Ситуация blow-up для некоторых нелинейных дифференциальных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Е. И. Галахов1, О. А. Салиева2

1 Российский университет дружбы народов Московский государственный технологический университет «Станкин»

Ситуация blow-up для некоторых нелинейных дифференциальных неравенств

Многие физические явления описываются нелинейными уравнениями и неравенствами с сингулярными коэффициентами, для которых имеет место ситуация blow-up. В настоящей работе мы находим условия возникновения ситуации blow-up для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных неравенств.

Ключевые слова: дифференциальное неравенство; blow-up; разрешимость; необходимые условия.

1. Введение

Ситуацией blow-up называют стремление решения дифференциального уравнения или неравенства к бесконечности в окрестности конечных значений независимых переменных. Теория blow-up решений нелинейных дифференциальных уравнений используется для прогноза многих катастрофических явлений в физике и технике, в частности обрушения строительных конструкций [1] и фазовых переходов в модели Гинзбурга-Ландау-Аллена-Кана [2].

Большая часть известных результатов в теории blow-up относится к процессам, описываемым дифференциальными уравнениями второго порядка. Метод исследования ситуации blow-up для более широкого класса задач на основе использования асимптотических априорных оценок был разработан С.И. Похожаевым и Э. Митидиери [1,3].

В настоящей работе получены достаточные условия возникновения ситуации blow-up для ряда классов уравнений и неравенств, имеющих сингулярные коэффициенты на неограниченных множествах, таких как прямые и плоскости, а также гладкие кривые и поверхности в трехмерном пространстве.

2. Основные результаты

Пусть S С Шп - замкнутое неограниченное множество.

Пусть е > 0 х £ Rn. Обозначим р(х) = dist(#, 5) и S£ = [х £ Мга : р(х) < е]. Предположим, что существуют положительные константы (x,C\,C2,Sq ж Rq такие, что для любых е £ (0, £q) и R> Rq имеют место неравенства

C\£aRn-a < v((S3£ \ S2£) П Br(0)) < v((S4£ \ s£) П Br(0)) < C2£aRn-a, (1)

где BR(0) = [x £ Rra : |ж| < R].

Пример 1. В качестве множества S можно рассматривать гиперплоскость 5 = Пп = [х = (хъ...,хп) £ Мга: = 0].

Для определенности сформулируем результаты в частных случаях, а именно для неравенств

(—A)fcи ^ uqр-13(х) (х £ Rra \ S) (2)

с некоторыми к £ N Q, Р > 0 и

-Apu(x) ^ uq(х)р-13(х) (х £ Rra \ S) (3)

с некоторыми р > 1, q > р — 1 и @ > 0. Здесь мы используем обозначение Apu = div(lDulp-2Du).

Неравенства рассматриваются в классе функций и, удовлетворяющих оценке

и(х) ^ c\x\X(f(x) (х е Мга \ S) (4)

с некоторыми константами с > 0 е М.

Замечание 1. Условие (4) накладывает ограничения на рост решений при |ж| —^ ^о и р(х) — 0, естественно возникающие в приложениях.

Наши основные результаты о задачах (2), (2') можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1. Предположим, что S удовлетворяет (1). Пуст ь q > 1 и Р > (ц — X)(q — 1) + 2k. Тогда задача (2) не имеет решений и, удовлетворяющих оценке (4).

Теорема 1'. Предположим, что S удовлетворяет (1). Пусть q > р — 1м Р > (ц — X)(q — 1) + р. Тогда задача, (3) не имеет решений и, удовлетворяющих оценке

(4).

Аналогичный результат имеет место для эволюционного неравенства

ut — (—А)ки ^ uqp-fi(х) (х е Мга \ 5; t е R+) (5)

с начальным условием

и(х, 0) = ио(х) (х е Мга \ S). (6)

Предполагается, что начальная функция ио(х) удовлетворяет оценке

ио(х) ^ с\х\хр^(х) (х е Мга \ S) (7)

с некоторыми константами с > 0 е М.

Типичный результат о задаче (5), (6) можно сформулировать следующим образом. Теорема 2. Предположим, чт,о S удовлетворяет (2). Пусть q > 1 и и0 удовлетворяет (7) с q > max[p > (/л — X)(q — 1) + 2k, 0}. Тогда задача, (5), (6) не имеет решений.

