Научная статья на тему 'Системы линейных неравенств для максимально негамильтоновых графов'

Системы линейных неравенств для максимально негамильтоновых графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
169
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ролдугин П. В.

Изучаются максимально негамильтоновы графы (МНГ графы), то есть негамильтоно-вы графы, в которые нельзя добавить новое ребро без нарушения его негамильтоновости. Показано, что изучение МНГ графов можно свести к изучению так называемых упрощенных МНГ графов. Получены ограничения на структуру максимальных клик упрощенных МНГ графов, оценены порядки и число таких графов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

LINEAR UNEQUALITY SISTEMS FOR MAXIMUM NON-HAMILTONIAN GRAPHS

In this paper maximum non-Hamiltonian graphs (MNH graphs), i.e. non-Hamiltonian graphs, with condition: it is impossible to add a new edge without creation of Hamiltonian cycle, are studied. It is shown, that research of MNH graphs may be reduced to research so called simli-fied MNH graphs. Limitations of maximum cliques structure are deduced, order and numbers of such graphs are estimated.

Текст научной работы на тему «Системы линейных неравенств для максимально негамильтоновых графов»

1, если х, +х2 -1,5 < 1,5 ;

О, если 1,5 < х, + х2 -1,5 < 0;

х, + х, -1,5 > 1,5(х0 -1), х, + х, -1,5 < 1,5 • х0;

-1,5 < х[ + х2 -1,5 - 1,5х0 < 0.

Окончательно

О < + х2 - 1,5х0 < 1.

Этот результат легко обобщается на общий случай

х0 = х1 л х2 л... л хп.

Условия вида (11) имеют в этом случае вид

0 < х, + хг +... + х - (п - 0,5)х0 < и -1.

Завершая главу, заметим, что все рассуждения, связанные с погружением множества решений системы булевых уравнений в полиэдр, могут быть распространены на случай, когда используются не все строки таблиц истинности. Тогда помимо решений системы булевых уравнений построенный по вышеизложенной схеме полиэдр будет, вообще говоря, содержать и другие (ОД)-векторы.

Разумеется, задача определения (0,1)-точек полиэдра является весьма сложной. Однако в том случае, когда полиэдр является целочисленным многогранником, очевидно, возможно свести эту задачу к определению вершин этого многогранника на основе использования симплекс-метода. Оценки сложности такого подхода содержатся в работе [5].

Таким образом, при изучении чисто дискретных структур используются методы

классического анализа и его приложений, что облегчает изучение предмета и дает лектору возможность не только изложить необходимый материал, но и познакомить слушателей с вопросами прикладного характера.

Литература

1. Кохно А.П., Романенко Н.Д. Использование элементов дискретной математики в математическом образовании студентов экономических вузов // Тезисы докладов международной конференции «Проблемы теории и методики преподавания математики, физики и информатики». -Минск, 1998.-С. 17-18.

2. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. - М.: Аякс, 1999.

3. Мордкович А.Г. Алгебра. 9-й кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемо-зина, 1999.

4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. - М.: Наука. 1969.

5. Рыбников К.К. Методы решения систем булевых уравнений, основанные на погружении множества решений в выпуклый многогранник // Науч. тр. / Моск. гос. ун-т. леса. - 1995. - Вып. 269. - С. 88-91.

6. Головкин Б. А. О некоторых линейных

ограничениях с булевыми переменными // Экономика и математические методы. - 1971. -Т. VII, Вып. 4.-С. 43-48.

7. Рыбников К.К. Элементы численного дискретного анализа в подготовке преподавателей математики. Связь непрерывного и дискретного //Материалы Всероссийской научной конференции "Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика. Ч. II. - Саранск: МГПИ, 2002. - С. 132— 135.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ МАКСИМАЛЬНО НЕГАМИЛЬТОНОВЫХ ГРАФОВ

П.В. РОЛДУГИН, сотрудник объединения «ТВП», Москва

В этой работе мы рассматриваем только непомеченные конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер. Термины, относящиеся к теории графов, можно найти в [1]. Напомним, что гамильтоновым графом называется граф, в котором существует простой цикл, проходящий по всем верши-

нам графа, - гамильтонов цикл. Графы, в которых такой цикл отсутствует, называются негамильтоновыми. Представление о непосредственных применениях гамильтоновых цепей дает следующая ситуация: имеется станок и п заданий, каждое из которых она способна выполнить после соответствующей на-

стройки. При этом необходимо затратить Ц единиц времени для того, чтобы после выполнения /-го задания выполнить ;-е. В предположении, что ц = Г;,, требуется найти последовательность выполнения заданий, при которой время каждой переналадки не превосходит величины Г. Если построить граф С, у которого множество вершин есть {1, 2, ..., п} и множество ребер есть {(/, у): Ц < ?}> то наша задача сведется к отысканию гамильтоновой цепи в этом графе.

