Скаляризация векторных краевых задач линейной гидродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ. ЭКОЛОГИЯ

УДК 517.9

Кузьмичев Юрий Борисович

кандидат технических наук,

Воробьев Борис Тихонович

кандидат технических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

ksu@ksu.edu.ru

СКАЛЯРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

В настоящей работе проведено обобщение метода операторной скаляризации на другие виды операторов (помимо использованных в [1—10]) и проиллюстрировано его применение на примерах решения нескольких типичных задач линейной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Ключевые слова: гидродинамика, скаляризация, векторная задача.

Решение векторных краевых задач математической физики вообще и, в частности, задач гидродинамики вязкой жидкости реализуется в громоздкой и трудоемкой вычислительной процедуре. Эта характерная особенность векторных краевых задач особенно наглядно проявляется, когда граничные условия требуют применения криволинейных координат, хотя бы и ортогональных, орты которых не являются постоянными векторами. В такой ситуации вместо независимых уравнений для трех проекций искомого векторного поля на три постоянных орта (как в прямолинейных декартовых координатах) получается связанная система уравнений, отыскание решения которой, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. В этой связи история науки свидетельствует о неоднократных попытках сведения краевых задач для векторных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка к системе краевых задач для скалярных уравнений математической физики. Наиболее известная и плодовитая из них основана на теореме Гельмгольца [1], согласно которой любое векторное поле можно представить в виде суммы градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала. Если по каким-либо причинам векторное поле является потенциальным, т.е. его векторный потенциал равен нулю (а это реализуется в достаточно широком классе физических задач), то краевая задача для векторного поля сводится к скалярной для его скалярного потенциала. Имея в виду цель выражения искомого векторного поля через три скалярных, можно ут-

верждать, что в общем случае одним из скалярных полей, определяющих векторное поле, может быть скалярный потенциал. Тогда два других скалярных поля должны единственным образом определить векторный потенциал. Несложно видеть, что для полного определения векторного потенциала достаточно иметь лишь два скалярных поля, а не три, так как дополнительное условие равенства нулю дивергенции векторного потенциала сокращает число независимых скалярных полей до двух [ 1].

Если в решаемой краевой задаче имеется симметрия по одной из координат, например: а) отсутствует проекция векторного поля на ось, соответствующую этой координате; б) само векторное поле, а также коэффициенты Ламе выбранной координатной системы не зависят от этой координаты, тогда возможно определение соле-ноидального векторного поля на основе всего лишь одной скалярной функции - функции тока. Функция тока широко применяется в гидродинамике [2; 3] для описания плоскопараллельных и осесимметричных течений так же, как и в произвольных векторных задачах математической физики, обладающих симметрией.

В более общей ситуации соленоидальное векторное поле может быть представлено в виде суммы тороидального и полоидального [1; 4-8] векторных полей, ортогональность которых не раз доказывалась и которые легко выражаются через скалярные поля. Метод разложения векторного поля на потенциальное, тороидальное и полои-дальное при использовании его в сферических координатах непосредственно связан с векторны-

© Кузьмичев Ю.Б., Воробьев Б.Т., 2010

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 3, 2010

ми сферическими функциями [4]. Обобщение метода собственных сферических функций на другие координатные системы произведен в теории упругости [9]. В этом методе векторное поле разлагается по собственным векторным функциям (так же как скалярное поле разлагается по собственным функциям в классическом методе Фурье). Если система собственных векторных функций известна, то дальнейшее решение не содержит каких-либо принципиальных сложностей. Однако процедура нахождения необходимого набора собственных векторных функций остается неопределенной, что существенно затрудняет использование данного метода.

Существенным шагом в развитии метода ска-ляризации векторных дифференциальных уравнений математической физики явился перенос центра тяжести рассмотрения от векторных полей к векторным операторам, проектирующим векторное поле на скалярное. Основы этого метода были предложены Хансеном [10] при решении векторных уравнений Гельмгольца и использовались для поиска собственных векторных функций. Этот метод получил распространение в электродинамике [11]. Однако непосредственное обобщение метода Хансена на другие дифференциальные уравнения реализовать не удалось, так как скалярные поля, определяющие различные типы векторных полей в этом методе, различались лишь на мультипликативную константу.

