Комплексный подход к решению проблемы комплексирования измерителей параметров движения объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.1

КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ПРОБЛЕМЫ КОМПЛЕКСПРОВАНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА

© 2004 г. А.П. Минин

With reference to conditions of aprioristic uncertainly the variation-selective approach to the

décision of a task of a triangulation for a lot of points goniometric systems is advanced.

Теория и практика обработки информации в угломерных системах (УС), реализующих триангуляционный принцип оценивания координат местоположения объекта, показывают, что реализация классического алгоритма нахождения максимально правдоподобной оценки сводится к решению соответствующей системы нелинейных трансцендентных уравнений, для чего необходим выбор достаточно хорошего начального приближения [1—3]. Так, вариант решения задачи триангуляции, рассмотренный в работе [1], требует привлечения априорной информации в виде приближенных (ориентировочных) значений наклонных дальностей от измерителей УС до объекта, а также знания закона распределения ошибок измерений. Однако для многих реально существующих УС наличие такой достоверной информации является скорее исключением, чем правилом. На практике существует проблема выбора достаточно хорошего начального приближения, обеспечения сходимости и вычислительной простоты соответствующего численного метода решения системы нелинейных уравнений указанного типа, а также введения элементов адаптации с целью снижения уровня априорной неопределенности [2].

В настоящей статье применительно к условиям априорной неопределенности, характеризующейся отсутствием статистической информации об ошибках измерений и незнанием ориентировочных значений наклонных дальностей, развит альтернативный вариационно-селективный подход к решению задачи триангуляции в оптимальной постановке с элементами адаптации, который сводится к решению совокупности систем линейных алгебраических уравнений, что позволяет устранить проблему выбора достаточно хорошего начального приближения.

Постановка задачи

Пусть объект, характеризуемый вектором декартовых координат Р = [x,y,zj , наблюдается УС, состоящей из N измерителей угловых координат, геометрический центр каждого из которых задается вектором

рп =k>>vz«F>« = W-

Уравнение наблюдения полагаем заданным в виде

G = G + V,

где G =

Г - 1 т (а л >

= ап,Рп ,n = \,N

- К У

(1.1)

- вектор, включающий в себя

измерения азимута ап и угла места Д, наблюдаемого объекта; G = = \g¡,i= = \ап, Р„), п = 1, nJ ;

V = \>г,і =1,2n] =[(va„,v/?„

и є 1, N,

), n = l, jV- вектор случайных ошибок измерений, статистические характеристики которого априорно неизвестны. Относительно характера ошибок измерений V умышленно не делается никаких предположений, поскольку в дальнейшем рассматривается случай существенной априорной неопределенности.

Введем в рассмотрение следующую базовую матрицу О sin Рп - cos Рп sin ап

Fn = sinp„ 0 -cosacos а„

cos Рп sin ап - cos Рп cos ап О

а также соответствующие ей усеченные матрицы

Fft е R2x3, i = 1, 2, 3; F["j] e Rlx3, i, j = 1,2,3, i > j, n e TÑ,

где - матрица, получаемая из F” путем вычеркивания /-ой строки; -матрица, получаемая из F" путем вычеркивания /-ой и /-ой строк.

Данные усеченные матрицы сведем в множество F” = {^[Г|>^[2]>^[з]>

F[2i].F|3i]>F|32]>- Используя элементы из F”, сформируем множество F =

= {Fb F2,...,F¡}, состоящее из ряда наборов F, = [f", п = 1,1V } , i = 1,1, где

F" - произвольные матрицы из множества F”. Очевидно, что в предельном

Т rN

случае 1 = 6.

По аналогии с F” рассмотрим множество ||*|| = {||*||ъ |М|2,---,1М1м} норм матриц, которые наиболее широко используются в теории и практике обработки измерительной информации.

В дальнейшем полагаем, что выполняются следующие неравенства:

INL,s4.,|NL

в.

і = 1,1, m = 1 ,М .

(1.2)

'I',

і =1,1, т = 1 ,М .

(1.3)

А А ДГ

где 8ВІ=ВІ-ВІ, Ві = 2

п=1

А N ( Хг А

А = 2^7^”, ^”=^”

Я=1 л - л.

V / ап—(Хп,{Зп — {Зп

/•’" - одна из матриц множества /7". которая используется для я-го измерите-

ля

УС и соответствует /-му набору = {/•’

1 р2 рн 1 У1 1 У'?1 1

и

є/\ ¿4' = 'І', - Т.