Рассмотрим такую производственную схему, в которой начальное и конечное задания могут изменяться в зависимости от ситуации. То есть любые две несмежные вершины в С должны соединяться гамильтоновой цепью. Этим свойством обладают максимально негамильтоновы графы.

Определение. Граф С будем называть максимально негамильтоновым графом (сокращенно МНГ графом), если выполнены два условия:

1) граф С негамильтонов;

2) при добавлении хотя бы одного ребра, инцидентного любой паре несмежных вершин, граф С становится гамильтоновым.

Результаты, относящиеся к таким графам, можно найти, например, в [2], [3] и [4].

В утверждении 1 настоящей работы показано, что изучение МНГ графов можно свести к изучению так называемых упрощенных МНГ графов. В упрощенном графе каждая максимальная клика содержит не более одной собственной вершины, то есть вершины, принадлежащей этой максимальной клике и не лежащей в других максимальных кликах.

Пусть Ки К - такая совокупность максимальных клик графа С, что каждое ребро графа принадлежит одной из этих клик (также в этом случае будем говорить, что объединение указанных клик дает весь граф). Обозначим Л = {1, 2, ..., г}. Пусть /-подмножество /?. Обозначим щ - количество вершин, лежащих в каждой из максимальных клик К\ для /е/ и не принадлежащих максимальным кликам с номерами из К \ I. Доказывается (утверждение 3), что набор щ,

задаваемый упрощенным МНГ графом с г максимальными кликами, обязан являться решением некоторой системы линейных неравенств (МНГ-системы), задаваемой

значением г.

Кроме того, получены верхние оценки порядков и числа (утверждение 4 и следствие к нему) упрощенных МНГ графов, которые могут быть представлены в виде объединения г своих максимальных клик; в частности, получаем, что число таких графов конечно.

1. Упрощенные МНГ графы

Собственной вершиной максимальной клики К графа й назовем вершину, принадлежащую клике К и не принадлежащую другим максимальным кликам графа С.

Утверждение 1. Пусть К - максимальная клика графа С, имеющая собственную вершину. Добавим в граф й вершину а и ребра, соединяющие вершину а и каждую из вершин клики К. Полученный такой процедурой граф Н является МНГ графом тогда и только тогда, когда С - МНГ граф.

Введем определение: граф, в котором каждая максимальная клика содержит не более одной собственной вершины, назовем упрощенным графом. Из утверждения 1 следует, что любой МНГ граф может быть получен последовательным добавлением собственных вершин в максимальные клики некоторого упрощенного МНГ графа. То есть множество всех МНГ графов разбивается на непересекающиеся семейства, каждое из которых задается упрощенным МНГ графом. Переход от изучения всех МНГ графов к изучению упрощенных МНГ графов имеет принципиальное значение: например, далее показано, что количество упрощенных МНГ графов с фиксированным числом максимальных клик конечно и получена оценка их числа.

2. Построение МНГ-системы

Пусть К\, ..., Кг- совокупность таких максимальных клик графа С, что каждое ребро графа принадлежит одной из этих

клик. В частности, в качестве К\, ..., Кг можно взять совокупность всех максимальных клик графа С. Обозначим К = {1, 2, ..., г}. Пусть I - подмножество /?. Определим подмножество М/ множества вершин графа С следующим образом:

/ \ Г \

м I -

/€/

Очевидно, что множества М/ и М./ не пересекаются при различных / и У,

исчерпывает все множество вершин графа б и М0 = 0. Далее нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть I - произвольное подмножество в И. Тогда любая вершина а из множества М\ смежна со всеми вершинами максимальных клик К, , /е/, отличными от а, и только с ними.

