Системы уравнений от одной неизвестной для свободных произведений абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОТ ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ДЛЯ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ АБЕЛЕВЫХ

ГРУПП

Е.С. Есып

According to the algebraic geometry over groups, presented by Mvasnikov and Remeslennikov, we give a classification of alebraic sets in G1, where G is a free product of abelian groups without involutions. It is used the theory of ultraproducts.

1. Введение. Формулировка основной теоремы

В статье [1] дано описание координатных групп неприводимых алгебраических многообразий, которые задаются системами уравнений от одной переменной, над свободной конечнопорожденной группой. В статье [5] такое описание дано для группы, являющейся свободным произведением циклических. Цель этой статьи - обобщить это описание для группы, являющейся свободным произведением абелевых групп.

Все определения в данной работе взяты из статьи [1], знакомство с которой необходимо для понимания изложенного здесь материала.

Пусть G - группа, являющаяся свободным произведением абелевых групп

Г

без инволюций, то есть G = * Д, где группа А - абелева и не содержит эле-

г=1

ментов второго порядка, г С {1,..., г}, г ^ 2. Для любой абелевой группы А и любого натурального числа п определим параметр ап (А) следующим образом: пусть А [п] - n-ый слой группы А, то есть А [п] = {о 6 А\ап = 1}. Так как А [п] -ограниченная абелева группа, то она разлагается в прямую сумму циклических групп. Тогда ап (А) - максимальное число циклических групп порядка п по всем таким разложениям группы А [гг], при условии, что этот максимум является натуральным числом, в противном случае ап (А) равно символу оо. Будут доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Любая координатная группа Gy неприводимого алгебраического множества Y С G, G-изоморфна группе одной из следующих серий:

1.1. Группа G.

© 2001 Е.С. Есып

E-mail: esyp@iitam.omsk.net.ru Омский государственный университет

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ JY4 99-01-01907

2.1. G*(t).

2.2. (G,t| [u,t] = 1), где u G G\{1} - корневой элемент бесконечного порядка.

2.3. (G,t| [Ai,t\ = 1), где Ai - один из множителей группы G, при условии, что Ai - группа неограниченного периода.

3.1. G * (t\tn = 1), где п G О (G), О (G) - множество порядков элементов группы G.

3.2. (G,t| [Ai,t] = tn = 1), где п G О (G), Д - один из множителей группы

G, при условии, что ап (Д) = оо. ■

Замечание 1. Элементы конечного порядка группы G сопряжены элементам групп Ai, г G {1,..., г}, поэтому множество О (G) состоит из конечных порядков элементов групп Ai, г G {1, Смотри [2].

Теорема 1.2. Пусть D - неглавный ультрафильтр над счетным множеством I и пусть *G- ультрапроизведение G1 /D. Тогда любая, G-подгруппа Р < *G с одним G-порождающим, G-изоморфна группе одной из серий, перечисленных в теореме 1.1. ■

Теорема 1.3. Пусть V = Vi U... U \ /, - разложение алгебраического множества V С G1 на, неприводимые компоненты. Тогда, Vi им,ест одну из следующих форм:

1.1. Одна, точка v G G1.

2.1. Все пространство G1.

2.2. Множество дС (и) h, где g,h G G, С (и) =< и, > - централизатор элемента и G G\{1} бесконечного порядка, корневого.

2.3. Множество gAih, где g,h G G, где Ai - один из множителей группы G, при условии,, что Ai - группа неограниченного периода.

3.1 Множество gTQ^nh, где g,h G G, Т0^п - множество всех элементов группы G, порядок которых является, делителем п.

3.2 Множество gAi [n] h, где g,h G G, при условии,, что ап (Ai) = оо. я

Доказательство будет проведено при помощи серии лемм. Часть лемм аналогичны леммам, доказанным в статье [1]. Кроме того, добавлены леммы, отвечающие за случаи, когда элемент / имеет конечный порядок (лемма 5.6), и конечную длину (теорема 5.1).

2. Ультрастепени и координатные группы неприводимых алгебраических множеств

Пусть I - некоторое множество и Р (I) - булева алгебра всех подмножеств множества /.

Определение 2.1. Фильтр над I - это подмножество Д множества Р (I) такое, что:

(i) А £ А и А С В С I влечет В £ А;

(и) А, В £ А влечет А П В £ А.

Ультрафильтр - это фильтр D, удовлетворяющий третьему условию:

(Hi) для всех А £ Р (I) в точности одно из множеств А или 1\А принадлежит

D.

Пусть {Gj\i £ 1} - семейство множеств, индексированное множеством /. где

Gi ~

G. и пусть I) - ультрафильтр над I. Ультрастепень П Gt D определяет /

определяется еле-

ем как фактормножество

е/

дующим образом: (xi)ieI ~ (уд^т выполняется тогда и только тогда, когда {i £ I\xt = щ S- G D.

Далее на множестве G определена структура группы. Обозначим \ \G; / D

через *G. *G - это группа с индуцированными операциями из G. Отображение

fT-UGi —>• *(7 является гомоморфизмом групп,

ш

Определение 2.2. Пусть S С G [X], где X = {ад,,,,, хп}. Множество VG (S) = {р £ Gn | V/ £ S, f (р) = 1} называется алгебраическим множеством над G, определяемым S.

Пусть т - множество подмножеств группы G, состоящее из множеств Y и удовлетворяющее условию: для любого х ^ Y существует конечный набор

к

алгебраических множеств )]'..... V;) такой, что х ф U 1)

г=1

Множество г удовлетворяет условиям топологии замкнутых множеств:

(1) 0, G £ т;

к

(2) для любого конечного набора Yx,,,,, Yk £ т U Yi £ т;

г=1

(3) для любого множества индексов I и любого множества £ r\i £ 1}

Л Y, £ г.

Из определения следует, что все алгебраические множества замкнуты.

к к

V/ Y С и Y'

i=l г=1

Определение 2.3. Алгебраическое множество Y называется топологически приводимым, если оно раскладывается в объединение своих собственных подмножеств, являющихся замкнутыми множествами. Алгебраическое множество Y называется алгебраически приводимым, если оно раскладывается в объединение своих собственных подмножеств, являющихся алгебраическими множествами.

Предложение 2.1. Алгебраическое множество Y топологически приводимо тогда и только тогда, когда оно алгебраически приводимо.

