CC BY
42
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК624.154
А.С. Буслов, Е.Н. Калачёва
ФГБОУ ВПО «МГОУ им. В.С. Черномырдина»
СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ОПОЛЗНЕЙ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ УСТРОЙСТВЕ СВАЙНОГО РЯДА И СПЛОШНОЙ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
Рассмотрено инженерное решение задачи о влиянии устройства сплошной подпорной стенки или разреженного ряда свай на скорость вязкого течения оползневого откоса, поскольку точного общего решения на основе уравнений Навье — Стокса для нее не имеется. В целях получения приближенных решений весь поток свайно-оползневого пространства разбивается на отдельные участки, для которых применимы частные случаи точных решений вязкого течения с дальнейшим объединением их на основе общего параметра, в качестве которого принят контролируемый объем установившегося потока жидкости перед входом в область с изменяющимися граничными условиями. Получены выражения, позволяющие рассчитывать скорость движения вязкого оползня для случаев применения как разреженного, так и сплошного ряда противооползневых свай. Определены условия, при которых происходит «переползание» вязкой оползневой массы поверх подпорного сооружения.
Ключевые слова: оползень, вязкое течение, свайный ряд, подпорная стенка, контролируемый объем.
В районах с повышенным уровнем атмосферных осадков грунты оползневых склонов и косогоров в виду их переувлажнения приобретают способность медленного вязкого течения. Для таких грунтов предельное сопротивление сдвигу хкр^0, а касательные напряжения между слоями жидкости, возникающие между слоями при движении жидкости прямолинейными слоями, пропорциональны градиенту скорости [1]:
= , (1)
ду
где коэффициент пропорциональности д называется динамическим коэффициентом вязкости или просто вязкостью жидкости.
Закон трения, выражаемый равенством (1), называется законом трения Ньютона, а жидкости, подчиняющиеся этому закону, называются Ньютоновскими жидкостями.
Для исследования движения вязких жидкостей используется система уравнений Навье — Стокса в виде [1]
dVх = X - _1 dp+£ fd V , 32Vx д 2Vx
dt p dx p [ dx2 5y2 dz2
dVy = Y - 1 dp+£ 'd 2Vy д 2Vy +-r5-
dt pdy p dx2 dy2 5z 2
dV_ = Z - 1 dp +£ fd 2V_ d2V_ + — l d2V_ ]
dt p dz p dx2 V dy d_2 J
(2)
Уравнения (2) есть уравнения в частных производных второго порядка. В этих уравнениях известны плотность р и вязкость д и проекции внешних массовых сил X, У, 2. Неизвестные величины: давление p и три проекции скорости V, V, V — всего четыре неизвестных.
Число неизвестных превышает число уравнений. Система уравнений незамкнута. К этой системе добавляется еще одно уравнение — уравнение неразрывности:
д¥ д¥у д¥
^ + + = о. (2а)
дх ду д2
Нахождение точных решений уравнений Навье — Стокса наталкивается в общем случае на непреодолимые математические трудности, возникающие из-за нелинейности этих уравнений. Нелинейность не допускает применения принципа наложения, которое успешно используется, например, при исследовании потенциальных течений невязкой жидкости. Однако, в некоторых частных случаях получены точные решения уравнений Навье — Стокса. К таким случаям относятся главным образом те, в которых квадратичные члены сами собой исчезают.
Особенно простой класс точных решений представляют так называемые слоистые течения. Их характерным признаком является существование в них лишь одной составляющей скорости.
Движущийся оползневой поток при наличии разреженного ряда свай (контрфорсов) либо сплошной подпорной стенки можно условно разделить на три участка.
Первый участок, значительно удаленный от контрфорсов, можно рассматривать как поток плоскопараллельного установившегося гравитационного движения бесконечного откоса.
На втором участке происходит обтекание контрфорса оползневым потоком и параллельный характер потока нарушается. Происходит раздвоение потока в критической точке входа, расположенной на фронтальной поверхности контрфорса либо сплошной стенки. При обтекании вязкой жидкостью контрфорса в виде сваи круглого сечения появляются силы трения и вихревого сопротивления, т.е. сопротивление давления и соответствующее замедление движения оползня.
Третий участок,сопоставимый по аналогии с течением вязкой жидкости в канале, характерен для случаев применения контрфорсов, имеющих значительную, по сравнению с размером их фронтальной поверхности, длину в направлении движения оползневого потока.
