К расчету напряженности электростатического поля осциллирующей незаряженной капли Текст научной статьи по специальности «Физика»

К расчету напряженности электростатического поля осциллирующей незаряженной капли

С. О. Ширяева, А. И. Григорьев, Н. Ю. Колбнева

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000, Россия, e-mail: [email protected],

Найдено аналитическое выражение для напряженности электрического поля осциллирующей незаряженной капли невязкой электропроводной жидкости, помещенной в электростатическое поле в линейном по амплитуде возмущения приближении. Проведены оценки величины напряженности поля в волновом приближении (на больших расстояниях от капли) и в квазистационарном приближении (у поверхности капли).

Ключевые слова: сфероидальная капля, однородное электростатическое поле, осцилляции, волновое и квазистационарное приближения.

УДК 532.62: 541.24

ВВЕДЕНИЕ

Незаряженная сферическая капля радиуса Я с коэффициентом поверхностного натяжения с, помещенная в электростатическое поле напря-

женностью

поляризуется в нем и с точки

зрения электродинамики превращается в электрический диполь, вокруг которого возникает собственное электростатическое поле дипольно-го типа. Равновесная форма капли при этом меняется со сферической на близкую к сфероидальной [1-3]. Во всяком случае в линейном по квадрату эксцентриситета приближении она может считаться таковой, причем эксцентриситет определяется выражением [1]:

3E0 R

e =

W^ V О

В жидкости всегда существует капиллярное волновое движение, поэтому имеет место искажение равновесной поверхности раздела сред весьма малой (тепловой) амплитуды с характерной высотой гребней £ ~ VкТ / о , где к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура [4]. Эти волны порождаются тепловым движением молекул жидкости. Волновое искажение поверхности капли сказывается и на создаваемом электрическом поле капли, воздействуя на ди-польную структуру поля и приводя к появлению зависимости напряженности поля от времени.

Расчет напряженности электрического поля такой капли представляет интерес в связи с исследованиями ее устойчивости во внешнем электростатическом поле [5-7] и ее нелинейных ос-цилляций [8]. Эта проблема вызывает интерес и при исследовании возможности зажигания коронного разряда в окрестности поляризованной капли [9] при напряженностях полного поля,

далеких от предельных (в смысле реализации неустойчивости по отношению к поляризационному заряду). Она и является предметом исследования данной работы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть незаряженная сферическая капля идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости плотностью pi находится в идеальной несжимаемой среде с проницаемостью гех и плотностью p2 в однородном электростатическом поле, в котором она принимает вытянутую (вдоль вектора напряженности) сфероидальную форму. Требуется определить напряженность электрического поля индуцированного в капле заряда.

Будем решать задачу в сферической системе координат с началом в центре масс капли. Уравнение возмущенной волновым движением поверхности капли можно записать в виде:

г ( 0, t ) = г (0 ) + 4 (0, t),

где г(9) - равновесная форма капли, которую согласно сказанному выше будем считать сфероидальной; ^(9, t) - капиллярное волновое возмущение поверхности капли: max << min г (0).

Ограничимся рассмотрением осесимметричных осцилляций, что существенно упростит выкладки.

Математическая формулировка задачи имеет вид:

dV. (Г, t) 1 - , ч - , ч

А ' = -—■VP. (Г,t); divV. (г,t) = 0; j = 1;2; dt р j

, 1 82Ё (Г, t) .

АЕ (Г, t ) = —-z^2; divE (Г, t ) = 0;

c et

r ^ 0: V1( r, t 0;

© Ширяева С.О., Григорьев А.И., Колбнева Н.Ю., Электронная обработка материалов, 2016, 52(2), 37-44.

г у2 (г, г)^ 0; Ё (г, г)^ Ё0 - Ё0е2;

г = г (0) + ^: ^ + (, = 0; ^ (г, 0, г)-г - г (0)-£ (0, г);

р - Р2 + Рё - Р. = 0; (г, Ё (г, г)) = 0.

