CC BY
34
УДК 629.197
СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
© 2004 г. А.П. Минин
In present article in most common optimization a kind is given the decision of a complex problem of the control and correction of results nonlinear estimation in real computing environments with the account of casual and methodical mistakes, and also errors brought by the modeling environment.
При решении задач, связанных с расчетом целеуказаний измерительным средствам, оцениванием и фильтрацией параметров траекторий движения объектов, прогнозированием и коррекцией их движения и др., возникает проблема интегрирования соответствующих систем стохастических дифференциальных уравнений в реальном времени с использованием той или иной моделирующей среды (МС) [1—3]. Под МС будем понимать вычислительный комплекс, используемый для получения результирующих оценок вектора состояния на базе известных численно-аналитических методов.
Практика построения и функционирования систем обработки измерительных данных показала, что качество результирующих оценок вектора состояния определяется: во-первых, «генетическими» свойствами решаемой задачи оценивания (формализуемостью, жесткостью, степенью наблюдаемости и идентифицируемости, устойчивостью и др.), во-вторых, вычислительной средой и ее системными свойствами [3-8].
Известно, что ошибки приближенных (численных) методов решения задач оценивания могут быть уменьшены за счет соответствующего выбора параметров этих методов (например, уменьшением шага интегрирования в известных численных методах решения систем дифференциальных уравнений). Однако на практике (вследствие высокой размерности, нелинейности и вычислительной сложности современных задач оценивания состояния) накладываются жесткие ограничения на диапазоны возможных значений указанных параметров, поскольку ресурсы используемых МС ограничены. Кроме того, погрешности, вносимые МС (например, погрешности округления и накопление последних в процессе итерационных процедур), сложным образом зависящие от класса решаемых задач, применяемого приближенного метода, характеристик МС и диапазона возможных исходных данных, могут существенно повлиять на точность результирующих оценок вектора состояния. Таким образом, вывод о том, что, варьируя значениями параметров применяемых численных методов, можно достигнуть требуемой точности оценивания, в общем случае является ошибочным. Корректные выводы в отношении точности результирующих оценок можно сделать лишь в том случае, когда ма-
тематическая модель, приближенный метод ее исследования, а также МС взаимно согласованы и рассматриваются в комплексе - в рамках единого системного подхода.
Следует отметить, что проблема, обсуждаемая в данной статье, не является новой. Так, в работе [3] показана возможность контроля результатов моделирования уравнений движения объектов с использованием некоторых инвариантов типа интеграла энергии и др. В статьях [7, 8] с использованием первых интегралов модели движения объекта получены некоторые частные результаты, позволяющие осуществить контроль и коррекцию систематических ошибок заданного класса, возникающих на различных этапах получения результирующих оценок вектора состояния.
В настоящей работе в наиболее общем оптимизационном виде дается решение комплексной проблемы контроля и коррекции результатов нелинейного оценивания в реальных вычислительных средах с учетом неизбежно возникающих при этом случайных и методических ошибок, а также погрешностей, вносимых МС. Используя полученные результирующие оценки вектора состояния в качестве входных данных, разработанный в настоящей статье подход позволяет осуществить процедуру окончательной «очистки» результирующих оценок с учетом погрешностей, внесенных МС, на базе математического аппарата инвариантов и ¡¡-инвариантов.
Применение разработанного подхода позволяет полностью или частично (в зависимости от объема априорной информации) скомпенсировать ошибки, возникающие в процессе получения результирующих оценок вектора состояния на базе тех или иных вычислительных сред.
Проблема контроля и коррекции результатов оценивания
Пусть расширенный вектор состояния объекта размерности п = п0 + qo задан в виде X = |х7, уг\г. где х = х([) е Л"0 - вектор существенных параметров,
а у = у({)еК% - вектор несущественных параметров. Для вектора х, характеризующего параметры движения объекта, считаем известной математическую модель вида
■^■ = /(/,х,м,^),/б[/0,7’], (1.1)
т
где / (•) - известная вектор-функция, обеспечивающая выполнение условий существования и единственности решения уравнения (1.1); м=м(/)бЛ”!° -
вектор известных воздействий на объект; у =!//(;) е - вектор неизвестных воздействий на объект (как случайных, так и неслучайных).