Связь между методами операторной скаляри-зации Хансена, разложением по собственным векторным функциям и разложением векторного поля на потенциальное, тороидальное и поло-идальное обсуждается в [1]. Там же найдены виды систем координат, для которых возможны такие разложения. В [1] показано, что обсуждаемые разложения могут быть проведены, если в криволинейной системе координат один из коэффициентов Ламе равен единице, а отношение двух других не зависит от координаты, соответствующей первому коэффициенту Ламе. Существует лишь шесть координатных систем, удовлетворяющих этому условию, а именно прямолинейная декартова, три цилиндрических, сферическая и коническая. В остальных системах координат решать векторные дифференциальные уравнения этими методами невозможно [1]. Как будет видно из изложенного ниже, применение метода ска-ляризации приводит к существенному уменьшению объема вычислительной работы.

1. Пусть векторное поле и (г) с помощью векторных (в общем случае и дифференциальных)

операторов-проекторов М, N 2, N3 и трех скалярных полей Т^г), Т2(г), Т3(г) может быть представлено в виде суперпозиции:

и (г, t) = М Т (г, t) + N 2Т2 (г, t) + МТ3(г, t). (1)

Здесь Nі - такие операторы-проекторы, что векторные поля МТДг), N2Т2(г), NзТ3(г) взаимно ортогональны, т.е.

КNіТ,. (г)).(NіТі (г)) йУ = 0;

V

(і;і = 1,2,3; і Ф і). (2)

Интегрирование ведется по всему объему пространства, занятого полем и (г), с условием равенства нулю поля на границе.

Введем операторы 14 і , эрмитово сопряженные операторам N і :

| ( F¡ (г ) N (г ))у = | (а. (г) N + F¡ (г ) )йУ; (3)

V V

где Рі (г) и аі (г) - произвольные (векторные или скалярные) действительные функции, и перепишем (2) в виде операторного соотношения:

і.^ = 0; (і;і = 1,2,3; і Ф і), (4)

которое должно выполняться независимо от вида скалярных функций, на которые будет действовать оператор N і • N+.

Разложение по ортам еі , і = 1,2,3, криволинейной координатной системы, очевидно, может быть представлено в виде (1), если положить

N і = е і .

2. Предположим, что векторное дифференциальное уравнение, которое требуется решить, может быть представлено с помощью скалярного дифференциального оператора І в виде:

Іи (г) = 0; (5)

Векторное поле и (г) представим в виде (1), выбрав операторы-проекторы Nі так, чтобы они коммутировали с І:

N і І = ІЇЧ і . (6)

Тогда получим:

8

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 3, 2010

N1І Т1 (г, t) + N2 І Т2(г, t) + N3 І Т3(г, t) = 0. (7) Подействовав слева на уравнение (7) поочередно операторами N і , і = 1,2,3, получим три независимых скалярных уравнения:

(8)

N1 • N1) І Т1(г) = 0;

N2 • N2) І Т2 (г) = 0;

(N • N 3)

1 Т3( г) = 0.

Если операторы-проекторы являются дифференциальными, то порядок дифференциальных уравнений (8) выше, чем у исходного уравнения (5). Так как никаких дополнительных граничных условий не возникло, а порядок уравнения повысился, то решение нашей задачи в общем случае не было бы единственным. Однако этого неприятного момента не возникает, поскольку из коммутационных соотношений (6) вытекает, что операторы |N • N. | и Ь имеют общие системы собственных функций (хорошо известный результат квантовой механики). Поэтому из уравнения (8) следуют уравнения:

Ь Т1(г) = 0;

Ь ^2(г) = 0; (9)

Ь ^3(г) = 0;

имеющие тот же порядок, что и уравнение (5).

Таким же образом могут быть скаляризова-ны уравнения более общего по сравнению с (5) вида.

3. Рассмотрим теперь вопрос о выборе операторов-проекторов N., удовлетворяющих свойству ортогональности (4). Для определенности будем исходить из следующего представления операторов проекторов:

Ы1 = А; Ы2 = А х В; Ы3 = А х (А х В); (10)

где операторы А и В будем называть образующими проекторов.

Примем также то, что образующие операторы А и В - эрмитовые (самосопряженные) или антиэрмитовые операторы. Такое представление удобно потому, что оно обобщает методы скаля-ризации, предлагавшиеся ранее (см. введение).

Так, разложение произвольного поля в сферической системе координат на потенциальное, тороидальное и полоидальное может быть записано

в виде (1), причем операторы-проекторы і , удовлетворяющие условиям ортогональности (4), имеют образующие операторы:

А = V; В = г.

