CC BY
42022
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
•Математика. Механика. Информатика»
Вып. 3(58)
УДК 513
" Склеивание" трехмерного евклидова пространства с помощью циклической группы, порожденной осевой скользящей симметрией
Г. Г. Шеремет1' a, З. И. Андрееваъ
1 Пермский государственный национальный исследовательский университет; Пермь, Россия e-mail: a sheremet@pspu.ru; ORCID: 0000-0002-7454-8023, AuthorlD: 1096081 e-mail: ъ varden2012@yandex.ru
Определено пространство Е34, получающееся "склеиванием" евклидова трехмерного пространства. При "склеивании" была использована равномерно-разрывная подгруппа группы движений евклидова пространства, которая является циклической группой, порожденной осевой скользящей симметрией пространства Е3. Определены основные объекты нового пространства и изучены их аффинные и некоторые метрические свойства.
Ключевые слова: евклидово пространство; расстояние; движение; осевая симметрия; параллельный перенос; группа; структура группы; равномерно-разрывная группа; "склеивание"; плоскость; прямая; точка; расстояние; угол; перпендикулярность; параллельность.
Поступила в редакцию 03.05.2022, принята к опубликованию 01.08.2022
Three-Dimensional Euclidean Space "Gluing" with Using a Cyclic Group Generated by an Axial Sliding Symmetry
G. G. Sheremet1; a, Z. I. Andreevab
1 Perm State University; Perm, Russia
e-mail: a sheremet@pspu.ru; ORCID: 0000-0002-7454-8023, AuthorlD: 1096081 e-mail: b varden2012@yandex.ru
The obtained with using Euclidean three-dimensional space "gluing" space E34 is defined. An uniformly discontinuous subgroup of the Euclidean space motions group is used for "gluing". It is a cyclic group generated by an axial sliding symmetry of the space E3. The new space main objects are determined and their affine and some metric properties are studied.
Keywords: Euclidean space; distance; motion; axial symmetry parallel translation; group; group structure; uniformly discontinuous group; "gluing"; plane; line; point; distance; angle; perpendicularity; parallelism.
Received 03.05.2022, accepted 01.08.2022 DOI: 10.17072/1993-0550-2022-3-11-17
Эта работа О 2022 Шеремет Г. Г., Андреева 3. И. лицензируется под СС ВУ 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Введение
Пространствами, развертывающимися пространство Ез, называют результат "склеивания" трехмерного евклидова пространства Ез при помощи равномерно-разрывных подгрупп группы движений этого пространства. В статье [1] подробно описан алгоритм определения и изучения такого вида геометрических пространств.
Определение 1 [2]. Подгруппа О движений евклидова пространства называется равномерно-разрывной, если существует такое положительное действительное число d, что для любого g 6 О и любой точки Х 6 Ез условие \Х g(X)| > d выполняется тогда и только тогда, когда X Ф g(X).
В статье [3, теорема 7] показано, что существует точно девять типов равномерно-разрывных групп движений трехмерного евклидова пространства. Отсюда следует, что существует точно девять нетривиальных типов геометрических пространств, развертывающихся на трехмерное евклидово пространство.
В статьях [1, 3, 4] описаны пространства Ез1, Ез2, Ез3, которые получаются "склеиванием" трехмерного евклидова пространства Ез при помощи групп
01 ={га},
02 = {Та }®{Ть} и
03 = Та Ть}®{Тс }
соответственно. Здесь Та , ТЬ и Тс параллельные переносы на некомпланарные векторы а , Ь и с .
Пусть ¥ любая фигура в Ез.
Определение 2 [1]. "Склеиванием " орбиты {Ок(¥)} называется результат отождествления всех элементов этой орбиты. При этом "склеиваются" орбиты всех точек фигуры ¥.
Результат "склеивания" орбиты {Ок(¥)} обозначим ¥*, т. е. ¥*={Ок(¥)}. Результаты "склеивания" орбит точек, прямых и плоскостей пространства Ез будем называть новыми точками, прямыми и плоскостями соответственно.