Доказательство. Если Y алгебраически приводимо, то Y = U 1), где Yt -

i=1

алгебраические собственные подмножества множества Y. Так как все алгебраические множества замкнуты, то из этого разложения следует, что Y топологи-

k

чески приводимо. Обратно, если Y топологически приводимо, тогда Y = U 1),

г=1

где )) - замкнутое собственное подмножество множества Y. Поскольку )) -собственное, то существует Xi ^ Y\Yi. По определению замкнутого множества

существуют V( |...)) I - алгебраические, такие, что Х{ ^ U )) j. )) С и )) j.

j=i ’ i=i

Пусть ))[j = Y П ))j. тогда ,r( ^ и YY, следовательно, )'Y

k h

гебраичеекие подмножества множества Y, и Y = U U ) / ■.

i=ij=i

алгебраически приводимо.

- собственные ал-Получили, что Y

Поскольку алгебраическая и топологическая приводимость совпадают, то будем называть топологически приводимые множества и алгебраически приводимые множества приводимыми.

Определение 2.4. Пусть S С G [X] - система уравнений над G, и положим Y = Vq (S), Тогда мы определим

Rad (S) = Rad (Y) = {/ е G [X] \Ур е Y, / (р) = 1}.

Назовем Rad (S) радикальным идеалом,, определенным системой S (или определенным Y). Очевидно, Rad (S) - всегда нормальная подгруппа G [X],

Определение 2.5. Фактор-группа GY = Gs = G [X]/Rad(S) называется координатной группой алгебраического множества Y.

Определим отображение ц> : Гу —>• G (р) следующим образом: каждому

p£Y

многочлену h £ Гу сопоставляется вектор, индексы которого - точки множества ) . координаты значения многочлена h на соответствующих точках. Это отображение является гомоморфизмом и вложением, то есть kenp = {1}, Носитель элемента h £ Гу - это множество {р £ Y \h (р) Ф 1},

Определение 2.6. Группа G называется CSA-группой, если выполняются следующие условия:

1) для любого h е G\ {1} его централизатор С {К) в группе G абелев;

2) для любых h е G\ {1} и g е G\C (h), С (h) П g-lC (h) g = 1.

Пример. Группа G, определенная в параграфе 1, является CSA-группой, В самом деле, она является свободным произведением CSA-групп без элементов второго порядка, а потому по теореме 4 из статьи [6] она сама является CSA-группой,

Основным результатом параграфа 2 является

Теорема 2.1. Координатная группа любого неприводимого алгебраического множества над неабелевой CSA-группой G вклады,вается, в ультрастепень *G по некоторому ультрафильтру D (координатные группы, ультрастепень и вложение мм рассматриваем в категории G-групп). я

Основные определения категории (/-групп содержатся в [7], Доказательство теоремы 2,1 мы проведем при помощи серии предложений.

Предложение 2.2. Пусть Y - неприводимое алгебраическое множество, Гу - его координатная группа. Тогда для любого конечного набора hi,...,hk Е

к

Гу\{1} пересечение носителей П supp (hi) не пусто.

г=1

Доказательство. Предположим противное: нашлись элементы h\,...,hk Е

к к

Гг\{1} такие, что П supp (hi) = 0, Тогда формула V (ф = 1) выполняется

г=1 " г=1

на всех элементах множества Y. То сеть, сели >'( = {Syhi = 1, )) = \ <_• №)},

к

то Y = U Ту Далее, для всех i = 1......к. так как /?( не равен тождеетвен-

г=1

но единице на ) . то )) ф Y. Отбросим пустые множества )). Получим набор {У/1 г = 1,....//} такой, что У = U У/, где V/ - собственные подмножества У,

г=1

являющиеся алгебраическими множествами. Это противоречит неприводимости У. ■

Предложение 2.3. Пусть группа G является CSA-группой, Y - неприводим,ое алгебраическое множество в G. Тогда его координатная группа Гу является, CSA-группой.

Доказательство. Нам нужно проверить, что для группы Гу выполняются условия 1) и 2) определения CSA-группы,

1) Пусть h\, h2, h3 Е Гу, hi Ф 1, [hi, ha] = Ф [hi,h3\ = 1. Предположим, что [Л-2Д3] Ф~ 1- По предложению 2.2 существует g е G такой, что hi (g) Ф 1, [hi (g), Л-2 (g)] = 1, [hi (g), /13 (g)] = 1, [/12 (g), Л-з (g)] ф 1. Это противоречит тому, что G является CSA-группой.

2) Предположим, что вторая часть определения CSA-группы не выполняется

в Гу. Тогда в Гу существуют элементы hi и /12 такие, что hi Ф 1, [/ii,/i2 Ф 1] и элемент /г3 ф 1 такой, что [h^,hi] = 1, [/12/13^2 \ hi] = 1. По предложению

2.2 существует g е G такой, что hi{g) Ф 1, [hi (g), h2 (g)] ф 1, hs (g) Ф 1, [h (fj), h (5)] = 1, [Ы (9) h3 (9) hy1 (g), hi (5)] = 1. Тогда h3 (g) e CG (hi (g)) П h\ (9) Cg (hi (g)) 62 (g). Получили противоречие с тем, что G является CSA-группой. ■

Предложение 2.4. Пусть Гу - координатная группа, неприводимого алгебраического множества У над неабелевой, CSA-группой G. Тогда, для любых hi, Л-2 G Гу\ {1} существует h3 е Гу\ {1} такой, что supp (h3) С supp (hi) П supp (h2).

Доказательство. Если [hi,h2] ф 1, то полагаем h3 = [hi,h2]. Предположим, что у е supp(h3). Тогда [hi (g), h2 (g)] Ф 1 и hi ((g) Ф 1, h2 (g) Ф 1, следовательно, у е supp (hi) П supp (h2) и в этом случае все доказано. Предположим, что [hi,h2] = 1. Так как G неабелева, то Гу тоже неабелева, следовательно, существует h\ (г Гу такой, что [hi, hi] Ф 1. Так как G - CS А-группа, то по утверждению 2.3 Гу - тоже CSA-группа, Тогда по условию 2) CSA-группы, так как h3 ^ С (hi), то hihih^1 £ С (hi). По условию 1) CSA-группы С (h2) абелев. Так как hi Е С (h2), [hi, hihih^1] Ф 1, то hihih^1 £ С (h2). Полагаем h3 =

Рис. 1.