Уравнение наблюдения объекта в общем случае
= g(t,x,d,<p),¿; =%(() еЛ”1
(1.2)
где g(^) - известная вектор-функция; d = с1([) е И"1' - вектор известных воздействий, характеризующих перестройку (адаптацию) канала наблюдения; ср = <£>(/)е Икг - вектор неизвестных воздействий (в том числе и случайных помех) на канал наблюдения.
Л Л
Как правило, для нахождения оптимальной оценки Х = Х(/) вектора Х = Х(1) используется критерий Байеса, предполагающий нахождение АПВ 1¥(Ь X) вектора состояния X. Данная АПВ, в общем случае, удовлетворяет некоторому эволюционному уравнению (например, уравнению Стратонови-ча - для случая нелинейной фильтрации диффузионных марковских процессов [5]):
¡ЕМ1 = Ь {г(,х)!.(е[(о,г],
(1.3)
где Ь{-} - известный эволюционный оператор.
Поскольку решение уравнения (1.3) с соответствующими начальными и граничными условиями в реальном времени не представляется возможным, на практике, как правило, ограничиваются решением некоторой усеченной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с!Х
л
Л
а к л
■р.
1,Х ,£,,¥,К
1,Х,4,¥,К
X =
Л Л
т т X ,у
(1.4)
где 1 =1(/)бй” = Д"»+9» и К = к({:)е 11ПУ'П - оценки вектора состояния
объекта и ее корреляционной матрицы; V = г(/)бй"1+"1 - вектор известных воздействий.
Переход от (1.3) к (1.4) эквивалентен замене истинной АПВ X) некоторой приближенной АПВ IV((,х), характеризующейся конечным числом параметров, что порождает методическую ошибку при определении оценки вектора состояния объекта.
Как указывалось выше, решение системы дифференциальных уравнений типа (1.4) в соответствующей ВС с использованием одного из известных чис-
* *
ленных методов приводит к тому, что вместо истинного значения X = х(/)
вектора существенных параметров х = x(t) имеется некоторая смещенная ре-л л г\
зультирующая оценка хр = хдля которой справедливо представление
X Р = х+ s = х+ (?АПВ ® (S ИД ® (S4M ® S ВС )))’ (1-^)
где Saub = Бапв^)- ошибка за счет перехода от W(t, X) к w(t,X); Sm = = 8цд(1) - ошибка за счет неточных входных данных, используемых при моделировании системы (1.4); S,ril = S,r:j(t) - ошибка за счет применения приближенного численного метода интегрирования системы (1.4); SBC = = SBC(t) - ошибка за счет ограниченных технических возможностей используемой ВС; 0 - закон композиции ошибок, который в общем случае неизвестен.
В силу нелинейного характера и вычислительной сложности задачи оценивания (1.1) - (1.5) ошибка s = s(t) в реальных расчетах может принимать недопустимо большие значения и обесценивать информацию, извлекаемую из наблюдения £ = c(t). Следовательно, правомерно поставить вопрос о возмож-
А
НОСТИ контроля И коррекции результирующей оценки Хр с целью компенса-ции ошибок, фигурирующих в (1.5). Очевидно, что в основу такого подхода могут быть положены достаточно достоверные сведения о характере движения объекта, которые заложены в модели (1.1). Так, знание точного решения
А
x(t) системы (1.1) позволило бы находить оценку s результирующей ошибки s в оптимальной постановке
| Хо
А
где хо - оценка начального условия х0; ||-||- некоторая норма (например, среднеквадратическая).
Поскольку нахождение общего решения системы (1.1) в реальных случаях невозможно, а при построении ее частных решений возникают ошибки, аналогичные приведенным в (1.5), применение подхода (1.6) для контроля и коррекции результатов оценивания на практике весьма ограничено.
Эффективность применения того или иного метода контроля и коррекции целесообразно характеризовать выполнением критерия
* л
х — X р < X р — X
где х = х^(/) - результирующая оценка вектора х = х(1). полученная путем
А А / \
коррекции выходных данных хр = хР{1). 1е\111, 7].
,(t)~ s(t)
(1.6)
Поскольку точное решение х(1) нам неизвестно, возникает неопределенность не только в разработке методов контроля и коррекции результатов нелинейного оценивания, но и в проверке их эффективности на базе критерия (1.7).
