СИСТЕМЫ С ТРАНЗИСТОРНЫМИ КЛЮЧАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2020

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(49)

УДК 531.391

Системы с транзисторными ключами

Г. Г. Иванова), Г. В. АлфёровЬ), В. С. Королёвс)

Санкт-Петербургский государственный университет

Россия, 198504, г. Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр., 35

^guennadi.ivanov@gmail.com; ьalferovgv@gmail.com; '!Vokorol@bk.ru ; +7(911)2465787

Проводится качественное исследование поведения системы при выборе управления и построено такое управление, при котором в системе возникает автоколебание. Изучение задач управления и устойчивости решений систем дифференциальных уравнений для описания процессов, определяемых для линейных операций, дает возможность выявить важные свойства, присущие всем системам одного и того же класса. Для структурно линейной системы, описывающей с достаточной степенью точности поведение системы с транзисторными ключами, рассмотрена задача построения автоколебания.

Ключевые слова: системы переменной структуры; релейная стабилизация; автоколебание, устойчивость процессов управления.

DOI: 10.17072/1993-0550-2020-2-14-18

1. Особенности предлагаемого подхода

Рассматриваемая здесь система принадлежит классу систем, названных системами переменной структуры (СПС), который включается в класс вызывающих в настоящее время все возрастающий интерес трансформирующихся систем.

Толчком к появлению теории систем с переменной структурой послужило в 1957 г. предложение С.В. Емельянова использовать нелинейную коррекцию, в соответствии с которой, в зависимости от состояния системы управления, параметры обратной связи скачкообразно менялись. Идея оказалась крайне плодотворной и стала систематически применяться для улучшения качества регулирования при решении самых разнообразных задач управления [1-8].

Для систем второго порядка С.В. Емельяновым вводятся основные режимы работы СПС: движение по вырожденным траекториям, режим переключений и режим скольжения по прямой переключения структур.

© Иванов Г.Г., Алферов Г.В., Королев В.С., 2020 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 18-08-00419.

Выясняется, что в режиме скольжения движение в замкнутой системе не зависит от факторов неопределенности (неизвестных, в том числе и переменных параметров объекта и внешних сил) и потому доминирующей идеей синтеза СПС становится идея преднамеренного введения режима скольжения по прямой переключения, положение которой заметно влияет на качество переходных процессов.

В 1964 г. С.В. Емельянов публикует первый вариант теории СПС с изложением основных ее идей и принципов, а также очерк методов анализа и синтеза СПС, который превращается в первую монографию по теории СПС [1, 2]. Позднее С.В. Емельянов и В.А. Таран доказывают, что неидеальная информация о состоянии системы разрушает идеальность скользящего режима, превращая его в реальный режим скольжения, то есть режим с конечной частотой переключения и конечным же отклонением от прямой скольжения [3].

Важно, что при определенных условиях это не приводит к неустойчивости системы, в отличие, например, от систем с бесконечным коэффициентом усиления. Иначе говоря, СПС демонстрирует робастность, т. е. работоспособность при наличии динамических неиде-альностей.

С.В. Емельянов и В.И. Уткин начинают систематическое использование принципа переменности структуры для управления по состоянию объектами n-го порядка, в том числе объектами с переменными параметрами и при наличии внешних воздействий [4-7]. Им удается доказать, что для стабилизации таких объектов методами СПС достаточно информации только о диапазонах изменения параметров и характеристиках внешних воздействий, а их изменение во времени не играет большой роли [8-21].

Современные очертания теория СПС обрела после разработки методов синтеза обратной связи по выходу с использованием наблюдателей состояния, создания методов управления объектами с распределенными параметрами и теории дискретных СПС и СПС для объектов с последействием.

2. Системы с переменной структурой

Введем обозначения, которыми будем пользоваться для сокращения.

Совокупность n х n матриц A, собственные числа которых удовлетворяют условию

Stfo) < 0 или (Ш < 1), i = 1,2 ... ,71,

обозначается через К_ или (ffii). Символом О обозначается совокупность всех целых (или всех неотрицательных Q+) чисел.

Через Z(M), где M = Q либо = Q-, обозначается множество всех определенных^ ограниченных на M матричных функций i-(Ç) дискретного времени Q G M, а через Zm (M ) - множество всех неособенных матриц удовлетворяющих условию

L с Z(M) и 1с Z(M).

