СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИХ СУММ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 4 (2021). С. 42-50.

УДК 517.538

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИХ СУММ

Аннотация. Рассматривается формула дифференцирования аналитических в круге N < 1 функций: azf '(z) = nf (0) — ^fc=i f (^kz) + Rn(z). Здесь a = 0 — вещественная постоянная, n = 1, 2,..., а комплексные параметры Xk = \n,k (&), к = 1,...,n, определяются как (единственное) решение дискретной системы моментов для ньютоновых степенных сумм А™ + ••• + А™ = —та, т = 1,...,п. При таком выборе параметров, функция Rn(z) = Rn(a, f; z) (остаточный член формулы) имеет порядок малости 0(za+1) при z ^ 0. В работе доказано, что при каждом фиксированном а > 0 и любом п ^ 3а (а := maxja; 1}) область применимости формулы содержит круг |z| < exp(—3^/v — 2v), v := a/(n + 1), радиус которого стремится к единице при п ^ ж. Установлена экспоненциальная скорость сходимости дифференцирующих сумм к nf (0) — azf '(z) в том же круге. Этот результат дополняет и заметно расширяет предшествующие результаты работ В.И. Данченко (2008) и П.В. Чунаева (2020), в которых, соответственно, для случаев а = — 1 и — п < а < 0 была установлена сходимость формулы дифференцирования, но лишь в областях, содержащихся в фиксированных компактных подмножествах единичного круга. Доказательство основных результатов статьи опирается на существенно отличающийся от метода работ Данченко и Чунаева подход к построению решения указанной системы моментов.

Ключевые слова: дифференцирование аналитических функций, дифференцирующие суммы, fa-суммы, скорость сходимости.

Mathematics Subject Classification: 30Е10, 41А25, 65D25

- аналитическая в единичном круге И = {г : |г| < 1} функция. В.И. Данченко [1, п. 2.4] предложил формулу численного дифференцирования

М.А. КОМАРОВ

1. Введение

Пусть

те

h(z) = £ hmzm

т=0

(zh(z))' = ^ ßk h(ßk Z)+ £n(z), ßk = ßn,k (n = 1, 2,...),

(1.1)

к=1

где комплексные числа однозначно определяются из условия

М.А. Komarov, Convergence rate of one class of differentiating sums. © Комаров М.А. 2021. Поступила 2 сентября 2020 г.

то /,... ,/п это (единственное) решение системы

/т + ■ ■ ■ + /т = т, т = 1,... ,п,

для ньютоновых степенных сумм. Один из способов решения системы основан на применении рекуррентных формул Ньютона (подробнее см, в [1]), Важно отметить, что величины /к та зависят от функции к. Суммы вида ^П=1 /кк(//кг) получили название к-сумм. Любая аналитическая в И функция

те

/ ; J т

т=0

¡(г) = > , тт

может быть представлена в виде /(г) = /(0) + гк(г) с определенной аналитической в И функцией к, поэтому формула (1.1) эквивалентна формуле

п

г ¡'(г) = -п / (0) + ^ ¡(/кг) + вп(г), вп(г) = 0( гп+1). (1.2)

к= 1

Недавно П.В. Чунаев [2, п. 3.3.5] рассмотрел обобщение формулы (1.2),

п

г /'(г) = —/(0) + ) + вп(г), Ш = 0(гп+1), (1.3)

введя дополнительный вещественный параметр 1 = 0. Ясно, что (1.3) совпадает с (1.2) при ¿ = п, и обе формулы точны на полиномах степени не выше п. Величины /к = /п,к (1) определяются из системы

/т + •••+/т = тг, т=1,...,п.