[/г2, /ц/д/Д х]. Во-первых, Я3 ф 1. Во-вторых, supp(h3) С supp(hi) П supp(Ji2). Итак, получили искомый элемент. ■

Еще для доказательства теоремы 2.1 нам понадобится следующий общеизвестный факт.

Предложение 2.5. Любой фильтр может быть включен в ультрафильтр.

Закончим доказательство теоремы. Построим фильтр А над множеством Y следующим образом: А состоит из всех носителей supp (h), где h Е 1Д\ {1} и их надмножеств (то есть, если supp [К) С В С Гу, то В 6 А). Условие очевидно. Условие (И) следует из предложения 2.4. Действительно, возьмем А, В Е А, тогда существуют /д. /д> Е Гу такие, что supp (hi) С A, supp (62) С В. Из этого следует, что supp (hi) П supp (Я2) С А П В. По предложению 2.4 существует /;:! Е Гу\ {1} такой, что supp (Я3) С supp (hi) Г) supp (Я2). Тогда supp (Я3) С АпВ СУ и, следовательно, И П В Е А. По предложению 2.5 фильтр А расширяется до некоторого ультрафильтра D. Имеем диаграмму, изображенную на рисунке 1.

Докажем, что кегф = {1}. Тогда ф будет искомым вложением. Предположим, что ф (h) = 1, где h ф 1. Тогда существует ./ Е I) такой, что для любого р Е J, h (р) = 1, но supp (h) П J ф 0. Получили противоречие. Теорема доказана.

■

Предложение 2.3 допускает обращение. Для его доказательства нам понадобится лемма.

Лемма 2.1. В неабелевой CSA-группе G любая нормальная неединичная подгруппа Н неабелева.

Доказательство. Предположим, что Н абелева. Возьмем элемент h Е Н\ {1}. Поскольку группа G неабелева, то по условию (1) CSА-группы существует элемент, не принадлежащий централизатору /;. то есть существует у Е G\C (h). Так как Н - абелева, то Я С (7(/i). Так как Н нормальная, то ЯП Q^lHg ф 1. Но Hf)g^1Hg С С (h) Dg^1C (h) g, следовательно, C (h) Dg^1C (h) g ф 1. Получили противоречие со вторым условием CSA-группы. ■

Предложение 2.6. Пусть G - неабелева CSA-группа, Y - алгебраическое множество над G. Его координатная группа Гу является CSA-группой тогда и только тогда, когда множество Y неприводимо.

Доказательство. В одну сторону это утверждение следует из утверждения

2.3. Обратно, пусть Гу является CSA-группой, Предположим, что Y приводимо. к

Тогда ) = U ) ). где ) ) алгебраические множества, ) ) Ф Y. По теореме Ремака

i=1

существует вложение Гу^Гу х ... х Гу.. где Гу. = ^ М/д. _ эт0 факторы по соответствующим радикалам, Гу = 6' у] /А. И = /ц Г /г. Г ... Г /ц. Обозначим В! = /i’i Г ... Г /Д. Поскольку )) - собственные подмножества и к Ф 1, то можем считать, что В\ ф В и В' ф В. Тогда существуют элемент о 6 B'\Bi и элемент Ь е В t\ В' такие, что их образы [о] и [Ь] в Гу не равны единице. Так как /ц и В' нормальные подгруппы G[x], то с = [о, Ь] е В\ П В' = Д. Следовательно, [с] = 1 и [[о], [Ь]] = 1. В\ / В - неединичная нормальная подгруппа Гу. Так как Гу - CSА-группа, то по лемме 2.1, Д1(/Д неабелева. Кроме того, она является CSA-группой, так как свойство CSA сохраняется для подгрупп. Поэтому централизатор Свдв (И) абелев и не совпадает с В\/В. То есть еуще-ствует d G ( В\ /В) \ {1} такой, что [с', [Ь]] Ф 1. Аналогично, как для элемента Ь, [[о], с'] = 1. Получили противоречие с первым условием CSA-группы, так как по этому условию централизатор Сгу ([о]) должен быть абелевым. ■

По теореме 2.1 все координатные группы неприводимых алгебраических множеств над группой G вкладываются в *G. Поэтому для доказательства теоремы 1.1 достаточно доказать теорему 1.2 и проверить, что все однопорожден-ные подгруппы *G являются координатными группами некоторых неприводимых алгебраических множеств. Это делается непосредственными вычислениями. В теореме 1.3 приведены результаты этих вычислений.

3. Функции длины на свободных произведениях групп

Пусть G - свободное произведение групп, определенное выше. Тогда любой элемент группы G имеет однозначную запись

9 = 9i- ■ -9i, (1)

где рядом стоящие множители принадлежат разным группам А{ и неединичны.

Определим целочисленную функцию длины L : G —>• Z, L (1) = 0. Если 1 Ф a е Ai, то L (о) = 1. Если g записан в виде (1), то L (//) = I.

То, что так определенная функция является функцией длины Линдона, вытекает из следующей леммы.

Лемма А. Пусть L< : G, -Д А функция длины Линдона на группе G{, % = 1,2. Определим функцию L : G\ * G^ —>• A. L (1) = 0 и если g е Gi, то L (g) = Li (g). Если g = gppi.-.gk ~ нормальная форм,а элемента g в свободном

k

произведении G\ * G2, то L{g) = Тогда функция L на свободном

j=i

произведении G\ * G2 является, функцией длины Линдона.

Доказательство. Проверим аксиомы функции длины (см. [1]). Аксиомы (1) и (2) проверяются непосредственно. Проверим аксиому (3), то есть, что для

любых g,h,k Е G

с (g, К) ф min {с (/г, А;), с (k, д)} ,

где с (д, h) = | (X (ц) + L (/г) — L (<7_1/г)). Заметим, что с (g, h) = с (h, 5) для любых g,h Е G1 * G2. Тогда аксиома (3) эквивалентна следующей формуле:

Уд, h,keGi* G2, с (д, К) > с (h, к) => с (д, к) = с (h, к) (2)

Докажем формулу (2), Пусть д = gi...gi, h = h\...hm, к = k\...kn - разложения в виде (1), Полагаем д0 = /г0 = к0 = gi. 1 = gm+i = gn+1 = 1, Выделим максимальные общие множители в начале разложений д и h: д =

т!

hi...hm>gm>+i...gh так что c(g,h) = L (hi) + с(дт>+ъ hm>+1). Аналогично для

г=1

в!

