Классификация движений в плоскостях, развертывающихся на евклидову плоскость Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Математика. Механика. Информатика Вып. 4(20)

УДК 519

Классификация движений в плоскостях, развертывающихся на евклидову плоскость

Г. Г. Шеремет

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрены движения в четырех возможных плоскостях, развертывающихся на евклидову плоскость. Каждая из них получается из евклидовой плоскости "склеиванием" по равномерно-разрывной подгруппе Ц = Т- . а Ф 0. или Н2 = {*5'/-}. С1ф0,1\ \а. или Н3 =

Т- х Т- . а _1_в,илиН4 = Л; Л’, - . /, II /-, II а . а Ф о . Орбиты точек евклидо-

а - в 1у,а 12,а 1 А

вой плоскости при действии Нк являются точками новой плоскости. Движением новой плоскости называется взаимнооднозначное отображение множества точек этой плоскости на себя, сохраняющее расстояния между ними. Доказано, что в каждой из рассматриваемых плоскостей группа ее движений, во-первых, изоморфна факторгруппе группы симметрий системы орбит группы Нк по этой группе Нк; во-вторых, равна полупрямому произведению группы сдвигов на группу, порожденную некоторыми осевыми симметриями. В каждой из плоскостей есть сдвиги вдоль прямых всех возможных типов, но в плоскостях, полученных при помощи групп Н2 и Н4, нет осевых симметрий с осями третьего и четвертого типа.

В книге [1] описаны четыре возможные неевклидовы плоскости, локально разворачивающиеся на евклидову плоскость. Все они получаются путем "склеивания" евклидовой плоскости с помощью равномерно-разрывной подгруппы ее группы движений G. Группа Н называется равномерно-разрывной, если существует такое положительное действительное число d, что для любого нетождественного движения h е Ни любой точки А выполняется условие: |Ah(A)| > d.

Если Н - равномерно-разрывная подгруппа группы G, h е Н и А = {А, Аь А2,...}

- орбита подгруппы Н, то "склеивание" понимается как отождествление всех точек одной орбиты. Результатом "склеивания" являются точки новой плоскости. Таким же образом получаются и прямые новой геометрии. Расстояние между точками A = {А, Ai, А2,...} и

© Г. Г. Шеремет, 2008

В = {В, Вь В2,...} определяется как

тт{|АкВр|евк.} •

В книге [1] показано, что в группе движений евклидовой плоскости существуют только четыре неизоморфных типа равномерно-разрывных подгрупп:

- Н1 = Т- , а ф 0 ;

а 7

-Н2= {£л-}, афЪ,1\ \а;

- Н3 = Т- х Г- , а 1е;

а - в 5

- Н4 = $ -, Б, - , 11 1п II а , о ф0 .

1\,а /2,а 1 А

"Склеивание" евклидовой плоскости по этим подгруппам определяет цилиндрическую геометрию, геометрию "скрученного" цилиндра, геометрию на торе и геометрию на бутылке Клейна соответственно. Целью данной статьи является описание групп движений каждой из этих геометрий.

А 2 В, В. 2 1

А, 1

У < 1 в,

"а

Аа В„

А ,

Рис. 1. Движения цилиндрической плоскости

Группа симметрий системы орбит подгруппы Н1 = { Г- } состоит из следующих евклидовых движений:

в 1=Г- 81Й-Ь,г0,8- К

аа+рЪ? 17 1,рЪ7 5 г,«я 5

где t - любая прямая, параллельная вектору а, I - любая прямая, перпендикулярная этому вектору, Ь - некоторый фиксированный вектор, перпендикулярный а, О - любая точка евклидовой плоскости (рис.1). Очевидно, G1 есть группа. Легко доказать, что Н1 - нормальный делитель в ней.

Определение 1. Движением цилиндрической плоскости называется такое взаимнооднозначное отображение множества ее точек на себя, при котором сохраняются расстояния между точками.

Теорема 1. Множество движений цилиндрической плоскости есть группа. (Обозначим эту группу в; ).

Теорема 2. Группа движений цилиндрического плоскости изоморфна фактор-гртпе С] Н\.

