РАВНОМЕРНО - РАЗРЫВНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ЕВКЛИДОВА N - МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(41)

МАТЕМАТИКА

УДК 513

Равномерно-разрывные подгруппы группы движений евклидова п-мерного пространства

З. И. Андреева

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 varden2012@yandex.ru; 89197176917

Рассмотрены неизоморфные типы равномерно-разрывных подгрупп группы движений

евклидова точечного «-мерного пространства и исследована их структура.

Ключевые слова: группа; движение; расстояние; равномерно-разрывная подгруппа;

структура группы.

DOI: 10.17072/1993-0550-2018-2-5-10

Равномерно-разрывные подгруппы группы движений Б используются для определения и изучения таких неевклидовых геометрий, о которых говорят, что они развертываются на евклидово пространство Еп. Прежде чем определять и изучать такие геометрии нужно исследовать и классифицировать все равномерно-разрывные подгруппы группы Б.

Решению этого вопроса и посвящена данная статья.

Пусть Еп - «-мерное евклидово пространство и Б группа его движений.

Определение 1 [1]. Группа движений О называется равномерно-разрывной, если существует такое положительное действительное число d, что для любого движения gеО и любой точки М евклидова пространства из условия М Ф g(M) следует I > d.

Простейшей равномерно-разрывной группой является тривиальная группа, состоящая только из тождественного движения.

Рассмотрим нетривиальные равномерно-разрывные группы.

Теорема 1. Любое нетождественное движение из равномерно-разрывной группы движений евклидова пространства не имеет неподвижных точек.

© Андреева З. И., 2018

Доказательство [1]. Пусть О - равномерно-разрывная группа, gеО и g(М) = М для некоторой точки М. Рассмотрим шар = {Ы / ЫМ I < у }. Очевидно, g(S) = S. Тогда g(N) е

S, поэтому < ^. Следовательно,

Щ(Ы) I < ЫМ I + Mg(N) I < d.

Отсюда, по определению 1, N = g(N) для любой точки N е 5. В шаре 5 есть (п + 1) внутренних некомпланарных точек, но движение пространства, имеющее (п + 1) неподвижную точку, является тождественным. Итак, если g имеет хотя бы одну неподвижную точку, то оно тождественное.

Теорема 2. Любое нетождественное движение из равномерно-разрывной группы О движений евклидова пространства можно

представить в виде • Т-, где а ¡¡Пк и 1 < к

к а

< («- 1).

Доказательство. Всякое движение из Б можно представить в виде произведения параллельного переноса и движения, имеющего хотя бы одну неподвижную точку (т.е. в виде g • Т, где g - движение, имеющее хотя бы

одну неподвижную точку). При g = е получим параллельный перенос. Пусть g Ф е. Если Ь = 0, то g • Т = g и не может входить в О.

Следовательно, Ь Ф 0 для всех элементов из О, отличных от параллельного переноса. Если движение g имеет только одну неподвижную точку, то при п > 2 оно является центральной симметрией. Но произведение центральной симметрии на параллельный перенос есть центральная симметрия, поэтому оно не может входить в группу О.

Следовательно, если g Ф е, то оно имеет к-плоскость двойных точек (1 < к < п -1) и вне этой плоскости двойных точек нет, т.е.

g = Бя . Вектор Ь представим в виде суммы Ь = а0 + а , где а ЦПК, а0 ± Пк или а0 = 0.

Тогда

g ■ T = sn_ ■ Т- ■ Т-.

а0 а

Так

как

SП ■ Т~ = SП1 , где П II ПК' то g ■ Tb =

к °>

Б^ • Т- , где а НПк1.

Теорема 3. Любая нетривиальная равномерно-разрывная группа содержит нетривиальную инвариантную подгруппу параллельных переносов.

Доказательство. Пусть О нетривиальная равномерно-разрывная подгруппа группы Так как множество параллельных переносов из О замкнуто относительно умножения и отображение, обратное параллельному переносу, является тоже параллельным переносом, то это множество является подгруппой в О. Так как g—1• Т • g = Т. Пусть Б п • Т- - любой

а Ь к а

элемент из О. Тогда

(БПк •Т-) (Бп ■ Та) е О.