При описании соленоидального поля на основе функции тока в случае наличия симметрии по одной из координат, например, по углу ф для осевой симметрии, образующие имеют следующий вид:

А = V; В = е\; где еу - орт координаты ф ; - соответствую-

щий коэффициент Ламе. Функцией тока при этом является скалярное поле Т 2(г), а векторное поле

Т 3 (г), как несложно показать, тождественно равно нулю.

Операторы N, сопряженные операторам -проекторам (10), имеют вид:

N = А+;

т = - В X А+;

N3 =1В х А+ ) х А .

(11)

Ортогональность операторов Ы1, Ы 2 и операторов Ы1, ]\/3

Ы.Ы 2 = 0; Ы 2 • Ы = 0;

Ы]. Ы3 = 0; Ы] • Ы1 = 0;

выполняется для данного представления при условии

А х А = 0. Если, кроме того:

(12)

(А.А) В = В (А.А)] А 2; В.(А х В ) = 0; (13)

операторы-проекторы Ы2, Ы3 ортогональны друг

другу. В (13) 2 - скалярный оператор, который подбирается таким образом, чтобы удовлетворить первому равенству (13)

N + • N3 = 0;

N • N 2 = 0.

Таким образом, если образующие операторы удовлетворяют условиям (12)-(13), операторы-проекторы образуют полный ортогональный на-

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 3, 2010І

+

9

бор векторных операторов в трехмерном пространстве.

4. Следует отметить, что существуют представления операторов-проекторов N j, не сводящиеся к (10). Так, операторы

Ni = n; n2 = Vxn; N3 = nx (nxV); удовлетворяют соотношению ортогональности для произвольного единичного векторного поля l, которое может являться полем нормалей к некоторой поверхности, т. е.

n^l = 0; l •rot n = 0.

Библиографический список

1. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. - М.: ИЛ, 1960. - 886 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987. - 840 с.

3. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. - М.: Мир, 1976. - 632 с.

4. Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. - М.: ИЛ, 1954.

5. Baskus G.E. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos // Ann. Phys. -1958. - №4. - C. 372-447.

6. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. - Oxford: Clarendon Press, 1961. - 628 c.

7. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. - М.: Мир, 1981. - 640 с.

8. Быков В.М. Течения Стокса в шаре // ПМТФ. - 1980. - №>2. - С. 65-70.

9. Улитко А. Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1979. - 342 с.

10. Hansen W.W. A new type of expansion in radiation // Phys. rev. - 1935. - V 47. - С. 139-143.

11. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948. - 539 с.

УДК 619:616 - 001.28/29

Поздеев Александр Викторович

кандидат ветеринарных наук Военная академия войск радиационной, химической и биологической защиты и инженерных войск (г. Кострома)

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕПАРАТА ИЗ МОЛОК ЛОСОСЁВЫХ РЫБ В КАЧЕСТВЕ РАДИОЗАЩИТНОГО СРЕДСТВА

В данной работе в качестве радиозащитного средства исследуется применение биологического препарата, полученного из молок рыб. Экспериментально выявлено повышение выживаемости лабораторных животных при облучении в летальных дозах.

Ключевые слова: ионизирующее излучение.

В 60-е годы прошлого века Н.В. Тимофеев-Ресовский вместе с К.Г. Циммером и Д.Э. Ли, изучая поглощение энергии излучений в микрообъёмах, создали теорию мишеней, при этом прохождение кванта энергии через мишень назвали «принципом попадания». После открытия структуры молекулы ДНК - носителя генетической информации в клетке - стало ясно, что такой мишенью и является молекула ДНК [1; 2].

Ответная реакция клетки на раздражитель строго регламентирована и сводится либо к «ремонту» повреждения в геноме (ДНК), либо к замене повреждённого элемента вновь образованным с помощью их (элементов) «размножения», то есть путём воссоздания молекулы или клетки вместо повреждённой, состарившейся или погиб-

шей [3; 4]. Специальным механизмом, поддерживающим постоянство структуры тканей, считается апоптоз, то есть самоуничтожение постаревших или повреждённых клеток, которые не в состоянии выполнять присущие им функции.

Ответные реакции клетки на повреждения однотипны, и происходят они непрерывно с постоянной скоростью, обуславливая тем самым постоянство обмена веществ и сохранение всех внутренних и внешних параметров жизнедеятельности. Основой повреждения, приводящего к гибели клетки, является повреждение ДНК в виде образования одного, двух или нескольких нитевых разрывов. Радиационная гибель клетки ничем не отличается от общебиологического феномена клеточной гибели. При этом для каждого вида клетки существует свой порог дозы, ниже которого

10

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 3, 2010

© Поздеев А.В., 2010