к и /г: к = hi...hn>kn>+i...kn, c(k,h) = L (hi) + c (kn>+i, hn>+i). На элементах

i=1

из свободного множителя Gi функции г и г(. L и L, совпадают, по определению, здесь г = 1,2, По свойству функции длины Линдона, если х,у G то с(х,у) ^ L(x), i = 1,2 [1]. Предположим теперь, что т' < п'. Тогда

т!

c(g,h) I] Т (Ф) + L (hm>+i) ^ с (к, К), что противоречит посылке в форму-

г=1

ле (2), Следовательно, т! 'Д п1. Первые п1 множителей в разложении дик совпадают: д = hi...hn>hn>+i...hm>gm>+i...gi, к = hi...hn>kn>+i...kn.

в!

Если гп! > п/, то с(д,к) = ^2 L (hi) + с (hn>+1, kn>+i) = c(k,h).

i=1

в!

Если rn! = п/, то с(д,к) = ^ L (hi) + c(gn>+i,kn>+i). Так как c(g,h) >

г=1

c(k,h), то в этом случае c(g„/+i,h„/+1) > с (кп,+г, hn>+г), причем дп,+ъ hn>+i, kni+i принадлежат одному и тому же множителю 6’(и. Тогда г (д„>. |. к„>. |) = с (kn>+i, hn>+1), Следовательно, с (д, К) = с (/г, А:), Что и требовалось доказать, ■

Определим стандартным способом понятие редуцированного произведения элементов g и h: goh = gh тогда и только тогда, когда L (gh) = L (g) + L (h). Элемент g G G называется циклически редуцированным, если выполняется условие 9° 9 = 92-

Предложение 3.1. Из условия щ о (д2 о д3) следует (щ о д2) о д3. Поэтому нет надобности скобок в записи Щ о д2 о ... о дъ. я

Предложение 3.2. Если д - циклически редуцированный элемент, тогда L(gn) = \n\L(g). я

Определение 3.1. Будем говорить, что произведение двух элементов /. g Е G есть слияние и обозначать это символом f * д, если либо fg = fog, либо t (/) и о (д) лежат в одном множителе и t (/) Ф о(д)-1, где t (/) - конец /, о (д) -начало д. Нетрудно проверить, что fg = f*g если и только если

ив+т

ЧП + Цд)- 1.

Непосредственно проверяется, что любой элемент можно записать в форме g = /_1 о gQ * /, где до - циклически редуцированный.

Предложение 3.3. Если д - элемент бесконечного порядка, то

Определение 3.2. Элемент g из G назовем архимедовым, сели L (д2) > L(g), в противном случае элемент называется неархимедовым.

Предложение 3.4. В группе G, определенной выше, элементы конечного порядка и только они, являются, неархимедовыми.

Доказательство. Пусть элемент g G G имеет конечный порядок, тогда его

можно представить в виде g = / 1 о д0 о /, где до G (J Д (см, [2] или [3]),

Отсюда следует, что L(g2) = Ь(д^) + 2L(f) = L(g0) + 2L(/) = L(g), а потому импликация доказана.

Обратно, пусть д - неархимедовый элемент, то есть L(g2) ^ L(g). Как отмечено выше, элемент д можно записать в виде д = /_1 о д0 * /, а его квадрат в виде д2 = /_1 о д0 о д0 * /. Если д имеет бесконечный порядок, то используя

утверждение 3, L (д2) = 2L (ц°) + 2L (/) 1 ' Следовательно, L (д2) > L(g),

что противоречит условию. Поэтому д - элемент конечного порядка, ■

4. Функции длины на ультрастепени

Пусть G - группа, I - бесконечное множество, I) - неглавный ультрафильтр над /. *G = G1 / D - ультрастепень, Д : G —$■ *G диагональное вложение G в *G. Возьмем элемент / 6 *G\G и будем рассматривать группу II = (G. /). В ультрастепени естественным образом определена функция длины Ч. : *G М- '7L. детали смотри в [1].

Предложение 4.1. Элемент конечного порядка в *G неархимедов.

Доказательство. Пусть g 6 *G и пусть порядок g равен п. Выберем представитель (//() G G1 для д. Тогда 1д = {/ 6- / д‘/ = 1 }■ G D. Так как Д = {i G I\L(g2) ^ L(gi)} D 1д, то I\ тоже принадлежит D, а потому *L(g2) ^ *L (д), и д - неархимедов.

Лемма 4.1. Если Аг U,,, U Ak G D, то Ад G D для, некоторого j G {1,,,,, к}.

Доказательство. Предположим, что для любых % G {1,.... \< }• Д ф D. Тогда I\Ai е Р п I\Ai П ... П I\Ak G D, что эквивалентно I\ (Ai U ... U Ак) G D. По свойству ультрафильтра получаем, что Д U ... U Ак ф D. Противоречие, ■

Г

г=1

Лемма 4.2. Если А\ U ... U Е D, где . Д....1/, попарно не пересекаются,

то существует единственный у Е {1,... ,к}, для, которого Aj Е D.

Доказательство. То, что такой элемент существует, следует из леммы 4.1. Предположим, что Л j, Е I) и .• 1Е D, где j\ ф }> . Тогда 0 = A j, П А у Е D, что противоречит определению ультрафильтра. ■

Предложение 4.2. Неархимедовый элемент имеет конечный порядок.

Доказательство. Пусть g G G*, L* (g2) Д L(g). Тогда {i G I\L (g2) Д L (gi)} e В, {i e I\b(gf) < Ь(д,)} c {i £ I\g"‘ = 1} = U {'E/|# =1}.

feCO(G)

Так как О (G) - конечное множество, то по лемме 4.1 для некоторого j G О (G), { / G / //,•'' = 1} G D. Следовательно, д"• =1. ■

Предложение 4.3. Пусть д = Д, г<?е а Е AU В, f Е *G. Тогда gn = 1 для некоторого п ЕЪ. я

Предложение 4.4. Если = 1, то элемент g им,ест вид а/, где а Е Л U В. f E *G. я

Будем говорить, что для элементов //. / G G* выполняется слияние g t /. если существуют представители (/j), (<^) Е G1, для которых верно включение {iEl\gt*ft}E D.