Определение 3 [1]. Пространством, полученным "склеиванием" пространства Ез при помощи группы Ок, называется множество всех новых точек, прямых и плоскостей. Обозначим это пространство Езк.
1. "Склеивание" пространства Ез при помощи группы 04 = { }
1.1. Определение пространства Ез4
Пространством Ез4 называется результат "склеивания" пространства Ез при помощи циклической группы G4.
^4 = { ^,а }, где ^,а = ($ Та ), Бг -симметрия пространства Ез относительно
прямой I, Та - параллельный перенос на ненулевой вектор а , а | | I.
Так как (Бг ■ Та ) (Бг ■ Та ) = Т-¿а , то группа О4 состоит из всех движений вида
Бг, (2к+1)а и Т2та , где т и к любые целые числа. Орбитой любой точки А является множество
{$1(2к+1)а (А), Т2та (А)}.
Если точка А лежит на прямой I, то все точки ее орбиты лежат на этой прямой, расстояние между любыми двумя соседними точками орбиты равно | а |.
Если точка А не лежит на прямой г, то все точки ее орбиты лежат на двух прямых (носителях орбиты), симметричных относительно г, расстояние между любыми двумя соседними точками орбиты, лежащими на одном носителе, равно |2 а |.
Пусть П - евклидова плоскость, проходящая через прямую г. Плоскость П разбивает все евклидово трехмерное пространство на два полупространства О1 и О2. С помощью группы все пространство "склеивается" в одно (любое) полупространство (например, в О1). При этом "сужение" группы G4 на плоскость П является циклической группой
о
{°1 а}, действующей в группе движений плоскости П, т.е. в группе движений евклидовой плоскости. Но с помощью этой группы евклидова плоскость "склеивается" в "скрученный" цилиндр, т. е. в плоскость Мебиуса [5, с. 19-21].
Пусть По - евклидова плоскость, проходящая через прямую г и перпендикулярная
плоскости П. Пусть Пк = ^1 ,к~а (По), рк = П П Пк (рис. 1). Плоскость П разбивает каждую плоскость Пк на две полуплоскости. Обозначим Пк1 те полуплоскости, которые лежат в О1, и через Пк2 те, которые лежат в О2. Плоскости Пк разбивают все евклидово пространство Ез на слои. С помощью группы G4 пространство Ез "склеивается" в слой, ограничен-
ный плоскостями По и П2. В этом слое полуслой, ограниченный полуплоскостями П02, П12 и полосой с границами ро, р1, "склеивается" с полуслоем, ограниченным полуплоскостями П11, П21 и полосой с границами р1, р2. А полуслой, ограниченный полуплоскостями П12, П22 и полосой с границами р1, р2, "склеивается" с полуслоем, ограниченным полуплоскостями П11, П01 и полосой с границами р1, ро.
Следовательно, все пространство Ез "склеивается" в бесконечный полуслой, ограниченный полуплоскостями П01, П21 и полосой с границами ро, р2. А полоса с границами ро, р2 "склеивается" в плоскость Мебиуса.
Кроме того, полуплоскости По1 и П21 "склеиваются" между собой. Таким образом, получили модель пространства Ез4 (рис. 1). Обозначим эту модель Ф. В четырехмерном пространстве это будет бесконечный четырехмерный цилиндр, ограниченный плоскостью Мебиуса.
/П?; /! ', п21/
/П,2 1- / / / 71 / | / | / / Пи/
/- а / У Щ; // / / ру> / ^ / ш, /
V 1
Рис. 1
1.2. Плоскости в пространстве Е34
Пусть Р* - произвольная плоскость в пространстве Ез4 и Р та плоскость пространства Ез, орбита которой определяет Р . Для плоскости Р возможны следующие случаи.