ЛГ

Ч»,- = 2

П= 1

V

Г і'

р”р„, 'I' = I

2(ч’Г

«=1

В каждом конкретном для практики случае, с учетом возможностей используемой УС, а также условий наблюдения объекта, не представляет труда найти такие константы А1т и сры , для которых неравенства (1.2) и (1.3) будут иметь место. Данные неравенства составляют минимально необходимый объем априорной информации, привлекаемый к решению задачи триангуляции в рамках развиваемого ниже вариационно-селективного метода.

Полагая, что приближенные (ориентировочные) значения наклонных дальностей гп, п=\,Ы, от измерителей УС до объекта нам неизвестны,

сформируем оценку Р =

х,у,г

его местоположения, оптимальную в

смысле некоторого критерия качества, суть которого устанавливается ниже.

Цель статьи - разработать альтернативный подход к оптимальному оцениванию координат местоположения объекта на базе УС, сводящийся к решению совокупности систем линейных алгебраических уравнений, применительно к ситуации, когда неизвестны начальное приближение задачи триангуляции, а также статистические характеристики ошибок измерений.

Формирование единичных оптимальных оценок

По аналогии с работами [4, 5], используя базовые формулы

Х=Хп+ГпСО*РпСОЬап, у = уп+гп сое/?„ ^1Пап, 2 = 2п+гпътрп, сформируем соотношения

х-хп _со$/Зпсо$ап х-хп _ сое#,со$ап у-уп _ совД^тап

2 — 2

ЄІП Рп

у-уп соъРпътап

2—2

єіп Рп

.(2.1)

Непосредственно из (2.1), применительно к компонентам /-го набора следуют математические выражения:

Р"АРп = 0, п = \Ы, /е {1,2,...,/}, (2.2)

где ДРп =Р-Рп, Ж" - одна из матриц набора

С учетом вышесказанного, при наличии ошибок измерений имеют место невязки

8п{ (б) = АРп Ф О, п = 1,И, і є {і,2,...,/}.

(2.3)

Следует помнить, что размерность вектора 8п^ (б) зависит от выбора матрицы /•’" еЖ, Очевидно, что максимальная размерность данного вектора равна двум.

В дальнейшем вместо уравнения прямых измерений (наблюдений), задаваемого формулой (1.1), будем оперировать уравнением косвенных наблюдений

= Е1+Щ, іє{1,2,...,/},

(2.4)

где

Р . =Рп Р ■

Ь га г п >

= рпр ■

г * п ’

Щ=№, п=\ы\ - вектор ошибок косвенных измерений (состоящий из вектор-строк м>ты), размерность которого, также как и размерность векторов

Е, и Н,■, определяется выбором набора

Вектор-столбец уі’пі, компоненты которого принадлежат результирующему вектору ошибок Щ, определяется так

^ = м>ш (О) = ЩпРп = ЩпР - 8Ш (О), Щп = .

Для решения задачи триангуляции в оптимальной постановке в отмеченных выше условиях априорной неопределенности сформируем с учетом (2.2), (2.3) квадратичную форму следующего вида

„Гг, \ТГг, \

Jг{p)= Т^тпг(С) 8пг{С) = 2

п=1 п=1

РПАР„

РПАР„

' є {і,2,...,/}. (2.5)

Найдем оценку р =

вектора Р = [х. і’, г]7 с использованием

матриц /•’" £¥'1 из условия минимума квадратичной формы (2.5), т.е. решим систему уравнений (р)/сР = 0.

При выполнении условия

СІЙ

N

2

п=1

Л

Р!'

Л У \ /

рассматриваемая вариационная задача имеет единственное решение

(2.6)

Р =

ТУ ( Л ^ Т л -1 ТУ ( Л ^ т л

2 К К 2 К КпР г п

п=] п=]

К К

(2.7)

В качестве примера можно показать, что условие (2.6) будет выполненным, если

N

к^,т=1

2І віп 2 рк + сое2 рк віп 2 а к

-сое р^ітіа.]

А А

-ітір со їа*

-сое Ркът2ак

-$т2рк соъак

2| віп2 р +С082 (З віп2 о.] І -8Іп2/? віпсгу

і г.7

А А

-ітір $та„

гсов р

для случая, когда набор /г,- состоит из матриц /•’" =/•’ [3] для всех п = 1. Л'.

Следует помнить, что при составлении наборов е /\ используемых для

получения оценки (2.7), необходимо исключать варианты, когда задача триангуляции становится некорректно поставленной.

Одним из основных аргументов, выдвигаемых в пользу развиваемого подхода к решению задачи триангуляции, можно считать его вычислительную эффективность. Это связано с тем, что построение оценки (2.7) не связано с решением систем нелинейных трансцендентных уравнений, характерных для классических максимально правдоподобных оценок рассматриваемой задачи.