Здесь ^ (г, г) - скорость движения жидкости в капле (/ = 1) и среде (/ = 2). Аналогично Р. (г,г) -гидродинамическое давление в капле (/ = 1) и среде (/ = 2); Ё (г, г) - напряженность электрического поля; т - орт касательной к возмущённой поверхности капли; Рё = еХЁ2 /8п - давление электрического поля; Р. = о п - капиллярное

давление. Орт нормали к поверхности капли п определяется выражением:

п =1

rotrot E +

_L aE

c2 at2 = 0;

div E = 0.

Представим напряженность электрического поля в виде:

Ё = Ё( 0)+ Ё(1), (1)

г (0)

где Ёу - напряженности поля нулевого порядка

малости по е2 и Ё(1) - добавка к напряженности первого порядка по е и

Для отыскания напряженности поля в первом

приближении Ё(1) следует решить систему уравнений неразрывности электрического поля и волнового:

1 а2 Е(1)

divE (1)= 0; aE (1)=-

c2 at2

(2)

с граничными условиями:

VF

Для замыкания выписанной системы уравнений введем условия неизменности полного объема (следствие несжимаемости жидкости), неподвижности центра масс, а также незаряженности капли соответственно: 4

r ^да: e(1) ^ 0

JdV = 3nR3; J rdV = 0;

V 3 V

V = [0 < r < r (0) + 4 (0, t); 0 < 0 < п;0 < ф < 2n];

cJ(n, E)s = 0,

S

S = [r = r (0) + 4(0, t), 0 < 0 < п,0 < ф < 2n].

Решения этой задачи будем искать, полагая эксцентриситет капли малым, в виде разложений по полиномам Лежандра:

да

4 (0, t ) = Х аи (t ();

n=2

an () = an exP (-iaj), где con - частота капиллярных колебаний поверхности, в общем случае комплексная; an - амплитуда, Рп(ц) - полином Лежандра, ц = cos 0.

Нижеследующие расчеты будем проводить с точностью до произведения двух малых параметров, включая задачи: квадрата эксцентриситета и малого возмущения (е2 •

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ У ПОВЕРХНОСТИ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ НЕЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ

Поле вне капли удовлетворяет уравнениям:

г = г (0): (Т, Ё (1)(г, г )) = 0; ф( П, Ё(1)) ёБ = 0.

Представим вектор Ё(г, г) в виде разложения на три ортогональных вектора [10]:

Ё(1) (г, г) = #1<х>1 (г, г) + N Ф 2 (г, г) + ^Ф 3 (г, г), (3) где Ф/ (г, г) - неизвестные скалярные функции,

а векторные операторы-проекторы N■ имеют вид:

N -V, N - Ухг, N -Ух(Ухг),

^+--У, Щ- г XV, N3 -(г х у)х V и удовлетворяют условиям ортогональности:

N + • N = 0, при т Ф /,

/ т 5 1 и у

где символ "+" означает эрмитово сопряжение; а жирная точка между векторными величинами здесь и далее - скалярное умножение.

С учетом приведенного свойства ортогональности операторов первое из уравнений системы (2) преобразуется в уравнение Лапласа для функции ф1 (г, г):

VE(1) =-т E=

(1) _

= -//+•( + ^Ф2 + ^Ф3 ) =

= -N+ • Nf101 = V • V01 = АФ1 = 0.

(4)

Несложно убедиться, что операторы N■ коммутируют с оператором Лапласа, то есть

F =0

ЛЛА = АЛТ, благодаря чему второе уравнение

системы (2) преобразуется в систему трех скалярных уравнений. Подставим разложение (3) в волновое уравнение из системы (2) и, пользуясь

свойством коммутативности, приведем его к виду:

X N, 1=1

аф 1 (г, г )-

1 д2Ф 1 (Г, г)

с2 дг2

= 0.

. , 1 д 2ф . (г, г)

аф 1 (г, г)-—-= 0, 1 = 1,2,3.