На всех выделенных участках движения оползня в случае строгого применения уравнений Навье — Стокса необходимо учитывать изменение граничных условий, и в общем виде решение их невозможно, поскольку число неизвестных превышает число уравнений.
В то же время для частных случаев вязкого движения, соответствующих отмеченным выше участкам оползневого потока с контрфорсами, имеются приближенные решения уравнения Навье — Стокса, и возникает вопрос о возможности их объединения на основе общего для этих течений параметра.
Одним из наиболее часто используемых в инженерных приложениях является метод контрольных объемов. Важным достоинством этого метода является выполнение как локальных, так и глобального законов сохранения массы и энергии,чрезвычайно важно в решениях задач гидромеханики. Этот закон может быть использован в качестве объединяющего для частных решений движения вязкой жидкости.
На рис. 1 показана схема вязкого течения оползня с обтеканием им препятствий в виде контрфорсных свай, поставленных на пути движения оползня.
ВЕСТНИК
3/2012
Рис. 1. Картина течения вязкого оползня с контрфорсами: а — фрагмент оползня с установленным против его течения разреженным рядом свай; б — обтекание вязкой жидкостью неподвижного твердого препятствия
Как видно из представленной схемы, пространство от начала оползня до подпорной стенки (разреженной или сплошной) можно условно разделить на две области: область истока с неограниченным по ширине В одномерным гравитационным течением склона, движущимся со скоростью У(у) и область регулируемого стока с разветвляющимся по осям х, у, г потоком.
Для первого участка движения оползня область плоскопараллельного стационарного течения характеризуется следующими известными зависимостями [2].
Максимальное значение скорости V приу=Н (рис. 2) равно
Vr
pgH sin a 2ц,
Значение средней скорости по всему поперечному сечению оползня:
2
V cp _ _ у max
(3)
(4)
Объемный расход Q грунта оползня в единицу времени на участке шириной В:
Q = Vxcp ВН. (5)
При набегании потока по оси Х на твердую поверхность (второй участок) скорость Vх в точке х=0, г=0 равна нулю (см. рис. 1, а, б). Линия тока искривляется, и поток продолжает течь уже вдоль оси 2 (см. рис. 1, б). В окрестностях твердой поверхности скорость потока, соприкасающегося с осью X и Х, равна нулю из условия прилипания вязкой жидкости. При этом линия тока по оси Х принимается условно за твердую (неподвижную) поверхность.
Численное решение подобной задачи на основе уравнения Навье — Стокса, полученное К. Хименцем и Л. Хоуартом [3], показало, что на выходе первоначально плоскопараллельного потока профиль характер его скорости вдоль оси 2 из прямоугольного изменяется на параболический, т.е. (х).
Поскольку скорость V' х потока по высоте Н не является постоянной, а зависит оту (рис. 2), то для анализа изменения профиля скорости потока в плоскости ХОХ рассмотрим поток толщиной Ду, в пределах которой профиль скорости Vх (у) может рассматриваться как условно постоянный.
При изменении потоком своего первоначального направления движения вблизи критической точки О (рис. 3) возникают вихри, оказывающие сопротивление движению оползневого потока.
Рис. 2. Вязкое течение склона
Рис. 3. Течение вязкой жидкости вдоль тпештых поверхностей: ось Л" проходит вдоль линии тока с Vx = 0 (условно твердая поверхность); ось Z проходит вдоль сплошной подпорной стенки
Как известно из общей механики, во всякий данный момент времени скорость V каждой точки абсолютно твердого тела выражается формулой
V*=V+[o>, R*], (6)
т^ dR
где V = — — скорость рассматриваемой точки твердого тела при поступательном
dt
его движении, характеризуемом движением одной из его точек, принятой за полюс; [ю, R*] — линейная скорость той же точки, обусловленная вращением твердого тела около мгновенной оси, проходящей через полюс; ю — угловая скорость твердого тела; R*— радиус-вектор, определяющий положение рассматриваемой точки твердого тела по отношению к полюсу; R — радиус-вектор полюса, определяющий положение последнего по отношению к неподвижному началу координат.
Указанную теорему механики твердого тела можно обобщить и на случай несжимаемой жидкости.
Рассматривая движение потока элементарной толщины после его поворота и течения вдоль оси Z, формулу (6) можно представить в виде суммы Uz скоростей поступательной V и вращения V t:
Uz = VX+V^. 10 (7)
В критической точке О при изменении направления элементарного потока на 90°V=0. Тогда в точке О имеем V=F откуда V-Fot=0=V.