Но

(Бп • Т- )•( Бп • Т-) =

пк а пк а

= (Б„ • Б„ )• (Т •Т) = е•Т-=Т-.

V Пк Пк' v а а' 2а 2а

Итак, в группе О есть параллельные переносы. Пусть Т - группа всех содержащихся в О параллельных переносов. Если g е О и Т- е Т, то g—1• Т- • g = Т- е Т. Следовательно,

а а Ь

подгруппа параллельных переносов, входящая в О, будет в ней инвариантной подгруппой.

Теорема 4. Равномерно-разрывная группа О1 содержит только параллельные переносы на пропорциональные векторы тогда и только тогда, когда она циклическая.

Доказательство. ^ Пусть Т- е О1

Ь

(Ь ф 0) и пусть аЬ — все возможные векторы, для которых Т - е О1. Если А - фиксирован-

аЬ

ная точка, T - (А) = А/, то аЪ = \АА\ \ > d, если

аЬ

а Ф 0. Если {...,A-2, A-/, A, A/, A2, ...} - орбита точки А при действии группы G/, то все точки орбиты расположатся на одной прямой. Зафиксируем на этой прямой интервал I длины R, содержащий точку А. Пусть в этот интервал попали к точек орбиты. Интервалы Ij c центрами в этих точках, длины которых равны d, не будут пересекаться. Очевидно, если интервал I с обеих сторон увеличить на ^,

то в него войдет столько же интервалов Ij, сколько и точек орбиты. Следовательно, к < R+^ и число точек, попавших в интервал I,

будет конечным. Выберем из этих точек ближайшую к А точку В (В Ф А). Пусть AB = a. Очевидно, T- е G/. Все T - е G/, где m е R.

7 a ma '

Покажем, что этими параллельными переносами исчерпываются все элементы группы G/. По условию теоремы в группе G\ содержатся

только переносы на векторы аа. Пусть а = m + r, где 0 < r < 1. Тогда T - = T - ■ T - . Если

аа ma ra

т е G/, то и T - е G/. Если С = T - (А), то

Tаa ' ra raK "

либо С = А, либо С ближе к А, чем В, что невозможно.

Следовательно, ra = 0, a ф 0, т.е. r = 0. Итак, группа G\ состоит только из всех возможных переносов вида T - , а поэтому является циклической группой: G\ = { T- }.

^ Пусть G\ = {T-}, a Ф 0. Любой элемент из G\ имеет вид T - . Если А - любая

ma

точка и А/ = T - (А), то А Ф А/ m Ф 0. Но

тогда |АА/|= |ma| ^ ai. Так как группа G\ равномерно-разрывная.

a

> 0, то

Теорема 5. Равномерно-разрывная группа О2 содержит только параллельные переносы, ранг системы векторов которых равен к, тогда и только тогда, когда она равна прямому произведению к циклических групп.

Доказательство. ^ Зафиксируем произвольную точку А. Пусть А - орбита точки А при действии группы О2. Все точки орбиты будут лежать в одной к-плоскости П. Если зафиксировать точку В, не лежащую в плоскости П, то ее орбита будет лежать в к-плоскости, параллельной П, и может быть получена из точек орбиты А параллельным перено-

Равномерно-разрывные подгруппы группы движений евклидова п-мерного пространства

сом на вектор АВ. Если А1 = Т— (А) и В1 = Т— (В), то АЛЧ = ВВ\

Пусть К - шар радиуса R с центром в точке А, содержащий хотя бы одну отличную от А точку ее орбиты. Для любой точки А1, лежащей в К, верно неравенство АА1 | > d. Рассмотрим все возможные шары К1 радиуса ^^, центрами которых являются точки из К.

Очевидно, эти шары попарно не пересекаются. Следовательно, их число не превосходит отношение меры шара, полученного из К увеличением его радиуса на ^^ к суммарной

мере шаров из К1, т.е. не превосходит числа тт(Я + у2)п 2п (Я + у2 )п

.2 - ^2 то легко показать, что а1 = п,

Если к > 2, то продолжая рассуждения, получим, что

G2 = Т- I ® Т- \ ® ... ® Т- I

\ а1 / \ <*2 ) \ ак )

^ Пусть G2 = {Т-| ® (Т-| ® ... ® (Т-

где векторы — ^ = 1, 2, ..., к) линейно независимы. Любой элемент из G2 имеет вид Т- ,

где g = + п2а2 +... + пкак .