дг2

ты

= о • ё. +

1 дФ 2 (г, г) дФ 2 (г, г)

--— • ё0---—- • ёф,

г 0 дф д9

1

Л3Ф3 (г, г ) = --Ь Ф3 (г, г )ёг +

1 д дФ3 (г, г)

+--г—^—'- е0 +

г дг д0

1 д дФ3 (г, г)

--г--——е

г 8т 0 дг дф ф'

где ь =

1

к2Ф 2 (г, г ) = --

Л3Ф3 (г, г ) = - - ¿Ф3 (г, г)

г

1 д дФ3 (г, г) +--г-—— е0.

г дг д0

е +

Функции Ф2 (г, г) и Ф3 (г, г) являются решениями уравнений Гельмгольца, имеющих вид:

АФ ? (г, г )-2 Ф, (, г ) = о, д = 2,3. (9)

Решение уравнений (9) для функций Ф (г,г)запишется в виде:

Фд =Х)ехр(-тяг)Ря (ц), д = 2,3, (10)

п

где кп2 (кг) - сферическая функция Бесселя третьего рода, выбираемая из тех соображений, чтобы на асимптотике (г ^ да) электромагнитная волна расходилась; к = (а>п / с)- волновое число.

Неизвестные константы в решениях (10)

определяются из граничных условий эквипотен-циальности поверхности капли и её незаряжен-ности. Заметим, что для тороидальной компоненты поля Е(1)( г, г), определяемой функцией

Ф 2 (г, г), эти граничные условия приведут к следующим соотношениям:

г (0, г ) = г (0) + £ (0, г): Л2Ф2 (г, г )• т = о, (11) Л2Ф2 (г,г)• п • йХ = 0, (12)

где Т и п - единичные векторы касательной и нормали к поверхности капли.

Поскольку величина Е (1)(г, г), а, следовательно, согласно (3), и функции Ф. (г, г) имеют порядок малости ~ е£, (или ~ е2^), то выражения (11) и (12) для слабых полей можно использовать, исходя из сферической поверхности капли, то есть при г = Я. При этом вектором Т могут служить орты сферической системы координат е0 и е , а

вектор нормали п будет совпадать с ортом ег (в

используемом приближении слагаемыми ~ е2£, пренебрегаем).

Согласно (9) тороидальная компонента поля

(Л^Ф2 (г,г)) имеет лишь составляющую ~ еф, и,

значит, соотношения (11) и (12) при Т = е0 удовлетворяются тождественно при любых константах в решении (10). Исходя из условия (11) при Т = е получим

Умножая слева полученное выражение последовательно на и учитывая, что • ф 0, получим три скалярных уравнения:

(5)

Поскольку решается задача об излучении каплей электромагнитных волн, естественно принять Ф ~ ехр (-шпг), при этом уравнения (5)

сведутся к уравнениям Гельмгольца.

Из уравнения (5) при значении индекса 1 = 1 и уравнения (4) получим (2 / п2)Ф1 (г,г) = 0, и поскольку частота колебаний отлична от нуля, то, следовательно, скалярная функция Ф1 (г,г) = 0.

Таким образом, напряженность электрического поля Е(1) (г, г), создаваемого колебаниями поверхности незаряженной капли, будет описываться следующим выражением:

Е(1) (г, г ) = Л2Ф 2 (г, г) + Л3Ф3 (г, г).

В сферической системе координат компонен-Е(г, г) имеют вид:

л2ф 2 (г, г ) =

(6)

(7)

--1 0— I - угловая часть операто-

¡ип 0 5050 )

ра Лапласа в сферических координатах.

В силу того что рассматривается осесиммет-ричная задача, в выражениях (6) и (7) следует отбросить слагаемые, содержащие производные по ф, тогда получим:

дФ 2 (, г) е ---——е

д0 ф'

2

г = Я:

дФ2 (г, г)

д0

= 0.