Следовательно, вихрь оказывает тормозящее сопротивление поступательному движению струи при изменении ее траектории.
Для установления характера изменения комплексной скорости в некоторой точке М, находящейся на радиусе R, воспользуемся анализом функции комплексного переменного для линий тока у жесткой стенки с прямым углом, имеющих вид равнобочной гиперболы с асимптотами вдоль координатных осей.
Для функции комплексного потенциала ю = f (r) = ф + yi = ar2 при авещест-венном имеем [1]:
2 2 2
ф + у/ = a(x + yi) = a(x - y ) + 2axyi.
Линии тока у = 2axy = const, т.е. являются равнобочными гиперболами (см. рис. 3).
Изопотенциальные линии ф = a( x2 +y2) = const также являются гиперболами, для которых координатные оси служат осями симметрии.
Комплексная скорость в некоторой точке М (см. рис. 3), равная = 2ar, пока-
dr
зывает, что вектор скорости Uz (r) направлен по зеркальному отражению OM радиуса вектора r этой точки и имеет величину, пропорциональную удалению точки от начала координат.
Проанализируем вещественную часть 2а комплексной скорости. Принимаем, что Uz(r) = 2ar. Чтобы величина r стала безразмерной, разделим ее на полный радиус R. Тогда
r
Uz (r) = 2ar = к—, (8)
z R
где к — вещественная часть.
При r =R имеем U (R) =V, поскольку влияние вихря исчезает, и скорость течения струи соответствует условиям движения плоскопараллельного потока. Тогда к = V и уравнение (8) приобретает вид
uz (r) = VXR. (9)
При r = 0 на основании уравнения (7), но с учетом, что вихрь оказывает тормозящее сопротивление, имеем
Vrot = Vx d - R] (10)
и
Uz (r) = Vx + Vrot = 0. (11)
Умножим левую и правую части уравнения (11) на dr и просуммируем по радиусу R.
rR rR r
f U7dr = f VY—dr. (12)
Jo z Jo X R
После интегрирования получаем r2
Uz (r) R = Vx — + Cx. (13)
2R
При Vx = 0 в критической точке О имеем Q = 0. Тогда Q = 0.
Разделив обе части уравнения (13) на ширину R потока в месте его закругления, получим осредненную скорость потока в этом месте:
Uzcp(r) = 2 Vx. (14)
Приравняем объемы потока единичной толщины Ду, входящего в плоскость YR, и выходящего из плоскости YX вдоль оси Z. Тогда получаем
Uc R = - VxL, z 2
откуда
Uzcp( X) = 2 VxR. (15)
Поскольку линии тока у прямого угла являются равнобочными гиперболами, то L =B
(см. рис. 3) и радиус R делит прямой угол пополам. Учитывая, что L = —1— =
R cos45° V2
выражение (15) принимает вид
и?( х) = ^= Ух = 0,707УХ. (16)
Эпюра распределения скорости и по длине Я, судя по формуле (15), имеет треугольный характер с максимальным ее значением и = V . Соответственно эпюра и (х), исходя из выражения для ее среднего значения (16), будет носить параболический характер, что соответствует численному решению данной задачи в дифференциальных уравнениях, полученной К. Хименцем и Л. Хоуартом [3].
Скорость потока и как известно, зависит от ординаты У (см. рис. 2), а следовательно и скорость и также будет зависеть от этой ординаты. Учитывая, что средняя скорость прямолинейного потока, движущегося по наклонной плоскости, равна 2
V? =— ГГХ (2), при переходе к средней скорости потока иЦР получим
У?(х, у) = -±3 С" = 0,471 УГХ. (17)
Здесь скорость ктах определяется по (3).
Контролируемый объем установившегося потока жидкости, протекающий в единицу времени вдоль оси 2, в конце стенки длиной В/2 будет равен:
Q (х, у) = ис?(х, у) LH. (18)
Поскольку поток имеет вид равнобочной гиперболы, то Ь=В. Тогда формула (17) с учетом зависимости (16) приобретает вид
у) = 0,235ктах ВН. (19)
При натекании вязкого оползня на сплошную стенку поток течет вдоль стенки в противоположные стороны от критической точки О. Тогда общий контролируемый объем установившегося потока вязкой жидкости, вытекающий в единицу времени вдоль оси ± 2 , будет равен:
£ Q( х, у) = 0,47 Ксшах ВН = 0,707Гхср ВН. (20)
Отношение объемных расходов потока без подпорного сооружения (3) и с ним (20) в итоге равно отношению средних скоростей потоков в том и другом случаях. Тогда
и2ср( х, у) = ±0,353Кхср( у). (21)
Из формулы (21) видно, что поток вязкой жидкости растекается в две противоположные стороны вдоль сплошной подпорной стенки и скорость его замедляется по сравнению со скоростью движения плоскопараллельного потока неограниченной ширины.