Этот вектор отличен от нулевого тогда и только тогда, когда П1, П2, ... , Пк не равны нулю одновременно. Если А - произвольная точка и А1 = Т- (А), то

АА =

g

па + п2а2 +... + пкак

>

Так как полученное число конечное, то в шаре К лежит конечное число точек орбиты А. Выберем из них точку, ближайшую к точке А, и пусть она получается из А переносом на вектор < (< ф 0). Это будет вектор наименьшей длины из всех векторов, соответствующих переносам, входящим в группу G2. Очевидно, G2 з {Т-}. Так же, как и в теореме 3, <1

можно доказать, что все переносы на векторы, пропорциональные а , образуют подгруппу

{ т- }.

Расширим, если нужно, шар К так, чтобы в нем лежали хотя бы три точки орбиты А, не лежащие на одной прямой. В этом шаре тоже будет лежать конечное число точек этой орбиты. Через каждую точку проведем прямую, параллельную вектору . Этих прямых

будет конечное число. Пусть I э А и ¡1 - та из проведенных прямых, которая отлична от I и расположена ближе всех к прямой ¡. На прямой ¡1 внутри расширенного шара лежит лишь конечное число точек орбиты. Пусть С - ближайшая из них к точке А. Тогда в G2 есть параллельный перенос на вектор — = АС. Все

параллельные переносы на векторы, пропорциональные а , образуют подгруппу {Т-}.

2 а2

Очевидно, { Т- }°{Т- }={е}. Если Т- е ^ и

й = а<^ + ¡а,^ а2 = т. Следовательно,

^Но;I

> — + — +...+— > о.

Следовательно, группа G2 равномерно-разрывная.

Теорема 6. Равномерно-разрывная групппа Gз содержит винтовые движения только с одной и той же осью и не содержит параллельных переносов на векторы, не параллельные этой оси, тогда и только тогда, когда она является циклической группой.

Доказательство. ^ Пусть равномерно-разрывная группа Gз содержит винтовые движения только с одной и той же осью и не содержит параллельных переносов на векторы, не параллельные этой оси. Пусть Ао произвольная точка и Во основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось ¡. Рассмотрим шар с центром в точке Во такого радиуса г, чтобы в нем содержались точка А о и еще хотя бы одна точка орбиты Ао. Пусть к -число точек орбиты А о, попавших в этот шар. Проведем открытые шары с центрами в этих точках радиуса ^. Так как Gз равномерно-

разрывная группа характеристики к, то эти

шары не будут пересекаться. Все они будут

содержаться в шаре с центром Во радиуса

2п (г + й/)п • у /2' , т.е. к

г +

^. Следовательно, £.

- целое число. Через каждую точку Ар (0 <р < к) проведем гиперплоскость у , перпендикулярную оси I. Из всех плоскостей у , . выберем ту, которая ближе всех расположена к у0. Пусть это будет та плоскость, которая проходит через точку Аь

Обозначим А0А1 = а . Тогда

А1 = Яа(А0), Яа(А) е О4, т.е. в О4 входят

ппа

все винтовые движения вида Я, -, где п -

1 ,па

любые целые числа. Пусть Я/- — любое винтовое движение, входящее в О4. Пусть Bo е l и Б1 = Я/ (Б0) . Кроме того, обозначим

В = яаВ), Бп = япаВ) . Пусть В1 лежит между Вп и Bn+l и. пусть у э В1, у ± l (рис. 1).

Если G3 содержит параллельный перенос на вектор b , где ¿11/, то легко показать,

2кл R 7 0 "

что при а =- будет b = 2mna, в против-

п

ном случае b = 0 . Но эти параллельные переносы содержатся в G3 = {^а!'

^ Пусть G =te}, пусть Я^-е G3,

n Ф 0, А - произвольная точка и А1= Яа (А).