В работах [1], [2] установлены области применимости формул дифференцирования (1.2), (1.3) и даны оценки погрешностей. Так, в [2] показано, что если

| /т| ^ 1, т = 0,1, 2,...,

то при всех £ ^ 1

Г ( М < 2^|(2п +1)г|п+1 „

(„ - (2п + 1)|^)2 2п +1

Простой анализ доказательства показывает, что

а) эта оценка верна и при Ь ^ — 1, если заменить в ней Ь па Щ,

б) при Щ х п можно утверждать большее, например, при ¿ = п по теореме 4(Ь) из [2], где полагаем г0 = п, 7 = а = 1, получается оценка погрешности формулы (1.2),

\3г |п+1 1

I < ТГ—Ш, | ^ < з.

Тем не менее, найденные в [1], [2] области применимости формул (1.2), (1.3) заметно

боте для каждого фиксированного Ь < 0 мы строим новую оценку погрешности формулы (1.3), применимую в круге вида |г| < г, где г = г(Ь,п) ^ 1 при п ^ Метод доказательства существенно отличен от метода работ [1], [2] и не обобщается на случай Ь > 0.

к

от (1.3), построены автором [3], В. И. Данченко и П. В. Чу паевым [4]. В первой из этих работ

к

суммами к(/к-г). В [5] А.В. Фрянцев применил метод к-еумм для аппроксимации

дифференциальных полиномов определенного вида, обобщающих оператор дифференцирования (гк(г))'.

2. Результаты Положив а = —n/t, при t < 0 запишем формулу (1.3) в виде

azf (z) = nf (0) — ^ f (Хкz) + Rn(z), а> 0, Afc = Хп,к(а), (2.1)

к=1

где

Rn(z) = Ra (a, f; z) = 0(zn+1), z ^ 0, Xn,k (a) := fin,k (-

n^ a.

Ясно, что Ai,..., \n это (единственное) решение системы

К + ••• + К = -та, т =1,...,п, (2.2)

а остаточный член формулы (2.1) имеет вид

оо

Rn(a,f; z) = ^ (та + Sm)fmzm, Sm = Sn,m(a) := У^

m=n+1 k=1

Теорема 2.1. Пусть a > 0 n ^ 3a и r = rn(a), где

f a + 1\

rn(a) = exp-----— , a = maxja; 1}.

V \Jn + 1 n +1J

Тогда для решения \1,..., \n системы, (2.2) верна, оценка

Л„(а) := max |Afc| < г-1. (2.3)

Теорема 2.1 будет доказана в параграфе 3. Напомним, что, согласно [2], для параметров формулы (1.3) верна оценка

2п +1

max Цгп,к(t) ^ —-=-, t = 0, ,WI

из которой при t := — п/а получаем следующую оценку величин Лп(а):

Лп(а) ^ ^ УЙ.

Видим, что при каждом фиксированном а > 0 оценка (2.3) точнее по порядку количества п, ибо при п ^ <х> имеет место асимптотика

-1 ( I ^-11 , ^ , 3^а +1 г = (гп(а)) ~ 1+--< 1 +

'п у'П

Найдем область применимости и оценку остатка формулы (2.1).

Теорема 2.2. Пусть а > 0 п ^ 3а и г = гп(а), где а = шах{а; 1}. Пусть ^т1 ^ 1 для, всех т ^ п + 1. Тогда,

|п+1

|Rп(a,f; ^ (п + 1), N < 1.

1 - N

Доказательство. Ввиду (2.3) имеем |5т| < пг-т (т ^ п + 1) и

те

Ч-Л / \ о /--Зт^а

1Вп(а,/; гг)| ^ ^ {тагт + п) , та < е3^ ^ е^^ < г-т,

т=п+1

что и доказывает теорему 2.2. □

Замечание 2.1. При каждом п ^ 3 наибольшее значение а, при, котором выполнены условия теоремы 2.1, равно п/3. Согласно (2.3), соответствующее значение величины Лп не превосходит

ехр ^31 ^ + о(1) « 7.89, п ^ то. Однако, нетрудно установить более точную границу (см. замечание 4-1 в параграфе 4-1):

Лп(п) < ехр (^ = 4.42838 ... (п ^ 50). (2.4)

Следствие 2.1. Если функция / аполитична в И и

I/Ш С 1, N < 1,

то при г = (4.4284)-1 = 0.2258... верна, оценка

3

— ¡(0) С 1, и С г.