Рассмотрим устройство мехатроники, в контуре управления которого имеются два транзисторных ключа, причем будем считать, что время набора и сброса токов в транзисторах пренебрежимо мало по сравнению с периодом искомого автоколебания. Проанализируем систему, поведение которой с достаточной степенью точности описывается уравнениями

^f = Ay+ Ь^щ - /2ы2),

Et

«É£{ ОД}, î =1,2.

(1)

Здесь А ё — постоянные матрица и вектор с размерностями соответственно пхп и п, /¡, /, > 0 — номинальное значение тока в / -м транзисторе; щ — управление для / -го транзистора, принимающее значения 0

(ток отключен) или 1 (ток включен). При этом

будем считать, что в начальный момент ^

первый транзистор включается при выполнении условия

¡11 у(^) < У21, (2)

второй - при

Р 1 УС^О) ^ Т21, Ц * < , (3)

в произвольный момент t(t> £0) / -й транзистор включается при выполнении равенства

(4)

и выключается при

(5)

(/ - постоянные векторы размерностью п ; = 1,2) - вещественные числа). Требуется выбрать величины ,

таким образом, чтобы у системы (1)-(5) существовало орбитально асимптотически устойчивое и устойчивое по Ляпунову периодическое решение с заданными периодом и амплитудой.

При решении этой задачи мы сначала выпишем Т -периодическое решение ур(0 , где ур(Х + Т) =уР(х), системы (1)-(5), а затем выберем искомые параметры этой системы, обеспечивающие ее решению ур(0 орбитальную асимптотическую устойчивость и устойчивость по Ляпунову. При этом для простоты мы будем искать лишь обладающие центральной симметрией решения, т.е. решения, удовлетворяющие условию

ур(1±1) = -уКИ (6)

Для поиска такого периодического решения упростим структуру системы (1)-(5), полагая

(7)

С) * (8)

Ф2Ю. (9)

где I, V - положительные числа; / - постоянный вектор размерностью п . Тогда функции будут удовлетворять тождеству

(10)

а соотношения (1)-(5) с учетом обозначений (7)-(9) преобразуется, соответственно, к виду

^ = А{+Ь(ц1-и2), щ,и2 £{0,1}, (11)

(12)

> 0, (13)

«¡(№)) = -2у, I = 1,2, (14) ^¡«Ш = 0,1 = 1,2. (15)

Г. Г. Иванов, Г. В. Алфёров, В. С. Королёв

Из соотношений (10)-(15) следует, что в процессе функционирования систем (11)—(15) или (что тоже самое) (1)—(5), (7) в каждый момент / (/ > ) обязательно включен один

из транзисторов, причем одновременно оба транзистора включенными быть не могут. Это означает, что на решениях системы (11)-(15) управление «г (*ыг* = может прини-

мать лишь два значения -ыг^-ыгз, (-кг.,* = (1,0),иг* = (ОД)), а сами эти решения на определенных промежутках времени являются решениями одной из систем:

Iit

= fte\ ГШ=fQwl i = 1,2, (16)

При этом решения системы (11)—(15) либо циклическим образом в моменты

— 1,2, j — 0,1,2 ...) попадают на плоскости 1= 0, либо асимптотически стремятся к одному из значений fi, fa причем

{2=-(1=А-1Ь, ' (17)

которые являются положениями равновесия систем (16). Если же выполняется условие

fi*A_1b+ v < 0, _ (18)

равносильное неравенствам то все

решения системы (11)-(15) циклическим образом попадают на плоскости Vt(i) = 0 в моменты t(j- , причем управление -ш в эти моменты принимает значения uri+lr -w3 = w^

Положим

F(t,T) = exp(j4(t — т)),

A = екр ,

3. Основные утверждения

Теорема 1. Пусть величины таковы, что имеют место_соотношения

t е

(t0rt0 + l).

Тогда определяемые_соотношениями fp(t) =f(t), yp(t) = /f(t),

вектор-функции ур(0 являются

обладающими центральной симметрией Т -периодическими решениями систем (11)—(15) и (1)-(5), (7) соответственно. При этом амплитуда вектор-функций ур(0 пропорциональна величине I .