1. Р ^ I. Орбита плоскости Р состоит из одной плоскости (самой плоскости Р). Как было описано выше, эта плоскость "склеивается" в "скрученный" цилиндр (плоскость Мебиуса). Назовем эти плоскости в пространстве Е34 плоскостями первого рода.
2. Р | | а , но I €Р. Орбита Р состоит из двух плоскостей, симметричных относительно прямой I. Эти плоскости "склеиваются" с
одной (любой) из них, пусть с самой плоскостью Р.
Если q - ортогональная проекция прямой I на плоскость Р, то группа ^4 индуциру-
о
ет на плоскости Р группу { ,2а }.
Но с помощью такой группы плоскость Р "склеивается" в плоскость Мебиуса. Плоскости пространства Е34, полученные в этом случае, назовем плоскостями второго рода.
3. Р ± а (следовательно, Р ± П). Орбита Р состоит из всех плоскостей вида Рк =
о
°1 ,к~а (Р), рк = П П Рк, параллельных Р и таких, что расстояние между двумя соседними плоскостями равно | а |. Плоскость П разбивает каждую плоскость Рк на две полуплоскости. В модель Ф попадают две из них (Ро1 и Р11). Вся орбита плоскости Р "склеивается" с этими полуплоскостями. При этом границы ро и р1 "склеиваются" между собой. Результатом "склеивания" будут две полуплоскости со "склеенными" границами, лежащими в П. Полученная фигура гомеоморфна евклидовой плоскости. Получили в пространстве Е34 плоскости третьего рода.
4. Плоскость Р не параллельна и не перпендикулярна вектору а .
Если Рк = { ^,ка (Р)} орбита плоскости Р, то плоскость П разбивает каждую плоскость Рк на две полуплоскости Рк1 и Рк2. Все они "склеиваются в две винтовые полуповерхности, границами которых являются две винтовые линии, которые "склеиваются" между собой. В результате получается поверхность, гомеоморфная винтовой поверхности. Получили в пространстве Е34 плоскости четвертого рода.
1.3. Прямые в пространстве Е34
Пусть р* - любая прямая пространства Е34 и р - та прямая пространства Ез, орбита которой определяет прямую р*. Для прямой р возможны следующие случаи.
1. Прямая р совпадает с I. Орбита этой прямой состоит из одной прямой - самой прямой I. Если на прямой I зафиксировать точку А, то орбита этой точки состоит из всех тех и только тех точек, которые лежат на прямой I и расстояние между двумя соседними из них равно| а |. Следовательно, прямая I "скле-
ивается в окружность радиуса
а
Такая прямая в пространстве Ез4 единственная. Назовем ее прямой первого рода.
2. р | | а , но р ф г. Орбита этой прямой состоит из двух прямых, симметричных относительно прямой г. Эти прямые "склеиваются" в одну (любую) из них. Можно считать, что они "склеиваются" в ту прямую, которая лежит в полупространстве 0. Эта прямая пересекает модель Ф по отрезку длины 2| а |. Концы этого отрезка "склеиваются" и в ре-
а
зультате получается окружность радиуса -—-.
7
Получили в пространстве Ез4 прямые второго рода.
3. р ± а . Орбита этой прямой состоит из всех прямых параллельных р и таких, что расстояние между любыми двумя соседними прямыми равно | а |. Все эти прямые "склеиваются" в одну (любую) из них, например, в ту прямую рк, которая пересекает модель Ф. Если прямая рк не лежит в плоскости П, то П разбивает ее на две полупрямые. Одна из этих полупрямых лежит в модели Ф. Образ второй
„ С< -
полупрямой при движении а тоже лежит в
Ф. Начала этих полупрямых будут лежать в плоскости П и будут "склеиваться" между собой. Итак, в этом случае результатом "склеивания" орбиты прямой р будут два луча со "склеенными" началами. Эта фигура гомео-морфна евклидовой прямой. Если прямая р лежит в плоскости П, то ее орбита "склеивается" с самой этой прямой. Эти прямые тоже являются евклидовыми. Полученные в пространстве Ез4 прямые назовем прямыми третьего рода.