Доказательство. Пусть в* - группа движении цилиндрическои плоскости, g е в* и А, В, С - любые три точки, не лежащие на одной прямой. Рассмотрим эти точки как орбиты группы Н|. В них найдутся такие евклидовы точки А0, В0, С0, что |АВ| = |А0В0|, |АС| = |А0С0|, |ВС| = |ВоСо|. Если обозначить Ак = В* = т^(Во), Ск = Тм(С0), то по

свойствам орбит |АКВК| = |А0В0|, |АКСК| = |А0С0|, |ВКСК| = |ВоСо|. Пусть при движении g А —> А1, В -» В1, С -» С1. Зададим отображение евклидовой плоскости по правилу: Ак —> А .

Вк —> В),, Ск —> С . В результате получим отображение множества точек евклидовой плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками, т.е. движение. Это движение переводит множество орбит группы Н1 на себя, следова-

тельно, входит в группу G1. Очевидно и обратное: всякое движение из группы G1 индуцирует движение цилиндрической плоскости. Любой элемент из группы Н1 индуцирует тождественное преобразование цилиндрической плоскости и, наоборот, если некоторое движение из G1 индуцирует тождественное преобразование цилиндрической плоскости, то это движение входит в

Н|. Отсюда и следует, что в* изоморфна фактор-группе G1/Н1.

Можно отметить, что любое движение

О*

! сохраняет тип, взаимное расположение прямых и угол между прямыми. Используя структуру группы G1, можно получить частные виды цилиндрических движений. Движения Т - - порождают сдвиги вдоль цилинд-

аа+рв

рических прямых. При а = 0 получается сдвиг вдоль прямой первого рода (вдоль образующей цилиндра). При Р = 0 получается сдвиг вдоль прямой второго рода (ортогонального сечения цилиндра). При а ф 0 и Р ф 0 получается сдвиг вдоль прямой третьего рода (винтовой линии). Движение 2О порождает цилиндрическую центральную симметрию: если А —> А1, то точка О - середина отрезка [АА1]. Цилиндрическая центральная симметрия имеет две различные неподвижные точки. Они лежат на одной прямой второго рода и делят еей пополам. Движения & и 81 определяют осевые симметрии относительно прямых 2-го и 1-го рода соответственно. При этом точки, симметричные относительно прямой 1 -го рода, лежат на прямой 2-го рода, и наоборот. Симметрия относительно прямой первого рода имеет две оси,

расстояние между которыми равно

. Нако-

нец,

и

Б -

Л а а

определяют "скользящие"

симметрии на цилиндре: симметрия относительно оси и сдвиг вдоль этой оси.

Теорема 3. Группа в* есть полупрямое

произведение групп I* И '1 $1, К где I | -подгруппа цилиндрических сдвигов, 81 и 81 -симметрии относительно двух фиксированных прямых 1 -го и 2-го рода.

Группа симметрий системы орбит подгруппы Н2 = {£,-}, где а Ф 0,/| |а, состоит из следующих движений:

&> = Т- - Б,, Б 20, Б - ,

^ аа+ВЪ, 1,аа* и? 1,рЪ 5

Классификация движений в плоскостях, развертывающихся на евклидову плоскость

где а и Р - любые действительные числа, О -

любая точка прямой /, Ь _1_ а (фиксированный вектор), ґ - любая прямая, перпендикулярная 1 (рис. 2).Легко доказать, что G2 - группа и Н2 -нормальный делитель в ней.

Рис. 2. Движения в геометрии "скрученного"цилиндра

Определение 2. Движением на "скрученном" цилиндре называется такое взаимнооднозначное отображение множества его точек на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.

Теорема 4. Множество движений на "скрученном" цилиндре есть группа. (Обозначим ее в*).

Теорема 5. Группа движений "скрученного" цилиндра изоморфна факторгруппе G2 /Н2.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2. Любое движение из Сг2 сохраняет тип, взаимное расположение прямых и угол между ними. Используя структуру группы G2, можно описать частные виды движений "скрученного" цилиндра. Переносы Та~+ ^ индуцируют на этом цилиндре

сдвиги вдоль его прямых. Симметрия порождает симметрию относительно единственной прямой первого рода - оси "скрученного" цилиндра. Симметрии определяют осевые симметрии относительно всех возможных прямых 3-го рода (эти прямые перпендикулярны оси цилиндра). Различные точки, симметричные между собой относительно оси цилиндра, лежат либо на прямых 3-го рода. Различные точки, симметричные относительно прямых 3-го рода, лежат на прямых 2-го рода. Движения 20 индуцируют на "скрученном" цилиндре центральные симметрии, центры которых лежат на оси этого цилиндра. Наконец, а~ и .V. - определяют скользящие симметрии с осями 1-го и 3-го рода соответственно.