Замечание 2. Отсутствие решений задачи (5), (6) называют ситуацией мгновенного разрушения решений (instantaneous blow-up).

3. Доказательство теоремы 1

Введем семейство пробных функций <р _ е С(Мга \ S; [0,1]) вида

= а (хж (х),

R

с к > 2kq', £i е Cf (Мга \ S; [0,1]) такими, что

м_ f 0 (х е S1/R и (М» \ S4/R)), *i(ж)_\1 (х е S3/R \ S2/R),

и фп е С2к(Мга; [0,1]) такими, что

j 1 (Ixl < R), ЫЖ)_\0 (1Х\ > 2R).

Структура этих пробных функций позволяет избавиться от особенностей на S и на бесконечности. Будем считать, что существует константа с > 0 такая, что

\Dai г (х)\ < cRlal (х е Мга), (8)

\ОафК(х)\ < cR-lal (х е Мга) (9)

и

для всех мультииндексов а с 0 < |а| < 2к.

В примере 1 можно выбрать £ 1 (х) = (хп) и фк(х) = фк(\х'|), где |ж'| = \1 х2 и

х , \ ( 0 (|жп| < 1/Е или |жп| ^ 4/К), (Хп) -

/п-1

с1 = \/191 х<

{

х М) / 1 (х' < К), Ых ^^ & > 2К).

1 (2/К < |жп| < 3/К), 1 (х' < Д),

Теперь предположим, что решение и задачи (3), удовлетворяющее (4), существует. Умножая обе части (3) на ук и интегрируя по частям, получаем

J и9р-3фи йх < J и(-А)к<рв йх < J ь]Акйх <

БИрр рд БИрр рд БИрр рд

< ( I и9р-Р <^к ■ I I Р^ Ау к | ^П-9' Лх

рирр рд / \ирр рд

откуда

< I п^Г\Актг,\9 ,п1-9'

У и9р-33у к Ах < I р^Т |АкVR|9р1-9' йх.

БИрррд БИрррд

В силу выбора у к мы можем уменьшить области интегрирования в обеих частях неравенства:

I и9р-13у к йх < I р^ АкУК|^К-9' йх.

(33/д\32/Д)п вд(0) (5:4/ д\51/ д )П в2 д(0)

Заметим, что ук = 1 во всей области интегрирования в левой части неравенства. Используя условия (2), (8) и (9), получим

^д(\-ц)-33+п-2а < ^+2кд' +п-2а

что приводит к противоречию при @ > (X — — 1) + 2к ш К ^ ж.

Замечание 3. Можно обобщить этот результат на более широкий класс стационарных дифференциальных операторов высокого порядка с постоянными или переменными коэффициентами, в том числе на системы вида

( (—А)ки ^ У9р-а(х) (х е Мп \ 5), \ (—А)1 V ^ ирр-3 (х) (х е Мп \ 5)

с соответствующими параметрами к,1 е N Р,Я > 1 а, Р е М.

4. Доказательство теоремы 1'

Здесь мы умножаем обе части неравенства (3) на и1 у к с 1 — р < 7 < 0. Интегрируя по частям, получаем

уУ+1 /Лгь,1Р-2

! и9+1 р-33 УК йх <у (^и^-2 Ои, 0(и> у к)) йх =

К" Мп

= ^ и^Ои^фк йх + У ^^(Ви^ук) йх <

М" М"

< ^ и^Пи^фк йх + ! йх,

М

М

и в силу неравенства Юнга

J uq+1 p-li ¡pR dx + |7 lj u'-1 lDulPtpR dx <

I" I"

< hlf v?-1lDu\ppR dx + c(-y) J v?+p-1lDif\ pf1-pdx,

и' ах + и

К" К"

т. е.

К" К"

Повторно применяя неравенство Юнга, приходим к

J vq+р-13<pR dx < с(-у) f u7+p-1lD(plP(p1-pdx.