В настоящей работе развит подход, позволяющий преодолеть указанные противоречия, а также во многих практически важных случаях получить эффективное решение проблемы контроля и коррекции результирующих оценок с учетом ее комплексной постановки.
Инварианты задачи оценивания
Будем полагать, что по отношению к модели (1.1) известен либо вектор инвариантов И(1, х, и, с), либо вектор ¡¡-инвариантов И„(1, х, и, се), где с и се-векторные константы соответствующей размерности. Для И(1, х, и, с) на истинных решениях модели (1.1) найдется такая константа сеЛс/?, что будет выполняться свойство инвариантности
x(t), u(t\с j = О \/t є [t0j]- (2-1)
Соответственно для х, и, сЕ) найдутся такие константы с.. е А. с с RPe , что будет выполняться свойство 6-инвариантности
Q.s |/, x(t\u(t\ cs j = Д cs (t), |Д cs (/)) < e Vte[t0,T], (2.2)
где e - заданный вектор положительных чисел.
В формулах (2.1) и (2.2) Л и Ле- некоторые ограниченные выпуклые области.
В частном случае, когда il(t, х, и, с) = со(/, х, и) — с, под со(/, х, и) понимается усеченный вектор первых интегралов модели (1.1), который связывается некоторым функциональным преобразованием J{ •} с общим вектором первых интегралов той же модели со(/, х, и) = х, и, ц/)}, при этом со(/, х, и, ц/) яв-
ляется решением следующего уравнения в частных производных [6]
M£iÎ^ + /(,>w)M£iÎiELo. (2.3)
ôt дх
В
формуле (2.3) д/дх = [d/dxtJ = l,n0f .
Следует помнить, что если размерность вектора со(/, х, и, ці) равна пи. то размерность со(/, х, и), как правило, меньше щ. Возможность нахождения вектора со(/, х, и) с учетом тех или иных предположений показана в работах [6-8].
Очевидно, что для реальных задач нелинейного оценивания размерность вектора £ КI, х, и, с) может оказаться очень низкой или же такой вектор может вообще не существовать. В таких ситуациях гораздо более широкие возможности открываются с использованием ¡¡-инвариантов ii(t, х, и, се). Нахождение таких инвариантов может осуществляться либо в рамках инвариантногруппового подхода [7], либо с использованием известных высокоточных методов построения приближенных аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений [8]. Зная такие решения, зачастую удается сконструировать такие равенства, в правой части которых стоят выражения, не превышающие для всех te [/о, Т\ некоторого 6.
Другой путь к построению e-инвариантов состоит в анализе условий движения объекта (1.1) с учетом имеющейся априорной статистической информации. Так, зачастую, движение объекта на заданных интервалах наблюдения можно считать практически прямолинейным или плоскостным, равномерным или равноускоренным и т. д. Любое из таких ограничений порождает некоторое многообразие в пространстве Rn°, которому соответствует е-инвариант iljt, х, и, се) той или иной размерности. При этом наличие возмущающего воздействия ц/ = i//(t) не приводит к нарушению условия (2.2) на всем интервале наблюдения.
Очевидно, что при формировании ¡¡-инвариантов особую роль имеет выбор системы координат, в которой осуществляется наблюдение за объектом, длительность интервала наблюдения, диапазон изменения всех параметров задачи, в том числе и исходных данных.
Введенные выше инварианты il(t, х, и, с) и ¡¡-инварианты il (t, х, и, сЕ) будут использованы далее для разработки подхода к контролю и коррекции результатов нелинейного оценивания вектора состояния объекта.
Критерии контроля и коррекции
Если предположить, что известны инварианты il(t, х, и, с) и е-инвари-анты iljt, х, и, се) модели (1.1), то контроль результатов оценивания должен базироваться на проверке выполнения условий
' л \
Q t,Xp(t),u(t),C *0 VceAcRp, (3.1)
\ /
( л ^
t,Xp(t\u(t\cE >è \/с£ eAs œRPs , (3.2)
V
сигнализирующих о том, что результирующая оценка xp(t) содержит недопустимо большую ошибку s = s(t), и, следовательно, требуется ее коррекция.
27
В формуле (3.2) константа е > О (е ей1) однозначно связана с векторной константой 6 и определяется выбором нормы ||-||.