4. Прямая р не параллельна и не перпендикулярна вектору а .
В результате "склеивания" орбиты этой прямой получается винтовая линия. Получили прямые четвертого рода.
1.4. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Ез4
1. Все плоскости первого рода пересекаются по прямой первого рода.
2. Любая плоскость первого рода либо пересекает плоскость второго рода по прямой второго рода, либо не имеет с ней ни одной общей точки.
3. Любые две плоскости второго рода либо пересекаются по прямой второго рода, либо не имеет ни одной общей точки.
4. Любая плоскость первого или второго рода пересекает плоскость третьего рода по прямой третьего рода.
5. Любые две различные плоскости третьего рода не имеют ни одной общей точки.
6. Любая плоскость первого, второго или третьего рода пересекает плоскость четвертого рода либо по прямой четвертого рода, либо не имеет с ней ни одной общей точки.
7. Любые две различные плоскости четвертого рода либо не имеют ни одной общей точки, либо пересекаются по прямой третьего или четвертого рода.
8. Через любые две различные прямые второго рода проходит плоскость второго рода и только одна.
9. Через две прямые, из которых одна прямая первого рода, а вторая - второго рода, проходит плоскость второго рода и только одна.
10. Через любые две различные прямые третьего рода либо проходит плоскость третьего рода и только одна, либо не проходит ни одной плоскости.
11. Через любые две различные прямые четвертого рода либо проходит плоскость четвертого рода и только одна, либо не проходит ни одной плоскости.
1.5. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Ез4
Определение 4. Прямые р* и ц* пространства Ез4 называются параллельными (р* | | q ), если они либо совпадают, либо лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки.
Определение 5. Плоскости Р* и Р2* пространства Ез4 называются параллельными, если они либо совпадают, либо не имеют ни одной общей точки (обозначение Р1 | |
Р 2 *).
Определение 6. Плоскость Р* и прямая
* г 4
р пространства Ез называются параллельными, если прямая р либо лежит в плоскости Р*, либо не имеет с ней ни одной общей точки (обозначение р* | | Р*).
Свойства параллельных прямых
и плоскостей
1 p*11 р*;
2*11 * * I I *
. p 11 ц * q 11 p;
3. (р* | | ц*, ц*| | г*) * р* | | г*;
4. Р* | | Р*;
5. Р1* | | Р2* * Р2 | | РГ,
6. (Pl* | | Р 2 , Р2 | | Рз*) * Pl* | | Р3*).
7. Через любую точку пространства Ез4 проходит прямая, параллельная данной прямой и только одна.
8. Через любую точку пространства Ез4 проходит плоскость, параллельная данной плоскости и только одна.
2. Метрические свойства плоскости Ез4
2.1. Расстояние между точками в пространстве Ез4
Пусть А *, В* любые две точки в пространстве Ез4 и пусть {Ai, i 6 Z},{Bj, j 6 Z } соответствующие им орбиты в пространстве Ез.
Определение 3 [1]. Расстоянием между точками А* и В* в пространстве Ез4 называется минимум расстояний между точками Ai и Bj в пространстве Ез
| А* В* | = min (Ai Bj |евк.).
Свойства расстояний между точками
10. Для любых двух точек А* и В* пространства Ез4 расстояние А В | существует и только одно.
20. Для любых двух точек А и В в соответствующих им орбитах
{Ai, i 6 Z} и {Bj, j 6 Z} найдутся такие точки Ai и Bj, что \А* В^ = (Ai Bj |евк.
30. А В | > 0 для любых двух точек А и
В*.
40. А В | = 0 тогда и только тогда, когда А* = В*.
50. А В | = | В А | для любых двух точек
А* и В*.
60. А* В^ + ВС > А* С^ для любых точек А , В и С .
Определение 4. Сферой с центром С и радиусом r (r > 0) называется множество всех точек М пространства Ез4, удовлетворяющих условию
| С* М*\ = r.