Поскольку это соотношение должно быть справедливым при любом значении угла 0, то необходимо потребовать обращения в нуль всех констант в решении для ф2 (г, г). Таким образом, поле Ё(1)(г, г) полностью определяется скалярной функцией Ф3:

Ё(1) (г, г) = Ж,Ф 3 (г, г) - V х (V х г) Ф3 (г, г)

или с учетом (10) получим:

Ё (1)(г, г) =

= X ехр(-/ю„г) Ы3)г-1кП2)(кг )п(п + 1)Ри (ц)еГ +

Б(3)г) + ^^^

дг

р(ц) , I (13)

д0

п =

1 -

1 дг (0) д4 (0, г)

г2 д0 д0

е., -

(15)

1 _д_

г д0

(г (0 ) + 4 (0, г )).

В силу осевой симметрии задачи орт касательной к параллелям совпадает с соответствующим ортом сферической системы координат тф = еф.

Орт касательной в меридиональном направлении найдем, воспользовавшись векторным соотношением

Т0 = п х Тф .

С учетом (15) выражение для орта касательной запишется в виде:

Г0 = 1 (г (0) + 4 (0, г ))еег +

г д0 (16) \ - 1. дтО д4 (0, г)4

г2 д0 д0

е0.

Подставляя (16) и (1) в условие эквипотенциаль-ности проводящей капли и раскладывая полученное выражение в окрестностях сферы, перепишем условие эквипотенциальности капли в виде:

ё<"

.дЕШ. 4 (0, г)+1 Ё«

дг ^ ' г д0 г

= 0, (17)

где Ё^г0) и Ё00) - соответствующие компоненты вектора напряженности поля нулевого порядка малости по е2 и

Ё(0) = Ё0 С08 (

(

1 + 2 Яг

г

V

3 \ (

е„ - Ё0

3

1 - Яг

V У

0. (18)

Подстановка выражений для Ё^ из (13)

Ёг0) и из (18) и возмущения поверхности

капли 4(0, г) в виде ряда по полиномам Лежандра в выражение (17) позволяют определить выра-

г>(3)

жение для константы Бп ' через амплитуды ап:

г(0)

Сферическую функцию Бесселя третьего рода при целых значениях индекса выразим через элементарные функции [11]:

^00 = ^ Ь-+1 (2п-т)! 1 . (14)

п \ г / 1 / \ | ■ / ч п-т

г т~0 (п -т)!т! (2г) Для определения неизвестной константы Б^3 в (13) учтем, что поверхность проводящей капли эквипотенциальна, то есть проекция вектора на орт касательной к поверхности т есть нуль:

(т, Ё (г, г )) = 0.

Чтобы найти орт т , сначала запишем орт нормали к возмущенной поверхности капли:

Б(3) = 3Ё0 У 0 У1У 2а п-Х-1 + У 0а„+1Пп+1 .

дг (2)(кг))

(19)

П+-

п +1

^(2п + 1)(2п + 3) ^(2п - 1)(2и +1) Подставляя (19) в (13), получим выражение для напряженности электрического поля Ё :

Ё «(?, г) = - ^ X Мп (г)

г п=0

К2 К. кг)

хп(п +1)рп (ц) +

д г ( гк^ \кг) )

дг (г42)(кг)) дРп (ц)

д г (гк(\кг)

д0

(20)

мп (г) = У0У1У2ап-1 ехр(/®п-1г)Ц+-1 + У0 а п+1 ехР(г'®п+1г)Ц -+1;

+ п +1 - п

Ц п

(2п +1)

Цп =

(2п +1)

Электрическое поле, создаваемое каплей, колеблющейся во внешнем электрическом поле Ё0, при выполнении условия Я/г << 1 принимает вид волнового поля при кг = га>п/с >> 1 и квазистатического поля при кг = га>п/с << 1, где г - расстояние от капли до точки наблюдения; к = — - вол-

с

новое число.

Сферические функции Бесселя третьего рода (сферические функции Ханкеля) при целых зна-

п

п

чениях индекса выражаются через элементарные функции [11]:

к?^ )=I ехр („ );т,»+1 (^т—)

- =0 (п -т)!:! (22)п

:=0 2 = кг.