В случае, когда подпорная стенка представляет собой разреженный ряд свай (см. рис. 1, а), плоскопараллельный поток, движущийся со скоростью V , разделится на два потока: один движется вдоль оси 2 со скоростью и, а другой между сваями по оси, параллельной оси Х — со скоростью и .
Контролируемый объем установившегося потока жидкости, протекающий в единицу времени вдоль оси ±2, в случае разреженного ряда свай (см. рис. 1, а) будет равен:
Qz = и?
1 - °2
Di
nBH. (22)
/
где п — число свай в ряду; Б — шаг свай по осям; Б2 — расстояние между сваями в свету.
Контролируемый объем установившегося потока жидкости, протекающий в единицу времени вдоль оси X (5), равен
Qx = ^^ пВН. (23)
и1
Отношение контролируемых объемов установившегося потока жидкости соответствует отношению скоростей вязкого течения, откуда с учетом зависимости (21) получаем
х, у) = ±0,357?
С
1 - П А
(24)
Соответственно скорость потока, протекающего сквозь разреженный ряд свай, можно найти по отношению контролируемых потоков жидкости плоскопараллельного установившегося гравитационного движения бесконечного откоса и течения в канале.
В прикладных задачах гидромеханики в качестве условий на входе в расчетную область наиболее часто рассматривается ударный профиль. Принимают, что все скорости на входе равны друг другу и направлены перпендикулярно плоскости входа.
В рассматриваемом случае перед входом сформировалось стабилизированное плоскопараллельное течение вдоль оси X. На выходе из межсвайного (межконтфор-сного) пространства профиль скорости зависит от длины этого пространства (канала). При достаточно длинном канале профиль скорости формируется за счет трения по боковым граням канала и принимает вид параболы Пуазейля, а при коротком канале можно приближенно принять профиль, аналогичный плоскопараллельному движению.
Для контрфорсного ряда, состоящего из свай прямоугольного или круглого сечения, профили скоростей в плоскостях XОZ и ХОУ можно приближенно принять одинаковыми. Тогда на основе анализа контролируемых объемов на входе и выходе межсвайного пространства получим
иХ = ^ (25)
При D2 ^ D1, иСр ^ У£р, при D1 ^ 0, иср ^ 0, что соответствует частным
случаям течения вязкой жидкости.
Следует отметить, что в основу рассматриваемого анализа движения вязкого оползня положено решение о течении неограниченного по ширине оползневого откоса, для которого из-за отсутствия боковых преград возможно расползание вдоль установленного поперек его движения контрфорсного препятствия.
На практике, как правило, встречаются оползни с бортами. Для таких оползней скорость вдоль установленной поперек его движения контрфорсной стенки (7=0, однако, возможно «переползание» вязкого потока поверх подпорного сооружения [4], что и наблюдается на практике. Анализ такого движения оползня для вариантов разреженного ряда свай и сплошной стенки здесь не приводится в виду ограничения объема статьи.
Выводы. 1. При стабилизации оползней вязкого течения с помощью свайных подпорных стен эффективность от их применения определяется степенью уменьшения скорости движения закрепляемого массива.
2. Получение точного общего решения движения вязкого потока с обтеканием различных по геометрии препятствий на основе используемых в таких целях уравнений Навье — Стокса невозможно из-за их нелинейности.
3. В целях получения приближенных практических решений весь поток свайно-оползневого пространства разбивается на отдельные участки, для которых приме-
нимы частные случаи точных решений вязкого течения с дальнейшим объединением их на основе общего параметра.
4. Показано, что таким объединяющим параметром для рассматриваемого случая обтекания оползнем сплошных, либо разреженных препятствий является контролируемый объем установившегося потока жидкости перед входом в область с изменяющимися граничными условиями.
5. В результате использования предлагаемой методики получены выражения, позволяющие рассчитать скорость движения вязкого оползня для случаев применения как разреженного, так и сплошного ряда противооползневых свай.
6. Указаны условия, при которых происходит «переползание» вязкой оползневой массы поверх подпорного сооружения.