Нетрудно проверить, что для элементов g, f Е G* их произведение является слиянием д * f, если

*L(gf)

*L(g) + *L(f) *L{g) + *L{f)-l.

Доказательство предложения 4.4. Пусть д" = 1. тогда по предложению 4.1 L* (д2) ^ L* (д). По определению, д = /-1 о д0 * /. Тогда д2 = /_1 о д$ * f, и если L* ((/о) > 1- Для п > О, L* (дп) = 2L* (/) + nL* (д0) — е, где & - либо О, либо 1 и не зависит от п. Тогда L* (д2) > L* (д) - противоречие. Следовательно, L* (до) = 1. ■

5. Свойства функции длины

Далее мы будем использовать схему статьи [1]. Некоторые леммы этой статьи выполняются для случая свободных произведений без изменений, лемма 4.2 [1], часть (2), требует переформулировки. Лемма 5.1 — это аналог Леммы 4.2,(2), из

[1]. Если и. г Е *G, то существуют и/, v', I Е */•' такие, что и, = и,' ot, v = I 1 о v', uv = и' * v' и *L (t) = [*c (и-1, v)].

Переформулируем лемму 4.4 из [1].

Лемма 5.2. (Лемма 4.4, [1]) Пусть t - большой элемент, и Е G.

(1) Если пара (t, ut) имеет большое сокралцепие, тогда, мм можем записать и = U\ о и,2, t = щ 1 *t'* и,б1 и t' = /-1 о t" о f, где / большой элемент.

(2) Предположим, u G G\ {1}, / G G*\G, и запишем и = v ой* v~1, где й, - циклически приведенный. Если пара (/_1,и/) имеет большое сокращение, тогда мы можем записать / = v о йа о f, где а G Z*\Z, /' 6 G*. ■

Определение 5.1. Элемент g G *G называется корневым, если он является порождающим максимальной циклической подгруппы группы *G.

Лемма 5.3. (Лемма 4.5, [1]) Эта лемм,а и ее доказательство переписываются дословно. я

Лемма 4.6 из [1] заменяется следующей леммой.

Лемма 5.4. Пусть f,g,v G G, а, [3 G* Z, f,g - циклически приведенные корневые элементы.

Тогда,

(1) если сап (/“, г/Д G *G\G, то [/, v\ = 1, более того, а и /3 имеют разные знаки;

(2) если, сап (/“, vg13) G *G\G, то / сопряжен g или, g 1. я

Лемма 5.5. (Лемма 4.7, [1]) Пусть t G *G\G - архимедовый элемент такой, что *L{t) ^ Z. Тогда, выполняется одно из следующих условий:

(I) класс эквивалентности [t]G не содержит элементов, делящихся справа или слева на элемент из G\ {1};

(II) класс эквивалентности [t]G содержит элемент вида /" о /,. где /| G *G\G, / G Ff\ {1}, / - корневой элемент и циклически приведенный, /“ G *G\G, и класс эквивалентности элемента /1 не содержит элементов вида /-j ° у1. где g G G п дл G *G\G. В дальнейшем, /| не может быть записан в виде о /':

(III) попадает под случай (ii);

(IV) класс эквивалентности [t] (_. содержит элемент вида /" о / ( о//1, где /. д G G\ {1}, f,g- корневые элементы и циклически приведенные, fa,g^ G *G\G и д не сопряжен /: 1. В дальнейшем, /1 не может быть записан в виде f±l о /' или

(V) класс эквивалентности [t]G содержит элемент вида /" о /, о /1. где / G G\ {1}, / - корневой элемент и циклически приведенный, /а,/^ G *G\G, t\ G *G\ {1} и G не может быть записан в виде >/±1 о или о /±х;

(VI) класс эквивалентности [t]G содержит элемент вида /" , где / G G -

циклически приведенный и корневой элемент, и /" G *G\G. я

Лемма А. Лусшь f,g G G. Если [/, ... gnpfmpgnp+1] = 1, <?ля щ,...,

np+i, m,i,... ,т,р G Z\ {0}, gmfmi ,,, gnpfmpgnp+1 - приведенное слово от fug. Тогда, [f,g} = 1. ■

Лемма 5.6. (аналог Леммы 6.4 [1] для неархимедовых элементов) Пусть t G *G\G - неархимедовый элемент такой, что *L{t) Z. Класс эквивалентности, [t]G содержит элемент вида fa о о /Д gcte / G G\ {!}, / - корневой,

элемент и циклически приведенный, /“, G *G\G, Д G *G\ {1} м Д не может быть записан в виде f±l о f или, t' о f±l. Тогда (G,t) - группа, равная G * (t") для, некоторого t", F2-.9Kexj,валентного t ((G,t) = G* (t")).

Доказательство. Нам нужно показать, что если h = // (/ 1 п21 '... ///, / ' ///, . |. где £i = ±1, щ G G и если щ = 1, то е* = ^+i и h Ф 1. Положим /?,. = Uit£lU2t£2 ... urt£r.

Имеются два случая. Предположим вначале, что а и /3 имеют один знак. Докажем, что hr может быть записан в виде hr = xysi... vrnsrn, где in = in (г) ф 1, г, G /д и

(1) Si = XiWiVi, где х4 = /“ или f~?, хд = f~a или Д3 и щ = tf fmtf ...

где p = p{i) ф 1, rjj = r]j (i) = ±1, rij = rij (%) G *Z\ {0}, /”? G Ip и iy = 1. если Xi = /“; Vi = -1, если ад = Д3; rjp = 1, если xp = Д3; rjp = -1, если y{ = /“; далее, i/j i i/j = —1 для 2 Д j ф p;

(2) для i > 1. если //( i = / " и = /". тогда [ц, /] ф 1; также, если yt^ = f И хг = Гф ТО [хн,ПФ 1;

(3) если = 1, то //„, = Д3, и если = —1, то ут = / ".

Доказательство проведем индукцией по г. Для случая г = 1 утверждение

верно. Предполагая, что оно верно для г. Рассмотрим

hr+i = (/iSi... xjmsm) xj,r-$-it + .

Положим и = II,. . | .