Обозначим п/ = |М/|, где I - произвольное подмножество в Я. Для МНГ графов множества М/, / с /? содержат относительно небольшое число элементов, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть С - МНГ граф. Тогда, если /1 £ 1г 1\ с Я - цепочка вложенных различных подмножеств /?, причем |Д| 2, то

/=1

Доказательство

/

Пусть \_jMj. = {а,,...,а, } и /,

/=1

Поскольку множества М/ и М/ каются при 1Ф], то

= I,}-

не Пересе-

1=1

/=]

= г и, следовательно,

1) ни одна из вершин Ар и А9 не лежит во множестве {аь аг}, поскольку по предыдущей лемме каждая из а, смежна со всеми вершинами клик Кр и Кч\

2) в й вершины Ьр и Ад соединены гамильтоновой цепью - простой цепью, проходящей по всем остальным вершинам графа, поскольку О - МНГ граф.

Гамильтонова цепь из Ая в А9 не содержит отрезков а, то есть не может иметь вид Л \ а. а; ^ , поскольку иначе в графе в

найдется гамильтонов цикл А /, а, А 1 ,

что противоречит негамильтоновости графа С.

Таким образом, гамильтонова цепь, соединяющая Ар и Ад, обязана иметь вид

Ар а>( /2 7. ...7 а] 7+1 А?, причем цепи Г, ,

/ = 2, г содержат хотя бы по одной вершине. Без ограничения общности считаем, что _//=/,/= 1, г. Тогда гамильтонова цепь из Ар в /гд примет вид 1гр а, г2 а2 ?3... аг /г+1 Аг/.

Обозначим для г =2, г через последнюю вершину в цепи г, . Кроме того, обозначим £>! - последнюю вершину в цепи г, , если эта цепь не пуста, и Ъ\ совпадает с Ар, если цепь г, пуста.

В этих обозначениях гамильтонова цепь выглядит следующим образом: крТ\Ьх а{Т2Ь2 а2Ц ...Тг Ьг аг Тг+Х А?,причем цепи

г , г =1, г+1 могут быть пустыми.

По лемме 1 получаем: {Ьи—, Ьг} с Кк и...и К . Предположим, что найдется такое г е 1, г, что £>, принадлежит клике Тогда в О существует гамильтонов цикл

для доказательства теоремы достаточно показать, что г < 5. Во множестве 1\ найдется пара различных номеров р ид, поскольку по условию теоремы | /]| > 2. Пусть далее Ар - вершина из максимальной клики Кр и А, - вершина из максимальной клики Кф причем Ар несмежна с Ад (такие вершины найдутся, поскольку клика Кр не совпадает с кликой Кч). Из не-смежности вершин Ар и Ад следуют два вывода:

К *I ь, а, '2 - Ь Ь, \ 1~+1 аг Ьг г; ... а,.,

что противоречит негамильтоновости графа О. Следовательно, никакая из вершин Ьи Ьг не лежит в клике Кц.

Теперь предположим, что г>$. Тогда, поскольку все вершины Ь],..., Ьг лежат в кликах АТ. АТ и никакая из этих вершин

не лежит в клике Кф которая является одной из клик Кн,..., Кч, то найдется пара вершин

£>,• и Ьр лежащая в одной клике. Следовательно, и Ь} соединены ребром в графе С. Кроме ТОГО, а;6 М/ И Му, ГД6 7, /€ {/ь..., /(}. Поскольку /1 С /2 с...с /,, то либо 7 с/, либо /с 7. Также выполняется одно из двух неравенств: г <7 или7 < г.

Проведем доказательство для случая, когда г </' и 7 с 7; в остальных случаях доказательство проводится аналогично. По лемме 1 получаем, что если некоторая вершина с, отличная от смежна с то она смежна и с вершиной я,. Следовательно, и первая вершина в цепи , и первая вершина в цепи г;+| смежны с а,. Но тогда возможно указать гамильтонов цикл в графе й:

/г^|анЬ.1А1гI...

.. ... ?«1/1, я^ 1

что противоречит определению МНГ графа. Таким образом, неравенство г > 5 приводит к противоречию.

Теорема 1 доказана.

Приведем в виде следствия один частный случай.