Ранее указывалось, что использование критерия коррекции (1.7) затруднено, поскольку точное решение системы (1.1), как правило, неизвестно. Покажем, каким образом можно преодолеть данное противоречие, используя инварианты. Предположим, что с использованием того или иного метода коррекции (суть данных методов будет изложена далее) получены результирую-
*
щие скорректированные оценки х (/). Тогда применительно к (}(/, х, и, с)
критерии коррекции выглядит так:
О. /,х (/),и(/),с
если значение векторной константы с априорно известно;
(3.3)
(3.4)
если значение векторной константы с априорно неизвестно и, следовательно,
А
требуется нахождение ее оптимальной оценки с.
Применительно к х, и, се), имеем следующий критерий коррекции:
/,х (/),и(/),с£
если значение векторной константы се априорно известно;
(3.5)
(3.6)
если значение константы сЕ априорно неизвестно.
Следует отметить, что использование критерия (3.6) дает гарантированное улучшение результатов оценивания при выполнении условия
I •** /\
¡,х (/),и(/),с£
I /\ /\
(,хр((),и((),са
А А
Се-С£ < Хр-Х
Из (3.3) - (3.6) видно, что данные критерии напрямую не зависят от точно-
*
го решения х(/) системы (1.1) и, следовательно, более предпочтительны в реальных задачах нелинейного оценивания.
Ниже с учетом (3.1) - (3.6) будут рассмотрены методы коррекции результирующих оценок параметров движения на базе инвариантов и 6-инвариантов.
Методы контроля и коррекции
Рассмотрим сначала возможность коррекции на базе инварианта И(1, х, и, с), полагая для простоты, что размерность данного вектора совпадает с раз-
* Л
мерностью вектора х(1). Подставляя выражение х([) = х/;(<)-\(<) в И(1, х, и, с), получим
\?оЛ (41)
т.е. имеем некоторое уравнение, в общем случае нелинейное, для определения искомой ошибки
= \77е[/0,7’]. (4.2)
В том случае, когда существует обратная функция О '(•)• ошибка \(;) находится в аналитическом виде:
s(t) = Q l\t,xp(t\u(t),с
(4.3)
где значение с может быть априорно известным или неизвестным. Если значение с известно, то
* /\ /\ і /\ і х (t)=Xp(f)-s(f) = Xp(t)-Q~l\t,xp(t\u(t\c =х(/). (4.4)
(4.5)
В противном случае, когда значение с неизвестно, имеем
* Л Л Л ( Л л
xp(t)= xp(t)~ s(t) = xp(t)-Q~l\ t,xp(t),u(t),c
где с - оптимальная оценка вектора с, соответствующая решению следующей оптимизационной задачи:
in V| (с) = min
t, xp(t)-Q 1 t, xp (t), u(t\ с
2
(4.6)
Для решения данной задачи используется некоторый сходящийся рекуррентный алгоритм, для «запуска» которого необходимо задаться начальным
Л Л
условием с( о). Если ( К t, х, и, с) = co(i, х, и) - с, то в качестве с( о) можно, например, принять величину с(о) = ® t0,Xp(t0),u(t0) . В ряде случаев величина
с( о) выбирается, исходя из физических соображений, вытекающих из специфики той или иной задачи оценивания параметров движения объекта.
В том случае, когда не предполагается существование обратной функции Q ч(-), метод коррекции на базе инварианта Dit, х, и, с) имеет следующий вид:
xp(t) = xp(t)-s(t), (4.7)
где s(t) - оптимальная оценка результирующей ошибки s(t). являющаяся решением оптимизационной задачи
Л Л
s(t), с > min V2 (s, с) = min
I /\ /\ /\
Q t, хp(t)~ s(t\u(t\c
(4.8)
Соответствующий рекуррентный алгоритм решения данной задачи требу-
Л Л Л
ет задания начальных условий ^(о)(^) и с{о), при этом в качестве *у(о)(^) можно принять
Применительно к 6-инварианту Д х, и, се) возможны две принципиально различные ситуации: когда обратная функция О..1 (•) существует и когда наличие таковой не предполагается. В первом случае, когда значение се априорно известно, алгоритм коррекции можно представить в виде
Х pS(t)= Xp(t)~ Sz(t)= Xp(t)-Qs' I t,Xp(t\u(t\cs \ Если же значение се неизвестно, то
Х ре (t)=xp(t)-Ss (t) = ХР (t) -Q^l\t,Xp if), U if), Ct
cs mm V3(ce)=mm
К} К s
П,
t,Xp(t)-Q£l\t,xp(t),u(t),c6
(4.9)
(4.10)
(4.11)
В том случае, когда существование обратной функции Qs 1 (•) не предпола-гается, алгоритм коррекции следующий:
хр£(1)=хр(1)-^(1)> (4-12)
где sE(t) - оценка ошибки s(t). соответствующая решению следующей оптимизационной задачи
М
Q J t,xp(t)~ s(t),u(t),ca
когда значение ce известно;
-> min V5
„) = min
is,Cr)
oj t,xp(t)-s(t),u(t\c6
(4.13)
(4.14)
когда значение cE неизвестно.