Случал!, 1. £r+i = 1. Тогда hr+1 = (щщ,,, vmsm) ufatifC Если er = 1, то //,,* = Г II полагая oTO+i = и, xm+l = /". wTO+i = /,. //„,. , = Д3, запишем /?,.. | в виде cxsx ... x;m+ism+i, что и требовалось. Если ег = —1, то ут = / ". и доказательство аналогично предыдущему, исключая случай, когда и коммутирует с /. В этом случае по лемме 4.1 [4] и = fn для п G *Z. Следовательно, hr+1 = visi. ..xmxvmfntifP. Положим w’m = xvmfnti, xy'm = f? и s'm = xmxv'mxy'm. Тогда hr+1 = V\Si... vrn^isrn^ivrns'm - выражение для hr+i требуемой формы.

Случал! 2. er+i = — 1. Доказательство этого случая аналогично случаю 1.

Далее, мы утверждаем, что сап (а^год хд) G G и сап (ащ щ) G G для всех подходящих /. так что Si G *G\G. Если считать это доказанным, тогда can (viXiXVi, хд) G G по лемме 5.3 (1). По условию (2) и лемме 5.4 сап (г/*_ь цаД G G для i > 1. Кроме того, несколько раз используя лемму 5.3 (1), сап(ща;д щ) G G и con (yi-i, ViXiXVi) 6 G, и поэтому con {yi-iViXiVJiXji) G G, то есть con G

G. При дальнейшем применении леммы 5.3 (1) получаем can (sj_i, гед) G G и can (vi-isn, ViSi) G G. По лемме 5.3 (2), /ц g *G\G, так что h = hkUk+i G *G\G. Следовательно h Ф 1, как и требовалось.

Чтобы завершить доказательство леммы, достаточно показать, по лемме 5.4, что iv, не коммутирует с /. Если [год/] = 1, то беря координаты и используя лемму А мы можем доказать, что [Д,/] = 1, и тогда по лемме 4.1 [4] Д = /"' для некоторого т G *Z. Это противоречит предположениям на Д,

Далее предполагаем, что а, /3 имеют разные знаки. Проверим, что hr может быть записан в виде hr = vlsl... vmsm, где ,п = т (г) ф 1. г( G 1д и

И Wj

(1) Si = XiWiUi, где Xi = /“ и Ui = , или xt = f fi и y{ = /'

tifni+a+l3ti... fnp-1+a+l3ti, если xt = /“, Hi = f13 Wi = ,,,

fnp-i-a-Pt-l^ eam x% = m = f-a.

(2) для i > 1. если I/; | = / " и Xi = f". to [щ, /] Ф 1; также, если //,• , = hi, = ffj-, то [ц,/] ф 1;

(3) если — 1 то Ут — /ф и если = —1, то ym = f ".

Доказательство индукцией по г.

Обозначим Gz = {f Е G*|L* (/) е Z}. Ультрапроизведения естественным образом вкладываются в *G. Следующая лемма дает описание структуры группы Gz-

Лемма 5.7. Группа Gz является свободным произведением ультрапроизве-

к

дений *Ai, то есть Gz = *

г=1

Доказательство. Вначале докажем, что любой элемент f Е G* такой, что

к

L* (/) Е Z, представляется в виде произведения элементов из множества U . 1(.

г=1

Пусть длина элемента / равна гг. Возьмем некоторый представитель /' элемента / в декартовом произведении П G. Тогда множество /0 С I. на котором

iei

выполняется равенство L (/Д = п, принадлежит ультрафильтру. Любой элемент у Е G длины и однозначно представляется в виде у = у | у->.. .</„. где у\ Е Ау-, ...;Уп £ Ain, набор (ii,i2, ■■■Ап) принадлежит некоторому конечному множеству наборов, а именно кп. Этот набор назовем структурой элемента у. Таким образом, множество Iq разбивается на конечное объединение неперееекающихся множеств /о = U Г> по следующему принципу: Г> - это множество всех ни зек-

i' £кп

сов, для которых fj имеет структуру По лемме 2 [5] существует единственный /[, Е к". для которого множество принадлежит ультрафильтру. Тогда элемент / представляется в виде / = ./) •••/„• где /, е *Aioi,f2 е *Aio2,...., /„ е *Aion, (й)1) ^02; ■■■) Фп) =

Чтобы завершить доказательство леммы достаточно показать, что из условия /, .../„ = 1, где /, е *Ak,f2 Е М,-../„ е *Ain, (/,. /•_»./„) = г', h ф

/•_>.i„ | Ф i„. следует, что _/) = 1 для некоторого % Е {1.п\. Также, как в

начале доказательства, возьмем представители /(. //,./' соответственно эле-

ментов /l, /2, fn- Множество ИНДеКСОВ j Е /, ДЛЯ КОТОРЫХ f[jf2j...fnj = Ф

принадлежит ультрафильтру, где /у е . 1(|. f2j Е . 1(../Д е Дп, Тогда по

лемме 2 [5] и по свойству ультрафильтра множество индексов j Е I, для которых /у = 1, тоже принадлежит ультрафильтру. ■

Доказательство основной теоремы разбиваем на два случая. Первый - когда *L (t) е Z (теорема 5.1), и второй - когда *L (t) ^ Z (теорема 5.2, теорема 5.3).

Лемма В. Если hi Е G, h2 Е *G\G, hs Е *G, тогда из условия h2ohs следует {hih2)ohz. я

Теорема 5.1. Пусть G - группа, определенная в параграфе 1, *G - ультрастепень по неглавному ультрафильтру, t Е *G\G - элемент конечной длины.

Тогда группа, порожденная группой G и элементом t, G-изоморфна одной из групп:

1 )G*{t'),

2) G * (t'\t'n = 1), где п G 0(G),

3) (G,t'\ [Ai,t'] = 1),

4) (G,f | [Ai,H] = t,n = 1), где n G О (G).

Доказательство. У нас есть элемент t G *G\G, *L (t) G Z. Обозначим через II = (G,t) группу, порожденную G п /. По лемме 5.7 элемент / имеет вид: t = />| где Ъ\ G *.4(|. /ь G *.4,..hp G *Др.

Если р = 1, тогда / = /щ п имеем следующую последовательность рассуждений: Ац элементарно вложена в *А^ (общая теорема теории моделей),

- сервантная в *Д1; для элемента Ь\ существует Ь[ = Ь\а! такой, что a! G А^ и (Д1; b[) = (Ait) ф (Ь[). Далее, рассматривая нормальные формы в *G, получаем, что Н G-изоморфна одной из групп:

(G,?| [АиИ] = 1) или (G,?| [АиИ] = t,n = 1), где п е О (G).