£%,г) = ^Xмп (г)| ^ I ехр[-/(2 --0)]

3Е,

п=0

1 (2п - т)! (22): 2 :=0 (п - : )!:!

X (((и:) (2/20): (.+(п -:)

:=0

(п - т )!:!

п (п + 1)Рп (ц )

X (2п - :)! (Ъ2): (. + (п - :) 1

:=0 ( -:)!:! 1 - ) дРп (ц) . XX (2л-) (2.-0):+ _(п-:)] д0 '

:=0

(п - т )!:!

Е '1|(гг,' > - £ "(' ^)!

-ехр [-/ (2 - 20 )]>

XX М(2.2 (п + 1)Ря (ц)

' :=0

(п - :)!

:=0

(п - : )!

д0

3Е0

п=2

Е(1)(г, г) X ап ехр (Ы)

г п

ехР (2 - 20 )]

п!

(2 ( +1)

(Г^ <2Й«"+')(п+2>рп+1 (Ц )ег-

-( + ( +1 - :)) дР"+1 (Ц), V '' д0

(2( - 1))! !=0 ( - 1 - !)!т! {п(п - 1)Р_1 (ц) - ( 2 + (п -1 - т))дPn50<ЦТе

(21)

Подставляя (21) и выражение для производной дг (гк(] (кг))

д г ( к 2) (кг ) )=д 2 ( 2к^( 2) ) =

(2п - т)! 1 (. (п - тУ

= - ехр (-.2) X / т+1) Г —| / + '

т=0 (п -т)!т! (22)п-т I 2

в (20), получим напряженность электрического поля первого порядка малости:

Представляет интерес рассмотрение асимптотики этого выражения на больших и малых расстояниях от капли.

Рассмотрим случай волнового поля, то есть поля излучения на больших расстояниях от излучающей капли. При 2 >> 1 (кг = та>п/с >> 1), сохраняя в выражении (24) в суммах по т старшие слагаемые (с наибольшей степенью 2), для напряженности электрического поля запишем:

Е^аге (г, г) - — X ап ехр (¡Ы) I —

3Е,

п=2

ехр [-/ (2 - 20 )]

п!

(2 (п +1))!

<(2/2)п+1 ](п + 1)(п + 2)Рп+! (ц)г - ¡2^^^ей К

(22)

_ (п - 2)! , чп_1 | , ч , ч

+цп (2 (п - 1))! (2/2) |п (п - 1)Рп4 (ц)ег - '

д0

др- (ц).

де

где 20 = кЯ. Учитывая, что 20 << 1, и сохраняя в суммах, стоящих в знаменателях, лишь старшее слагаемое (т = 0), выражение (22) представим в виде:

(п -1)! ~п+1

" X мп ( \

г

Несложно заметить, что в рассматриваемом случае радиальной составляющей поля можно пренебречь по сравнению с его угловой и, учитывая, что 20 << 2, записать для напряженности поля в волновом приближении следующее выражение:

Ё^ае (г,г) - -^ X ап ехр[/ (Ы - 2)](2/ 20 )"

2г п=2

дРп+1 (ц )

-XX(т^-ГI/+«п-т^дР^1(23)

+ ц п

\2 + п__

( 0 )цп (2 (п +1))! д0

(п - 2)! дР -1 (ц)" (2 (п -1))! д0

(25)

Подставим в (23) явный вид коэффициентов Мп(г) и перегруппируем слагаемые в суммах по индексу п:

Рассмотрим случай квазистатического поля или поля в ближайшей окрестности капли. При 2 << 1 (кг = га>п/с << 1), сохраняя в выражении (24) в суммах по т слагаемые с наименьшей степенью 2 (т = 0) и принимая во внимание, что 20 << 2, для напряженности электрического поля запишем:

Еа(г,г) X а" ехр[/Ы - 2)]р

3Е,

цп (£0] + 2)( + 1)Рп+1 (ц)ёг-(¡2 + (п + l))ГPn±-Тц)ё0 ^ +

(п +1)

д0

(п -1)

'(п - 1)Pn_1 (ц)ёг - (¡'2 + (п - 1)

дРп-1 (ц) -

д0

х

Рис. 1. Зависимость амплитуды напряженности волнового поля (единицы измерения - 10-22 СОБЕ) от угла наблюдения и расстояния (единицы измерения - см), рассчитанная при п = 2, ст = 73 дин/см, р1 = 1 г/см3, р2 = 1,3-10"3 г/см3, ап = 0,1Я, Я = 30-10"4 см, Е0 = 0,1 СОБЕ.

