001925900003115
21. Hekiri H., Emanuel G. Shock wave triple point morphology // Shock Waves. 2011. Vol. 21, № 6. Pp. 511-521. DOI: 10.1007/s00193-011-0339-6
22. Hekiri H., Emanuel G. Structure and morphology of a triple point // Physics of Fluids. 2015. Vol. 27. Iss. 5. № 056102. DOI: 10.1063/1.4921094
23. Ben-Dor G., Takayama K. The phenomena of shock wave reflection - a review of unsolved problems and future research needs // Shock Waves. 1992. Vol. 2. Iss. 4. Pp. 211-223. DOI: 10.1007/BF01414757
24. Тешуков В. М. Об устойчивости регулярного отражения ударных волн // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989. Т. 30, № 2. С. 26-33.
25. Hornung H. G. On the stability of steady-flow regular and Mach reflection // Shock Waves. 1997. Vol. 7. Pp. 123-125. DOI: 10.1007/s001930050068
26. Медведев А. Е., Фомин В. М. Приближенно-аналитический расчет маховской конфигурации стационарных ударных волн в плоском сужающемся канале // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39, № 3. С. 52-58.
27. Roy S., Gopalapillai R. An analytical model for asymmetric Mach reflection configuration in steady flows // Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 863. Pp. 242-268. DOI: 10.1017/jfm.2018.945
28. Choe S.-G. A method for predicting Mach stem height in steady flows // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part G: Journal of Aerospace Engineering. 2021. Vol. 236. Iss. 1. 8 p. DOI: 10.1177/09544100211001518
29. Schotz M., Levy A., Ben-Dor G., Igra O. Analytical prediction of the wave configuration size in steady Mach reflection // Shock Waves. 1997. Vol. 7. Pp. 363-372. DOI: 10.1007/s001930050091
30. Li H., Ben-Dor G. A parametric study of Mach reflection in steady flows // Journal of Fluid Mechanics 1997. Vol. 341. Pp. 101-125. DOI: 10.1017/S0022112097005375
31. Hornung H. G., Robinson M. I. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2: The steady-flow criterion // Journal of Fluid Mechanics. 1982. Vol. 123, № 1. Pp. 155-164. DOI: 10.1017/S0022112082003000
32. Hornung H. G., Oertel H., Sandeman R. J. Transition to Mach reflexion of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation // Journal of Fluid Mechanics. 1979. Vol. 90. Part 3. Pp. 541-560. DOI: 10.1017/S002211207900238X
33. Гриб А. А., Рябинин А. Г. К вопросу о приближенном интегрировании уравнений плоского установившегося сверхзвукового движения газа // Докл. АН СССР. 1955. Т. 100, № 3. С. 425-428.
34. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959. 220 с.
35. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 608 с.
36. Усков В. Н., Чернышов М. В. Сопряжение волны Прандтля-Майера с областью квазиодномерного течения // Математическое моделирование. 2003. Т. 15, № 6. С. 111-119.
37. Silnikov M. V., Chernyshov M. V. The interaction of Prandtl-Meyer wave and quasi-one-dimensional flow region // Acta Astronautica. 2015. Vol. 109. Pp. 248-253. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.11.010
38. Курант Р., Фридрихс К.О. Сверхзвуковое течение и ударные волны: пер с англ. М.: Иностр. лит-ра, 1950. 420 с.
39. Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д., Шулиншина Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М.: ВЦ АН СССР, 1961. 60 с.
40. Silnikov M. V., Chernyshov M. V., Uskov V. N. Analytical solutions for Prandtl-Meyer wave - oblique shock overtaking interaction // Acta Astronautica. 2014. Vol. 99. Pp. 175-183. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.02.025
41. Ворожцов Е. В., Яненко Н. Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. 224 с.