Если обозначить I* группу всех возможных сдвигов и зафиксировать одну из осевых симметрий (симметрии на цилиндре обозначены так же, как на евклидовой плоскости), то имеет место следующая теорема.

Теорема 6. Группа есть полупрямое произведение групп 12 и {й, &}.

‘оз|

1А

13

д м 12 А22

А ^ Л01 ч Ан ' А2і

а

\|

А.ю А00 в" У д А 20

А0_1' Ам "¡А 2--1

А 0-2 А 1-2 •А 2-2

Рис. 3. Движения на торе и на бутылке Клейна

Тор (рис. 5) получается из евклидовой плоскости склеиванием ее при помощи подгруппы Н3. На рис.3 изображена одна из орбит этой подгруппы. Тот же результат получится, если склеивать прямоугольник А00А10А11А01 так, что склеиваются противоположные точки сторон (рис. 4).

При склеивании евклидовых прямых на торе получаются прямые четырех типов. Это "малые" и "большие" окружности на торе, конечные замкнутые винтовые линии и бесконечные незамкнутые винтовые линии.

Рис. 4

Рассмотрим семейство {А} всех возможных орбит подгруппы Н3, где А ={...А_10,

А-13,..; •••А0-Ь А00, А0Ь А02,---;---А1-Ь А№

Ап,...} - орбита произвольной точки. Группа симметрий этой системы орбит состоит из

следующих движений:

Єз - Т -

аа+рЬ7

Б, Б, 7С

где /1| а, 11| b ; а, р е R; О - любая точка евклидовой плоскости.

а.

Ъ _L а, t _L а.

= d(/,, /2 ). О - любая точ-

Рис. 5

Теорема 7. Группа движений в геометрии тора изоморфна фактор-группе С;, / Н ,.

В группу С * входит группа I * сдвигов вдоль всех возможных прямых на торе. Эта

О*

X „ X . 3 •

Если обозначить С^= {8|, 81, Н3}, где I и t -две фиксированные прямые первого и второго рода, то имеет место следующая теорема.

Теорема 8. Группа С * есть полупрямое

произведение групп I * иС*.

Бутылка Клейна получается склеиванием евклидовой плоскости при помощи подгруппы ГЦ. На рис. 6 изображена одна из орбит этой подгруппы. Если ■{ А(* - система всех возможных орбит, то группа симметрий этой системы на евклидовой плоскости содержит следующие движения:

04 = Т-- Б» 10, £, , ,

аа+рЪ7 17 17 и7 1,аа7 1,аЪ 7

где I - любая прямая, параллельная вектору

ка евклидовой плоскости.

Обозначим I *4 группу всех сдвигов вдоль прямых бутылки Клейна.

Если обозначить группу {81, 81, Н4}/ Н4, где I и ^ две фиксированные прямые, то имеют место следующие теоремы.

Рис. 6

Теорема 9. Группа движений в геометрии бутылки Клейна изоморфна факторгруппе I 4 / Н4.

Теорема 10. Группа есть полупря-

х * /"ч *

мое произведение групп 1 4 И С 4 .

Список литературы

1. Никулин В.В. Геометрии и группы / В.В. Никулин, И.Р.Шафаревич. М.: Наука, 1983.

Ъ

Classification of movements in planes developed on Euclidian plane

G. G. Sheremet

The Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

The movements in four possible planes developing on Euclidian plane are considered. Each such plane turns out from Euclidian plane "by splicing" on evenly-explosive subgroup Hi = T- а Ф

0 , or Ho = {S, -}, а Ф О,/I \a, or H3 = T~- x T~- , a _Le, or H4 = S. S, - . /, || U II я .

- 1 I,a ’ 41 a - в 4 /j.o’ l2,a 1 " - "

а Ф 0. The Orbits of point Euclidian planes at action Nk are points of a new plane. As movement of a new plane refers to as mutually unambiguous display of set of points of this plane to itself, keeping distances between them. It Is Proved that group of movements in each of considered planes:

1) is isomorphic to factor-group of symmetry’s group of system of orbits of group Нк on this group Нк; 2) is equal to half-obstinate product of group of shifts on group caused some axial symmetry. In each of planes there are shifts along direct all possible types, but in planes received through groups H2 and H4 is not present axial симметрий with axes of the third and fourth type.