Рис. 2. Зависимость амплитуды напряженности волнового поля от угла наблюдения и напряженности внешнего электрического поля Е0 (единицы измерения - СОБЕ): (а) - рассчитанная при тех же прочих значениях физических величин, что и на рис. 1, и г = 5000 см (единицы измерения - 10-22 СОБЕ); (б) - рассчитанная при тех же прочих значениях физических величин, что и на рис. 1 (единицы измерения - 10-23 СОБЕ).

Рис. 3. Зависимость амплитуды напряженности квазиста- Рис. 4. Зависимость амплитуды напряженности квазистати-

тического поля (единицы измерения - 10-11 СОБЕ) от угла ческого поля (единицы измерения - 10-11 СОБЕ) от угла

наблюдения и расстояния (единицы измерения - см), рас- наблюдения и напряженности внешнего электрического

считанная при тех же прочих значениях физических вели- поля Е0, рассчитанная при тех же прочих значениях физиче-

чин, что и на рис. 1. ских величин, что и на рис. 1, и г = 5 см.

В рамках рассматриваемого приближения, пренебрегая в слагаемых, содержащих производные от полиномов Лежандра, компонентами гг и проводя очевидные сокращения, получим для напряженности поля в квазистатическом приближении:

^stat(r,t) -

X an exp (rnj) I — I exp [-/ (z - zo ) > ' n=2 V z )

[z0)2 Ц+ {(n + 2)Pn+l (ц) e, j +

+ -{ P ( )e P-t ( Ц) e Ц (26)

+ Цп jnPn-t ( Ц)---seee

Перегруппируя слагаемые, полученное выражение можно записать в несколько ином виде:

Eüt (?, t) - ^ ехР [-'' (z - zo ))

ад

<E ((-tan-t exp (i®n-tt) + Ц-+1Нп+1 exp (n+tt))

n=2

n+t

(n+t)Pn (ц)

9Pn (ц) -

se

E[wie (r, t) - ^ a2 exp [i (®2t - ¿r ) (¿R)2 5r

sPt ( ц) (¿r)2 дрз ( ц)

se

30

se

ee.

?(t)

6E

(r,t) - —a2exp[i(ú)2t - kr))(() sin(e)ee.

1

E(t) =-144E

^wave c 0 n 2/o ,-! \

5 R rc2 (2P2 + 3Pt)

sin e.

Зависимости амплитуды напряженности волнового поля для основной моды от угла

наблюдения, расстояния от капли до точки наблюдения г и напряженности внешнего электрического поля Е0 (при разных величинах последнего) представлены на рис. 1 и 2. Видно, что периодичность по углу 0 с увеличением расстояния до точки наблюдения сглаживается, а с увеличением напряженности внешнего поля становится более очевидной.

Квазистатическое приближение (см. (26)):

t (r, t )>

3E0 ( R R

a2 exp [i (m2t - kr )] >

5 ^(ц),-SPMee j+( R {4P3 (ц)е

SP3 (P-) -

в котором оно полностью совпадает с полученным ранее выражением для электрического поля в окрестности незаряженной капли во внешнем однородном поле другим, электростатическим методом расчета.