Доказательство. Формула (2.1) точна для полиномов Р степени не выше п, в частности, = п/3

п^^ = пР (0) — ¿Р (Кг), XI = Хп,к (п). 3 к=1

При п ^ 50 положим /(г) = Рп(г) + Рп(г), где Рп - п-й полином Маклорена функции /, Рп(0) = /(0). В силу тождества и оценки (2.4), в круге |г| С г имеем

Р ( )

3

— 1(0)

1

п

^Рп(К

к=1

С тах \Рп(г)\,

8:= г- Лп(п) < (4.4284)-1 ■ 4.42839 < 1

Следовательно,

где

3

— 1(0)

С 1 + Аг

N Сг,

Ап := тах 1Рп^)1 + тах -Р'п(г) И=й м=г 3 п

□

^ 0 при п ^ то

ввиду ограниченности функции f. Поскольку п произвольно, получаем искомое.

Равенство в оценке следствия 2.1 достигается па постоянной функции /(г) = 1. Мак-

теоремы Г.М. Голузина [6] и равно

4 — „7 Гтах = —^ = 0.4514 ....

В самом деле, если обозначить коэффициенты функции f через ¡1,....1 то

3

!(0) = ^ ^т!т, 10 := —1, 1т : =

т

(т ^ 1).

Тем самым, неравенство

т=0

^Г(г)

— 1(0)

С 1,

N С т,

равносильно тому, что

^ ] 1т ¡п

т=0

С Ы = 1, 1т =

т т

-, |г| = г.

(2.5)

3

3

3

Но, согласно [6, теорема 1 и формула (18)], неравенство (2,5) имеет место для всех функций указанного в следствии 2,1 класса в том и только том случае, когда

т=0

£ 1шг >

т=1

Суммируя ряды, получим

- 1 +

и

3(1 -и)2

>

и

3(1 -и)2

на = 1

(и := г(, |и| = г),

что равносильно условию

и

(и - 1) —- ^ г (|и| = г). 3

Минимум левой части этого неравенства на окружности |и| = г < 1, очевидно, достигается при и := |и| = г и равен |(г — 1)2 - г/3| =: к(г). Если г Е (г1,1), где

П := 7 - ^ « 0.5657, 6

то к(г) ^ 13/35) < г1; так что неравенство к(г) ^ г не выполняется. Если же г Е (0, г1), то выражение под модулем положительно, и неравенство к(г) ^ г принимает вид

(г - 1)2 - 3 ^ Г.

(0, 1)

ходим к искомому Гтах.

3. Доказательство теоремы 2.1 3.1. Решение системы (2.2). Рассмотрим функцию

д(г) = ехр а(1 + , |г| < 1, а Е С, а = 0,

2(1 - ^

и ее ряд Маклорена [7, п, 11.2]

а п /п - 1\ак

д(г) = ^ Сп = Сп(а) = е§ХДк - ^ у

п=0 к=1 ^ ' '

п

п

дп(г) = ^2 Ск гк, дп(0) =

к=0

отличны от нуля; обозначим их гк = гп>к(а), к = 1,... ,п. Очевидно,

( ) п( )

( ) п( )

0(гп) (г ^ 0).