Тогда |ЛЛ 1 >

na

>

. Следовательно, груп-

Рис. 1. Гиперплоскости, проходящие через точки Вк

Рассмотрим Я- . Это движение принадлежит группе Оз. Если Б\ = Я—па- (Б 1) и у\ = Щпа-а(у1), то у\ лежит между уо и у,

что противоречит выбору у. Следовательно, В1 совпадает с Вп (или с Вп+1) и Ь = па. Если бы при этом было /Ф па, то в группу Оз входило бы движение

Я—пЕ- • Я/-= я/—па= я/—па.

1 ,—па 1,па 1,0 1

Если З Ф па, то в группе Оз будет содержаться нетождественный поворот вокруг оси, что невозможно. Итак, / = па и все входящие в О4 винтовые движения имеют вид

Я"а- . Следовательно, & = \Яа- (. Если для

1 ,па 3 Г 1 ,а)

некоторого п найдется такое к, что па = 2кж, то Япа- = Т - и в группу Оз будут входить

1,па 2па I. ^ ^ ^ ^

параллельные переносы Т - и винтовые движения Я(2п+")а- , где 1 < 5 < п.

1 ,(2п+я)а

па G3 - равномерно-разрывная.

Теорема 7. Равномерно-разрывная группа G4 содержит винтовые движения с к осями общего положения и не содержит параллельных переносов на векторы, не параллельные к-плоскости, параллельной этим осям, тогда и только тогда, когда она является произведением к циклических групп, изоморфных G3.

Доказательство. ^ Пусть G4 равномерно-разрывная группа и содержит винтовые движения с осями pi, р2, ... , рк, не лежащими в одной (к-1)-плоскости. Тогда все винтовые движения с осью ps, входящие в G4, образуют

циклическую подгруппу Очевидно,

G4 =

¡Я"'- 1 n [= {е}, если 5 Ф q,

г Ps ,as) г pq a > 1 "

G4 = TT 1.

i i \ Ps ,as )

s=1

^ Легко доказать, что группа

П {^"s.as 1 где 1 n 1 {е}

равномерно-разрывная.

Теорема 8. Равномерно-разрывная группа G5 содержит скользящие отражения только относительно одной к-плоскости и не содержит параллельных переносов на векторы, не параллельные этой плоскости, тогда и только тогда, когда она является либо циклической вида {V - 1, где a I Пг, либо произве-

V Hk ,a /

дением

m (

П РП

p=i

— 1 из m изоморфных цикли-

ческих групп, где 1 < т < к.

Доказательство. ^ Выделим в О5 некоторую подгруппу Н, содержащую все скользящие отражения относительно плоскости Пр, векторы которых пропорциональны между собой.

a

и

s=1

Равномерно-разрывные подгруппы группы движений евклидова n-мерного пространства

П ,(2и+1)а

, где n и m -

Пусть Во е Пр. Проведем в плоскости Пр шар К с центром в точке Во такого радиуса, чтобы в него попали отличные от Во точки ее орбиты при действии Н. Как и в теореме 3, можно доказать, что в этот круг попало только конечное число точек орбиты.

Пусть Bi ближайшая из них к Во. Если -(В0) = B, то легко показать, что Н =

Если Gj = Н, то G5 циклическая, т.е. G5 = Stf аJ, где а 11 П. Группа G5 состоит из всех возможных скользящих отражений S и параллельных переносов T -

А А 2ша

любые целые числа.

Пусть Gj, кроме подгруппы Н, содержит скользящие отражения относительно данной плоскости П на векторы, не параллельные а . Расширим, если нужно, круг К так, чтобы в него попали образы Во при таких отражениях. Так же, как и в теореме 3, можно доказать, что в круге К содержится конечное число точек орбиты точки Во при действии Gj.

Пусть ln э Bn, ln I I а, ln с П. Пусть li -ближайшая из них к lo. Обозначим b = B0Bj .

Тогда Кь G и G5 = а }•&.* }. °°че-видно {Sn- J n { jSПb J = {е}. Группа g5 состоит из всех возможных скользящих отражений вида S„,~ - , где из чисел к и р хотя бы

П,ka+ pb ' Г

одно четное, и всех возможных параллельных переносов вида Г(2И+1) a+(2OT+i)b.