2.2. Углы между прямыми и плоскостями в пространстве Ез4
Так как движение евклидова пространства сохраняет углы между прямыми, плоскостями и между прямой и плоскостью, то углы в пространстве Ез4 можно определить следующим образом.
Углом между прямыми р* и ц* (между плоскостями Р и Q , прямой р и плоскостью Р ) называется угол между соответствующими им евклидовыми прямыми р и ц (плоскостями Р и Q, прямой р и плоскостью Р).
Прямые р и ц (плоскости Р и Q , прямая р* и плоскость Р*) называются перпендикулярными, если перпендикулярны соответствующие им евклидовы прямые р и ц (плоскости Р и Q, прямая р и плоскость Р). Если **
прямая р ± ц и р пересекает ц , то р называется перпендикуляром, опущенным на ц*.
Свойства перпендикулярности
прямых и плоскостей
1. Из любой точки на любую прямую можно опустить перпендикуляр и только один.
^ т^ * , * * , *
2. Еслир ± ц , то ц ±р .
3. Любая прямая третьего рода перпендикулярна любой прямой первого и второго рода.
4. Если р* является прямой четвертого рода, то любая перпендикулярная ей прямая тоже будет прямой четвертого рода.
5. Любая плоскость третьего рода перпендикулярна любой плоскости первого и второго рода.
6. Если Р* плоскость четвертого рода, то любая перпендикулярная ей плоскость тоже будет плоскостью четвертого рода.
7. Любая прямая третьего рода перпендикулярна любой плоскости первого и второго рода.
8. Любая прямая первого и второго рода перпендикулярна любой плоскости третьего рода.
9. Если прямая р* является прямой чет-
*
вертого рода и р* перпендикулярна плоскости
**
Р*, то Р* тоже является плоскостью четвертого рода.
2.3. Движения пространства Ез4
Определение 5 [6, с. 11]. Движением пространства Ез4 называется взаимно однозначное отображение множества точек этого пространства на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.
Обозначим Ж множество орбит всех точек пространства Ез при действии группы G4
о
={ °г, а }. Пусть О - группа всех движений пространства Ез, О - множество всех движений, при которых множество Ж отображается само на себя. Очевидно, О* является подгруп-
пой в группе О и 04 является инвариантной подгруппой в группе О ([3, с. 11]).
При этом движения из О4 и только они отображают каждую орбиту саму на себя.
В группу О* входят
1. Параллельные переносы ть , где Ь любой вектор, параллельный прямой I.
2. Симметрия (Х) пространства Ез относительно прямой I.
3. Скользящие симметрии (Х, с ) относительно прямой I ( с || ¡).
4. Осевые симметрии (Хр), р ± I.
5. Симметрии относительно плоскостей
Хе (б ± О.
6. Центральные симметрии Хо, О £ I.
Так как каждое движение из О* отображает орбиту на орбиту, то каждая точка из Ез4 отобразится на точку из Ез4. Разные точки, очевидно, будут отображаться на разные же точки. Так как каждое движение из О сохраняет евклидово расстояние, то будет сохраняться и расстояние между соответствующими точками в пространстве Ез4. Итак, каждому
G*
* соответствует движение пространства Ез4. Легко доказать и обратное; каждому движению пространства Ез4 соответствует хотя бы одно движение евклидова пространства.
Из сказанного выше следует
Теорема 1. Группа движений пространства Ез4 изоморфна фактор-группе группы О по подгруппе Оз.
Рассмотрим частные виды движений пространства Ез4. Все движения из О4 порождают тождественное преобразование пространства Ез4. Для остальных движений из О возможны следующие случаи.
1. Параллельные переносы ть пространства Ез, где Ь любой вектор, параллельный прямой I, порождают сдвиги вдоль прямых первого и второго рода. При этом все точки пространства Ез4 сдвигаются в одном направлении на одно расстояние.