С другой стороны, в некоторой окрестности точки г = 0 имеем

д'(^ = а д(г) (1 - г)2

т=1

тг

т— 1

и

д'п(*)

дп^)

- к

к=1

те / п \

ЕЕ тЬт—

т=1 \к=1 /

Следовательно, при всех п = 1, 2,... и любом комплексном а = 0

г—т + • • • + г—т = -та, т = 1,... ,п,

т

1

так что (единственное) решение системы (2,2) это

К,к(а) := (г,п,к(а))-1, к = 1,...,п. (3.1)

3.2. Оценка (2.3) в случае а ^ 1. Известно [7, п. 11.2], что сп(а) = е2\/оп(1+°(1)) при п ^ ж (а > 0). Нам потребуется явная оценка величин сп(а) сверху и одно элементарное неравенство (доказательство лемм 3.1, 3.2 см. в п. 4):

Лемма 3.1. При а ^ 1, п ^ 3а имеем

Сп(а) < 1 е(5-^)(а+1)е3е2^ < еа+1 е2^. Лемма 3.2. При Ъ ^ 1, х > 1 имеем е-Ьх + е- * < 1. С помощью этих лемм при п ^ 3а ^ 3 установим оценку

3^/а а + 1

1Яп(^)| > о, И ^ Гп(а) = еХп, Хп := —

у/п+1 П + 1

из которой, ввиду (3.1), тотчас следует (2.3) для случая а ^ 1. В самом деле, 1д(г)| > 1 в круге И, ибо

а(1 + х) а 1 — |2

Ке 2(1—^) = 2 1 — 2Яех + И2 > 0.

С учетом леммы 3.1, в круге |г| ^ еХп имеем

19п(г)| ^ 1д(г)| — £ > 1 — Тп(а), Тп(а) := £ еа+1е2^е

к=п+1 к=п+1

Покажем, что Тп(а) < 1 Ир и к ^ п +1 имеем

а + 1 + 2^к + кхп ^ 2^ак — ^ к ^--

поэтому

Тп(о) < £ (е-=-^.

к=п+1 1 — е~

Остается заметить, что е-^а(п+1> < 1 — е- По лемме 3.2.

Замечание 3.1. Положительность параметра а существенна, ибо в случае а < 0 модуль не отделен от нуля в И:

д(х) ~ ет-х ^ 0 (х > 0, х ^ 1 — 0).

3.3. Оценка (2.3) в случае 0 < а < 1. Ввиду (3.1) и а = 1 достаточно установить, что |дп(х)1 > 0 в круге |г| ^ тп(1).; п ^ 3. Но при а € (0,1) имеем

. . а [п— 1\ ак (п— Л 1 т . . . .

= £(,_0Й<«Е(*—"*1 (3'2)

4— 1 \ ' Ъ— 1 V '

откуда

Сп(а) < ае^Сп(1) < сп(1). Следовательно, для любого п ^ 3

те те

^ ^(а)(Гп(1))к < ^ ^(1)(Гп(1))к <Тп(1) < 1

к=п+1 к=п+1

(см. параграф 3.2). Теорема 2.1 доказана.

Добавим, что если а Е (0, (пе1], то

Лп(а) < {апе2+2^) - ^ 1. В самом деле, из леммы 3,1 и равенств

3

С1(1) = \/ë, С2(1) =

имеем

сп(а) < а сп(1) < а е 2+2^п, п = 1, 2,..., 0 <а< 1, откуда при любом 7 ^ 1

19пШ > еа* - ^ Ск|г|к > 1 -п • ае2+2^п, И ^ г к=1

4. Доказательство лемм 4.1. Доказательство леммы 3.1. В [7, п. 11,2] показано, что максимальное слагаемое

п( )

. . а (п - 1\ ар а п\рар ,, .

Сп(а) ^пе2 — = е2 --. (4.1)

\р - 1) р! р!2(п - р)!

\у/(а + 1)2 + 4ап - 1 (а + 1)

(здесь [ж] - наибольшее целое, не превосходящее х), Таким образом,

'п - 1\ ар _ а п!рар ур - 1)р! р\2(п - р)\ Заметим, что в условиях леммы

р^ 1, п - р ^ 1.

В самом деле, если р = 0, то

V(а + 1)2 + 4ап - (а + 1) < 2,

откуда п < 1 + 2/а. Противоречие с тем, что п ^ 3а ^ 3. Стадо быть, р ^ 1. Из легко проверяемой оценки

р ^ \[ст - 1 (\[3 - 1)(а + 1) < /п (4.2)

вытекает и второе соотношение:

,- п п

1 + р < 1 + Vап ^ - + / < п.