Если G5 содержит скользящие отражения на векторы, не равные ka + pb, то, продолжая рассуждения, аналогичные предыдущим, получим, что

Gj =

П {s пар},

p=i

Доказательство. Пусть равномерно-разрывная группа G содержит скользящие отражения с плоскостями П1 и П2 и пусть П1 п П2 = ¡. Так как

£„ т ' £„~ = Тт £ц~ 'Т- =

ть ■ R

• T- = R ,2

что

где векторы а^ (1 < р < т) для любого 1 < т < (п— 1) линейно независимы.

^ Легко показать, что группы -1 и

Г1 £п.;1

— I, где векторы а (1<р < т) линей-

,<р ) р

Р=1

но независимы, являются равномерно-разрывными.

Теорема 9. Равномерно-разрывная группа не может содержать скользящие отражения относительно двух не параллельных плоскостей.

то, если £ - е G и £ - е G, то Я,а е G,

П а П2,Ъ 11

невозможно (следствие из теоремы 1).

Теорема 10. Равномерно-разрывная группа G содержит скользящие отражения относительно параллельных плоскостей тогда и только тогда, когда она является либо полупрямым произведением (7,у = {у } ^

где П - одна из данных плоскостей, а I I П,

вектор Ъ не параллелен П, либо полупрямым произведением

где векторы а и g не коллинеарны и параллельны плоскости П, и векторы Ъ и с, не коллинеарны и не параллельны плоскости П.

^ Если равномерно-разрывная группа G содержит скользящее отражение относительно плоскости П, то все скользящие отражения относительно этой плоскости, входящие в G, образуют либо подгруппу £плибо подгруппу | '(теорема 7).

Пусть G содержит скользящее отражение относительно плоскости П1, где П1Ф П, но

П1 II П (пусть это £ -, где р II П1 ). Очевид-

П1,р

но, G содержит движение (£ -' £ -) =

П а П1, р

Та ■ £п ■8п1 ' Тр = Т-+р+4, где Ч перпендикулярен плоскости П, направлен в сторону от П к П1 и имеет длину, равную удвоенному расстоянию между П и П1. Обозначим Ъ = а + р + 4 . Этот вектор не параллелен плоскости П. Следовательно, в первом случае G содержит параллельные переносы на векторы, коллинеар-

ные вектору Ъ . Они образуют циклическую подгруппу. Обозначим ее {Т-1. Группа G содержит подгруппы {£п-1 и {Т-1. Так как 8 л а I п Т I = е и (Т } - инвариантна относительно то (¡у, содержит { Т- } ^ Очевидно, G8 будет искомой группой.

2

а

Если О содержит подгруппу & - } • - }, то она содержит движения {Т-}

и {г }, где с, вектор наименьшей длины, параллельный вектору g + р + q . Очевидно,

векторы Ь и с неколлинеарны, подгруппа ({Г-}® {г }) инвариантна относительно

П}- {Па }•{>'п,g}) }®Тс}) = е, следовательно, в этом случае

^ Легко показать, что группы Ов = {Т} ^ - }, где а \ \ П, а вектор Ь не параллелен плоскости П, и

где векторы а и g не коллинеарны и параллельны плоскости П, и векторы Ь и с, не коллинеарны и не параллельны плоскости П, а являются равномерно-разрывными.

Список литературы

1. Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Группы и геометрии. М.: Наука, 1993. 239 с.

2. Андреева З.И. Современные главы геометрии: учеб. пособие. Пермь: изд-во ПГНИУ, 2014.102 с.

3. Андреева З.И., Шеремет Г.Г. Многообразие геометрии: учебник. Пермь: изд-во ПГГПУ, 2015. 171 с.

Uniformly discontinuous subgroups of the group of motions in //-dimensional Euclidean space

Z. I. Andreeva

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia varden2012@yandex.ru; 8-919-717-69-17

The paper considers non-isomorphic types of uniformly discontinuous subgroups of the group of motions in n-dimensional Euclidean space and studies the structure of these groups.

Keywords: group, motion, distance, uniformly discontinuous subgroup, group structure.