2. Симметрия X пространства Е3 порождает симметрию пространства Е34 относительно прямой I*
3. Скользящие симметрии (X, с) относительно прямой I (с || I) порождают движения пространства Ез4, которые являются произведениями осевой симметрии относительно
*
прямой I и сдвига, порожденного параллель-
Т-
ным переносом Т с .
Это движение назовем скользящей симметрией относительно прямой 1\
4. Осевые симметрии Хр (р ± I) порождают осевые симметрии пространства Е34 относительно прямых третьего рода. Обозначим их р" .
5. Симметрии относительно плоскостей
Хб (б ± I) определяют симметрии пространства Е34 относительно плоскостей третьего рода.
6. Центральные симметрии Хо, О £ П порождают центральные симметрии пространства Е34 относительно точек О*£ I*. Эти движения назовем центральными сим-метриями пространства Е34 и будем обо-
7
значать 7 о* .
Список литературы
1. Андреева З.И., Шеремет Г.Г. Геометрии, развертывающиеся на трехмерное евклидово пространство // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 1(48). С. 5-12.
2. Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Группы и геометрии. М.: Наука, 1993. 239 с.
3. Андреева З.И. Равномерно-разрывные подгруппы группы движений «-мерного евклидова пространства // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 2(41). С. 5-11.
4. Андреева З.И., Шеремет Г.Г. Геометрия, получающаяся "склеиванием" трехмерного евклидова пространства с помощью группы
// Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 4(51). С. 5-10.
5. Андреева З.И., Шеремет Г.Г. Движения плоскостей, развертывающихся на евклидову плоскость // Сб. науч. тр. IV между-нар. симпозиума "Симметрии: теоретический и методический аспекты". Астрахань, 2012.С. 16.
6. Шеремет Г.Г., Андреева З.И. Геометрическое пространство, получающееся "склеиванием" трехмерного евклидова пространства с помощью группы, являющейся прямым произведением трех подгрупп параллельных переносов // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 1(56). С. 14-21.
References
1. Andreeva Z.I., Sheremet G.G. Geometrii, razvyortyvayushchiesya na tryohmernoe ev-klidovo prostranstvo. // Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. In-formatika. 2020. Vyp. 1(48). S. 5-12.
2. Nikulin V.V., Shafarevich I.R. Gruppy i geometrii. M.: Nauka, 1993. 239 s.
3. Andreeva Z.I. Ravnomerno-razryvnye pod-gruppy gruppy dvizhenij n-mernogo evkli-dova prostranstva // Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informati-ka. 2018. Vyp. 2(41). S. 5-11.
4. Andreeva Z.I., Sheremet G.G. Geometriya, poluchayushchayasya "skleivaniem" tryohmer nogo evklidova prostranstva s pomoshchyu
gruppy // Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2020. Vyp. 4(51). S. 5-10.
5. Andreeva Z.I., Sheremet G.G. Dvizheniya ploskostej, razvertyvayushchihsya na evkli-dovu ploskost' // Sb. nauchnyh trudov IV mezhdunarodnogo simpoziuma "Simmetrii: teoreticheskij i metodicheskij aspekty". Astra-han', 2012. S. 16.
6. Sheremet G.G., Andreeva Z.I. Geometrich-eskoe prostranstvo, poluchayushcheesya "skleivaniem" tryohmernogo evklidova pros-transtva s pomoshch'yu gruppy, yavlyayush-chejsya pryamym proizvedeniem tryoh pod-grupp parallel'nyh perenosov // Vestnik Perm-skogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2022. Vyp. 1(56). S. 14-21.
Просьба ссылаться на эту статью:
Шеремет Г.Г., Андреева З.И. "Склеивание" трехмерного евклидова пространства с помощью циклической группы, порожденной осевой скользящей симметрией // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 3(58). С. 11-17. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-311-17.
Please cite this article as:
Sheremet G.G., Andreeva Z.I. "Gluing" three-dimensional Euclidean space using a cyclic group generated by a sliding symmetry // Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2022. Issue 3(58). P. 11-17. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-3-11-17.