Следствие. Если О - МНГ граф, то для любого 7 с Я, такого, что |7| > 2, выполнено неравенство щ < |7| - 1.

Согласно доказанной теореме для МНГ графа значения щ ограничены сверху при |7| >2. Очевидно также, что щ = 0. Но остается вопрос об ограничении сверху величины П,„ =|А/,„|, » =1,г . Легко видеть, что во

множество M{i)=Ki\[JKj входят только

собственные вершины максимальной клики Кь то есть те вершины, которые принадлежат клике К[ и не принадлежат другим максимальным кликам из набора Кг. В

предыдущем параграфе показано, что изучение МНГ графов можно свести к изучению упрощенных МНГ графов. Но для упрощенных графов по определению все пщ< 1, г =

1 ,г. Таким образом, набор щ, 1 с 7?, 1ф0, задаваемый упрощенным МНГ графом, обязан удовлетворять системе линейных неравенств (СЛН), состоящей из трех подсистем: {я, >0,/с7*0; (1)

...^Дстг, \1\>2, *€ 1,г — 1; (2)

{*т<1, /е1,г. (3)

Множеством неизвестных этой системы являются {х/ : I с 7?, 7 Ф 0}. Упростим указанную систему неравенств, перейдя к эквивалентной.

Утверждение 2. Если в СЛН, задаваемой неравенствами (1) и (2), из неравенств (2) оставить только неравенства

1-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

...^7, С 7?, |/.| = г +1,

г = 1, ?, ? £ 1, г -1 (4)

то получим СЛН, эквивалентную исходной.

Таким образом, СЛН, составленная из неравенств( 1), (2), (3), эквивалентна своей подсистеме, состоящей из неравенств (1), (4), (3). Далее эту подсистему станем называть МНГ-системой. Из вышесказанного следует утверждение.

Утверждение 3. Пусть граф С - упрощенный МНГ граф с г максимальными кликами, объединение которых дает граф (7. Набор п\, 7 с /?, 7 Ф 0, задаваемый графом й, является целочисленным решением МНГ-системы, однозначно определяемой значением натурального г > 1.

3. Оценка порядков и числа упрощенных

МНГ графов

Пусть О - упрощенный МНГ граф с г максимальными кликами, объединение которых дает граф й. Напомним, что порядок

графа С равен £ п/ • Рассмотрим линей-

/Е«, 1*0

ную функцию от переменных хи 1 с 7?, 7 Ф 0: £ */

/£Я,/*0

Пусть максимум этой линейной функции, ограниченной на множестве всех решений МНГ-системы, равен С (г). Тогда порядок графа С не превышает С (г). Обо-

значим через Р (г) максимум порядков упрощенных МНГ графов, имеющих ровно г максимальных клик. Ясно, что при любом натуральном г> 1, Р(г) < С(У).

Далее вычислим точное значение величины С(г).

Утверждение 4. Для любого натурального г > 1 верно равенство

г-3

С (г) = 2гЧ +

Доказательство. При фиксированном г множество неизвестных МНГ-системы - это множество {х/.- / С /?, I Ф 0 }. Количество неизвестных равно (2Г - 1). Отметим, что неизвестные, участвующие в неравенствах (2), и неизвестные, участвующие в неравенствах (3}, образуют непересекающиеся множества. Поэтому МНГ-систему можно разделить на две независимые СЛН:

> 0, г е 1, г

х(1( <1, г'е \,г ; (5)

х, > 0, / С К, 1/1 > 2

л

2Х ij+l]<k-[, Dk,ke 2,г.(6)

и

г

Пусть линейная функция

/=1

имеет максимум С\{г) на множестве всех решений СЛН (5); линейная функция

УУ/ имеет максимум С2(г) на множестве

/£Л.|/1>2

решений системы (6). Легко видеть, что С(г) = С[(г) +С2(г). Кроме того, очевидно,

ЧТО С^г) = г.

Остается доказать, что

С2(г) = 2гЧ +

г-3

Обозначим А = {/ с /?: |/| > 2}. Пусть

у = {у/, I Е А} - произвольное целочисленное решение системы (6). Докажем, что тогда существует решение >>(1) = I е А},

г

такое, что при всех / є А: 2< /|<

1

У,

(1) - о, при / е А:

+ 2 < 1/1 < г, У? = У,

и, кроме того, целевая функция для решения

У

(і)

не меньше, чем для у: ^У/ .