Если р > 1, то можем считать (так как группы классифицируются с точностью до G-изоморфизма), что bi,bp ^ G. Порядок элемента t может быть конечен; если это так, то обозначим его через п.

Предположим, что есть нетривиальное соотношение w = g\tni 5Д”2 ■ =

1, где gi, ...,gk G G, щ, ...,nk G Z, tni ф 1, ...,tnk Ф 1, gi ф 1, ...,gk ф 1. Предположим, что k = 1. Можем считать, что п,\ > 0.

Случай 1. В записи элемента t, %\ = ip. Как замечено в параграфе 2, элемент t записывается в виде t = /_1 о to * /, где to - ^-циклически редуцированный элемент, tn = /-1 о tQ * ... * Д*/, и пусть /_1 = ф о ... о bs, t0 = 6S+1 о ... о 6p_s о с3,

П

/ = bp-s+io...obp = b^o.^obi. Тогда по лемме В гг = дфП1 = дхЬх.-.ЬффЬф ...Ъф = (gibi) о Ь2 ° ... ° bs о Тф * f Ф 1. Получили противоречие.

Случай 2. В записи элемента t, %\ Ф ip. Тогда w = дфП1 = (g1b1)o,,,obpofH_1 ф 1. Противоречие.

Далее предполагаем, что k > 1.

Случай 1. В записи элемента t, %\ = гр. Как замечено в параграфе 2, элемент t записывается в виде t = /_1 о £0 * /, где - ^-циклически редуцированный элемент, tn = /-1 о tQ * ... * Д */, и пусть /-1 = ф о ... о bs, t0 = 6S+1 о ... о 6p_s о с3,

П

/ = bp-s+i о ... о Ьр = о ... о Д, Рассмотрим тройку элементов: =

(bi о ... о bs о * bj1 о ... о b^1) gj (bi о ... о bs о Сф * bjl о ... о бД).

1) Если gj G Д, и з > 1. то tni~1gjtni = ф о ... о bs о * ЬД о ... о Д1 о gj о

Ьь о ... о bs о Сф * bj1 о ... о Ьф.

2) Если gj G Ajtl и s = 1, то tni~1gjtni = Ьг о Сф^1 * д2 ° * Д1.

3) Если ^ Ац, тогда нет сокращений в этой тройке.

Везде степень /0 остается. Делая сокращения во всем слове, получаем, w = gi (b\ о v о Сф * Ъф). Так как b\ G *G\G, то w = (дфф о v о Сф * Ъф ф 1. Таким образом, в случае 1 все доказано.

Случай 2. В записи элемента t, %\ Ф ip.

Случай 2.1. р > 2.

Рассмотрим тройку tni~1gjtnE Если rij-i, rij - положительны

< bi о ,, ■ ° (bp9j) o^o ,,, о bp

tnk-lg.tnk = bl...bpgjbi...bp = { bi O ,, . о bp о (gjbi) о ... о bp

l bi О ,, . о bp о gj о bi о ... о bp.

Если rij-i < 0, rij > 0, тогда tnk-1gjtnk = bpl...bilgjbi...bp = { Kl l K1 о ... о Д1 о gj obi о ■■■ ° bp о ... о bg 1 ° 9j ° b2 о ... О Ьр

Во всех случаях множитель Ь2 остается после сокращений как в степени tnj, так и в f1!-1. Если nj-i,rij - отрицательны или пщi < 0, rij > 0, тогда берем обратный элемент к тройке и используем уже доказанное. Получаем, что 9itm92tm...gkt^ #1.

Случай 2.2. р = 2,

Мы утверждаем, что для j = 1......к подслово Wj = /л /"' слова w

заканчивается на

о Ы. о &2, b'j Е *Ак о b'j о Д1, b'j Е *Ai2

(на месте точек может быть пустое слово).

Доказываем это утверждение индукцией по j. База индукции: если /л g Ait, тогда (9iк) о Ъ2,

(gibi) о Ь2 о ... о bi о Ь2,

Wi

91 о 9i о

К1,

«1 = 1 П\ > 1

rii = —1

щ < -1,

если /л G Д2, тогда 9i о h о Ъ2, globiob2o

Wi

9ih 9\Ьй1

Л ) k-i„

О bi о Ь2,

о 1

2 ^ ^ щ ^ ^ и2

если /л ^ Дj U Д2, тогда gi obi о Ь2,

gi о Ь\ о Ь2 о ... о Ь\ о Ь2

Wi

glob2lobll,

9i°b2

о b.

ob2lobll,

«1 = 1 rii > 1

П\ = —1

щ < -1,

«1 = 1 «1 > 1 «1 = —1 n 1 < —1.

Далее предположим, что для i A j наше утверждение доказано. Рассмотрим

Wj+i = ii-jfij. | /" • 1. Вначале рассмотрим случаи, когда Wj Если (/j . | G Д1; тогда

о Ы- о &2, у А Е *Ai

wj+1

О b’j ob2o (gj+ibi) О b2,

о ... о о h,

Д

}ii

А ° ... оЬ2 lobг1

если (/j. | G Д2, тогда

b’j о (b2gj+1) obiob2,

.. O b'j O (b2gj+1) obiob2o ... obi O b2,

Щ = 1 Tlj > 1 Hj = -Uj < -

wj+1

° b'j о gj+1 O bi1,

° b'j о gj+l ~ 1

о

4

%' =1 rij > 1

rij = -

rij < -

если //| Ait U Д2, тогда

... о Щ о b2ogj+l obi о b2,

... о b'j о Ь2 О Qj + 1 О bl о Ь2 О ... ... о b'j ob20 Qj + i О Щ1 О Ь\,

... О b'j О Ъ2 о Qj+i О Щ1 О Ь\ О .

Теперь рассмотрим случаи, когда Wj Если fij. | G Д1; тогда

wj+1

О b.