33

Далее, имеем

2 2 2

р > (а + 1)2 + 4ап - \(а + 1) - 1 > /ап - а + 3)

и, следовательно,

/ап < р+^(а + 3). (4.3)

Преобразовав правую часть в (4.1) с помощью формулы Стирлинга п! = V2тгп{пе—1)П£п, 1 < £п+1 < £п < ехр ,

придем к оценке

сп(а) л/пппарер ер / л/ап\ р / р

е2 < 2ттр2р • /п-р (п - р)п—р = 1 - р\Р ) \ +п -р

Заметим, что ввиду неравенств (4,2), (4,3), а ^ п/3.; имеем

> > 4

р I ~т , л/ап а + 3

- " 1 - л V < 1 +

п V v3 р 2р

Отсюда и из неравенств (1 + х)1/х < е (х > 0) и (4,2) следует

Сп(а) < е! ■ ^еа+3ер = е3? +3-1п4е 2р,

где

3 3

-а + 3 — 1п4 + 2р а + 3 — 1п4 + 2у/^г — (у/3 — 1)(а+1)

= (5 — (а + 1)+ [3 —^ + 2^

<а + 1 + 2у/ап.

Лемма 3,1 доказана.

Замечание 4.1. Обоснуем оценку (2.4)- В круге

1

у/3 3

имеем

оо

Е ^ (п) ^

к=п+1

^Тп := Е е"к,

+<к

к=п+1

где, ввиду к ^ п +1 > м предыдущей оценки величин сп(а) при а = п/3,

"=(2—73) (2——7!—3

< (5 — 7) ¡ + (3 — Ь4) — 3 (2 — 75'

= (0.62567... — к- 0.01735 ...) — к ■ 0.06

< — 0.06 к.

Отсюда получаем иском,ое:

Тп < е-0т(п+1)(1 — е-0-06)-1 < е-г(1 — е-0Ш)-1 = 0.8549... < 1.

4.2. Доказательство леммы 3.2. Поскольку Р(х) := е-Ьх + е-ь/х ^ 1 (х ^ +ж), то достаточно показать, что Р' (х) > 0 при х > 1.

Имеем Р'(х) = —Ье-Ьх + Ьх-2е-ь/х, Неравенство Р'(х) > 0 (х > 1) равносильно неравенству еь(х-х Т) > х2 и, следовательно, неравенству

С(х) := Ь(х — х-1) — 21пх> 0. Но последнее верно, ибо С(1) = 0 и, ввиду Ь ^ 1,

С(х) = Ъ{1 + х-2) — 2х-1 ^ (1 — х-1)2 > 0.

Лемма 3,2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.И. Данченко. Об аппроксимативных свойствах сумм вида Хкh(\kz) // Матем. заметки. 83:5, 643-649 (2008).

2. P.V. Chunaev. Interpolation by generalized exponential sums with equal weights //J- Approx. Theory. 254, art. 105397 (2020).

3. M.A. Komarov. Rate of approximation of zf (z) by special sums associated with the zeros of the Bessel polynomials // Indag. Math. (N.S.). 31:3, 450-457 (2020).

4. P.V. Chunaev, V.I. Danchenko. Approximation by amplitude and frequency operators // J. Approx. Theory. 207, 1-31 (2016).

5. A.B. Фрянцев. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 7:2, 39-43 (2007).

6. Г.М. Голузин. Некоторые оценки для ограниченных функций // Матем. сб. 26:1, 7-18 (1950).

7. И.И. Привалов. Граничные свойства аналитических функций. ГИТТЛ, Москва, Ленинград (1950).

Михаил Анатольевич Комаров,

Владимирский государственный университет,

ул. Горького, 87,

600000, г. Владимир, Россия

E-mail: [email protected]