ІЄА

ІЄА

Пусть само решение у не годится в качестве у (1) - это означает, что существует /о, г

2 <і0<

-1, которое равно минимально-

му номеру из таких номеров г, что max {у і : |/| = г} > 0. Далее обозначим шах {уі: |/| = г0} = уо > 0;

X ={іе А:\і\ = і0,у, = ;у0};

Y = {j є А:|/| = г0 +1, З/є X, такое, что I с j}. Положим:

у, -1, если І є X:

у'і = У/ +1> если Iе Y'

у,, если IeA\(XuY). Очевидно, что у = {у': І є А} - новое

решение (6). По принципу Дирихле |^|-|^|, поэтому целевая функция для нового решения не уменьшится: . Теперь,

ІєА ІєА

если решение у не годится в качестве j?(l), то применим к у те же самые рассуждения и получим решение у . За конечное число таких шагов, не уменьшая целевой функции, получим искомое решение

Совершенно аналогично от решения у(1) можно перейти к решению у(2), в котором при

всех/е А: 2<|/|<

г 2

-1 yf] =0, при /єА:

+ 1<|/|<г у, = 1, и целевая функция для

решения у(2) не меньше, чем для у (1>. Д ля этого г

рассматривается го:

+1 < г' < г

о

(1)

максималь-

ный номер такой, что шах {у/ ’: |/| =.г0} = }’о > 1, X ={/е А:|/| = г0, у, = ;у0} и

У = {/е А:|/| = г0-1,Э/е X, такое, что I'Э Наконец от решения у (2) можно пе-

реити к решению у

у<’> =

+ 1<|/|<г.

Мы исходили из произвольного решения у и, поскольку на всех изложенных этапах целевая функция не уменьшалась, то для решения у 1 ’ целевая сумма самая большая, то есть ^2 (г). Остается

тить, что

5Х’=2'-' +

ІЄА

г-3

заме-

/єА

Ґ г

Утверждение 4 доказано.

Более простой вид по сравнению с точным значением имеет асимптотическое соотношение для С(г). При г—>ос по формуле Стирлинга имеем

C(r) = 2r -\1~' (1 + о(1))

Полученные результаты позволяют нам оценить сверху число D(r) упрощенных МНГ графов, которые могут быть представлены в виде объединения г своих максимальных клик.

Следствие. Для любого натурального г > 1 верно неравенство

D{r)<

ґС(г) + С(г)

(7)

в частности, при г—*оо

l0g2(D(r))<C(r)-(l + 0(l)).

В заключение отметим, что для любого натурального г > 1 существует упрощенный МНГ граф, представляемый в виде объединения г своих максимальных клик, и не представляемый в виде объединения меньшего, чем г, числа максимальных клик. Этот граф можно задать через значения «/, / С R, R - {l,...,r}: nR - г - 1; п/ = 0 при

2 < |/|< г - 1; пщ = 1 для всех ie 1, г.

Литература

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. -М.:Наука, 1990.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Харари Ф. Теория графов: Монография, -М.:Мир, 1973.-С. 86-87.

3. Bondy J.A. Variations on the Hamiltonian theme. Canad. Math. Bull. 14 (1972), № 1, 57-62.

4. Ролдугин П.В. Максимально негамильтоновые графы. В сб.: Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. - М.: ТВП, 2002. - С. 238-239.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ И ПРИМЕНЕНИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ

В.Б. НЕТЫКШО, сотрудник организации «ТВП», Москва

В статье рассматривается метод восстановления неизвестной пороговой функции, а также изучается геометрический подход к оценке апостериорных вероятностей значений входных переменных и весов произвольных пороговых и одного более общего класса булевых функций.

Возможность задания пороговых функций и порождаемых ими систем уравнений [4] с помощью линейных неравенств позволяет привлечь для анализа и решения

таких систем математический аппарат действительных линейных соотношений. Значительное число работ, посвященных данной проблематике, направлено на использование этого аппарата в строго детерминированных целях, например, для проверки совместности и поиска решений систем уравнений, разработки алгоритмов настройки нейросетей [3], описываемых с помощью линейных неравенств и т. д. Вместе с тем, аддитивный характер вхождения перемен-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.