Библиографический список
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. : Дрофа, 2003. 840 с.
2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. Л.-М. : ОГИЗД941. 348 с.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / пер. Г.А. Вольперта ; под ред. Л.Г. Лойцянско-го. М. : Наука, 1974. 711 с.
4. Маслов Н.Н. Механика грунтов в практике строительства (оползни и борьба с ними). М. : Стройиздат, 1977. 320 с.
Поступила в редакцию в феврале 2012 г.
Об авторах: Буслов Анатолий Семенович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строитекльного производства, оснований и фундаментов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина», Москва, ул. Павла Карчагина, 22, a.buslov@yandex.ru;
Калачёва Елена Николаевна — аспирант, старший преподаватель кафедры промышленного и гражданского строительства, Рязанский институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет им. В.С. Черномырдина», 390046, г. Рязань, ул. Колхозная, 2а.
Для цитирования: Буслов А.С., Калачёва Е.Н. Скорость движения оползней вязкого течения при устройстве свайного ряда и сплошной подпорной стены // Вестник МГСУ 2012. № 3. С. 16—24.
A.S. Buslov, E.N. Kalacheva
VELOCITY OF VISCID FLOW LANDSLIDES IN THE EVENT OF A PILE CURTAIN AND A CONTINUOUS RETAINING WALL
In regions of intensive precipitation, slopes tend to become viscid due to accumulated moisture. The ultimate resistance of soils susceptible to landslides is equal to zero, while shear stresses between layers are proportional to the velocity gradient.
To prevent landslides, slope soil is stabilized by a continuous retaining wall or a row of sparsely erected piles. The effectiveness of these methods is measured by the diminishing rate of the sliding speed at the landslide-prone slope. Due to the non-linear nature of the viscid flow, the Navier — Stokes equations cannot be applied.
To perform a more precise calculation, the entire flow is broken down into segments in respect of which the analysis of the viscid flow can be performed; individual results are consolidated on the basis of a common parameter.
The first flow section, located at a substantial distance from the buttresses, can be considered as a steady stream of plane gravitational motion alongside the slope. In the second section, the slide is obstructed by the buttress and the parallel flow pattern is formed. There occurs a split of the flow at the critical point of entry, located on the front surface of a solid wall or a buttress.
The third section, which can be compared with the flow of viscid fluid in a canal, is typical for buttresses that have a significant length in the direction of the landslide flow.
The papers hows that the common parameter applicable both to solid and dispersed barriers is the controlled volume of the fluid flow at the point of entry to the pre-boundary area.
As a result of application of the proposed methodology, equations were obtained that made it possible to calculate the speed of the viscid slide depending on different types of piles. The paper describes the conditions that make the viscid mass "climb" over the constructed barrier.
Key words: landslide; viscous flow; pile row; retaining wall; flood control volume.
References
1. Lojcjanskij L.G. Mekhanika zhidkostii gaza [Liquid and Gas Mechanics]. DROFA Publ., Moscow, 2003, 840 p.
2. Kochin N.E., Kibel' I.A., Roze N.V. Teoreticheskaya gidromekhanika [Theoretical Hydromechanics]. Part 1, OGIZ Publ., L.-M., 1941, 348 p.
3. Schlichting H. Teoriya pogranichnogo sloya [Boundary Layer Theory]. Edited by Loycyans-kiy L.G. Nauka Publ., Moscow, 1974, 711 p.
4. Maslov N.N. Mekhanika gruntov vpraktike stroitel'stva (opolzni i bor'ba s nimi) [Soil Mechanics in the Construction Practice (Landslides and Their Control). Stroiizdat Publ., Moscow, 1977, 320 p.
About the authors: Buslov Anatoliy Semenovich — Moscow State Open University named after V.S. Chernomyrdin, 22 PavlaKarchagina St., Moscow, 129626, Russian Federation; email: a.buslov@yandex.ru;
Kalacheva Elena Nikolaevna — Ryazanskiy Branch, Moscow State Open University named after V.S. Chernomyrdin; 2a Kolhoznaya St., 390046, Ryazan, Russian Federation.
For citation: Buslov A.S., Kalacheva E.N. Skorost' dvizheniya opolzney vyazkogo techeniya pri ustroystve svaynogo ryada i sploshnoy podpornoy steny [Velocity of Viscid Flow Landslides in the Event of a Pile Curtain and a Continuous Retaining Wall]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 3, pp. 16—24.