Допустим, что любая из указанных систем решается на ЭВМ итерационным методом Гаусса - Ньютона за К шагов (где Ке {1, 2,...}). В этом случае, используя развитый выше подход, можно получить выигрыш в оперативности решения задачи триангуляции в К раз, поскольку оценка (2.7) вычисляется в процессе одного такта работы ЭВМ.

В следующем параграфе будет дано решающее правило построения ре-

*

зультирующей оценки Р местоположения объекта на базе совокупности еди-

[* у

ничных оценок { Р. ,

Формирование результирующих оценок

Применительно к условиям существенной априорной неопределенности, когда отсутствует достоверная информация о статистических характеристи-

*

ках измеряемых величин, построение результирующей оценки Р местоположения объекта должно осуществляться на базе устойчивого к аномальным измерениям минимаксного алгоритма типа мажоритарного.

Для формализации такого алгоритма, применительно к рассматриваемой задаче триангуляции и развиваемому в статье подходу, запишем соотношения

(2.7) в виде совокупности векторных линейных уравнений

ВгРг = ¥і, і=її. (3.1)

Очевидно, что при отсутствии ошибок измерений, имеем

В{Р = %, і=~І. (3.2)

Таким образом, под (3.1) мы понимаем возмущенные уравнения для невозмущенных уравнений (3.2).

Полагаем, что матрицы {/І, }^=1 имеют обратные {/І, 11=1, и, кроме того, выполнены условия

ІІЖ. II™ < 1К‘ Е,‘. /=т=07.

В этом случае матрицы | Д | также имеют обратные 11 /=1, и при

этом справедливы следующие оценки для относительных погрешностей ( ||Го II Л-Упяз II Или II __ ____

\М1=ь [л т \мл \\мт , Р*.

1-і

і =1,1, т = 1,М, (3.3)

IH.IL) иі5>1 И

* к и

где 8РІ = Рі - Р , Ьіт = Щ“1 Д - число обусловленности матрицы В{ в т-

II Пт II IIт

ой норме.

Поскольку в (3.3) априорно \Щт, Ця,^, и Цч^ неизвестны, то

целесообразно заменить эти величины хотя бы их грубыми оценками.

С учетом ограничений (1.2) и (1.3) для указанных погрешностей можно установить границу сверху :

( V1 ( \

1 -Li.

Л

В г 2 /lim

т

2 /lim | <Pim = „. > (3-4) У im

Л Л

в, 2 /lim т -<Pim т у

где

L im —

/ Л \

Bt + Л¡т

т J

i = 1,1, т = 1 ,М .

Таким образом, если решение точных уравнений (3.2) подменяется решением приближенных (возмущенных) уравнений (3.1), то возникают относительные погрешности ::пп, величина которых зависит как от выбора набора /^е/^. так и от выбора нормы |М|те ||»||.

На базе семейства значений относительных погрешностей {8т}\’^т=1

можно сформировать минимаксное правило построения результирующей оценки местоположения объекта. В качестве такой оценки можно принять

(3.5)

вектор Р е<РЛ , для которого выполняется условие

!=1

Р = arg min max pim , i = \,l, m = 1 ,M .

p i m

Оценку (3.5) будем называть оптимально-минимаксной, учитывая, что се-

Г * У

мейство 11] , состоит из оценок 1] , оптимальных в смысле критерия

р

Общий вариационно-селективный алгоритм (2.7), (3.5), который служит

*

для формирования результирующей оценки Р местоположения объекта, достаточно прост в вычислительном плане. Он предполагает решение, согласно

(2.7), совокупности совместных систем линейных алгебраических уравнений

г.у

третьего порядка с целью нахождения единичных оценок ■< Рг; >■ , вычисление

граничных значений {ріт }^т=1 для относительных погрешностей {єіт }^т=1

*

в соответствии с (3.4) и выделение (селекцию) такого вектора Р из семейства | , который отвечает минимаксному критерию (3.5).

*

Помимо (3.5) для селекции результирующей оценки Р в условиях априорной неопределенности могут использоваться алгоритмы медианного оценивания, базирующиеся на применении мажоритарного и близких к нему преобразований [6]. Указанные преобразования основаны на выделении из

(.у

общей совокупности частных оценок <РІ >■ лишь тех, которые представляются наиболее достоверными, остальные полностью исключаются. Вывод о достоверности осуществляется на основе анализа массива чисел {р1т }^т=1 •

Некоторые статистические аспекты

Покажем связь развитого варианта решения задачи триангуляции с известным максимально правдоподобным подходом. Очевидно, что статистиче-

*

ские характеристики оценки I] будут определяться видом функции правдо-

подобия р

р

. Так, при использовании в формуле (2.7) однострочных

/

матриц в условиях гауссовости, независимости и равноточности косвенных измерений (2.4) имеем

(

р

где о2 - дисперсия ошибки измерения любой из компонент вектора Щ.