Дата поступления: 14.02.2024 Решение о публикации: 15.02.2024
Контактная информация:
ЧЕРНЫШОВ Михаил Викторович - д-р техн. наук, профессор (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Россия, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), mvcher@mail.ru, chernyshov_mv@voenmeh.ru
САВЕЛОВА Карина Эдуардовна - аспирант, младший научный сотрудник (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Россия, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), savelova_ke@voenmeh.ru
References
1. Uskov V. N., Chernyshov M. V. Special and extreme triple shock-wave configurations. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2006. Vol. 47, no. 4, pp. 492-504. DOI: 10.1007/s10808-006-0081-5
2. Chernyshov M. V. Extreme Triple Configurations with Negative Slope Angle of the Reflected Shock. Russian Aeronautics. 2019. Vol. 62, no. 2, pp. 259-266. DOI: 10.3103/S1068799819020120
3. Chernyshov M. V., Gvozdeva L. G. Triple Configurations of Steady and Propagating Shocks. Russian Aeronautics. 2022. Vol. 65, no. 2, pp. 319-344. DOI: 10.3103/s106879982202012x
4. Patent No. 2285143 C2 Russian Federation. Method of organization of detonation combustion chamber of supersonic ramjet engine / M. S. Ivanov, A. N. Kudrjavtsev, A. V. Trotsjuk, V. M. Fomin. Publ. October 10, 2006. Bull. No. 28, 8 p. (In Russian)
5. Chernyshov M. V., Murzina K. E., Matveev S. A., Yakovlev V. V. Shock-wave structures of prospective combined ramjet engine. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 618. No. 012068, 10 p. DOI: 10.1088/1757-899X/618/1/012068
6. Savelova K. E., Alekseeva M. M., Matveev S. A., Chernyshov M. V. Shock-wave structure of prospective combined jet engine. Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1959. No. 012043. 9 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1959/1/012043
7. Ivanov M. S., Gimelshein S. F., Beylich A. E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves. Physics of Fluids. 1995. Vol. 7. Iss. 4, pp. 685-687.
8. Ivanov M. S., Markelov G. N., Kudryavtsev A. N., Gimelshein S. F. Numerical Analysis of Shock Wave Reflection Transition in Steady Flows. AIAA Journal. 1998. Vol. 36, no. 11, pp. 2079-2086. DOI: 10.2514/2.309
9. Ivanov M. S., Vandromme D., Fomin V. M. et al. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results. Shock Waves. 2001. Vol. 11, pp. 199-207. DOI: 10.1007/PL00004075
10. Omel'chenko A. V., Uskov V. N., Chernyshev M. V. An Approximate Analytical Model of Flow in the First Barrel of an Overexpanded Jet. Technical Physics Letters. 2003. Vol. 29, no. 3, pp. 243-245. DOI: 10.1134/1.1565647
11. Chernyshov M. V., Savelova K. E., Kapralova A. S. Approximate Analytical Models of Shock-Wave Structure at Steady Mach Reflection. Fluids. 2021. Vol. 6. Iss. 9. No. 305, 18 p. DOI: 10.3390/fluids6090305
12. Azevedo D. J., Liu C. S. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows. AIAA Journal. 1993. Vol. 31, no. 1, pp. 83-90. DOI: 10.2514/3.11322
13. Chernyshov M. V. Vzaimodejstviya elementov udarno-volnovyh sistem mezhdu soboj i s razlichnymi poverhnostyami [Interaction of the Elements of Shock-Wave Systems between Themselves and with Various Surfaces]. Cand. Sci. (Phys & Math.) Thesis. Saint Petersburg: Baltic State University "VOENMEH", 2002, 173 p. (In Russian)
14. Li H., Ben-Dor G. Oblique Shock - Expansion Fan Interaction - Analytical Solution. AIAA Journal. 1996. Vol. 43, no. 2, pp. 418-421. DOI: 10.2514/3.13081
15. Meshkov V. R., Omel'chenko A. V., Uskov V. N. The interaction of shock wave with counter rarefaction wave. Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika Mekhanika Astronomiya. 2002, no. 2, pp. 101-109.
16. Adrianov A. L., Starykh A. L., Uskov V. N. Interferenciya stacionarnyh gazodinamicheskih razryvov [Interference of Stationary Gasodynamic Discontinuities]. Novosibirsk: Nauka, 1995, 180 p. (In Russian)
17. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 1st Edition. NewYork: Springer, 1992, 307 p.
18. Vasilev E. Four-wave scheme of weak Mach shock wave reflection under von Neumann paradox conditions. Fluid Dynamics. 1999. Vol. 34, no. 3, pp. 421-427.
19. Landau L. D., Lifshitz E. M. Fluid Mechanics. Volume 6 of Course of Theoretical Physics. 2nd ed. Oxford: Pergamon Press, 1987, 552 p.