Соотношения (4.1) - (4.14) составляют математическую основу различных методов контроля и коррекции результирующих оценок параметров движения объектов на базе инвариантов. Выбор того или иного метода в каждом конкретном случае определяется объемом известной априорной информации об инвариантах и ¡¡-инвариантах модели (1.1).
Контроль и коррекция с использованием минимума квадратичной формы
Решение задачи контроля и коррекции на базе инвариантов и ¡¡-инвариантов существенно упрощается, когда ошибка s = s(t) допускает представление
s=AG, (5.1)
где А - матрица неизвестных коэффициентов, подлежащих определению; G = G(t) - вектор линейно-независимых функций.
Применение модели (5.1) позволяет в оптимизационных задачах (4.8), (4.11), (4.13) и (4.14) проводить минимизацию соответственно на множествах {А, с}, {се}, {А} и {А, св}.
С учетом этого невязки V будут иметь следующий вид: V2(c,s) = V2(c,A), V3(cE), V|(.v) = V |(. I). V5(s, ce) = V5(A, ce). В дальнейшем для всех типов оптимизационных задач будем пользоваться единым обозначением, где
D = \Pi> J -Vi - вектор неизвестных коэффициентов, подлежащих опреде-
лению. Такое же единое обозначение h
h,
,(t\D
І = 1, Wq
введем для векторов, фигурирующих под знаком нормы ||-|| в соответствующих задачах. С учетом того, что результаты оценивания на базе ВС, как правило,
привязываются к временной сетке {/( , сформируем невязку:
V{D)=H\D)H{D),
(5.2)
где
я(£)=[яг(£), /=1, п0ы] =
,-Л
І = 1, Пп
Искомая оценка Б вектора I) находится из условия минимума квадратичной формы (5.2)
дУ
ГлЛ
Б
\_
дБ
= д
Б
Я
Б
= 0.
(5.3)
Г'Л дН Б г (гЛ / Л
где $- Б V V дНг Б дБ і', і = 1, п0И, У = 1, /
Л
V дБ - V /
Согласно методу Ньютона - Гаусса, уравнение (5.3) может быть решено приближенно на базе следующего рекуррентного алгоритма
Л Л ( Т ^ л л ~\т Гл ^
°{]) = в0-1)+ V ) Яу-1)Я ^0-1) V ) ,]=и0, (5.4)
где £>(у) - оценка для Б на /-м шаге алгоритма (5.4), который «запускается»
Л „ ( Г\ \
начальным
условием Б (о); д^_г) = д
Целесообразность использования окончательной оценки Б(^0) при коррек-
Л
ции результирующей оценки х¡,(1) проверяется из условий (3.3) - (3.6).
Выводы
Предложенный в настоящей работе подход является достаточно универсальным и позволяет с системных позиций подходить к вопросу контроля и коррекции результирующих оценок вектора состояния различных классов объектов.
Дальнейшее совершенствование развитого подхода целесообразно вести в направлении поиска эффективных процедур построения независимых инвариантов и инвариантных многообразий, соответствующих физической сущ-
ности решаемых задач, и разработки на их основе алгоритмов, наиболее удобных в плане практической реализации.
Литература
1. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М., 1978.
2. Булычев Ю.Г., БурлайИ.В. //Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. № 6.
3. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.,
1978.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.
5. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М., 1975.
6. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1962.
7. Булычев Ю.Г., КоротунА.А. //Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. № 9.
8. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. II Автоматика и телемеханика. 1996. № 3.
Научно-производственный испытательный центр
«Арминт», г. Москва 3 июня 2004 г.