Учитывая явный вид коэффициентов ц* и заменяя г ^ кг и г0 ^ кЯ, запишем напряженность электрического поля в волновом и квазистатическом приближениях для случая возбуждения основной моды (п = 2). Волновое приближение (см. (25)):

se Vr) 5 [ ' ' se

Поскольку R << r, понятно, что основной вклад в напряженность электрического поля в квазистатическом приближении определяется первой фигурной скобкой:

^tat (r,t) - Що (f ) a2exp [' (®2t - kr )]

|2cos(e )er + sin (e )-e J. Амплитуда такого поля определена как

E« -6Eo íRT^(t + 3co^ 1

i0 V r

■) R (t+3cos2(e)))

Поскольку г0 = кЯ << 1, очевидно, что основной вклад в напряженность электрического поля в волновом приближении определяется первым слагаемым:

Подставив сюда явный вид частоты собственных колебаний капли

2 п(п- 1)(п + 1)(п + 2) О

П (р2п + (п + 1)Р1) Я3' амплитуду напряженности электрического поля в волновом приближении для основной моды запишем как

Зависимости амплитуды напряженности квазистатического поля е^ для основной моды от

расстояния от капли до точки наблюдения г, угла 0 и напряженности внешнего электрического поля Е0 представлены на рис. 3 и 4. Качественно зависимости такие же, как на рис. 1 и 2, но степень периодичности меняется.

Квазистатическое электрическое поле определяет электрическое давление на поверхность капли, которое ранее неоднократно рассчитывалось для различных геометрий заряженной поверхности жидкости исходя из других соображений (см., например, [4-6, 9]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведен расчет напряженности электрического поля капли, осциллирующей во внешнем электростатическом поле. Получены асимптотики этого выражения на больших и малых расстояниях от капли. Выяснено, что волновое электрическое поле излучения капли (при кг >> 1) существенно отличается от квазистатического (при кг << 1) и качественно, и количественно: так, амплитудные значения напряженности волнового поля на много порядков меньше квазистатического.

Авторы выражают благодарность Н.А. Бога-тову.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 14-01-00170-а и 14-08-00240-а.

ЛИТЕРАТУРА

1. О' Konski C.J., Thacher Н.С. The Distortion of Aerosol Droplets by an Electric Field. JPhys Chem. 1953, 57, 955-958.

2. Taylor G.I. Disintegration of Water Drops in an Electric Field. Proc R Soc Lond A. 1964, 280, 383-397.

3. Cheng K.J., Chaddock J.B. Deformation and Stability of Drops and Bubbles in an Electric Field. Phys Lett A. 1984, 106(1-2), 51-54.

4. Френкель Я.И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме. ЖЭТФ. 1936, 6(4), 348-350.

5. Григорьев А.И., Синкевич О.А. К механизму развития неустойчивости капли жидкости в электростатическом поле. Изв. АН СССР. МЖГ. 1985, (6), 10-15.

6. Cheng K.J. Capillary Oscillations of Drop in an Electric Field. Phys Lett A. 1985, 112(8), 392-396.

7. Inculet I.I. Breakup of Large Water Droplets by Electric Fields. IEEE Transactions on Industry Applications. 1989, 25(5), 945-948.

8. Grimm R.L., Beauchamp J.L. Dynamics of Field-induced Droplet Ionization: Time-resolved Studies of Distortion, Jetting, and Progeny Formation from Charged and Neutral Methanol Droplet Exposed to

Strong Electric Fields. J Phys Chem B. 2005, 109, 8244-8250.

9. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей во внешнем электростатическом поле электропроводной капли. ЖТФ. 2005, 75(7), 40-47.

10. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Скаляризация векторных краевых задач гидродинамики. Ярославль: Изд. ЯрГУ им. П.Г. Демидова, 2010. 180 с.

11. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.

Поступила 10.07.14

Summary

The carried-out calculations afforded an analytical expression, in the linear approach on indignation amplitude, for the intensity of an electric field of an oscillating uncharged drop of a nonviscous conductive liquid, placed in an electrostatic field. Estimates of the field intensity values, both in the wave approach (at long distances from a drop) and in the quasistationary approach (at a drop surface) are carried out.

Keywords: spheroidal drop, uniform electrostatic field, oscillation, wave and quasistationary approximations.