1 Г —R,-. i | p(<?+7) "(7+P-1) i_ P(<?+7)

2 uq+ 'p P^R dx ^ c(j) p 4-v+1 у q-p+1 dx

К" К"

Сужая область интегрирования, получим в левой части этого неравенства

2 J ия+1 р~@ dx — 1 J ия+1 р~@ йх,

(Я3/п\Я2/л)ПБд(0) (Я3/п\Я2/л)ПБд(0)

а в правой части -

/р(<г+7) "(7+Р-1) Р()+7)

|^^>|)-Р+1 р )-Р+1 ф Ч-Р+1

(Я4/^\Я1/Л)ПБ2 д(0)

Используя условия (2), (8) и (9), аналогично предыдущему пункту, получим ф+1)(\-»)+ГЗ+г-2а ^ сКр(ч+7;)-рр+71+Р-1) +п-2«,

что при предположениях теоремы приводит к противоречию при К ^ то.

Замечание 4. Этот результат можно обобщить на более широкий класс существенно нелинейных стационарных операторов, в частности, на системы вида

( -Ари ^ ь8р~а (х) (х е Мга \ 5), \ -АдV ^ их р~Р (х) (х е Мга \ 5)

с соответствующими параметрами р,д > 1, в, г,а, @ е К.

5. Доказательство теоремы 2

Для задачи Коши (5), (6) введем два семейства пробных функций, а именно фв.(х) по пространственным переменным и Тт(Ь) по времени. 3десь фя(х) определяется аналогично предыдущему пункту, аТт е С ^^т]; [0,1]) с т > 0 таковы, что

Т т- ! 1 (0 < * < т/2), 1т ( ) { 0 (3т/4 < í < г)

и, кроме того,

3т/4

/ ^ст (10)

-I

т/2

с некоторой константой с > 0.

Умножая обе части (5) на <-Pr(х)Тт(t) и интегрируя по частям, получим

J Ттdt J uqp-¡3ifndx + J uo^udx ^

R+ R™ R™

< J Trdt j u(-A)k<pRdx - j T!rdt j wpRdx <

R+ R™ R+ R™

< J Trdt j u\AkLpR\dx + j \Т!Г\dt J u<pRdx.

Tv

R ™

Применяя к обоим слагаемым в правой части неравенства параметрическое неравенство Юнга, получим

1 J Тт dt J uq р Р ifndx + J uo^r dx ^

R+ R ™ R ™

< Cl[ Tr dt Í\Ak pR\q' p-ifl~q' dx + cj \T\q' Tl-q' dt Í p~ ^ vl-q' dx

R+ R ™ R+ R ™

с некоторыми константами C\,C2 > 0.

В силу выбора (х) и Тт (t) мы можем уменьшить области интегрирования в обеих частях неравенства:

2т

1 J TTdt J uqp-l3<^Rdx + J u0^Rdx ^

0 (S3/R\S2/л)ПБд(0) (S3/R\S2/л)ПБд(0)

2т

^cijTrdt J \AkfR\q'p-^Tf1- dx+

0 (S4/ R\SV R)nS2R(0)

2t

+C2J №\q'T*-q'dt J p~dx.

T (S4/ R\SV R)nS2R(0)

Заметим, что первое слагаемое в левой части неравенства неотрицательно и ^r(x) = 1 во всей области интегрирования. Используя условия (2) и (7)—(10), получим

Rn-2a+X-v ^ cRn-2»-т (V- 1- + Rj . (11)

Легко видеть, что правая часть (11) достигает минимума при

г = cR-2k. (12)

Подставляя (12) в (11) и устремляя R ^ то, приходим к противоречию.

6. Вывод

Мы доказали основные результаты, сформулированные в разделе 2, об условиях возникновения ситуации blow-up для стационарных и эволюционных полулинейных дифференциальных неравенств высоких порядков по пространственным переменным, а также для квазилинейных эллиптических дифференциальных неравенств второго порядка.

Аналогично можно получить условия разрушения решений для других классов дифференциальных неравенств, таких как:

• полулинейные и квазилинейные эллиптические системы,

• эллиптические неравенства с градиентными слагаемыми,

• более общие эволюционные дифференциальные неравенства и т.д.

R

R

R

™

+

+

Литература

1. Pohozaev S. I. Critical nonlinearities in partial differential equations // Milan J. Math. — 2009. — N 1. — P. 127-150.

2. Savin V. O., Sciunzi В., Valdinoci E. Flat level set regularity of p-Laplace phase transition 11 Memoirs AMS. - 2006. - V. 182. - P. 1 1 i i.

3. Mumuduepu Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Труды МИЛИ. — 2001. — Т. 234. — С. 1-383.

Поступила в редакцию 19.08.2013.