Если же выполняется и условие (18), то любые решения указанных систем циклическим образом попадают на плоскости

= 0(1 = 1,2).

Здесь величины опреде-

ляются по формулам (19), (17) и (9) соответственно.

Выпишем теперь условия для вектора ц, при выполнении которых решение системы (11)-(15) будет орбитально

асимптотически устойчивым и устойчивым по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и пусть

1 1=А + Ьс~1к*,

л = ехр(л^), Ь = Ь-А?0, (20)

Тогда программное решение £р(0 системы (11)—(15), определяемое по формуле ^'•■£) = где ) определяется равен-

ством (19), будет орбитально асимптотически устойчивым и устойчивым по Ляпунову.

Теорема 3. Пусть константы А., Б из выражений (20) таковы, что имеют место соотношения

ее (Ъ,АЪ,А^Ъ) Е 1, < 1 = 1Д._,п-:Ц

и существует вектор д3 такой, что

(Е

Тогда задача построения автоколебаний в системе (1)—(5) разрешима, а именно: система (1)-(5), (7), в которой

Р=93, v = -д3Чo (21)

имеет обладающее центральной симметрией орбитально асимптотически устойчивое и устойчивое по Ляпунову периодическое решение ур(0 = / £р(£) с заданными периодом и амплитудой.

Если же выполнено и условие

то любые решения системы (1)—(5), (7), (21) будут циклическим образом совпадать на плоскости

i^({) = D(i = 1,2).

Здесь А[,1 = 1,2, ...,п — 1, собственные числа матрицы Л, а величины находятся по формулам (17), (19).

Замечание 1. Условия (18), (22) понадобились лишь для того, чтобы показать, что у соответствующих замкнутых систем нет положения равновесия. Для существования же периодического решения эти

условия не нужны.

Замечание 2. Ранее мы считали, что в системе (1) А ё Это условие связано с тем, что в электротехнических устройствах оно, как правило, выполняется. Если проанализировать проделанные выкладки, то окажется, что матрица А может удовлетворять более слабым условиям.

Замечание 3. В этом разделе мы решили задачу построения автоколебаний в системе (1)-(5) при упрощающих условиях (6), (7). Разумеется, эту задачу можно решить и без них, при этом класс автоколебаний расширится.

В работах [9-21] мы рассматривали задачу стабилизации линейных систем с нелинейностями гистерезисного типа. Исследуя систему со скалярным управлением, мы показали, что возникающее в результате релейной стабилизации нуля линейной управляемой системы так называемое стабильное колебание является орбитально асимптотически устойчивым или устойчивым по Ляпунову периодическим решением замкнутой системы.

Нетрудно видеть, что рассмотренная там система также является системой переменной структуры вида (11)—(15). Это означает, что параметры рассматриваемой системы V, ¡1, Т, определяемые по формулам (19), можно подобрать таким образом, что вектор-функция будет орбитально

асимптотически устойчивым и устойчивым по Ляпунову Т -периодическим решением системы (11)—(15).

Заключение

В работах по релейной стабилизации, исследуя линейные системы с нелинейнос-тями гистерезисного типа, было показано, что система, замкнутая релейным стабилизирующим управлением, имеет автоколебание. Но такая ситуация возникает при достаточно жестких ограничениях на параметры системы, а само периодическое решение располагается в достаточно малой окрестности нуля.

Проведенные здесь исследования показывают, что, используя теорию систем с переменной структурой, мы можем добиться, чтобы в управляемой системе не только возникло автоколебание, но и чтобы периодическое решение системы имело заданные параметры такие, как период и амплитуда.

Список литературы

1. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

2. Емельянов С.В. Системы переменной структуры - ключ к открытию новых типов обратной связи // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2013. № 8. С. 5-24.

3. Емельянов С.В., Таран В.А. К вопросу использования инерционных звеньев для построения одного класса систем автоматического регулирования с переменной структурой. I // Автомататика и телемеханика, 1963. Т. 24, вып. 1. С. 33-46.

4. Емельянов С.В., Уткин В.И. Применение систем автоматического регулирования с переменной структурой для управления объектами, параметры которых изменяются в широких пределах // Кибернетика и Теория Регулирования. Докл. АН СССР, 1963. Т. 152, № 2. С. 299-301.

5. Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Ефимова П.А. Устойчивость селекторно-линейных дифференциальных включений // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2 (37). С. 25-30.

6. Смирнов Е.Я. О стабилизации программных движений систем переменной структуры // Вестн. Ленингр. ун-та ЛГУ. Сер. мат., мех., астр. 1990. Вып. 1. С. 40-43.

7. Уткин В.И. Системы с переменной структурой, состояние проблемы, перспективы. Автоматика и Телемеханика. 1983. Т. 9. С. 5-25.

8. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958.

9. Alferov G., Ivanov G., Efimova P., Sharlay A. Study on the structure of limit invariant sets of stationary control systems with nonlinearity of hysteresis type (2017) AIP

Г. R Heanoe, r. B. An^ëpoe, B. C. Koponëe

Conference Proceedings, 1863. P. 080003. DOI: 10.1063/1.4992264.

10. Alferov G.V., Ivanov G.G., Efimova P.A. The structural study of limited invariant sets of relay stabilized system (Book Chapter) (2017) Mechanical Systems: Research, Applications and Technology. P. 101-164.

11. Alferov G.V., Ivanov G.G., Efimova P.A., Sharlay A.S. Stability of linear systems with multitask right-hand member (Book Chapter) (2018) Stochastic Methods for Estimation and Problem Solving in Engineering, P. 74-112. D0I:10.4018/978-1-5225-5045-7.ch004.

12. Ivanov G., Alferov G., Sharlay A., Efimova P. Conditions of Asymptotic Stability for Linear Homogeneous Switched System, in International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, 2017. AIP Conference Proceedings. Vol. 1863. P. 080002. D0I:10.1063/1.4992263.

13. Kulakov F., Kadry S, Alferov G., Efimova P. Remote control of space robots change-adaptive in its external environment (2019) IJOBE. Vol. 15, № 7. P. 84-98.

14. Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. Almost Periodic Solutions of First-Order Ordinary Differential Equations, Mathematics. 2018. Vol. 6, № 9. P. 171. DOI: 10.3390/math 6090171.

15. Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. Stabilization of the program motion of control object with elastically connected elements. (2018) AIP Conference Proceedings, 2040. P. 150014. DOI: 10.1063/1.5079217.

16. Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Korolev V. Selitskaya E. A new method to study the periodic solutions of the ordinary differential equations using functional analysis. Mathematics. 2019.Vol. 7(8). P. 677.

17. Korolev V. Properties of solutions of nonlinear equations of mechanics control systems, in 2017 Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (Dedicated to the Memory of V.F. Demyanov), CNSA 2017 - IEEE Conference Proceedings. P. 7973973.

18. Ivanov G., Alferov G., Efimova P. Integrability of nonsmooth one-variable functions // 2017 Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (Dedicated to the Memory of V.F. Demyanov), CNSA 2017 - Proceedings. P. 7973965.

19. Ivanov G., Alferov G., Gorovenko P., Sharlay A. Estimation of periodic solutions number of first-order differential equations (2018) AIP Conference Proceedings, 1959. P. 080006.

20. Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. About stability of selector linear differential inclusions (2018) AIP Conference Proceedings, 2040. P. 150013. DOI: 10.1063/1.5079216.

21. Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. Stabilization of the program motion of control object with elastically connected elements (2018) AIP Conference Proceedings, 2040. P. 150014. DOI: 10.1063/1.5079217.

Systems with transistor keys

G. G. Ivanov, G. V. Alferov, V. S. Korolev

St. Petersburg State University; 35, University Avenue, St. Petersburg, Peterhof, 35198504, Russia alferovgv@gmail.com; guennadi.ivanov@gmail.com; vokorol@bk.ru; +7(911)2465787

The article conducts a qualitative study of the behavior of the system when choosing a control and constructs such a control in which self-oscillation occurs in the system. The study of control problems and the stability of solutions of systems of differential equations to describe the processes defined for linear operations makes it possible to identify important properties inherent in all systems of the same class. For a structurally linear system that describes with a sufficient degree of accuracy the behavior of a system with transistor switches, the problem of constructing self-oscillations is considered.

Keywords: systems with variable structure; stabilization relay; auto-oscillation; stability of control processes