В данном случае оценка (2.7) будет оценкой максимального правдоподобия.

Если полагать, что нам известна плотность вероятности р

О

то по ана-

логии с [7] для линейной оценки Р1 корреляционная матрица ошибок оценивания может быть найдена так

РР=&1Сг&\ / е{1,2, (4.1)

N

где <2г= 2 М

И‘

N

/Г ; с,- = 2 м

(р;-л)Г^дрлдрг’(р;»)Г^

/7 — 1 I J /7 — 1

В последних формулах подМ{*} понимается усреднение по плотности ве-

роятности р

(Л в V У

а также полагается выполненным следующее условие не-

смещенности оценки М{<37г(р)/сР } = 0 , /е {1,2,..,/}.

Для большей наглядности формулу (4.1) целесообразно представить в несколько ином виде

Кр, = , ¿6 {1,2,..,/}, (4.2)

где (А„- - матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов из матрицы О,:

Го г=А^М^(ггп) Рг"У (4.3)

Непосредственно из формул (4.2) и (4.3) следует, что из всех наборов множества Ж в каждом конкретном случае целесообразно выбирать тот оптимальный набор матриц /г,р1 = {/<;,' /Сф!.}, ДЛЯ которого

^ор1 = пиптах |кР| , т е {1,2,..,м},

(4.4)

где |Ни£||»||.

Кроме того, из (4.2), (4.3) также вытекает очевидный факт: с минимальными ошибками оцениваются координаты тех объектов, для которых величина минимальна.

Таким образом, если с учетом (4.1) выбран оптимальный в смысле критерия (4.4) набор Рор1, то искомая единичная оптимальная оценка местоположения объекта находится по правилу

р , =

ор1

(

р,

ор1

ор1

N

Е

п = 1

(

р,

ор1

V п Р

ор1 п

:{1,2,..,М}, (4.5)

а соответствующая ей корреляционная матрица ошибок

Рг

-1

ХР , ор! 0- ор! С ор1 0- ор1

где еор1 = Ь{ }>

« = 11 J

(4.6)

' ор1

к, Г

АР

и,ор1 сл1 и,ор1

) ■

ор1

АР = Р -Р

ш п,орг 0р1 и •

Если в оценке (2.7) для всех n = l,N используется одна и та же матрица

^opt = /'[2] • т0 в условиях равноточных измерений и одинаковых наклонных

дальностей до объекта оценка (4.5) совпадает с классической максимально правдоподобной оценкой, приведенной в работе [1].

Если опустить сделанные выше ограничения относительно статистических характеристик помех К и ff, то в самом общем случае следует ожидать смещенности оценки (2.7). Для устранения данного смещения можно использовать как классические, так и неклассические алгоритмы компенсации систематических ошибок [8, 9].

Выводы

Таким образом, применение разработанного подхода к решению задачи триангуляции на базе УС позволяет решить проблему нахождения оптимальной (в смысле принятого критерия качества) оценки местоположения объекта в условиях априорной неопределенности. Полученные данные могут быть использованы на последующих этапах обработки угломерных измерений для построения уточненной оценки местоположения объекта на базе соответствующих фильтров [2, 3, 10].

Развитый вариационно-селективный подход можно рассматривать как системный, поскольку он позволяет в полной мере использовать весь ресурс «степеней свободы» при построении искомой оценки с учетом как точностных, так и вычислительных аспектов решаемой задачи. Поскольку практическая реализация данного подхода сводится к решению соответствующей совокупности систем линейных алгебраических уравнений, то можно утверждать, что он предпочтителен в вычислительном плане.

В зависимости от полноты априорной информации целесообразно ком-плексирование развитого в настоящей статье подхода с классическими алгоритмами решения задачи триангуляции.

Литература

1. Ширман Я.Д., Голиков В.Н., Бусыгин И.Н. Теоретические основы радиолокации / Под ред. Я. Д. Ширмана. М., 1970.

2. Болотин Ю.В. II Автоматика и телемеханика. 1997. № 2.

3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М., 1972.

4. Булычев Ю.Г. и др. II Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. № 4.

5. БулычевЮ.Г. II Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. № 6.

6. Гильбо Е.Н., Челпанов КБ. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. М., 1975.

7. Мудрое В.И., Кушко В.П. Методы обработки измерений: квазиправдоподобные оценки. М., 1983.

8. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М., 1978.

9. БулычевЮ.Г., Бурлай И.В. II Автоматика и телемеханика. 1996. № 3.

10. БулычевЮ.Г., Бурлай И.В. // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 6.

Научно-производственный испытательный центр

«Арминт», г. Москва 3 июня 2004 г.