20. Henderson L. F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas. Aeronautical Quarterly. 1964. Vol. 15, pp. 181-197. DOI: 10.1017/S0001925900003115
21. Hekiri H., Emanuel G. Shock wave triple point morphology. Shock Waves. 2011. Vol. 21, no. 6, pp. 511-521. DOI: 10.1007/s00193-011-0339-6
22. Hekiri H., Emanuel G. Structure and morphology of a triple point. Physics of Fluids. 2015. Vol. 27. Iss. 5. No. 056102. DOI: 10.1063/1.4921094
23. Ben-Dor G., Takayama K. The phenomena of shock wave reflection - a review of unsolved problems and future research needs. Shock Waves. 1992. Vol. 2. Iss. 4, pp. 211-223. DOI: 10.1007/BF01414757
24. Teshukov V. M. Stability of regular shock wave reflection. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1989. Vol. 30, pp. 189-196. DOI: 10.1007/BF00852163
25. Hornung H. G. On the stability of steady-flow regular and Mach reflection. Shock Waves. 1997. Vol. 7, pp. 123-125. DOI: 10.1007/s001930050068
26. Medvedev A. E., Fomin V. M. Approximate analytical calculation of the Mach configuration of steady shock waves in a plane constricting channel. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1998. Vol. 39, no. 3, pp. 369-374. DOI: 10.1007/BF02468117
27. Roy S., Gopalapillai R. An analytical model for asymmetric Mach reflection configuration in steady flows. Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 863, pp. 242-268. DOI: 10.1017/jfm.2018.945
28. Choe S.-G. A method for predicting Mach stem height in steady flows. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part G: Journal of Aerospace Engineering. 2021. Vol. 236. Iss. 1, 8 p. DOI: 10.1177/09544100211001518
29. Schotz M., Levy A., Ben-Dor G., Igra O. Analytical prediction of the wave configuration size in steady Mach reflection. Shock Waves. 1997. Vol. 7, pp. 363-372. DOI: 10.1007/s001930050091
30. Li H., Ben-Dor G. A parametric study of Mach reflection in steady flows. Journal of Fluid Mechanics. 1997. Vol. 341, pp. 101-125. DOI: 10.1017/S0022112097005375
31. Hornung H. G., Robinson M. I. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2: The steady-flow criterion. Journal of Fluid Mechanics. 1982. Vol. 123, no. 1, pp. 155-164. DOI: 10.1017/S0022112082003000
32. Hornung H. G., Oertel H., Sandeman R. J. Transition to Mach reflexion of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation. Journal of Fluid Mechanics. 1979. Vol. 90. Part 3, pp. 541-560. DOI: 10.1017/S002211207900238X
33. Grib A. A., Ryabinin A. G. K voprosu o priblizhennom integrirovanii uravnenij ploskogo ustanovivshegosya sverhzvukovogo dvizheniya gaza [On the problem of approximate integration of the equations of planar steady supersonic gas flow]. Doklady Akademii Nauk SSSR [Doklady of the Academy of Sciences of the USSR]. 1955. Vol. 100, no. 3, pp. 425-428. (In Russian)
34. Cherny G. G. Techeniya gaza s bol'shoj sverhzvukovoj skorost'yu [Gas Flows with Large Supersonic Velocity]. Moscow: FIZMATGIZ, 1959, 220 p. (In Russian)
35. Hayes W. D., Probstein R. F. Hypersonic Flow Theory. New York - London: Academic Press, 1959, 464 p.
36. Uskov V. N., Chernyshov M. V. Conjugation of Prandtl-Meyer wave with quasi-one-dimensional flow region. Mathematical Models and Computer Simulations. 2003. Vol. 15, no. 6, pp. 111-119. (In Russian)
37. Silnikov M. V., Chernyshov M. V. The interaction of Prandtl-Meyer wave and quasi-one-dimensional flow region. Acta Astronautica. 2015. Vol. 109, pp. 248-253. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.11.010
38. Courant R., Friedrichs K. O. Supersonic Flow and Shock Waves. New York: Springer, 1976, 464 p.
39. Katskova O. N., Naumova I. N., Shmyglevsky Yu. D., Shulinshina N. P. Opyt rascheta ploskih i osesimmetrichnyh sverhzvukovyh techenij gaza metodom harakteristik [Experience in Calculating Planar and Axisymmetric Supersonic Gas Flows by the Method of Characteristics]. Moscow: Conputational Center of the RAS, 1961, 60 p. (In Russian)
40. Silnikov M. V., Chernyshov M. V., Uskov V. N. Analytical solutions for Prandtl-Meyer wave - oblique shock overtaking interaction. Acta Astronautica. 2014. Vol. 99, pp. 175-183. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.02.025
41. Vorozhtsov E. V., Yanenko N. N. Metody lokalizacii osobennostej pri chislennom reshenii zadach gazodinamiki [Methods of Localization of Singularities in the Numerical solution of Gas Dynamics Problems]. Novosibirsk: Nauka, 1985, 224 p. (In Russian)
Date of receipt: February 14, 2024 Publication decision: February 15, 2024
Contact information:
Mikhail V. CHERNYSHOV - Doctor of Engineering Sciences, Professor (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russia, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), mvcher@mail .ru, chernyshov_mv@voenmeh.ru
Karina E. SAVELOVA - Postgraduate Student, Junior Researcher (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russia, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), savelova_ke@voenmeh.ru