Wj+1

если <ij . | G

wj+1

wj+1

° bj- ° 0J+1 О &2,

.об' О ^-+1 о Ь2 О ... О bl О Ь2,

■ О b'j О (bflgj+1) О bflobfl,

■ О b'j О (b?gj+l) о Ь2 1 о ЬГ1 о Д2, тогда

о 6' о Ьг 1 О gj+l о bl О Ь

2 j

О b'j О Ьг о b'j О bf1

(я.

i+i°2

Ьо Х)

&Г\

о

° fo+l&2 Х) ° Ь1

если //| ^ Д 2 U Д2, тогда

о b'j о Ъг

9j+i

bi о ь

2,

-1

-1

oVjObl~o gj+i oo2-oWl , о Е о b^1 О gj+i о bfl о Ь^1 О

Uj = 1

1 ь2, Uj > 1

Hj = -1

1 О bf 1 1 Uj < -1.

■b'3ol ф1 b'. , u3 e * * A ■ /±t2.

Uj = 1

Uj > 1

Uj = — 1

bfl О bf 1 1 Uj < - 1,

Uj = 1

О ь2, Uj > 1

Hj = — 1

bfl О bf 1 1 Hj < - 1,

Uj = 1

О Ь2, Uj > 1

Uj = — 1

ЪТ2Х о bf 1 1 Uj < - 1.

Итак, получили, что приведенное слово »д заканчивается на Ь2 или Ь1 1. Отсюда следует, что 1 = w = wk - пустое слово, и группа II G-изоморфна одной из групп: G * {t') или G * {t'\t'n = 1), где n G О (G). Теорема доказана, ■

Теорема 5.2. Пусть G - группа, определенная в параграфе 1, *G - ультрастепень по неглавному ультрафильтру, t G *G\G элемент конечного порядка такой, что *L{t) Z. Тогда группа, порожденная, группой G и элементом t, является, свободным произведением G * (t).

Доказательство. Возьмем слово w = gitai g2ta'2 ... gktak, где gi,...,gk G G\{1}, 0 < ai,...,ak < o{t). Для доказательства теоремы достаточно доказать, что w Ф 1, По предложению 4,4 элемент / имеет вид / = / о и о / 1. где

Г

/ G *G\G, и G U Aj. Перепишем слово w в следующем виде w = gif о uai о о ит о f-l...gkf о иаз о /-1.

Предположим, что w = 1, тогда в некоторой тройке f~lgtf существует большое сокращение. Без уменьшения общности можно считать, что can (f~l, gif) G *G\G. Тогда по лемме 5,3 элемент / записывается в виде f = vi о ^ о /', где gi = Ы о v2 * г, 1. Отсюда утверждение теоремы следует из Леммы 5,6, ■

Теорема 5.3. В случаях, когда элемент t не удовлетворяет условиям теоремы 5,1 и теоремы 5,2, группа Н = (G,t) G-изоморфна одной из групп, записанных в теореме 1,2, за, исключением серий (3,1) и (3,2).

Доказательство. Случай теоремы 1,2, когда элемент / имеет бесконечный порядок и бесконечную длину, следует из леммы 5,5 и лемм, аналогичных лем-

мам параграфа 6 статьи [1]. Формулировки и доказательства в нашем случае повторяются дословно, ■

Вернемся к доказательству теоремы 1,1, По теореме 2,1 все координатные группы неприводимых алгебраических множеств над группой G вкладываются в *G. Поэтому для доказательства теоремы 1,1 нужно проверить, что все од-нопорожденные подгруппы *G являются координатными группами некоторых неприводимых алгебраических множеств.

Непосредственно из доказательства теоремы 1,2 следует, что группы типа 1,1, 2,1, 2,2 и 3,1 являются подгруппами *G, а потому они являются CSA-группами и по предложению 2,6 они являются координатными группами неприводимых алгебраических множеств. Остается проверить, при выполнении каких условий группы типа 2,3 и 3,2 являются подгруппами *G.

Разберем случай группы типа 2,3, Непосредственно из соотношений соответствующей координатной группы следует, что элемент / принадлежит * Д. Если А - абелева группа, то в ее ультрастепени по неглавному ультрафильтру есть элемент бесконечного порядка тогда и только тогда, когда А - неограниченная группа. Поэтому при выполнении условия, сформулированного в случае 2,3, группа типа 2,3 есть в ультрастепени, а в противном случае ее нет,

И, наконец, разберем случай групп типа 3,2, Допустим, что группа этого типа есть в ультрастепени, тогда соответствующее алгебраическое множество Y равно группе Д [п], Рассмотрим систему уравнений {[Д, t] = tn = 1 над абелевой группой Д, Ясно, что решения этой системы над группой Д совпадают с решениями над группой G. Тогда г, *Д содержится элемент / порядка п такой, что ДпД = 1, И, следовательно, по доказательству теоремы 1,2 (случай р = 1) существует подгруппа типа 3,2, Если же п„ (Д) конечно, то такого элемента в *Д не существует, а потому и подгруппы такого типа не содержатся в *G.

В заключение приведем один важный пример приводимого алгебраического множества Y над группой G, имеющий вид, определенный в параграфе 1, Пример. Пусть G = Ai * Д, где Д = ф С3 (г) ф С5, С3 (г) = (оД| = 1),

г е Z, Съ = (h IV). Д = (с). Множество Y задаем системой S = {[x,b] = 1. Оно равняется Д, так как Д совпадает с централизатором в группе G любого своего неединичного элемента. Оно приводимо, так как раскладывается в объединение алгебраических множеств )). являющихся классами смежности группы Д по

подгруппе ф (Д (i), Множество Yj определяется системой Д

[х, Ъ] = 1 (b^ixf = 1,

где j = 0,..., 4,

Литература

1. Chiswell I.M., Remeslennikov V N. Equations in Free Groups with One Variable j j J. Group Theory. 2000. V.3, № 4. P. 455-466.

2. Магнус В., Kappac В., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. С.455.

3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. С.448.

4. Есып Е.С. О координатных группах систем уравнений над свободным,и группам,и.

Препринт № 24. Омск, 1999.

5. Есып Е.С., Ремесленников В.Н. Уравнения от одной переменной над свободными произведениям,и, циклических групп: Препринт № 31. Омск: ОмГАУ, 2000. 8 с.

6. Mvasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Exponential groups 2: Extentions of centralizers and tenzor completion of CSA-groups // Intern. Journal of Algebra and Computation. 1996. V.6, №. 6. P.687-711.

7. Remeslennikov V.N., Baumslag G., Miasnikov A. Algebraic geometry over groups L Algebraic sets and Ideal Theory // Journal of Algebra. 1999. № 219. P.16-79.